Ở đây ta muốn làm tăng một tổng.[r]
(1)3. Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2. 5. Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3. 6. Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b.
13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ
14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 0. 16. Tìm giá trị lớn biểu thức :
1 A
x 4x
20. Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = 4.
33. Tìm giá trị nhỏ :
x y z
A
y z x
với x, y, z > 34. Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 4.
35. Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = 42. a) Chứng minh : | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy ?
b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : M x24x 4 x2 6x 9 46. Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x x
47. Tìm giá trị lớn biểu thức : B x x
49. Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A 1 6x 9x (3x 1) 53. Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P 25x2 20x 4 25x2 30x 9
65. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1)
69. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - 2| + | y – 1 | với | x | + | y | = 5 70. Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = 1
80. Tìm giá trị nhỏ lớn : A x x 81. Tìm giá trị lớn :
2
M a b
với a, b > a + b ≤ 114. Tìm giá trị nhỏ : A x x
115. Tìm giá trị nhỏ :
(x a)(x b) A
x
116. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5. 117. Tìm giá trị lớn A = x + x
130. Tìm giá trị nhỏ A x x 1 x x 1 131. Tìm GTNN, GTLN A x x
132. Tìm giá trị nhỏ A x2 1 x2 2x 5
133. Tìm giá trị nhỏ A x24x 12 x22x 3
134. Tìm GTNN, GTLN :
2
a) A 2x x b) A x 99 101 x
135. Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn
a b
1
(2)137. Tìm GTNN
xy yz zx
A
z x y
với x, y, z > , x + y + z =
138. Tìm GTNN
2 2
x y z
A
x y y z z x
biết x, y, z > , xy yz zx 1 .
139. Tìm giá trị lớn : a)
A a b
với a, b > , a + b ≤
b)
4 4 4
B a b a c a d b c b d c d
với a, b, c, d > a + b + c + d =
140. Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = 4. 141 Tìm GTNN
b c
A
c d a b
với b + c ≥ a + d ; b, c > ; a, d ≥ 0.
158. Tìm giá trị lớn S x 1 y 2 , biết x + y =
170. Tìm GTNN GTLN biểu thức A
2 x
.
171. Tìm giá trị nhỏ
2
A
1 x x
với < x < 1.
172. Tìm GTLN : a) A x 1 y 2 biết x + y = ; b)
y x
B
x y
174. Tìm GTNN, GTLN :
2
1
a) A b) B x 2x
5 x
.
175. Tìm giá trị lớn A x x
176. Tìm giá trị lớn A = | x – y | biết x2 + 4y2 = 1.
177. Tìm GTNN, GTLN A = x3 + y3 biết x, y ≥ ; x2 + y2 = 1. 178. Tìm GTNN, GTLN A x x y y biết x y 1 227. Tìm giá trị nhỏ A x2 x x2 x 1
228. Tìm giá trị nhỏ A = x2(2 – x) biết x ≤ 4. 229 Tìm giá trị lớn A x x
230. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x(x2 – 6) biết ≤ x ≤ 3. 234. Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x2 x 1 x2 x
244. Tìm GTNN biểu thức :
3 3
(3)3.Cách 1 : Từ x + y = ta có y = – x Do : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + ≥ 2. Vậy S = x = y =
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có : (x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) ≤ 2(x2 + y2) = 2S S ≥ mim S = x = y = 1 5. Ta có b = – a, M = a3 + (1 – a)3 = 3(a – ½)2 + ¼ ≥ ¼ Dấu “=” xảy a = ẵ Vy M = ẳ a = b = ½
6. Đặt a = + x b3 = – a3 = – (1 + x)3 = – 3x – 3x2 – x3 ≤ – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3 Suy : b ≤ – x Ta lại có a = + x, nên : a + b ≤ + x + – x =
Với a = 1, b = a3 + b3 = a + b = Vậy max N = a = b = 1. 13. 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 M ≥ 1998.
Dấu “ = “ xảy có đồng thời :
a b a b
Vậy M = 1998 a = b = 1.
14. Giải tương tự 13
16.
2
1 1
A max A= x
x 4x x 2 5 5
20. Bất đẳng thức Cauchy
a b ab
2
viết lại dạng
2 a b ab
2
(*) (a, b ≥ 0).
