[r]
(1)1 UBND TỈNH BẮC GIANG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2011-2012
Mơn: Tốn-Khối THPT
Thời gian làm : 150 phút
Ngày thi: 07/02/2012
ĐIỂM TOÀN BÀI Các giám khảo
(họ tên chữ kí) Bằng số Bằng chữ
SỐ PHÁCH
(do chủ tịch hội ñồng chấm ghi)
Chú ý:
- Đề thi có trang với 10 bài, tổng 50 ñiểm;
- Thí sinh làm trực tiếp vào bản đề thi này, những phần khơng u cầu trình bày lời giải
điền kết quả vào trống tương ứng
- Nếu khơng có u cầu thêm, tính xác đến chữ số thập phân
- Các ñoạn thẳng ñược ño theo một ñơn vị dài
Bài 1: (5 điểm)
a) Tìm nghiệm gần (độ, phút, giây) phương trình: cos 3x−5sin 3x=7
Cách giải Kết
b) Tìm nghiệm gần hệ phương trình
25 4.3
x y
x y
− =
+ =
Cách giải Kết
Bài 2: (5 ñiểm)
a) Cho hàm số
3
2 ( ) x+
f x
x =
− + Tính gần ñúng giá trị m ñểñường thẳng y = m cắt ñồ thị (C) ñiểm phân biệt A, B cho OA ⊥ OB, O gốc hệ tọa ñộ
(2)2
Cách giải Kết
b) Tìm số dư chia 132011 cho 2012
Cách giải Kết
Bài 3.(5 ñiểm) Hỏi tập X ={1, 2, 3, 4, , 9999,10000} có số khơng chia hết cho số số 3, 4,
Cách giải Kết
Thời gian là:
Bài 4: (5 ñiểm ) Cho ña thức P x( )=(2x+ +3) (2x+3) (2+ 2x+3)3+ ⋅⋅⋅ +(2x+3)20 a) Tính gần
3
P−
b) Tìm hệ số xác số hạng chứa x khai tri7 ển rút gọn ña thức P(x)
Cách giải Kết
(3)3 Bài 5: (5 ñiểm)
a) Tính gần giá trị a b cho ñường thẳng y=ax+b ñi qua ñiểm M(3;4) tiếp tuyến ñồ thị
hàm số
3
y x
x
= +
−
Cách giải Kết
b) Cho tam giác ABC, lấy ñiểm M tùy ý bên tam giác (không nằm cạnh) Qua M vẽ ba ñường thẳng song song với ba cạnh tam giác Các đường thẳng chia tam giác ABC thành nhiều phần (như hình vẽ) Xét ba tam giác, diện tích tam giác S1=2,1234cm ; S2 =3,1425cm ;2
2
S =4, 0213cm Tính diện tích tam giác ABC
Cách giải Kết
S2
S3 S1
I E
G F H
D A
B C
M
Bài (5 điểm)
Từ phơi hình nón có chiều cao h=12 bán kính đáy R=5 2, người ta tiện đểđược hình trụ Tính thể tích hình trụ trường hợp tiện bỏ vật liệu
Cách giải Kết
(4)4 Bài (5 ñiểm) Bác An gửi tiết kiệm số tiền ban ñầu 20 triệu ñồng theo kỳ hạn tháng với lãi suất 0,72%/tháng Sau năm, bác An rút vốn lẫn lãi gửi lại theo kỳ hạn tháng với lãi suất 0,78%/tháng Gửi ñúng số kỳ hạn tháng thêm số tháng bác An phải rút tiền trước kỳ hạn ñể sửa chữa nhà ñược số tiền 29451583,0849007 đồng (chưa làm trịn) Hỏi bác An gửi kỳ hạn tháng, tháng chưa tới kỳ hạn lãi suất không kỳ hạn tháng thời ñiểm rút tiền ? Biết gửi tiết kiệm có kỳ hạn cuối kỳ hạn tính lãi gộp vào vốn để tính kỳ hạn sau, cịn rút tiền trước kỳ hạn, lãi suất tính tháng gộp vào vốn để tính tháng sau Nêu sơ lược quy trình bấm phím máy tính để giải
