XÐt h×nh ch÷ nhËt COAE vµ DOBF.[r]
(1)Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Giúp học sinh lớp lớp ôn luyện kì thi
chọn học sinh giỏi. Phần I Đặt vấn đề 1 mở đầu:
Trong kì thi, đặc biệt kì thi chọn học sinh giỏi, kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT thờng gặp toán chứng minh bất đẳng thức hay toán cực trị Đây dạng tốn khó, để giải đợc HS cần có vốn kiến thức định đặc biệt kĩ giải toán phải tốt Tuy nhiên muốn có đợc kĩ nh trớc hết HS phải nắm đợc phơng pháp giải, từ phơng pháp thơng qua rèn luyện HS hình thành đợc kĩ giải toán
II Thực trạng vấn đề:
Mặc dù số năm công tác thân cha nhiều, ngời thầy, trăn trở suy nghĩ , tham khảo tài liệu, cố gắng xếp hợp lý số ph-ơng pháp tập chứng minh bất đẳng thức với mong muốn giúp học sinh tự tin đứng trớc số toán bất đẳng thức cụ thể toán chứng minh bất đẳng thức Thực tế với trờng trờng vùng đặc biệt khó khăn, khả tiếp nhận kiến thức HS yếu; đặc biệt khả t lại hạn chế Cũng có nhiều năm chun mơn nh BGH nhà tr-ờng có phân cơng cho tơi cơng việc ôn thi HSG kì thi chọn HSG cấp huyện, ơn thi cho HS kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Bản thân áp dụng phơng pháp ôn tập thấy phận HS tiếp thu đợc phơng pháp làm đợc số tập chứng minh bất đẳng thức, trớc cơng việc em chi “xa lạ mới mẻ ”
Phần ii: giảiquyết vấn đề i biện pháp thực hiện:
Trong trình ôn luyện trớc hết củng cố lại cho HS kiến thức bất đẳng thức sau hình thành phơng pháp cho em 1 Kiến thức bản:
1.1 Định nghĩa bất đẳng thức:
Ta gọi hệ thức có dạng: a>b a b a<b a b bất dẳng thức Trong a vế trái, b vế phải bất đẳng thức
Hay hiểu theo cách diễn đạt khác:
(2)1.2 Các tính chất:
1 a > b b >c ⇒ a > c
2 a >b ⇒ a + c > b + c; a-c>b-c 3 a > b vµ c > ⇒ ac > bc a > b vµ c < ⇒ ac < bc
4 a > b vµ c > d ⇒ a + c > b + d a > b ; c < d ⇒ a - c > b – d 5 a > b , ab > ⇒ 1a <
b
6 a > b > ; < c < d ⇒ a
c > b d
7 a > b > ⇒ an > bn
a > b ⇔ an > bn (n lỴ)
a b
⇔ an > bn ( n ch½n )
8 NÕu m > n >0 th× a >1 ⇒ am > an
a =1 ⇒ am = an
< a < ⇒ am < an
1.3 Các bất đẳng thức bản:
1 a2 víi mäi a DÊu b»ng xÈy ⇔ a =
2 |a| víi mäi a DÊu b»ng xÈy ⇔ a = 0 3 |a| a víi mäi a DÊu b»ng xÈy ⇔ a 0
4 |a+b| |a| + |b| víi mäi a,b DÊu b»ng xÈy ⇔ ab 0
5 |a − b| |a| - |b| víi mäi a,b DÊu b»ng xÈy ⇔ ab > 0 vµ |a| |b|
II c¸c biƯn ph¸p tỉ chøc thùc hiƯn
Trên sở HS nắm đợc kiến thức bản, đa phơng pháp chứng minh bất đẳng thức cho HS Đối với phơng pháp tơi có đa ví dụ bi dng
2.1 Ph ơng pháp 1:
Sử dụng định nghĩa:
Víi hai sè a, b bÊt kú :a b ⇔ a -b 0; a>b a - b>0 a b ⇔ a -b ; a<b a - b<0
(3)-Muốn chứng minh A B xét A - B Nếu A - B không âm thì khẳng định đợc A B bất đẳng thc cn chng minh.