Áp dụng bất dẳng thức Cauchy dạng (*) với hai số dương 2x xy ta :
2x xy
2x.xy
2
Dấu “ = “ xảy : 2x = xy = : tức x = 1, y = max A = x = 2, y = 33. Không dùng phép hốn vị vịng quanh x y z x giả sử x ≥ y ≥ z
Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương x, y, z :
x y z x y z
A
y z x y z x
Do
x y z x y z
min x y z
y z x y z x
Cách 2 : Ta có :
x y z x y y z y
y z x y x z x x
Ta có
x y
2
yx (do x, y > 0) nên để chứng minh
x y z
3
y z x ta cần chứng minh :
y z y
1 z x x (1)
(1) xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)
xy + z2 – yz – xz ≥ y(x – z) – z(x – z) ≥ (x – z)(y – z) ≥ (2)
(2) với giả thiết z số nhỏ số x, y, z, (1) Từ tìm giá trị nhỏ
x y z
(4)34. Ta có x + y = x2 + 2xy + y2 = 16 Ta lại có (x – y)2 ≥ x2 – 2xy + y2 ≥ Từ suy 2(x2 + y2) ≥ 16 x2 + y2 ≥ A = x = y =
35. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm :
1 = x + y + z ≥ 3.3 xyz (1)
2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3.3(x y)(y z)(z x) (2)
Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm) : ≥ 9.3 A A ≤
max A =
x = y = z =
1 3. 42
b) Ta có : M = | x + | + | x – | = | x + | + | – x | ≥ | x + + – x | = Dấu “ = “ xảy (x + 2)(3 – x) ≥ -2 ≤ x ≤ (lập bảng xét dấu) Vậy M = -2 ≤ x ≤
46. Điều kiện tồn x x ≥ Do : A = x + x ≥ A = x = 47. Điều kiện : x ≤ Đặt x = y ≥ 0, ta có : y2 = – x x = – y2.
B = – y2 + y = - (y – ½ )2 + 13
4 ≤ 13
4 max B = 13
4 y = ½ x = 11
4 49. A = - | – 3x | + | 3x – |2 = ( | 3x – 1| - ½ )2 + ¾ ≥ ¾
Từ suy : A = ¾ x = ½ x = 1/6
53. P = | 5x – | + | – 5x | ≥ | 5x – + – 5x | = P =
2
x 5. 65. Ta có x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (x2 + y2)2 – 4(x2 + y2) + = - x2 ≤ 0. Do : A2 – 4A + ≤ (A – 1)(A – 3) ≤ ≤ A ≤ 3.
min A = x = 0, y = ± max A = x = 0, y = ± 69 a) Tìm giá trị lớn Áp dụng | a + b | ≥ | a | + | b |
A ≤ | x | + + | y | + = + max A = + (khi chẳng hạn x = - 2, y = - 3) b) Tìm giá trị nhỏ Áp dụng | a – b | ≥ | a | - | b
A ≥ | x | - | y | - = - A = - (khi chẳng hạn x = 2, y = 3) 70. Ta có : x4 + y4 ≥ 2x2y2 ; y4 + z4 ≥ 2y2z2 ; z4 + x4 ≥ 2z2x2 Suy :
x4 + y4 + z4 ≥ x2y2 + y2z2 + z2x2 (1) Mặt khác, dễ dàng chứng minh : Nếu a + b + c = a2 + b2 + c2 ≥
1 3.
Do từ giả thiết suy : x2y2 + y2z2 + z2x2 ≥
1
3 (2).
Từ (1) , (2) : A =
1
3 x = y = z = 3
80. Xét A2 để suy : ≤ A2 ≤ Vậy : A = 2 x = ± ; max A = x = 0. 81. Ta có :
2 2
M a b a b a b 2a 2b 2
a b
max M a b
2 a b
(5)114. Lời giải sai :
2
1 1
A x x x Vaäy minA
2 4
.
Phân tích sai lầm : Sau chứng minh f(x) ≥ -
1
4 , chưa trường hợp xảy f(x) = -
Xảy dấu đẳng thức
1 x
2
Vơ lí
Lời giải đúng : Để tồn x phải có x ≥ Do A = x + x ≥ A = x =
115. Ta có
2
(x a)(x b) x ax+ bx+ab ab
A x (a b)
x x x
.
Theo bất đẳng thức Cauchy :
ab
x ab
x
nên A ≥ ab + a + b =
2
a b
min A =
2
a b
chi
ab x
x ab
x x
.
116. Ta xét biểu thức phụ : A2 = (2x + 3y)2 Nhớ lại bất đẳng thức Bunhiacôpxki : (am + bn)2 ≤ (a2 + b2)(m2 + n2) (1) Nếu áp dụng (1) với a = 2, b = 3, m = x, n = y ta có :
A2 = (2x + 3y)2 ≤ (22 + 32)(x2 + y2) = 13(x2 + y2). Vói cách ta khơng số α mà A2 ≤ α Bây giờ, ta viết A2 dạng :
A2 =
2
2 2x 3y
áp dụng (1) ta có :
2 2 2
2 2
A x y (2 3)(2x 3y ) 5.5 25
Do A2 ≤ 25 nên -5 ≤ A ≤ A = -5
x y
x y
2x 3y
max A =
x y
x y 2x 3y
117. Điều kiện x ≤ Đặt x = y ≥ 0, ta có : y2 = – x.