Cách giải Kết
Bài (5 ñiểm) Cho đường trịn có phương trìnhx2+y2− +3x 4y− =7 ñiểm A (4;5) Từ A vẽ hai tiếp tuyến với đường trịn Gọi hai tiếp điểm tương ứng B, C Tính gần diện tích hình phẳng giới hạn ñoạn thẳng AB, AC cung nhỏ BC đường trịn đó
Cách giải Kết
(5)5 Bài (5 ñiểm) Tính gần thể tích diện tích tồn phần hình tứ diện ABCD, biết BC=6dm, CD=7dm, BD=8dm, AB=AC=AD=9dm
Cách giải Kết
Bài 10 ( 5ñiểm) Thể tích hình nón gấp 2012 lần thể tích hình cầu nội tiếp hình nón Tính gần góc (độ, phút, giây) tạo đường sinh hình nón mặt phẳng đáy
Cách giải Kết
-Hết -
(6)6 UBND TỈNH BẮC GIANG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2011-2012
Môn: Toán-Khối THPT
Thời gian làm : 150 phút
Đáp án
ĐIỂM TOÀN BÀI Các giám khảo
(họ tên chữ kí) Bằng số Bằng chữ
SỐ PHÁCH
(do chủ tịch hội ñồng chấm ghi)
Chú ý:
- Đề thi có trang với 10 bài, tổng 50 điểm;
- Thí sinh làm trực tiếp vào bản đề thi này, những phần khơng u cầu trình bày lời giải
điền kết quả vào ô trống tương ứng
- Nếu khơng có u cầu thêm, tính xác ñến chữ số thập phân
- Các ñoạn thẳng ñược ño theo một ñơn vị dài
Bài 1: (5 ñiểm)
a) Tìm nghiệm gần (độ, phút, giây) phương trình: cos 3x−5sin 3x=7
Cách giải Kết Điểm
Phương trình trở thành
8
cos sin
89 x− 89 x= 89 1ñ
0
0
3 42 5'53'' 360
os(3 )
89 42 '53'' 360
8
( os ,sin )
89 89
x k
c x
x k
c
α α
α
α α
+ ≈ +
⇔ + = ⇔
+ ≈ − +
= =
1đ
Từđó suy x
0
24 42 ' '' 120
( )
x k
k
≈ − +
∈ℤ
và
0
3 21'51'' 120
( )
x k
k
≈ +
∈ℤ
1ñ
b) Tìm nghiệm gần hệ phương trình
25 4.3
x y
x y
− =
+ =
Cách giải Kết
(7)7 Hệ phương trình trở thành:
3
25 4.5 11
y x x x = − + − =
1ñ
5 15
3 15
x y = − + ⇔ = − +
Từđó suy x y ( ; )x y ≈(0.3899; 0.1236)− 1ñ
Bài 2: (5 ñiểm)
a) Cho hàm số
3
2 ( ) x+
f x
x =
− + Tính gần giá trị m ñểñường thẳng y = m cắt ñồ thị (C) ñiểm phân biệt A, B cho OA ⊥ OB, O gốc tọa độ
Cách giải Kết Điểm
Xét phương trình hồnh độ giao ñiểm
3
2
2 1
( 1) (*)
x m
x x
x x m m
+ = − + ≠ ⇔ − + − + = 0.5đ
u cầu tốn tương đương với tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 ≠1 x x1 2 = −m2
Điều kiện:
2
3
( 1) 4
1 (1 )
2
m m
m m
m m
m
+ − + > − + + − ≠ − = − ⇒ 1ñ 0.7288 1, 7288 m m ≈ ≈ − 1ñ
b) Tìm số dư chia 132011 cho 2012
Cách giải Kết Điểm
Ta có
5 30
67 67
13 1085(mod 2012), 13 1753(mod 2012) 13 1901(mod 2012)
13 x 249(mod 2012)
≡ ≡
≡ ≡
1ñ
2010 67 2011
13 13 169(mod 2012)
13 185(mod 2012) x x x
⇒ = ≡
⇒ ≡
Số dư phép chia
185
1,5ñ
Bài 3.(5 ñiểm) Hỏi tập X ={1, 2, 3, 4, , 9999,10000} có số không chia hết cho số số 3, 4,
Cách giải Kết Điểm
Gọi A, B, C thứ tự tập hợp bao gồm số X mà chia hết cho 3,
