SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUẢNG TRỊ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY LỚP 12 THPT Khóa ngày 09-01-2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Qui định chung: 1. Đề thi gồm 10 bài toán, mỗi bài 5 điểm 2. Thí sinh trình bày vắn tắt cách giải và cách thiết lập công thức tính 3. Thí sinh chỉ ghi quy trình bấm phím nếu đề bài có yêu cầu, khi đó cần phải ghi rõ loại máy sử dụng 4. Các kết quả tính gần đúng được lấy đến 4 chữ số thập phân 5. Số đo các đoạn thẳng được ngầm hiểu là đơn vị dài; Số đo diện tích và thể tích là đ.v.d.t và đ.v.t.t. tương ứng Bài 1. Cho hai hàm số ( ) 3 sin 2012 2013 f x x = − và ( ) ( ) 2 2 tan cos 2012 2013 x x g x e π = + − . Tính các giá trị: a) ( ) ( ) 20,13 f f b) ( ) ( ) ( ) 3 f g f Bài 2. Tìm khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 2 2013 1 x y x = + − Bài 3. Giải phương trình ( ) 6 6 4log 6 1 2 1 x x x = + + + Bài 4. Cho sin cos 3 3 n n n u π π = + , Gọi 1 2 n n S u u u = + + + . Tính 16 S và 2013 S Bài 5. Cho hàm số 1 1 1 y x = − + có đồ thị (H). Tìm tọa độ điểm M thuộc (H) để tiếp tuyến của (H) tại M cắt đường tròn ( ) 2 2 : 2 2 1 0 C x y x y + + − − = tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông, với I là tâm của đường tròn. Bài 6. Tìm hai nghiệm đúng của hệ phương trình 3 3 2 2012 2013 2012 2013 3 1 8 3 x x y y x y x xy + = + − + = − Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, 0 90 BAD ADC= = , 5,12; 2,14; 3,14. AB AD DC = = = 4 SA = và vuông góc với (ABCD). Gọi G là trọng tâm của tam giác SAD. Tính thể tích của khối chóp S.GCB và khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC). Bài 8. Cần chia một số viên bi cho một nhóm hơn 10 nhưng không quá 20 em học sinh. Hỏi có bao nhiêu viên bi và bao nhiêu em học sinh biết rằng có thể chia được theo hai cách: hoặc là chia đều hoặc là chia theo quy luật: em thứ nhất 2 viên, em thứ hai 4 viên, em thứ ba 8 viên Bài 9. Cho 3 đường thẳng 1; 2; 3 y y y = = = , trên mỗi đường lấy 20 điểm sao cho 2 điểm liền kề trên mỗi đường thẳng cách nhau một khoảng bằng π . Có bao nhiêu tam giác với 3 đỉnh thuộc tập hợp các điểm đã cho và 3 đỉnh đó nằm trên 2 đường thẳng, tính tổng diện tích các tam giác đó. Bài 10. Một khối gạch hình lập phương (không thấm nước) có cạnh bằng 2 được đặt vào trong một chiếc phểu hình nón tròn xoay chứa đầy nước theo cách như sau: Một cạnh của viên gạch nằm trên mặt nước (nằm trên một đường kính của mặt này); các đỉnh còn lại nằm trên mặt nón; tâm của viên gạch nằm trên trục của hình nón. Tính thể tích lượng nước còn lại trong phểu. _ Hết _ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY Bậc THPT năm học 2012-2013 Qui định chung: Thí sinh chỉ được điểm tối đa khi có cách giải đúng và kết quả đúng. Trường hợp cách giải và công thức đúng nhưng kết quả sai thì cho 1/2 số điểm của phần ấy. Trường hợp công thức đưa ra sai mà kết quả đúng thì không tính điểm cả hai phần. Trường hợp kết quả sai chữ số thập phân cuối