2
2 9
a y y y maxA= y x
2 4 4
130. Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | A = ≤ x ≤
131. Xét A2 = + 2 x Do ≤ x ≤ ≤ + 2 x ≤ 4
≤ A2 ≤ A = với x = ± , max A = với x = 132. Áp dụng bất đẳng thức : a2b2 c2d2 (a c) (b d) (bài 23)
2 2 2
A x 1 (1 x) 2 (x x) (1 2) 10
1 x
min A 10 x
x
(6)133. Tập xác định :
2
x 4x 12 (x 2)(6 x)
1 x (x 1)(3 x)
x 2x
(1)
Xét hiệu : (- x2 + 4x + 12)(- x2 + 2x + 3) = 2x + Do (1) nên 2x + > nên A > 0.
Xét :
2
A (x 2)(6 x) (x 1)(3 x)
Hiển nhiên A2 ≥ dấu “ = ” khơng xảy (vì A > 0) Ta biến đổi A2 dạng khác :
A2 = (x + 2)(6 – x) + (x + 1)(3 – x) - 2 (x 2)(6 x)(x 1)(3 x) = = (x + 1)(6 – x) + (6 – x) + (x + 2)(3 – x) – (3 – x) - (x 2)(6 x)(x 1)(3 x)
= (x + 1)(6 – x) + (x + 2)(3 – x) - (x 2)(6 x)(x 1)(3 x) +
=
2
(x 1)(6 x) (x 2)(3 x) 3
A2 ≥ Do A > nên A = 3 với x = 0. 134 a) Điều kiện : x2 ≤ 5.
* Tìm giá trị lớn : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
A2 = (2x + 1. x )2 ≤ (22 + 11)(x2 + – x2) = 25 A2 ≤ 25.
2
2 2
2 2
x
x 5 x
A 25 x 4(5 x ) x
x x 5
.
Với x = A = Vậy max A = với x =
* Tìm giá trị nhỏ : Chú ý từ A2 ≤ 25, ta có – ≤ x ≤ 5, không xảy A2 = - Do tập xác định A, ta có x2 ≤ - 5 ≤ x ≤ 5 Do : 2x ≥ - 2 5 và
2
5 x ≥ Suy :
A = 2x + x ≥ - Min A = - với x = - b) Xét biểu thức phụ | A | áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Cauchy :
2 2
2
A x 99 99 101 x x (99 1)(99 101 x ) x 10 200 x
x 200 x
10 1000
2
2
2
2
x 101
99 99
A 1000 x 10
1 101 x
x 200 x
Do : - 1000 < A < 1000.
min A = - 1000 với x = - 10 ; max A = 1000 với x = 10
135. Cách 1 : A = x + y = 1.(x + y) =
a b ay bx
x y a b
x y x y
.
Theo bất đẳng thức Cauchy với số dương :
ay bx ay bx
2 ab
(7)Do A a b ab a b
2
min A a b
với
ay bx
x y
x a ab
a b
1
x y y b ab
x, y
Cách 2 : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
2
2
a b a b
A (x y).1 (x y) x y a b
x y x y
.
Từ tìm giá trị nhỏ A
136. A = (x + y)(x + z) = x2 + xz + xy + yz = x(x + y + z) + yz 2 xyz(x y z) 2 A = chẳng hạn y = z = , x = -
137 Theo bất đẳng thức Cauchy :
xy yz xy yz
2 2y
z x z x .
Tương tự :
yz zx zx xy
2z ; 2x
x y y z Suy 2A ≥ 2(x + y + z) = 2.
min A = với x = y = z = 3.
138. Theo tập 24 :
2 2
x y z x y z
x y y z z x
Theo bất đẳng thức Cauchy :
xy yz zx
x y y z z x x+y+z
xy ; yz ; zx nên
2 2 2
A =
1 2
1 x y z
3
139 a)
2 2
A a b a b a b 2a 2b 2
a b
max A a b
2 a b
b) Ta có :
4 4
2
a b a b a b 2(a b 6ab)
Tương tự :
4
2 2
4
2 2
4
2
a c 2(a c 6ac) ; a d 2(a d 6ad)
b c 2(b c 6bc) ; b d 2(b d 6bd)
c d 2(c d 6cd)
(8)1
a b c d
max B a b c d
4 a b c d
140. A 3 x 3y 2 3x y 2 3x y 2 34 18 A = 18 với x = y = 141. Khơng tính tổng quát, giả sử a + b ≥ c + d Từ giả thiết suy :
a b c d b c
2
b c b c c c a b c d c d c d
A
c d a b c d c d a b 2(c d) c d a b
Đặt a + b = x ; c + d = y với x ≥ y > 0, ta có :
x y y y x y x y x y 1
A
2y y x 2y x 2y x 2y x 2
1
min A d , x y , b c a d
2
; chẳng hạn 158. Trước hết ta chứng minh : a b 2(a2b )2 (*) (a + b ≥ 0)
Áp dụng (*) ta có : S x 1 y 2 2(x y 2)
3 x
x y 2
maxS
x y
y
Có thể tính S2 áp dụng bất đẳng thức Cauchy 170. Ta phải có A ≤ Dễ thấy A > Ta xét biểu thức :
2
B x
A
Ta có :
2 2
0 x 3 x 0 2 2 x 2.