Kí hiệu ( )n A số phần tử A
1ñ
(8)8 Số số cần tìm là:
( ) [ ( ) ( ) ( )]+ ( ) ( )
( ) ( )
n n X n A n B n C n A B n A C
n C B n A B C
= − + + ∩ + ∩ +
∩ − ∩ ∩
2ñ
10000 10000 10000 10000
10000
3 3.7
10000 10000 10000
7.4 3.4 3.4.7
4286 = − − − + + + − =
4286 2ñ
Bài 4: (5 ñiểm ) Cho ña thức P x( )=(2x+ +3) (2x+3) (2+ 2x+3)3+ ⋅⋅⋅ +(2x+3)20 a) Tính gần
3
P−
b) Tìm hệ số xác số hạng chứa x khai tri7 ển rút gọn ña thức P(x)
Cách giải Kết Điểm
a)
20
(2 3)
( ) (2 3)
2
x
P x x
x + − = + + 1ñ
( ) 68375.2807
P − ≈
a) ( ) 68375.2807 P − ≈ 1.5ñ
b) Số hạng chứa x7 xuất khai triển nhị thức (2x+3) , k với (7≤ ≤k 20)
1ñ
Hệ số số hạng chứa x 7 13
7
7
2 3q
q q
a C +
=
= ∑ b)
13
7
7
2 q3q q
C +
= ∑
1,5ñ
Bài 5: (5 điểm)
a) Tính gần giá trị a b cho ñường thẳng y=ax+b ñi qua ñiểm M(3;4) tiếp tuyến ñồ thị
hàm số
3
y x
x
= +
−
Cách giải Kết Điểm
Từ giả thiết ta có 3a b+ =4 0,5đ
Đường thẳng y=ax+b tiếp tuyến ñồ thị hàm số
hệ phương trình sau có nghiệm:
2
15
(3 1)
2
3
a x
x ax a
x − = − + = + − − 0,5ñ
⇒ 1.7419016
16 25
0.1794016 a a a a ≈ − − = ⇒ ≈ − Suy b
(9)9 b) Cho tam giác ABC, lấy ñiểm M tùy ý bên tam giác (không nằm cạnh) Qua M vẽ ba ñường thẳng song song với ba cạnh tam giác Các ñường thẳng chia tam giác ABC thành nhiều phần (như hình vẽ) Xét ba tam giác, diện tích tam giác S1=2,1234cm ; S2 2 =3,1425cm ;2
2
S =4, 0213cm Tính diện tích tam giác ABC
Cách giải Kết Điểm
S2 S3 S1 I E G F H D A B C M
Các tam giác HDM, EMI, MGF đơi đồng dạng Ta có
2
3
3
2
S S
S EM EM ME
S MG MG S EG S S
= ⇒ = ⇒ = + 1ñ 2 3 3 ( ) EGC EGC S S EM
S S S
S EG S S
⇒ = = ⇒ = +
+
Tương tự:
2
3
( )
DBI
S = S + S , SHAF =( S1 + S2)2
AF ( 3)
ABC EGC DBI H
S S S S S S S
⇒ = + + − + +
2
27.4075 cm
1,5ñ
Bài (5 ñiểm)
Từ phơi hình nón có chiều cao h=12 bán kính đáy R=5 2, người ta tiện đểđược hình trụ Tính thể tích hình trụ trường hợp tiện bỏ vật liệu
Cách giải Kết Điểm
r h
Gọi , x r thứ tự chiều cao bán kính hình trụ Ta có x R r r R(1 x)
h R h
−
= ⇒ = −
1đ
Ta có
2
2 2
2
(1 ) ( )
2 tru
x R
V x r xR x h x
h h π π π = = − = − 1,5ñ 2 2
2 27
R x h x h x R h
h π + − + − π ≤ = 483.6798 2,5ñ
Bài (5 ñiểm) Bác An gửi tiết kiệm số tiền ban ñầu 20 triệu ñồng theo kỳ hạn tháng với lãi suất 0,72%/tháng Sau năm, bác An rút vốn lẫn lãi gửi lại theo kỳ hạn tháng với lãi suất 0,78%/tháng Gửi ñúng số kỳ hạn tháng thêm số tháng bác An phải rút tiền trước kỳ hạn ñể sửa chữa nhà
