Hướng dẫn học sinh lớp 12 phân loại và đề ra cách giải nhanh các bài toán trắc nghiệm khách quan phần nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

PHẦN I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình Giải tích lớp 12 có phần quan trọng giải tích Ngun hàm, tích phân ứng dụng Nó có mặt tất đề thi từ kỳ thi TN THPT đến kỳ thi học sinh giỏi cấp Vì nguyên hàm tích phân chuyên đề nhiều người quan tâm Làm để dạy phần nguyên hàm tích phân cách hiệu vấn đề mà nhiều giáo viên dạy toán trăn trở suy nghĩ Các tập nguyên hàm tích phân phong phú cơng cụ để giải chúng đa dạng Thông qua giải tốn ngun hàm tích phân, học sinh hiểu sâu sắc diện tích, thể tích hình, kiến thức vật lí, hóa học, sinh học có liên quan; kỹ rèn luyện, tư khả sáng tạo phát huy, phương pháp giải tốn ngun hàm tích phân khơng theo khn mẫu Có thể nói ngun hàm tích phân cơng cụ sắc bén toán học Để giải toán ngun hàm tích phân xuất phát từ nhiều kiến thức khác nhau, nhiều hướng khác Vì vậy, khơng phân tích đầy đủ chi tiết kiện điều kiện toán, khả tổng hợp kém, khả khái qt hóa, đặc biệt hóa khơng rèn luyện việc định hướng tìm lời giải cho tốn ngun hàm tích phân khó khăn Mặt khác việc giải nhanh toán trắc nghiệm khách quan phần nguyên hàm, tích phân ứng dụng giúp học sinh đạt điểm cao kỳ thi TN THPT kỳ thi học sinh giỏi cấp Với lí đó, tơi chọn sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 phân loại đề cách giải nhanh toán trắc nghiệm khách quan phần Nguyên hàm, tích phân ứng dụng” Nhiệm vụ đề tài Thực trạng đứng trước tốn Ngun hàm, tích phân ứng dụng học sinh thường lúng túng đặt câu hỏi: “ Phải định hướng tìm lời giải tốn từ đâu ?” Một số học sinh có thói quen khơng tốt đọc đề chưa kỹ vội làm ngay, có thử nghiệm dẫn tới kết quả, nhiên hiệu suất giải toán khơng cao Do việc hình thành cho học sinh khả tư theo phương pháp giải điều cần thiết Việc trải nghiệm qua trình giải tốn giúp học sinh hồn thiện kỹ định hướng giải toán Cần nhấn mạnh điều rằng, đa số học sinh sau tìm lời giải cho tốn Ngun hàm tích phân thường không suy nghĩ, đào sâu thêm Học sinh khơng ý đến chất tốn nên làm nhiều tốn khơng phân loại dạng toán chất toán Kết quả, hiệu thực trạng với thực trạng ra, thông thường học sinh dễ dàng cho lời giải tốn có cấu trúc đơn giản Cịn đưa toán khác chút cấu trúc học sinh thường tỏ lúng túng khơng biết định hướng tìm lời giải tốn Từ đó, hiệu giải tốn học sinh bị hạn chế nhiều Trước thực trạng học sinh, tơi thấy cần thiết phải hình thành cho học sinh thói quen xem xét tốn, giúp học sinh chủ động việc phân loại tìm kiếm phương pháp giải hiệu Đối tượng nghiên cứu Trong trình trực tiếp giảng dạy nghiên cứu tơi thấy dạng tốn khơng khó mà cịn hay, lơi em học sinh giỏi Với đề tài này, cố gắng xây dựng sở kiến thức vững chắc, hệ thống tập ví dụ logic giúp học sinh tiếp thu vấn đề cách thuận lợi nhất, quy lạ quen để tốn Ngun hàm, tích phân khơng cịn ln ln tốn hóc búa, khó giải Thơng qua nghiên cứu kết hợp hoạt động: Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ giải tốn thơng qua (hay nhiều) buổi học có hướng dẫn giáo viên Tổ chức rèn luyện khả định hướng giải tốn học sinh Trong yêu cầu