Các dạng lại làm tơng tự b Ví dụ áp dụng:
VÝ dô 1: Cho a,b,c > chøng minh r»ng (a + b + c) (
a +
1
b +
1
c )
Gi¶i: XÐt hiƯu H = (a + b + c) (
a +
1
b +
1
c ) -
= ( a
b +
b
a - 2) + ( a
c +
c
a - 2) + ( b
c +
c b
- 2)
= (a −b)
2
ab +
(a− c)2
ac +
(b − c)2 bc
Do a,b,c > ⇒ H Theo định nghĩa bất đẳng thức:
⇒ (a + b + c) (
a +
1
b +
1
c )
DÊu = xÈy ⇔ H = ⇔ a = b = c VÝ dô2: Cho a > 0, b > chøng minh r»ng: a
3 +b3 ≥(
a+b )
3
Gi¶i: XÐt hiƯu: A = a
3 +b3 −(
a+b )
3
Bỏ ngoặc, phân tích thành nhân tử ta đợc: A =
8 (a + b) (a - b)2 V× a > , b
>
⇒ a + b > mà (a - b)2 0 ⇒ A 0 Theo định nghĩa ⇒ a3+b3
2 (
a+b )
3
DÊu b»ng xÈy ⇔ a = b 1.3 Bài tập tơng tự:
Bài 1: Chøng minh: x2 + 2x Bµi 2: Chøng minh: a
b +
b
a víi ab >
Bµi 3: Chøng minh: a) x ❑2 + y
❑2 + z ❑2 xy+ yz + zx
b) x ❑2 + y
❑2 + z ❑2 +3 (x + y + z)
Híng dÉn câu a) 3: Nhân cảc hai vế với ta cã B§T: 2x ❑2 + 2y
❑2 + 2z ❑2 2xy+ 2yz + 2zx Sau xét hiệu:
2x ❑2 + 2y
❑2 + 2z ❑2 - 2xy- 2yz - 2zx = x2-2xy+y2+y2-2yz+z2+z2
(4)2.2Ph ơng pháp 2: Sử dụng tính chÊt
Phơng pháp giải: Sử dụng hay nhiều tính chất nêu 2.2 để biến đổi. Từ khẳng định bất đẳng thức cần chứng minh
a.VÝ dơ ¸p dơng:
VÝ dơ 1: Cho a, b > Chøng minh ab > a + b
Gi¶i: Ta cã: a > , b > ⇒ ab > 2b (1) (TÝnh chÊt 3) b > , a > ⇒ ab > 2a (2) (TÝnh chÊt 3) Tõ (1) vµ (2) ⇒ 2ab > (a + b) (TÝnh chÊt 4)
⇒ ab > a + b (TÝnh chÊt 3)
VÝ dô 2: Cho x 0, y 0, z Chøng minh r»ng: (x + y) (y + z) (z + x) 8xyz
Gi¶i: Ta cã: (x-y)2 ⇒ x2 - 2xy +y2 0
⇒ x2 + 2xy +y2 4xy (TÝnh chÊt 2) ⇒ (x+y)2 4xy (1)
T¬ng tù ta cã: (y+z)2 4yz (2) (x+z)2 4xz (3)
Nh©n tõng vÕ (1),(2),(3) ⇒ [(x+y)(y+z)(x+z)]2 (8xyz )2 (TÝnh chÊt 6) ⇒ (x+y)(y+z)(x+z) 8xyz (TÝnh chÊt 8) b.Bài tập tơng tự:
Bài 1: Cho a , b > Chøng minh r»ng >2 Bµi 2: Cho a, b, c ,d >0 tháa m·n a> c+d , b>c+d Chøng minh r»ng ab >ad+bc
3 Ph ơng pháp : Biến đổi tơng đơng
3.1 Phơng pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức cần chứng minh ta biến đổi nó tơng đơng với bất đẳng thức khác mà ta biết từ suy ra bất đẳng thức cần chứng minh đúng.