cùng thì trừ 0,25 điểm ở phần ấy. Bài Cách giải Kết quả Điểm a) ( ) ( ) 20,13 f f 12,6251 ≈ − 2 1 b) ( ) ( ) ( ) 3 f g f 12,6250 ≈ − 3 Ta có: ( ) 2 2 2 2 2013 2013 ' 2013 2013 1 x y x x − + = + + − 1 ' 0 4050156 y x= ⇔ = ± Đặt 1 4050156 x = − ; 2 4050156 x = 1 x -∞ x 1 x 2 +∞ f' x) - 0 + 0 - f(x) y CĐ y CT 1 2 Vậy khoảng cách giữa hai cực trị là: 4025,0004 d ≈ 2 Đk: 1/ 6 x > − Ta có: ( ) 6 6 4log 6 1 2 1 x x x = + + + ⇔ ( ) 6 6 4 4log 6 1 6 1 x x x x + = + + + ( ) 1 Xét hàm số: ( ) 6 4 t f t t = + trên [ 1/ 6; ) D = − +∞ . Khi đó: ( ) 1 được viết lại là ( ) 6 ( ) log (6 1) f x f x = + ( ) 2 1 Dễ thấy f liên tục và đồng biến trên D , nên từ ( ) 2 có thể suy ra: 6 log (6 1) x x = + 6 1 6 x x ⇔ + = 6 6 1 0 x x ⇔ − − = ( ) 3 1 Xét hàm số ( ) 6 6 1 x g x x = − − trên D . Ta thấy g liên tục trên D và có đạo hàm là '( ) 6 ln 6 6 x g x = − Ta có: 6 6 '( ) 0 6 ln6 6 0 log ln6 x g x x= ⇔ − = ⇔ = Vì '( ) 0 g x = có nghiệm duy nhất, nên phương trình ( ) 3 có nhiều nhất 2 nghiệm, tức phương trình ( ) 1 cũng có không quá 2 nghiệm số 1 3 Sử dụng máy tìm được 2 nghiệm của phương trình là: 0 1,1561 x x = ≈ 2 Sử dụng máy có thể tính trực tiếp được 16 0,6340 S = − 2 4 Ta có 2 sin 4 3 n n u π π = + nên 6 r k r u u + = . 1 1 Vì 2013 335 6 3 = × + Nên ( ) ( ) 2013 1 2 3 4 5 6 1 2 3 335 S u u u u u u u u u = + + + + + + + + 2013 0,7321 S ≈ 2 Đường tròn có tâm ( ) I 1;1 , 3 R − = , ( ) ; , 1 1 t M t H t t ∈ ≠ − + . Ta có ( ) 2 1 1 y x ′ = + nên phương trình tiếp tuyến của (H) tại M có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 : 0 1 1 1 1 1 1 0. t t t y x t x y t t t t t x t y t ∆ − = − ⇔ − + − = + + + + + ⇔ − + + = 1 Vì ∆IAB chỉ có thế vuông cân tại I nên ta tính được ( ) 6 , 2 d I ∆ = . Mặt khác, ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 | 1 1 | | 2 2 | ( , ) 1 1 1 1 t t t d I t t ∆ − − + + − − = = + + + + 1 Do đó: ( ) ( ) ( ) 4 2 4 6 3 | 2 2 | 3 1 8 1 0 2 1 1 t t t t − − = ⇔ + − + + = + + ( ) ( ) 2 2 4 7 4 7 1 1 3 3 4 7 4 7 1 1 3 3 t t t t + + = − ± + = ⇔ ⇔ − − + = = − ± 1 5 Vậy có bốn điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 2,4884;1,6719 , 0,4884; 0,3281 1,6719; 2,4884 , 0,3281; 0,4884 M M M M − − − − 2 Xét hệ phương trình 3 3 2 2012 2013 2012 2013 (1) 3 1 8 3 (2) x x y y x y x xy + = + − + = − Dễ thấy hàm số ( ) 3 2012 2013 f t t t = + đồng biến và liên tục trên ℝ . Và (1) ( ) ( ) f x f y ⇔ = . Nên x y = . 1 Phương trình (2) trở thành 3 2 3 1 8 3 x x x − + = − Điều kiện. 2 6 2 6 3 3 x− ≤ ≤ Dùng chức năng solve để tìm ra 2 nghiệm của phương trình là: 1 2 0,6180339887 ; 1,618033989 x x= − = 1 6 Gán hai nghiệm này vào hai biến A và B. Ta nhận thấy: 1 1 A B AB + = = − 1 6 Chứng tỏ A, B là hai nghiệm của phương trình 2 1 0 X X − − = Mà phương trình này có nghiệm là 1 5 2 X ± = 1 2 Suy ra, hai nghiệm của hệ là 1 5 2 x y ± = = . 1 5 2 x y ± = = 1 Đặt , , , AB a AD b DC c SA d = = = = 2 3 SGCB SICB V SG V SI = = 1 . 