khả lựa chọn lời giải ngắn gọn sở phân tích tốn Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin khả nắm vững kiến thức học sinh Trong toán Nguyên hàm, tích phân ứng dụng yêu cầu học sinh thực phân tích chất toán đưa hướng khai thác mở rộng cho toán Cung cấp hệ thống tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện Phạm vi nghiên cứu cách thức thực Nội dung triển khai thông qua buổi học (mỗi buổi học tiết) Các buổi học giáo viên nêu vấn đề định hướng cách suy nghĩ giải tốn, giáo viên hướng dẫn làm ví dụ mẫu Để tăng cường tính chủ động cho học sinh buổi học thứ cung cấp cho học sinh hệ thống tập đề thi Nguyên hàm, tích phân ứng dụng cho học Yêu cầu học sinh nhà chuẩn bị lời giải, phân loại tốn thành nhóm tương tự trả lời câu hỏi: “Bản chất tốn gì? có tổng qt, mở rộng, phân loại dạng tốn khơng, cách giải hiệu gì?” Bài tốn Ngun hàm, tích phân ứng dụng thường xuyên xuất đề thi ĐH, đề thi học sinh giỏi với mức độ tương đối khó Vì để giải dạng tốn cần tìm hiểu chất xây dựng phương pháp tư giải toán đặc trưng cho loại toán PHẦN II NỘI DUNG I CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM 1.1 TÌM NGUYÊN HÀM F  x  CỦA HÀM SỐ f  x  CHO TRƯỚC Ví dụ Nguyên hàm hàm số f  x   x  A 2x  C x2 B x x  ln x  C 3 x  C x Giải Cách 1: Khi nắm bảng nguyên hàm bản, ta lựa chọn đáp án B Cách 2: Khi nắm chưa vững công thức nguyên hàm bản, ta dùng định C x  ln x  C D  x   f  x  , thử nghĩa F  x  nguyên hàm f  x  F � đáp án, ta chọn đáp B Cách 3: Dùng máy tính Casio  Ta biết F �  x   f  x  việc với x thuộc tập xác định  Vậy với x  chẳng hạn Khi F �  1  f  1 Khi d ( Fi ( x)) x  A  f (A)  *  Thuật tốn máy tính CASIO dx f : hàm số cần xác định nguyên hàm Fi ( x) : đáp án nguyên hàm cho A: số tự chọn thuộc tập xác định có giá trị nhỏ  Thay đáp án vào Fi ( x) chọn giá trị A thích hợp  Lựa chọn đáp án có kết xấp xỉ 0: Các em nhập sau: Phương án A:  Được kết  , loại phương án A Làm tương tự phương án B, ta kết Chọn phương án B Khi khơng cần thử phương án C, D Lưu ý: +) Khi sử dụng cách 3, đầu nhìn vào dường việc bấm máy tính rối, thực chất nhập biểu thức (*) thực gán giá trị x  ( ) Khi thành thạo kỹ bấm máy tính việc nhập (*) hết khoảng “1s” Do từ trở tài liệu nêu nhập biểu thức (*) +) Trong số tình gán giá trị x  A phương án Do để chắn ta gán thêm x  B để tăng độ tin cậy đáp án, VD1 phương án A ta gán x  kết , gán x  kết  2x Ví dụ [Đề thi minh họa ĐHQG 2016] Nguyên hàm hàm số y  x.e 2x � � B e �x  � C � 2� A 2e2 x ( x  2)  C 1� 2x � C 2e �x  � C � 2� D e x  x    C Giải Cách 1: Khơng cịn đơn nhớ công thức nữa, mà ta phải nắm nguyên hàm phần ta đáp án B Cách 2: Ta thử tính đạo hàm phương án ta phương án B Trong phòng thi gặp nhiều áp lực, nhiều bị quên công thức đạo hàm hay thân không nhớ phương pháp nguyên hàm phần làm sao? Khi kỹ sử dụng Casio cần thiết Cách 3: Xét với phương án A: Nhập (*) gán x  ta đáp án -22.1671683 Loại A Xét với phương án B: Nhập (*) gán x  ta đáp án 0, gán x  ta đáp án Chọn B Khi khơng kiểm tra đáp án C, D Ví dụ Tìm ngun hàm hàm số f ( x )  f ( x )dx  ( x � f ( x )dx  ( x C � A  x) x3   C  1) x   C x  3x  x x3  f ( x )dx  ( x � f ( x )dx  ( x D � B  