3.2 VÝ dơ ¸p dông:
VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: (a + b)2 (a2 + b2) víi mäi a , b. Gi¶i: (a + b)2 2(a2 + b2) (1)
⇔ a2 +2ab +b2 - 2a2 - 2b2 0 ⇔ -(a2 - 2ab + b2) 0
⇔ -( a - b)2 (2)
Bất đẳng thức (2) ⇒ bất đẳng thức (1) (đpcm) Ví dụ 2:
Cho a, b, c, d,e số thực chứng minh r»ng a) a2
+b
4 ≥ab
(5)Gi¶i: a) a2+b
2 ≥ab
⇔4a2
+b2≥4 ab ⇔4a2−4a+b2≥0
⇔(2a −b)2≥0 (bất đẳng thức đúng)
VËy a2 +b
2
4 ≥ab (dÊu b»ng x¶y 2a=b)
b) a2
+b2+1≥ab+a+b
⇔2(a2+b2+1)>2(ab+a+b)
⇔a2−2ab
+b2+a2−2a+1+b2−2b+1≥0
b −1¿2≥0
a −1¿2+¿
a −b¿2+¿
⇔¿
Bất đẳng thức cuối
VËy a2
+b2+1≥ab+a+b
DÊu b»ng x¶y a=b=1 3.3 Bài tập tơng tự
Bài 1: Víi mäi a, b Chøng minh a4 + b4 a3b + ab3 Bµi 2: Chøng minh r»ng, nÕu <1 <1 <
4.3 Ph ng pháp : Dùng bất đẳng thức quen thuộc a Phơng pháp giải: Sử dụng bất đẳng thức sau đây: Các bất đẳng thức hay dùng:
1) Các bất đẳng thức phụ:
a) x2
+y2≥2 xy
b) (x+y)2≥4 xy
c) a
b+ b a≥2
* Bất đẳng thức Côsi: Cho a1, a2,….,an số khơng âm Khi ta có:
a1+a2+…+an
n ≥
n
√a1a2… an
DÊu b»ng x¶y ⇔ a1= a2 = …=an
* Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Cho hai dãy số a1,a2,…và b1,b2,…bn ta có:
(a1b1+ a2b2 + …+ anbn)2 (a12 +a22 + …+ an2)(b12 +b22 + …+bn2) DÊu b»ng xÈy ⇔ a1
b1 =a2
b2
= =an bn
víi quy íc nÕu mÉu b»ng th× tư b»ng
b VÝ dơ ¸p dơng:
VÝ dơ 1: Cho a, b, c số dơng Chứng minh r»ng:
a2 b+c+
b2 c+a+
c2 a+b≥
(6)Gi¶i: Do a, b, c >0 ⇒ a2
b+c>0 vµ
b+c >0
áp dụng bất đẳng thức côsi cho số a
2
b+c vµ
b+c
4 ta cã a2
b+c+ b+c
4 ≥2√
a2 b+c
b+c
4 =2
a
2=a
⇒ a
2
b+c≥ a −
b+c
T¬ng tù ta cã: b2
a+c≥ b −
a+c
c2
a+b≥ c −
a+b
Cộng vế bất đẳng thức ta đợc:
a2
b+c+
b2
a+c+
c2
a+b≥(a+b+c)−
a+b+c
2 =
a+b+c
VËy a
2
b+c+
b2 a+c+
c2 a+b≥
a+b+c
2 (®pcm)
Ví dụ 2: Cho a, b, c số không âm a+b+c=1 Chứng minh rằng:
a+b + √b+c + √c+a √6
Gi¶i: a, b, c ⇒ a+b 0; b+c 0; c+a ⇒ √a+b , √b+c , √c+a cã nghÜa
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski với số: a1=1, a2=2, a3=3, b1= √a+b , b2 √b+c , b3= √c+a
ta cã: (1 √a+b +1 √b+c +1 √c+a )2 (1+1+1)(a+b+b+c+c+a) ⇔ √a+b+√b+c+√c+a¿2≤3
¿
(v× a+b+c=1) ⇔ ( √a+b+√b+c+√c+a ≤√6 (®pcm)
*Lu ý: + Việc chứng minh bất đẳng thức Côsi bất đẳng thức Bunhiacôpxki không đề cập mà hớng dẫn em chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng nhiều bất đẳng thức biết khác.
