Đang tải... (xem toàn văn)
Ta cũng thấy để giải được các bài toán có liên qua đến hệ thức Vi – Et, học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức về đại số , thông qua đó học sinh có cách nhìn tổng quát hơn về hai nghiệm[r]
(1)Căn bậc hai - đẳng thức
2
A A
.
I, Mơc tiªu:
* KiÕn thøc - Kĩ năng:
- HS c cng c đ/n, phân biệt cách tìm CBH, CBHSH số thực - Nắm vững tìm đợc đkxđ A
- ¸p dơng khai triĨn H§T
2
A A
, vận dụng rút gọn đợc biểu thức * Thái độ: Rèn tính cẩn thận, xác
II, LÝ thuyÕt cần nhớ:
Căn bậc hai số a không âm số x cho x2= a Sè a > cã hai CBH lµ a vµ a
Số a , a đợc gọi CBHSH a.
a, b số không ©m, a < b a< b
A xác định (hay có nghĩa) A (A biểu thức đại số).
III, Bµi tËp vµ h íng dÉn:
Bµi tËp:
Tìm CBH, CBHSH số sau: 25; 3; 5; 17; 23, 81, 144; 225; 324; 289 Bµi 1. TÝnh:
a, ;
4
25; 32
; 62 ; ( 6) ;
25 16
; 25
b, 52 ; ( 7)2;
2
3
;
2
3 .
c, 54 ;
4
(2) ;
( Sư dơng H§T
2
A A
) Bài 2. So sánh cặp sè sau:
a, 10 vµ 3; 10 vµ 3; vµ 3;
b, 1 vµ 2; -2 vµ -5 2; 3vµ
16 .
( Sư dụng a, b số không âm, a < b a< b) Bµi 3. TÝnh:
a, (3 2)2; (2 3)2;
2
2
;
2
3
b, a2 (a 0); 2 a4 (a < 0) ; 2 x2 ; 3 x6 ; (2 x)2 ;
x2 6x9 ( x > 3); x22x1;
2
4(a 2) (a < 2); (3 11)2
.
(2)
4
9(x 5) ; b a2( 2ab b2)
(b > 0);
2 2
3
( )
( 0; 0; )
a b a b
b a a b
bc a c,
(2 5) ; (3 15)2 ; 3 2 ; 3 ; 11 2 ; 28 10 3
( Chú ý ĐK chữ biểu thức ) Bài 4. Tìm điều kiện xác định CTBH sau:
a, 3a; 3a; a 2; 5 a ; 3a 6; 4 2a ; 2a 5; 7 3a b,
2 2a 1;
4 3 b ;
2 2a
; 8 b16b2 ;
3
a
.
c, 2x2 ; 2x2 ; 2x 2 1;
5
x
.
d, 2 x ;
x
x ; 4x2 4x 1
;
1
x x .
( Chú ý ĐK để biểu thức dới không âm, mẫu khác 0) Bài 5. Tìm x biết:
a, x 2 16 0 ;
2
9
x
; x216 0 ; x 2 b, x 5;
1
x
; x 5;
3
x
; x 2 c,
x
;
x
;
2
x ;
1
0 2 x .
( Chú ý sử dụng định nghĩa CBH
2 x a x x a ).
Bài 6. Phân tích thành nhân tử:
a, x 2 5; - x (x > 0); + 2x (x < 0) b, 3 16x 2; x - (x > 0)
c, 3 ; 2 ; 5 ; 6 ( Rót HĐT (a1) a ( a1)2)
Bài 7. Rót gän:
a,
( , 0; )
a b
a b a b a b
;
2
( 0; 1) x x x x x ;
( Chó ý sư dơng H§T a2 b2 (a b a b )( ) vµ H§T
2
A A
) b, 4 3 ; 5 48 10 3 ; 13 30 2 2 c, x2 x1 x x1(x1)
( Chó ý sử dụng HĐT (a1) a ( a1)2 H§T
2
A A
(3)Bài Giải PT sau:
1, x2 4x4 3 ; x 2 12 2 ; x x; x2 6x9 3 ; 2, x2 2x 1 x 1; x210x25 x
3, x 5 5 x 1( Xét ĐK pt vô nghiệm);
x22x 1 x1 ( ¸p dơng:
0( 0)
A B
A B
A B
).