3 SICB ICB V SA S ∆ = ( ) ( ) ( ) 1 2 4 4 ICB b a c b S a c b a c ∆ + = + − + = 1 2 3 SGCB SICB V V = ( ) ( ) 2 1 3 3 4 18 b a c db a c d + + = × × × = 3,9281 ≈ 1 2 2 SB a d = + ; ( ) 2 2 CB b a c = + − 2 2 2 SC b c d = + + ; 2 SB SC BC p + + = 1 ( )( )( ) SCB S p p SB p BC p SC ∆ = − − − 1 7 3 SGCB SCB V GH S ∆ = 1,4729 ≈ 1 Gọi n là số học sinh, ta có 10 20 n < ≤ Theo cách chia thứ hai, tổng số viên bi là 2 1 2 4 8 2 2. 2 1 n n − + + + + = − 1 Gọi p là số bi mỗi học sinh nhận được theo cách chia thứ nhất thì tổng số bi sẽ là . n p . Suy ra ( ) 2 1 2. . 2 2 1 . 2 1 n n n p n p − = ⇔ − = − 1 Do n và p là các số nguyên dương nên ( ) 2 2 1 n n − ⋮ 1 Dùng máy tính, ta thấy chỉ có 18 n = thỏa mãn Suy ra, số học sinh là 18 em 18 em 1 8 và tổng số bi là 524286 viên 524286 viên 1 Có 3 3 60 20 3 20 20 20 22800 C C− − × × = tam giác. 1 9 Xét các tam giác có một đỉnh thuộc đường thẳng 1 y = , hai đỉnh còn lại thuộc đường thẳng 2 y = . Các tam giác này có cùng đường cao bằng 1, 1 G I A B C S D 3 và ứng với một điểm thuộc 1 y = sẽ: có 19 tam giác cạnh đáy bằng π , có 18 tam giác cạnh đáy bằng 2 π , có 17 tam giác cạnh đáy bằng 3 π , , có 1 tam giác cạnh đáy bằng 19 π . Suy ra tổng diện tích các tam giác nói trên là: ( ) 1 19 1 18 2 17 3 1 19 20 13300 2 π π × + × + × + + × × = Hoán đổi vai trò hai đường thẳng 1 y = và 2 y = cho nhau ta có được các tam giác cũng có tổng diện tích đúng bằng 13300 π Vậy tổng diện tích các tam giác có đỉnh thuộc hai đường thẳng 1 y = và 2 y = là: 26600 π Tương tự các tam giác có đỉnh thuộc hai đường thẳng 3 y = và 2 y = có đường cao cùng bằng 1 và có tổng diện tích là: 26600 π ½ Còn các tam giác có đỉnh thuộc hai đường thẳng 3 y = và 1 y = có đường cao cùng bằng 2 và có tổng diện tích là: 2 26600 π × ½ Do đó tổng diện tích tất cả các tam giác là 4 26600 106400 π π × = 334265,4583 ≈ 2 Gọi ; R h lần lượt là bán kính và chiều cao của hình nón (phểu). * Thiết diện của hình nón song song với đáy hình nón, qua tâm của viên gạch là hình tròn có bán kính là 1 3 R = thỏa mãn 1 2 2 . 3 R h h R R h h − − = ⇒ = (1) * Thiết diện của hình nón song song với đáy hình nón, chứa cạnh đối diện với cạnh nằm trên đáy hình nón là hình tròn có bán kính 2 1 R = thỏa mãn 2 2 2 2 2 . 1 R h h R R h h − − = ⇒ = (2) 1 1 Từ (1) và (2), suy ra 2 5 2 6 3 2 2 2 h h h − + = ⇒ = − và 2 3 1 R = − 1 Thể tích lượng nước còn lại trong phểu là 2 3 non gach 1 2 3 V V V R h π = − = − 1 10 22,2676 ≈ 22,2676 ≈ 1 . DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUẢNG TRỊ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY LỚP 12 THPT Khóa ngày 0 9-0 1 -2 013 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) . nằm trên mặt nón; tâm của viên gạch nằm trên trục của hình nón. Tính thể tích lượng nước còn lại trong phểu. _ Hết _ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH. GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY Bậc THPT năm học 2 01 2- 2013 Qui định chung: Thí sinh chỉ được điểm tối đa khi có cách giải đúng và kết quả đúng. Trường hợp cách giải và công thức đúng nhưng