+ Khi sử dụng bất đẳng thức Cơsi cần ý số áp dụng phải có điều kiện cịn bất đẳng thức Bunhiacơpxki khơng cần điều kiện số 0 nhng phải áp dụng cho số.
c Bài tập tơng tự:
Bài 1: Chứng minh r»ng : a2
+b2+c2≥ab+bc+ac
(7)√ a b+c+√
b a+c+√
c a+b>2
Hớng dẫn: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số: ta có: +1
Làm tơng tự sau cộng vế với vế ta đợc BĐT cần chứng minh Bài 3: Cho a+b = Chứng minh a4+b4 2
5 Ph ơng pháp làm trội ( làm giảm)
a Phng phỏp gii: chng minh A < B ta làm trội A thành C (A < C) rồi chứng minh C B (biểu thức C đóng vai trị trung gian để so sánh A B) Tơng tự phơng pháp làm giảm
b VÝ dơ ¸p dơng:
VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ta cã: A = + +….+ + <
( Đề thi HSG lớp huyện Bá Thớc năm học 2008 - 2009)
Giải:
Ta cú: (2n+1)2>2n(2n+2) Thật vậy: (2n+1)2>2n(2n+2) 1>0 Do ta có:
A = + + + + + < + + + =
( - + - +… + - ) = ( - < Suy điều phải chứng minh c Bài tập tơng tự
Bài 1: Với số tự nhiên n >1 chøng minh r»ng + + +……+ >
Híng dÉn: Víi k = 1, 2, 3, , n-1 Ta cã: >
Bµi 2: Chøng minh với n số nguyên dơng ta có: :
1+ √2+
1
√3+ +
√n>2(√n+1−1)
Híng dÉn: Ta cã:
√k=
2 2√k>
2
√k+√k+1=2(√k+1−√k)
11 Ph ơng pháp đồ thị hình học
11.1 Phơng pháp giải: Vận dụng kiến thức hình học để chứng minh bài toán bất đẳng thức đại số.
(8)VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng víi a, b ta cã: √a+b<√a+√b
Gi¶i: XÐt Δ ABC cã ¢ = 900, AB =
√a , AC = √b
Theo định lý Pi ta go ta có: BC = √a+b
Trong Δ ABC ta cã: BC < AB + AC
⇒ √a+b<√a+√b (®pcm)
VÝ dơ 2: Cho a,b,c,d > Chøng minh r»ng:
√a2+b2+√c2+d2≥√(a+c)2+(b+d)2
Giải: Trên trục hoành Ox đặt liên tiếp hai đoạn OA = a, AB = c, trục Oy đặt liên tiếp OC = b, CD = d Xét hình chữ nhật COAE DOBF Theo định lý pitago ta có:
OE = √a2 +b2
EF = √c2 +d2
OF = √(a+c)2
+(b+d)2
Mµ OE + EF OF
⇒ √a2
+b2+√c2+d2≥√(a+c)2+(b+d)2
DÊu b»ng x¶y ⇔ Δ OAE Δ EFG ⇔ a
b=
c d
VÝ dô 3: Cho x, y 2số thoả mÃn:
2x+y −2≥0 2x − y −2≤0 2y − x −4≤0
¿{ {
¿
Chøng minh: x2 + y2
5
Giải:
Gọi I(x;y) ®iĨm trªn
mặt phẳng Oxy x, y thoả mãn đề Tập hợp điểm I(x,y) miền ặt phẳng giới hạn tam giác ABC
Nh vËy muèn chøng minh x2 + y2
(9)ta cÇn chøng minh : OI2
5
Mµ OH AB; OI OH
OH2= OA2+
1 OB2
VËy OH2 =
5 ⇒ OI2
4
5 Hay x2 + y2
11.3 Bài tập t ơng tự
Bài 1: Chứngminh r»ng víi a > b > th× √a −√b<√a − b
Bµi 2: Chøng minh r»ng víi x, y, z, t > th×
√(x2+z2) (y2+z2)+√(x2+t2)(y2+t2)≥(x+y) (z+t)
Bµi 3: Chøng minh r»ng: |√x2−6x
+34−√x2−6x+10|≤4
III KÕt luËn
Học sinh biết đợc nhiều phơng pháp chứngminh bất đẳng thức giải loại tập liên quan đến việc chứng minh bất đẳng thức có nhiều hớng suy nghĩ nên dễ tìm cách giải qua phát triển đợc t nâng cao đợc lực sáng tạo
Trên vài kinh nghiệm mà tơi tích luỹ q trình giảng dạy hớng dẫn học sinh học toán, mong đợc đóng góp ý kiến thầy, bạn đồng nghiệp
(10)
PHòNG GIáO DụC VINH
Sáng kiến kinh nghiệm môn toán
" Giỳp hc sinh THCS hệ thống các phơng pháp chứng minh bất đẳng thc"
(sáng kiến viết lần 1)
(11)