x) x2   C  x ) x3   C Giải Nếu vào phịng thi với phần đơng thí sinh lựa chọn dùng Casio Xét với phương án A: Nhập (*) gán x  ta đáp án 3.889087297 Loại A Xét với phương án B: Nhập (*) gán x  ta đáp án 2.121320344 Loại B Xét với phương án C: Nhập (*) gán x  ta đáp án 3, 77.1012 , gán x  ta đáp án Chọn C Khi khơng kiểm tra đáp án D Ví dụ (Đề thi THPT Quốc gia 2017) Cho hàm số F ( x )  nguyên 2x2 f ( x) Tìm nguyên hàm hàm số f / ( x )lnx x � �lnx � �lnx f / ( x )lnxdx   �  � C f / ( x )lnxdx   �  � C A � B � x � 2x � �x �x hàm hàm số C f / ( x )lnxdx  � lnx  C x2 2x2 D f / ( x )lnxdx  � lnx  C x2 x2 Giải 2ln x / , suy f ( x )ln x  x x3 Xét với phương án A: Nhập (*) gán x  0,1 ta đáp án 1.000 Loại A Xét với phương án B: Nhập (*) gán x  0,1 ta đáp án 3, 5.109 , gán x  ta đáp án Chọn B Khi khơng kiểm tra đáp án C, D Ta có f ( x)  F / ( x ) x   Bình luận *) Qua ví dụ ví dụ 1, xử lý tự luận, cần học sinh nắm bảng nguyên hàm bản, ví dụ phía sau việc sử dụng máy tính hiệu *) Phương pháp không áp dụng cho thi trắc nghiệm mà cịn cách để học sinh kiểm tra kết làm tự luận 1.2 TÌM NGUYÊN HÀM F ( x) CỦA HÀM SỐ f ( x) CHO TRƯỚC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN F ( x0 )  M Phương pháp: Sử dụng giả thiết F ( x0 )  M mục đích tìm giá trị C A f  x  dx với giá trị A nguyên hàm, sử dụng Casio F  A   M  � x0 thuộc tập xác định Do A f  x  dx +) Bước 1: Nhập máy tính F  A   M  �  ** x0 +) Bước 2: Gán (CALC) A giá trị nhỏ tùy ý thuộc tập xác định +) Bước 3: Chọn đáp án có kết gần Ví dụ Nguyên hàm hàm số f ( x )  A 2 x   B thỏa điều kiện F  1  2x  2x   C 2 x  D ( x  1)3 Giải Cách 1: Nhận thấy �2 x  dx  2 x   C  F  x  Do F  1  � C  Vậy chọn đáp án C Cách 2: Chú ý: x0  1, M  , f ( x )  , điều kiện xác định x  2x  Xét với phương án A: Nhập (**) gán x  0, ta đáp án Nhận thấy đáp án A sai khác đáp án đơn vị, chọn C Nếu khơng nhận thấy điều xét tương tự đến chọ đáp án C Ví dụ Gọi F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = ln x +1 ln x thoả mãn x F ( 1) = Giá trị F ( e) là: A B C D Giải A f  x  dx Chú ý: x0 =1, M = F  A   M  � x0  ** , Với F ( x) nguyên hàm e f  x  dx hàm f ( x) , gán A = e (**) Cho nên F  e   M  � x0 e lnx +) Nhập máy tính  �ln x  dx , kết 0,9428090416 giá trị F  e  x +) Lưu kết vào A( ) 8 Vậy F  e   Chọn đáp án A 9 Với tốn làm tự luận vơ vất vả, sử dụng máy tính đạt kết nhanh chóng +) Nhập A2 kết II CÁC BÀI TỐN TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN b 2.1 BÀI TỐN TÍNH f  x  dx THƠNG THƯỜNG � a Đối với tốn dù hàm f  x  đơn giản hay phức tạp dùng Casio ln cho kết Tuy nhiên hàm f  x  phức tạp máy tính cho kết lâu, thi học sinh nên có hai máy tính, dùng cho tích phân, dùng cho câu khác chờ đợi kết câu tích phân +) Bước 1: nhập hàm f  x  +) Bước 2: chờ kết +) Bước 3: Khi có kết bước 2, thực lệnh (lưu kết vào A), Sau nhập vào máy tính A  Ai , với Ai kết đáp án, nhập đến kết đáp án Ví dụ [Báo Tốn học Tuổi trẻ tháng 12 năm 2016] Tích phân �  3x   x  dx A  B C  11 D Giải Cách 1: (Tự luận) 1 0 *�  3x   x  dx  �  3x   x  dx  �  3x   x  dx 1 1 �x � 1  3x   x  dx  �  x  1 dx  �  x �3  *0 �x � * �  3x   x  dx  � 1 �2 �0 18 3 *Khi �x �1 �x �  