2
min B 2 3 x x 0 Khi
1
max A
2
2
max B 2 x 0 x 3 Khi A = 171. Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta xét biểu thức :
2x x
B
1 x x
Khi :
2x x
(1) 2x x
B 2 B 2 x x
1 x x 0 x (2)
Giải (1) : 2x2 = (1 – x)2 x = – x Do < x < nên x 2 = – x
x =
2 1 .
Như B = 2 x = -
2 2x x 2x 1 x
A B
1 x x x x x x
(9)Do A = 2 + x = - 172 a) Điều kiện : x ≥ , y ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm tổng :
a b
ab
Ở ta muốn làm tăng tổng Ta dùng bất đẳng thức : a b 2(a2b )2 A x 1 y 2 2(x y 3)
x y x 1,5
max A
x y y 2,5
Cách khác : Xét A2 dùng bất đẳng thức Cauchy.
b) Điều kiện : x ≥ , y ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội tích :
a b ab
2
Ta xem biểu thức x , y 2 tích :
2(y 2) x 1.(x 1) , y
2
Theo bất đẳng thức Cauchy :
x 1.(x 1) x 1
x x 2x
y 2.(y 2) y 2
y y 2y 2
x 1 x
1 2
max B
y 2 y
2 4
174 a) A = - với x = max A =
5 với x = ± 6. b) B = với x = ± max B = với x =
175. Xét – ≤ x ≤ A ≤ Xét ≤ x ≤
2
2 x (1 x )
A x (1 x )
2
2
x x
1
max A x
2 x
176. A = x – y ≥ 0, A lớn chi A2 lớn Theo bđt Bunhiacôpxki :
2 1 2
A (x y) 1.x 2y (x 4y )
2 4
2
2
2y x
5
max A = x
2 5
x 4y y
10
hoặc
2 x
5 y
10
177 a) Tìm giá trị lớn nhất : Từ giả thiết :
3
3 2
0 x x x
x y x y
0 y y y
3
x x
max A x 0, y V x 1, y
y y
(10)b) Tìm giá trị nhỏ nhất : (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) = x + y ≤
x y
2
2
Do :
3
3 x y x y
x y
2
Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
2 2 2 2
3 3 3
(x y )(x y) x y x y x x y y
= (x2 + y2) = 1
1
min A x y
2
230. Điều kiện : x2 ≤ 9.
3
2
2
2
2 2
x x 9 x
x x 2 2
A x (9 x ) (9 x ) 4.27
2
max A = với x = ± 231 a) Tìm giá trị lớn :
Cách 1 : Với ≤ x < A = x(x2 – 6) ≤ 0.
Với x ≥ Ta có ≤ x ≤ ≤ x2 ≤ ≤ x2 – ≤ Suy x(x2 – 6) ≤ max A = với x = 3.
Cách 2 : A = x(x2 – 9) + 3x Ta có x ≥ 0, x2 – ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ 9. max A = với x =
b) Tìm giá trị nhỏ :
Cách 1 : A = x3 – 6x = x3 + (2 2)3 – 6x – (2 2)3 =
= (x + 2)(x2 - 2 2x + 8) – 6x - 16
= (x + 2)(x2 - 2 2x + 2) + (x + 2 2).6 – 6x - 16 = (x + 2)(x - 2)2 - 4 2 ≥ - 4 2.
min A = - với x =
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số không âm :
x3 + 2 2 + 2 2 ≥ 3.3x 2.2 23 = 6x. Suy x3 – 6x ≥ - 4 2 A = - 4 2 với x = 2. 232. Gọi x cạnh hình vng nhỏ, V thể tích hình hộp
Cần tìm giá trị lớn V = x(3 – 2x)2. Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dương :
4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤
3
4x 2x 2x
= 8
max V = 4x = – 2x x =
1
Thể tích lớn hình hộp dm3 cạnh hình vng nhỏ
1 2 dm.
3-2x 3-2x x
x x
x x x x