Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2011 - 2012 Lạng Sơn môn thi: Toán dành cho lớp chuyên toán

Xác định vị trí của cát tuyến PNM để diện tích tam giác PDM đạt giá trị lớn nhất.. Khi cát tuyến PNM di động thì trọng tâm G của tam giác BNM chạy trên đường nào?[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 - 2012 MÔN THI : TOÁN Dành cho lớp chuyên Toán Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2 điểm): Cho phương trình: x  ax  a   , (a là tham số) a Giải phương trình với a = b Tìm tất các giá trị tham số a cho phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 mà x1  3x   Câu (2 điểm): a Giải phương trình 2x   x  2x  10 ax  y  b Tìm tất số nguyên a để hệ phương trình  2x  y  a có nghiệm (x;y) thoả mãn x + y là số nguyên Câu (2 điểm): a Cho điểm M cố định miền góc vuông xOy, đường thẳng d cắt Ox, Oy A, B Xác định vị trí đường thẳng d để diện tích tam giác OAB nhỏ 1 b Chứng minh ax  by3  cz3 và    , với xyz  x y z thì : ax  by  cz  a  b  c Câu (3 điểm): Cho đường tròn (O) và điểm P cố định ngoài (O) Vẽ các tiếp tuyến PA, PB (A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến PNM (PM > PN) Gọi C, E thứ tự là các trung điểm MN, PO a Chứng minh năm điểm A, B, C, O, P nằm trên đường tròn tâm E b Tia BC cắt O D Chứng tỏ AD // PM Xác định vị trí cát tuyến PNM để diện tích tam giác PDM đạt giá trị lớn c Khi cát tuyến PNM di động thì trọng tâm G tam giác BNM chạy trên đường nào? Chứng minh nhận định đó Câu (1 điểm): Cho hai số thực dương x, y thoả mãn 2011  x; y  2012 (x  y)(x  y ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  xy Hết -Chú ý: Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh: LẠNG SƠN PHÁI Lop10.com SBD ĐƠN VỊ : THPT BÌNH GIA ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN CHU VĂN AN - LẠNG SƠN Ngày thi : chiều 03/07/2011 Câu Nội dung Điểm Câu a Với a = ta có phương trình : x  4x   (1) (2 điểm)  '  (2)  1.1  > Nên PT (1) có nghiệm pb : x1   3, x   b x  ax  a   (2) có   a  4(a  3)  (a  2)   PT (2) luôn có nghiệm với a Cách 1: (con đường xương máu) tính x1 , x2 theo a vào giả thiết x1  3x   , giải PT ta tìm a Cách 2: Áp dụng Vi-ét ta có : x1  x  a (3), x1.x  a  (4) Lấy (3) - (4) : x1  x  x1.x  (5) kết hợp giả thiết ta  x  3x   hệ PT :  giải hệ PT này phương pháp  x1  x  x1.x   x   x1  a  Ta kết quả:    x  /  x1  5 a  11 / Câu (2 điểm) a 2x   x  2x  10 (*) Điều kiện: x  / Đặt u  2x   u  2x  Và v  x  v  x nên u  2v  5 u  v  u  Kết hợp với đầu bài ta có hệ phương trình :  2 u  2v  5 5 PT lên PT trên : u  v  2u  2v u  v  (u  v)(2u  2v  1)    u  v  / TH1: u + v = 1/2 đk x  / nên v  x  /  / và u  nên TH này vô nghiệm TH2: u = v  2x   x  2x   x nên x = (t/m) Vậy x = là nghiệm PT (*) ax  y  a 1 a2  b  x ; y ĐK : a  2 a2 a2 2x  y  a a 1 a2  a2  a 1 Vậy x + y = hay x  y  a     a2 a2 a2 a2 Để x + y nguyên thì a + phải là ước 1, tức là : a   a  1  a   1 a  3 (t/m) Vậy a = 1 ; a = 3 là ĐS cần tìm   Lop10.com Câu (2 điểm) a Gọi   OBA , và C, D là hình chiếu vuông góc M lên OA, OB hình vẽ đặt CM = a, DM = b, S1  SBDM ,S2  SACM Ta có SOAB  S1  S2  SODMC đó M, C, D cố định nên SODMC cố định đó để SOAB là nhỏ thì S1 + S2 phải nhỏ dễ dàng tính được: BD = b/tan  , CA = a.tan  nên 1 b2 S1  S2  b.BD  a.CA  (  a tan ) 2 tan  b2 a tan   a.b Áp dụng Cô si: S1  S2  2 tan  b b2 Dấu "=" xảy  a tan  hay tan   a tan  b mặt khác tan MOD  nên   MOD  MOB cân M a Vậy cách dựng đường thẳng d sau : dựng MD  Oy,D  Oy dựng điểm B Oy cho D là trung điểm OB đó đường thẳng MB là đường thẳng cần tìm k k k b Từ giả thiết : ax  by3  cz3  k nên a  ,b  ,c  x y z k k k 1 Vậy VT = ax  by  cz     k(   )  k x y z x y z VP = a3b3c3 k k k 1 3    k(   )  k x y z x3 y3 z3 VT = VP  đpcm Câu (3 điểm) Lop10.com Câu (1 điểm) (x  y)(x  y ) x  y3  yx  xy A  xy xy x x2 y x A     đặt t  ta có A  t  t    A(t) t y x y y 2011 2012 t Do 2011  x; y  2012 nên (theo t/chất tỉ số) 2012 2011 2011 2012  t1  t  Xét ta tính A(t1) - A(t2) = < 2012 2011 2011 2011  t  A( )  A(t) Do đó A(t1) < A(t2) Nên từ 2012 2012 2011 16188554 2011  A  A( ) t  2012 4048144 2012 Hay x = 2011, y = 2012 Note: Câu Nếu các thầy dạy cấp III thì dễ dàng tính max, A(t) 2011 2012 A(t)  t  t   trên [ ; ] t 2012 2011 2t  t  Có A '(t)  2t    ; lấy máy tính giải PT 2t  t   (khôn chỗ này) t t 2011 2012 ; ] và A'(t) > hàm số đồng biến, chính vì nên ta x  0.6573  [ 2012 2011 A(t1) - A(t2) = < (biến đổi kiểu gì chẳng ra) 2011 2012 x x 2011 x 2012 2012 t Còn : ta có  và    2012 2011 y 2012 2012 y y 2011 PP đạo hàm thử xem mà thôi Lop10.com