3x   x  dx  �  x  1 dx  �  x �1   �3x   x  dx  � 1 �2 � 3 3 1 *Vậy I  1  3x   x  dx  �  3x   x  dx  181  92   16 � Cách 2: (Dùng Casio) Nhập lệnh nhập hàm f  x  , ta kết 0,1666666589 , dễ dàng nhận thấy kết đáp án A Vậy chọn A p Ví dụ Tính tích phân I= � sin x dx 4 sin x + cos x B I= ln A I=ln2 C I= - 4ln D I= ln Giải Đa phần nhiều học sinh gặp tốn dùng máy tính - Chuyển chế độ Radian - Nhập lệnh nhập hàm f  x  , ta kết 0, 6931471806 , lưu kết vào A nhập A  Ai kết đáp án A Vậy chọn A a Ví dụ Tìm a > cho: �x.e x =4 A B C D Giải a x Bản chất tính �x.e ta hàm số với biến a Do ta dùng lệnh để nhập a �x.e x dùng CALC thử phương án ta phương án C cho kết Vậy chọn C 2.2 XÁC ĐỊNH CÁC ẨN SỐ A, B, C TRONG BÀI TỐN TÍCH PHÂN Ví dụ 10 Cho 1- x �x e x dx = ae + be với a, b �� Tính 2a + 3b A S = B S = C S = D S = Giải 1- x x 1- x x �x e dx - be Ta có : � e dx = ae + be suy x a= 1 e2 Cách 1: Sử dụng chức TABLE w8 để tìm giá trị a, b thích hợp (Bấm Mode máy Casio 570 VN; Bấm Menu máy Casio580) Nhập vào máy hàm số f ( x) = 1- x �x e x dx - xe e2 (có thể bỏ qua bước nhập g ( x) ) Nhập Start =- 2; End = 2, Step = 0.25 Quan sát bảng kết ta chọn (a, b) = ( f ( x ), x) = (- 0.5,1) Vậy S = 2a + 3b = Cách 2: Giải hệ phương trình Bên cạnh việc sử dụng chức bảng tính, cịn sử dụng hệ phương trình để giải cho tốn Tiếp tục cải tiến CASIO fx-580VN so với dòng CASIO fx-570VN Plus Ở phiên ta nhập tích phân hệ số, điều mà dòng máy tiền nhiệm chưa làm Đáp án A � 1- x x � ae + be = e dx � � � x � � � � � 2a + 3b = � � Đáp án B � 1- x x � ae + be = � �x2 e dx � � � � � 2a + 3b = � LOẠI (vì x, y �� ) NHẬN e 2ln x +1 b b dx = a ln - ( a, b, c ��) Ví dụ 11 Cho I = � tối giản Tính c c x ln x + ( ) S = a +b + c A S = B S = C S = D S = Giải b Đặt d = Khi d = a ln c e 2ln x +1 �x(ln x +1) dx Sử dụng chức TABLE w8 để tìm giá trị a, d thích hợp Nhập vào máy hàm số e f ( x) = x ln - 2ln x +1 �x(ln x +1) dx Nhập Start =- 5; End = 5, Step =1 Quan sát bảng kết dựa vào điều kiện a, b, c ta (a,d) = ( x; f ( x ) ) = (2;0.5) Suy ra: b =1; c = Vây: a + b + c = Đáp án: C Chú ý: Khi chọn Start , End , Step cần lưu ý giả thiết đề cho để chọn phù hợp Trong ví dụ 10 a, b �Q phương án �S � nên ta chọn 2 Start =- 2; End = 2, Step = 0.25 Trong ví dụ 11 a, b �Z phương án �S �7 nên ta chọn Start =- 5; End = 5, Step =1 e Ví dụ 12 Cho tích phân �(2 + x ln x)dx = ae + be + c ( a, b, c số hữu tỉ) Xác định mệnh đề A a + b = c B a - b = c C a - b =- c Giải Sử dụng chức TABLE w8 kiểm tra đáp án Đáp A: a + b = c e Suy a= �(2 + x ln x)dx - b(e +1) e +1 Nhập vào máy hàm số e f ( x) = �(2 + x ln x)dx - x (e +1) e2 +1 Nhập Start =- 2; End = 2, Step = 0.25 Quan sát bảng giá trị ta thấy tất giá trị f ( x) tìm có phần thập phân phức tạp Do ta loại đáp án A Đáp án B: a - b = c Suy e a= �(2 + x ln x)dx - b(e - 1) e +1 Nhập vào máy hàm số e f ( x) = �(2 + x ln x)dx - x(e - 1) e2 +1 Nhập Start =- 2; End = 2, Step = 0.25 Quan sát bảng giá trị ta thấy ta thấy tồn 10 D a + b =- c ( x, f ( x) ) = ( 2;0.25) Do ta chọn đáp án B Bình luận: Để chọn Bắt đầu (Start), Kết thúc (End) Bước (Step) thích hợp, nên xem xét phân tích kĩ điều kiện ẩn số kết hợp với