(10)10 ñược số tiền 29451583,0849007 ñồng (chưa làm tròn) Hỏi bác An gửi kỳ hạn tháng, tháng chưa tới kỳ hạn lãi suất không kỳ hạn tháng thời ñiểm rút tiền ? Biết gửi tiết kiệm có kỳ hạn cuối kỳ hạn tính lãi gộp vào vốn để tính kỳ hạn sau, cịn rút tiền trước kỳ hạn, lãi suất tính tháng gộp vào vốn để tính tháng sau Nêu sơ lược quy trình bấm phím máy tính để giải
Cách giải Kết Điểm
Số tiền nhận ñược vốn lẫn lãi sau kỳ hạn tháng sau 1; 2; ; 4; 5; 6; kỳ hạn tháng là:
( ) (4 )
20000000 0, 72 100+ ì ữ 0, 78 100+ ì ữ A
1,5ủ
Dựng phớm CALC
nhập giá tri A 1; 2; 3; 4; 5; ta ñược: 22804326,3 ñồng;
232871568,78 ñồng; 24988758,19 ñồng; 26158232,06 ñồng;
27382437,34 ñồng ; 28663935,38 ñồng; 30005407,56 ñồng Ta có: 28663935,38 < 29451583,0849007< 30005407,56,
1
Nên số kỳ hạn gửi sáu tháng ñủ là: kỳ hạn
Giải phương trình sau, dùng chức SOLVE nhập cho A ; 2; ; 4; 5, nhập giá trị ñầu cho X 0,6
(vì lãi suất khơng kỳ hạn thấp có kỳ hạn)
( ) (4 ) (6 )
20000000 0, 72 100 0, 78 100 100 29451583.0849007
A X
+ ì ữ + ì ữ + ữ
− =
X = 0,68% A =
Vậy số kỳ hạn tháng bác An gửi tiết kiệm là: kỳ hạn ; số tháng gửi không kỳ hạn là: tháng lãi suất tháng gửi khơng kỳ hạn 0,68%
2,5đ
Bài (5 điểm) Cho đường trịn có phương trìnhx2+y2 − +3x 4y− =7 ñiểm A (4;5) Từ A vẽ hai tiếp tuyến với đường trịn Gọi hai tiếp điểm tương ứng B, C Tính gần diện tích hình phẳng giới hạn đoạn thẳng AB, AC cung nhỏ BC đường trịn
Cách giải Kết Điểm
A I
B
C
Đường tròn tâm ( ; 2), bán kính 53
2
I − R=
221 168
, AB=
2
IA=
2ñ
tan( )
ABIC
S R AB
AB BIA
R
⇒ =
∠ =
1ñ
2
1
2 arctan( )
quatBIC
ABIC quatBIC
S BIA R
S S S
⇒ = ∠
⇒ = −
9.5580
S ≈
2ñ
(11)11 Bài (5 điểm) Tính gần thể tích diện tích tồn phần hình tứ diện ABCD, biết BC=6dm, CD=7dm, BD=8dm, AB=AC=AD=9dm
Cách giải Kết Điểm
8 7 6
9
9 9
B D
C A
H
Đặt 9 6, y=9 7, 9 8,
2 2
x= + + + + z= + + t= + +
1ñ
.( 9)( 9)( 6) ( 9)( 9)( 7)
.( 9)( 9)( 8) ( 6)( 7)( 8) tp
S x x x x y y y y
z z z z t t t t
= − − − + − − −
+ − − − + − − −
1ñ
Gọi H hình chiếu vng góc A lên (BCD) Từ giả thiết suy H tâm ñường trịn ngoại tiếp tam giác BCD
0.5đ
2
6.7.8
81 .( 6)( 7)( 8)
R BH AH R
t t t t
= = ⇒ = −
− − −
1ñ
1
.( 6)( 7)( 8)
ABCD
V AH t t t t
⇒ = − − −
2
107.0585 tp
S ≈ dm
3
54,1935 dm
V ≈
1.5ñ
Bài 10 ( 5ñiểm) Thể tích hình nón gấp 2012 lần thể tích hình cầu nội tiếp hình nón Tính gần góc (độ, phút, giây) tạo đường sinh hình nón mặt phẳng ñáy
Cách giải Kết Điểm
O
H B
S
A
Gọi bán kính hình chóp r, bán kính mặt cầu nội tiếp R h chiều cao chóp
x góc tạo ñường sinh mặt phẳng ñáy Ta có cot , tan cot tan
2
x x
r=R h=r x=R x
1,5ñ
Theo giả thiết ta có
2 3
8048 cot tan 8048
2
x
hr = R ⇔ x=
1,5ñ
(12)12
4
tan tan
2 4024
x x
⇒ − + =
Từđó suy x
0
89 59 '34 ''
x≈
hoặc
0
1 48 ' 23''
x≈
2ñ
-Hết -