Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)đáp án tốn hsg - mơn tốn 10
Câu ý Nội dung điểm
Câu1 2đ
Giả sử (x,y,z) nghiệm phơng trình Cộng theo vế
phơng trình ta có: (a+b+c)(x+y)=a+b+c 0,5
Nếu a+b+c=0 thì: a3+b3+c3=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)+3abc nên a3+b3+c3=3abc
NÕu x+y= ta cã: a3+b3+c3=(ax+by)3+(bx+cy)3+(cx+ay)3=
a3+b3+c3-3xy(3abc- a3-b3-c3) 0,5
Nếu x=0 hoạc y=0 thoả mÃn hÖ a=b=c suy a3+b3+c3=3abc 0,5
NÕu xy suy a3+b3+c3=3abc 0,5
C©u2 a
ViÕt lại hàm số: y= {x
24x+3; x 1
x2−1;x<1
1,0
5® 3®
1,0
1,0
b 2đ
Viết lại phơng trình:
x −2¿2=3−2m; x ≥ m ¿
¿ ¿ ¿
1,0
Phơng trình có nghiệm : m=3/2 hoạc m=1/2 0,5 Thay m=3/2 m=1/2 phơng trình cho có nghiệm 0.5 Câu3 a
Gi¶i hÖ: { x
2
−4 xy+x+2y=0
x4−8x2y
+3x2+4y2=0
NhËn xÐt: NÕu x=0 thay vµo hƯ phơng trình ta có: y=0 nên (0;0)
là nghiƯm cđa hƯ 0,5
NÕu x chia c¶ vế (1) cho x chia vÕ cña (2) cho
x2 ta đợc:
{ x+2y
x =4 y −1 x2
+4y
2
x2 =8y −3(y ≥ 8)
⇔
x+2y
x =4y −1
¿
x+2y x ¿
2=12y −3
¿ ¿
1,0
(2)Víi y=1 suy ra: x2-3x+2=0 ⇔x=1 hoacx=2 0,5 Vëy, hÖ cã nghiÖm: (1,1); (2,1)
b
2đ
Giải phơng trình: x4+2x3+2x2-2x+1=(x3+x)
√1− x2 x
§k: x −1 hoac 0<x ≤1 0,5
Phơng trình cho tơng với:
(x2+1)2+2x(x2-1)=x(x2+1)
√1− x2
x (*)
Víi 0<x ≤1 : (*) ⇔ (x2+1)2-2x(-x2+1)= (x2+1)
√x(1− x2)
Đặt u=x2+1, v=
x(1 x2) (u>1,v ) ta cã: u2-uv-2v2=0 ↔ u=2v hoac u=-v (lo¹i)
1,0
Víi u=2v suy ra: (x2+1)2=2
√x(1− x2) ⇔ x4+4x3+2x2-4x+1=0
⇔ (x-
x )2 +4(x-1
x )+4=0 ⇔ x-1
x =-2 ⇔ x=−1−√2(loai)
x=−1+√2
¿
Víi x −1 (*) ⇔ (x2+1)2-2x(-x2+1)= -(x2+1)
√x(1− x2)
suy u2+uv-2v2=0 ↔ u=v hoac u=-2v (lo¹i) Víi u=v suy ⇔ (x-
x )2 +(x-1
x )+4=0 (v« nghiƯm)
0,5
§s: x= -1+ √2
c 2®
(4x-3) √x2
−3x+4≥8x −6
⇔(4x −3)(√x2−3x+4−2)≥0
⇔{ 4x −3≥0
√x2−3x
+4≥2hoac{
4x −3≤0
√x2−3x+4≤0
1,5
⇔ 0≤ x ≤3
4 hoacx≥3
0,5 C©u4 Chøng minh r»ng: xyz 15
Tõ gi¶ thiÕt suy ra:z vµ y+z 0,5
Tacã:
(3x)(5y)(15z) 3x+53y+15z¿3=¿
¿
3(x+y+z)+2(z+y)+10z
3 ¿
3
¿ 453 ¿3
¿
1,0
Suy : xyz15{x=5y=3 z=1
0,5
Câu5 a Viết phơng trình cạnh tam giá ABC
(3){ x+2y −5=0
4x+3y −10=0⇔{ x=1
y=2 hay A(1;2)
Gọi C1 điểm đối xứng C qua (d1) ta có: C1(2;-1) Đơng thẳng AB đờng thẳng AC1 có phơng trình: 3x+y-5=0 Gọi M trung điểm BC suy M thuộc đờng thẳng (d2) nên M(a; 10−4a
3 ) suy B(2a-4;
11−8a )
Toạ độ điểm B thoả mãn phơng trình đờng thẳng AB nên ta có: 3(2a-4)+ 11−8a
3 -5=0 suy a=4 nªn B(4;-7)
2,0
Từ đó: (AC): x-3y+5=
(BC): x=4 0,5
b Tìm điểm M đờng trịn cho P= MA2+ MB2 nhỏ nhất Gọi K trung điểm AB ,suy K(5;-4) Khi đó:
P=
⃗MK−⃗KA¿2
⃗MK+⃗KA¿2
+¿
⃗MB+⃗KB¿2=¿ ⃗MK+⃗KA¿2
+¿
⃗MA2
+⃗MB2=¿ =2MK2 + KA2 +KB2
Nên P nhỏ nnhất MK nhỏ hay I, M, Kthẳng hàng( I tâm đờng tròn)
1,0
Ta có (IK):4x+3y-8=0 Toạ độ điểm M nghiệm hệ : { 4x −3y −8=0
x2+y2− x −4y −2=0
HƯ nµy cã nghiƯm (2;0) (-1;4), tơng ứng với điểm : M1(2,0), M2(-1;4)
Nhận thấy M1K<M2K nên điểm M thoà mÃn toán là: M(2;0)
1,0
thi chn học sinh giỏi trờng thpt lê văn hu
M«n: To¸n- khèi 10
Thời gian: 150 phút (khơng kể thi gian giao )
Câu1:(2điểm) Giả sử hệ phơng tr×nh sau cã nghiƯm {
ax+by=c
bx+cy=a
cx+ay=b
(4)Câu 2:(5điểm) Cho hàm sè: y= x2−2x −2|x −m|+1
a Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số ứng với m=1
b Tìm m để phơng trình: x2−2x −2|x −m|+1 =0 cú ba nghim phõn bit
Câu3: (6 điểm) Giải phơng trình, hệ phơng trình bất phơng tr×nh sau a { x
2
−4 xy+x+2y=0 x4−8x2 y+3x2
+4y2=0
b x4+2x3+2x2-2x+1=(x3+x)
√1− x2 x
c (4x-3) √x2
−3x+4≥8x −6
C©u 4: (2 điểm) Cho x, y, z >0 thoả mÃn: {
x+y+z=9
x ≥5
x+y ≥8
Chứng minh rằng: xyz 15
Câu5: (5 điểm)
a Trong mặt phẳng toạ độ (0xy) Viết phơng trình cạnh tam giác ABC biết C(4; 3) , đờng phân giác đờng trung tuyến kẻ từ A tam giác có phơng trình lần lợt là: x+2y-5=0 4x+3y-10=0
b Trong mặt phẳng toạ độ cho đờng trịn (C) có phơng trình : x2+y2-x-4y-2=0
Và điểm A(3; -5), B(7; -3) Tìm toạ độ diểm M đờng tròn (C) choP= MA2+MB2 đạt giá trị nhỏ nhất.