đáp án , ta chọn Step =1 ; a, b, c �� thường chọn đề ( Ví dụ: a, b,c ��� 1 Step = ; ; ; ) III ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH MẶT PHẲNG Tóm tắt lý thuyết Bài tốn 1: Diện tích mặt phẳng giới hạn b Công thức: S   � f  x   g  x  dx a Chú ý: +) Đặc biệt y = g ( x) = , trục hồnh, tốn SGK 12 +) Diện tích mặt phẳng giới hạn ( C1 ) : x = f ( y ) ;( C2 ) : x = g ( y ) ; y = a; y = b ( a < b) b Công thức: S   � f  y   g  y  dy a Bài tốn 2: Diện tích hình phẳng giới hạn (C1 ) : y  f ( x) � � (C2 ) : y  g ( x) � � (C3 ) : y  h( x) � Bước 1: Tìm giao điểm đồ thị cách giải phương trình hồnh độ giao điểm Bước 2: Chia hình phẳng thành hình nhỏ giới hạn hai đồ thị (giả sử y = f ( x ) , y = g ( x ) y = g ( x ) , y = h ( x ) ) Áp dụng công thức c b a c S � f ( x)  h( x) dx  � g ( x)  h( x) dx Chú ý: Qua lý thuyết nhận thấy việc tính diện tích hình phẳng trọng tâm tốn tính tích phân thơng thường (đã hướng dẫn mục 2.1) 11 Ví dụ 14 Tính diện tích giới hạn đồ thị hàm số y = x = x = A S = ln + B S = ln + C S = ln 3x + ; y =0 ; 2x + D S = ln - Giải 3x + dx Diện tích mặt phẳng cần tìm: S = � x + Quan sát đáp án ta thấy có đáp án chứa ln nên ta nhập máy tính biểu thức 3x + �2 x + dx - ln , kết Chọn B Ví dụ 15 Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol y = 3x , cung trịn có phương trình y = - x ( với �x �2 ) trục hoành (như hình vẽ) A 4p + 12 B 4p + - D 4p- - 2p Giải Sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X tìm nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm C    3x = - x � x + x - = ( �x �2 ) � x =1 3x = � x = - x = ( �x �2 ) � x = Như vậy: 2 Diện tích cần tìm S = � 3x dx + � - x dx • Sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X để tính tích phân lưu kết quả: Thử ta có kết đề 12 Đáp án C Đáp án D �0 LOẠI NHẬN Đã chọn đáp án B IV ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY Tóm tắt lý thuyết Dạng Cho hình ( H ) giới hạn đồ thị hàm số y = f (x) , y = g ( x) , x = a; x = b quay quanh trục Ox tạo thành vật thể khối trịn xoay tích b ( 2 ) V0 x = p �[ f ( x) ] - [ g ( x) ] dx a Dạng Cho hình ( H ) giới hạn đồ thị hàm số x = f (y) , x = g (y) , y = a; y = b quay quanh trục Oy tạo thành vật thể khối trịn xoay tích b ( 2 ) V0 y = p �[ f (y) ] - [ g (y) ] dy a Chú ý: +) Nếu đề khơng có cho hai giả thiết x = a; x = b (hay y = a; y = b ) trước áp dụng công thức V0 x (V0 y ) ta phải tìm hai cận tích phân cách giải phương trình giao điểm f ( x) = g ( x) (hoặc f (y) = g(y) ) +) Việc giải tốn thể tích tưng tự tốn diện tích với phần trọng tâm tính tích phân Mở rộng: Tính thể tích vật thể quay hình phẳng giới hạn y = f ( x) , y = g ( x) , y = h ( x ) quanh trục Ox.(Hình vẽ) Bước 1: Tìm giao điểm a, b,c nghiệm phương trình f ( x) = h( x ); f ( x) = g ( x ) g ( x ) = h( x ) Bước 2: Áp dụng công thức b 2 c 2 V =p � ([ f ( x) ] - [ g ( x) ] ) dx +p � ([ g( x) ] - [ h( x) ] ) dx a b 13 Ví dụ 16 Tính thể tích vật thể khối trịn xoay tạo thành quay hình (H) giới hạn đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành, x = x = A.1 B p C 2p p quanh trục Ox D p Giải p Cơng thức tính thể tích V = p ( sinx ) dx Nhập máy tính cơng thức