4, x2 9 x2 6x9 0 (¸p dơng:
0
0
A
A B
B
)
5, x2 4 x2 4 ( §K, chun vÕ, bình phơng vế)
x2 4x x2 4x 8 x2 4x 9 (VT 1 4 3 5;
2
(x 2) x )
9x2 6x 2 45x2 30x9 6x 9x28(
2 2
(3x1) 1 5(3x1) 4 (3 x1) ;
vt3; vp3 x = 1/3)
2x2 4x 3 3x2 6x7 2 x22x(đánh giá tơng tự) 6,
2 4 5 9 6 1 1
x x y y (x =2; y=1/3); 6y y 2 5 x2 6x10 1 (x=3;
y=3)
Các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai.
I, Môc tiêu:
* Kiến thức - Kĩ năng:
- HS đợc củng cố phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai
Vận dụng tính tốn,rút gọn đợc biểu thức chứa thức bậc hai * Thái độ: Rèn tính cẩn thận, xác, linh hoạt
II, Lí thuyết cần nhớ:
Căn bậc hai số a không âm số x cho x2= a Sè a > cã hai CBH lµ a vµ a
Số a , a đợc gọi CBHSH ca a.
a, b số không âm, a < b a< b.
A xác định (hay có nghĩa) A (A biểu thức đại số).
Các công thức biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai.(GV HS nhắc lại)
III, Bµi tËp vµ h íng dÉn:
Bµi 1. TÝnh
(4)
1
2 20 18 200
; 0, 09 0,64 0,81 0,01 0,16 0, 25
2, 10 40; 45; 52 13; 162;
5 18
8 ; 18 98;
2 .
3, 45.80; 75.48; 90.6, 4; 2,5.14,
4, ( 12 27 3) 3; 20 45 5 5;
9 2 2 ;
5, 1 1 ; 4 ; 4 2 ; 3 5 3 5 6,
3 ;
2 1 ;
3 3
;
5 20;
3 2 ; 5 ; 3 ; 3 . 7, 2 ; 10 ; 15 ;
3 2 3
.
8, 15 ; 12 35 ; 8 60 ; 17 12 2 ; 2 ;
(Chó ý rót H§T:
2 2
a ab b a b
) Bµi Rót gän
1, a a ; 1 a a a ; 4 a a a ; a a a ; a a a ;
2, 6 24 12 8 3; 5 3 29 12 5 ; 2 2 12 18 128
3,
a a b b ab a b
(a > o; b > 0)
4,
x y y x xy
(x > 0; y > 0)
5,
1 :
a b b a
ab a b
a b, 0;a b .
6,
1
1
a a a a
a a
a0;a1 .
7,
1
4
2 x
x x (x0;x4)
rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai.
I, Mơc tiªu:
* KiÕn thøc - Kĩ năng:
(5)Vn dng tính tốn,rút gọn đợc biểu thức có chứa thức bậc hai * Thái độ: Rèn tính cẩn thận, xác, linh hoạt
II, LÝ thut cÇn nhí:
* Cách tìm ĐKXĐ thức, phân thức - Biểu thức dới không ©m
- MÉu thøc kh¸c
* Phân tích đa thức thành nhân tử thành thạo
* Nắm vững thứ tự thực phép tính .; a n ,: , phép tính đơn thức, đa thức, phân thức, thức
* VËn dơng linh ho¹t HĐT:
2
(a1) a ( a1) ;
2
2
a ab b a b
a a b b a b a ab b; a b a b a b III, Bµi tËp vµ h íng dÉn:
* Ph ơng pháp: - Tìm ĐKXĐ(BT dới có nghĩa, mÉu 0).