tích phân � Chọn: D Ví dụ 16 Cho miền D giới hạn hai đồ thị y = x ; y = x y = Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Oy (như hình) A 12p B 2p C 6p D 8p Giải Chuyển đổi hàm số: y 2 Nhận xét ta có đồ thị y = x y = x giao O y = x � x = y y = x � x = � � � ( y )2 Do ta có V = p � � � � � 2� �y� � � � � � � dy � � � � � � �2 �� � � Nhập máy tính biểu thức tích phân, ta kết Chọn: C Nhận xét: Đối với số biểu thức đơn giản ta khai triển để việc bấm máy trở nên nhanh dễ dàng V ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ Ví dụ 16 Một người muốn dán bảng hiệu cũ phần hình elip với kích thước hình vẽ (1 đơn vị 1m) Tính gần chi phí mà người phải bỏ để mua giấy dán biết giá 1m giấy 20000 (nghìn) 14 Giải Xây dựng hệ trục tọa độ Oxy hình: x2 y Phương trình Elip có dạng: + =1 ( E ) a b ( a, b trục dài trục ngắn Elip) Theo đề ta có: b = OE = EG =1 Do B (1.8;0.8) �( E ) nên 1.82 0.82 + =1 � a = a Suy ( E ) : x2 x2 + y =1 hay y =� 9 1.8 Ta có: S = SOEBN x2 = 4�1 dx Sử dụng máy tính CASIO tính tích phân lưu vào A Vậy số tiền người chủ phải bỏ để mua giấy dán 20000 A �134820 (nghìn) Bình luận +) Đối với tốn tính diện tích hình phức tạp khơng có sẵn cơng thức ta sử dụng tích phân để tính diện tích +) Để áp dụng tích phân để tính diện tích ta cần xây dựng hệ trục tọa độ Oxy xây dựng hàm số phù hợp, đơn giản mà khơng tính tổng qt, kết diện tích khơng đổi Ví dụ 17 Một lu có bán kính đầu 2( dm) 4( dm) , chiều cao lu 8( dm) (hình vẽ) Tính lượng nước tối đa mà lu chứa Giải Phân tích: 15 Cái lu có dạng khối trịn xoay với đường sinh hình Parabol đồ thị hàm số y = ax + bx + c ( a �0) Do ta áp dụng cơng thức tích phân để tính thể tích khố trịn xoay Dựa vào kích thước lu đề ta xây dựng hệ trục tọa độ Oxy phù hợp đơn giản hình vẽ Khi ta sử dụng cơng thức tích phân để tính thể tích  Từ chiều cao lu ta tìm cận tích phân  Từ đồ dài bán kính đầu ta lấy điểm A( - 4;2) ; B ( 0;4) ; C ( 4;2) thuộc đồ thị ( P ) +) Tìm phương trình Parabol ( P ) : y = ax + bx + c ( a �0) qua điểm A( - 4;2) ; B ( 0;4) ; C ( 4;2) - � � a= � 16a - 4b + c = � � � � - � � c =4 �� b = � ( P) : y = x +4 Giải hệ phương trình: � � � � 16a + 4b + c = � c =4 � � � � � � � � - � � x + dx Như vậy: V =p� � � � � � � - Sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X tính tích phân 1376p �288.189( dm ) 15 Ví dụ 18 Sân trường THPT Lê Lợi có bồn hoa hình trịn có tâm O Một nhóm học sinh lớp 12 giao thiết kế bồn hoa, nhóm chia bồn hoa thành bốn phần, hai đường Parabol có đỉnh O đối xứng qua O Hai đường Parabol cắt đường tròn bốn điểm A, B, C, D tạo thành hình vng có cạnh 4m (như hình vẽ) Phần diện tích S1, S3 dùng để trồng hoa, phần diện Vậy thể tích lu là: V = tích S2 , S4 dùng để trồng cỏ (Diện tích làm trịn đến hàng phần trăm) Biết kinh phí trồng hoa 150.000 đồng/ m2, kinh phí trồng cỏ 100.000 đồng/1 m2 Hỏi trường cần tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm trịn đến hàng chục nghìn) 16 A 3.000.000 đồng C 3.270.000 đồng B 6.060.000 đồng D 5.790.000 đồng Giải Phương pháp: Gắn hệ trục tọa độ Oxy hợp lý, viết phương trình đường trịn phương trình parabol Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng Cách giải: Gắn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ, ABCD hình vng cạnh 4m nên ta có A( - 2;2) ; B ( 2;2) , C ( 2;- 2) ;D ( - 2;- 2) , từ ta dễ dàng phương trình đường 1 trịn x + y = phương trình parabol y = x y =- x 2 Ta có: S1 diện tích hình phẳng giới hạn đường trịn x + y = parabol 2� � 2� 2 � � � � S + S = x dx =15,23 = S3 m2 y = x (P): � � � � � � � ( ) ( ) ( ) S2 + S4 = 2p 2 - S1 - S3 = 35,04 m � Chi phí để trồng bồn hoa là: 15,23.150 + 35,04.100 �5790 (nghìn đồng) VI MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Hàm số sau nguyên hàm hàm số x ( x + 2) f ( x) = : ( x +1) 17 x2 + x - A x +1 x2 - x - B x +1 x + x +1 C x +1 Bài Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x) = tan x tan x + ln cos x + C 1 B �f ( x ) dx = tan x - tan x - ln cos x + C 1 C �f ( x ) dx = tan x + tan x - ln cos x + C 1 D �f ( x ) dx = tan x + tan x + ln cos x + C 2 � Bài Cho hàm số f  x  thỏa mãn  f �  x   f  x f �  x   15x  12 x, x �R A x2 D x +1 �f ( x) dx = tan x- f  0  f �    Giá trị f  1 A B C 10 D 2 x �  �  ; �và F  x  nguyên hàm hàm số Bài Cho f  x   � cos x �2 2�  � xf �  ; � thỏa mãn tan a  Tính  x  thỏa mãn F    Biết a �� � �2 2� F  a   10a  3a 1 A ln10 B  ln10 C  ln10 D ln10 Bài [Câu 26 Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần năm 2017] dx  a ln  b ln  c ln với a, b, c số nguyên Tính S = a + b + c Biết �2 x  x A S = B S = C S = -2 D S = ae  b x ln xdx   a, b, c �Z  với a ; b phân số tối giản Bài Cho I  � c c c Tính biểu thức A  a  b A 15 B -28 C 36 D 46 Bài Cho tích phân  cos3 x  2cos x dx  a ln  b ln  c  a, b, c �Z  �  3sin x  cos x Tính P abc A P  3 B P  2 C P  D P  Bài Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y  x, y  x  quanh trục Ox Đường thẳng x  a  a  4 cắt đồ thị hàm số y  x M (hình vẽ bên) Gọi V1 thể tích khối trịn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết V = 2V1 Khi đó: 18 B a  C a  2 D a  2 Bài Cho hàm số y  ax4  bx2  c có đồ thị (C), biết (C) qua A(-1;0), tiếp 28 tuyến d A (C) hai đường thẳng x  0; x  có diện tích (phần gạch chéo hình vẽ) Diện tích hình phẳng giới hạn d, đồ thị (C) hai đường thẳng x  1; x  có diện tích A a  2 1 B C D 5 Bài 10 Tìm thể tích V vật trịn xoay sinh đường tròn x   y  3  quay quanh trục Ox A V  24 B V  24 C V  16 D V  36 Bài 11 Một viên gạch hoa hình vng cạnh 40cm Người thiết kế sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tâm viên gạch để tạo bốn cánh hoa (được tơ màu sẫm hình vẽ bên) Diện tích cánh hoa viên gạch bằng: A A 800 cm B 400 cm C 250 cm2 D 800 cm2 Bài 12 Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x, cung trịn có phương trình y  6 x2   �x � 6 trục hoành (phần tơ đậm hình vẽ bên) Tính thể tích V vật thể tròn xoay sinh quay hình phẳng D quanh trục Ox 19 22 22 22 C V  8  D V  4  3 PHẦN III KẾT LUẬN A V  8  2 B V  8  Để góp phần đổi phương pháp dạy học mơn tốn trường THPT, việc đổi phương pháp dạy giải tập có vai trị quan trọng, tổ chức có hiệu việc dạy giải tập tốn học nâng cao chất lượng dạy toán học Trong đề tài này, tơi trình bày số ý kiến vấn đề “Hướng dẫn học sinh lớp 12 phân loại đề cách giải nhanh toán trắc nghiệm khách quan phần Nguyên hàm, tích phân ứng dụng” Những kết nghiên cứu đề tài cho phép tin bồi dưỡng cho học sinh khả phân tích, tổng hợp, ứng dụng lý thuyết vào tốn thực tiễn, giáo viên góp phần thực mục đích yêu cầu việc dạy học theo hướng phát triển lực cá nhân, đặc biệt phát triển lực trí tuệ học sinh, rèn luyện cho học sinh linh hoạt khả sáng tạo Song đề tài tránh khỏi thiếu xót, tơi mong góp ý chân thành từ đồng nghiệp Tôi xin cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng năm 2021 Tôi cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Đỗ Thị Hồng Hạnh TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa Đại số Giải tích 12 - Tác giả: Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn - Nhà xuất Giáo dục; 20 [2] Bài tập Đại số Giải tích 12 - Tác giả: Vũ Tuấn, Trần Văn Hạo - Nhà xuất Giáo dục; [3] Sách giáo khoa Đại số Giải tích 12 nâng cao - Tác giả: Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan - Nhà xuất Giáo dục; [4] Bài tập Đại số Giải tích 12 nâng cao - Tác giả: Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm - Nhà xuất Giáo dục; [5] Các giảng luyện thi mơn tốn - Tác giả: Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất - Nhà xuất Giáo dục; [6] Toán nâng cao Đại số Giải tích 12 - Tác giả: Nguyễn Tuấn Khôi, Nguyễn Vĩnh Cận - Nhà xuất Đại học Sư phạm; [7] Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất Giáo dục; [8] Đề thi tuyển sinh mơn Tốn - Tác giả: Phan Đức Chính, Đăng Khải Nhà xuất Giáo dục; [9] Các đề thi đại học năm trước; [10] Các đề thi thử đại học năm trước; [11] Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 10, 11, 12 tỉnh năm trước MỤC LỤC Trang 21 Phần I Mở đầu 1 Lý chọn đề tài Nhiệm vụ đề tài Đối tượng nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu cách thức thực Phần II Nội dung I Các toán trắc nghiệm nguyên hàm II Các tốn trắc nghiệm tích phân III Ứng dụng tích phân tính diện tích mặt phẳng 11 IV Ứng dụng tích phân để tính thể tích khối trịn xoay V Ứng dụng tích phân để giải toán thực tế 13 VI Một số tập áp dụng 17 Phần III Kết luận 20 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LÊ LỢI 22 14 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 PHÂN LOẠI VÀ ĐỀ RA CÁCH GIẢI NHANH CÁC BÀI TỐN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN PHẦN NGUN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Người thực hiện: Đỗ Thị Hồng Hạnh Chức vụ: Hiệu trưởng SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Tốn THANH HỐ - NĂM 2021 23 ... vấn đề ? ?Hướng dẫn học sinh lớp 12 phân loại đề cách giải nhanh tốn trắc nghiệm khách quan phần Ngun hàm, tích phân ứng dụng? ?? Những kết nghiên cứu đề tài cho phép tin bồi dưỡng cho học sinh khả phân. .. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 PHÂN LOẠI VÀ ĐỀ RA CÁCH GIẢI NHANH CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN PHẦN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Người thực hiện: Đỗ Thị Hồng Hạnh Chức... cứu cách thức thực Phần II Nội dung I Các toán trắc nghiệm nguyên hàm II Các tốn trắc nghiệm tích phân III Ứng dụng tích phân tính diện tích mặt phẳng 11 IV Ứng dụng tích phân để tính thể tích