- Rút gọn phân thức biểu thức (Nếu có thể) - Biến đổi, rút gọn biểu thức
- KÕt ln
* Bµi tËp. Rót gän c¸c biĨu thøc sau:
1
1 1 1
:
1 1 1
A
x x x x x
kq:
x x
2
1
:
a a a a a
A
a
a a a a
kq: a a :
1 1
x x
A
x x x x x x
kq:
1 x x x
1
: 1 x A x
x x x x
kq: x x :
a a b b b
A a b
a b a b
kq:
a ab b a b
6 :
2
a a a a a
A
b a
a b a b a b ab
kq:
( )
a b a b a
7
1
1 :
1 1
a a a a a
A
a a a
8
1
:
3 3
x x x
A
x
x x x
kq: 3
x x x
(6)9
2
5
x x x
A
x x x x
kq:
1
x x
10 :
x x y y x y
A xy
x y x y
* Các dạng toán có sử dụng kết toán rút gọn.
1 Tính giá trị biểu thức sau rót gän.
+ Hớng dẫn: - Nếu biếu thức rút gọn chứa căn, giá trị biến chứa căn, ta biến đổi giá
trị biến dạng HĐT
- Nếu giá trị biến chứa mẫu, ta trục thức mẫu trớc thay vào
biĨu thøc
+ Ví dụ: Tính A1 x 7 3 ( ta biến đổi
7 3 2
råi h·y thay vµo tÝnh)
2 Tìm giá trị biến để biểu thức rút gọn số.
+ Híng dÉn: - Thực chất giải PT A = a
- Sau tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu để KL + Ví dụ: Tìm x để A 4 5 (Ta giải PT:
1
x x
§K: x0;x1 )
3 Tìm giá trị biến để biểu thức rút gọn lớn hơn, bé số
( mét biÓu thøc).
+ Hớng dẫn: - Thực chất giải BPT A > a(P) ( A < a(P)) - Sau tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu để KL
+ Ví dụ: Tìm x để A 4 1 (Ta giải BPT:
1
x x
§K: x0;x1 )
4 Tìm giá trị nguyên biến để biểu thức rút gọn nhận giá trị nguyên.
+ Hớng dẫn: - Tách phần nguyên, xét íc
- Sau tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu để KL + Ví dụ: Tìm giá trị ngun biến x để biểu thức A9 nhận giá trị nguyên.
( Ta cã
1
1
3
x A
x x
A9 nguyên x 3là ớc Sau xét ớc
4, råi
đối chiếu với ĐK để KL)
5 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức rút gọn
+ Hớng dẫn: Có thể đánh giá nhiều cách, tuỳ toán cụ thể mà ta chọn cách
cho phï hỵp
6 So sánh biểu thức rút gọn với số biểu thức.
+ Híng dÉn: XÐt hiƯu A - m
(7)+ VÝ dơ: So s¸nh A4 víi ( LËp hiƯu
1
x x
, råi xÐt xem hiƯu nµy > 0; < 0; = KL)
Bài tập tổng hợp. Bài 1. Cho biểu thức:
1
:
1
x x x x x
A
x x x x x
kq: 1
x x
1, Tìm ĐK XĐ biểu thức A 2, Rút gọn A
3, Tính giá trị biÓu thøc A
1
x
4, Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên 5, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức A -3
6, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức A nhỏ -1 7, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức A lớn
2
x
8, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức A - Max 9, So sánh A với x1
Bµi 2. Cho biÓu thøc:
4
1 :
1 1
x x x
B
x x x
kq:
3
x x
1, Tìm x để biểu thức B xác định 2, Rút gọn B
3, Tính giá trị biểu thức B x = 11 2
4, Tìm giá trị nguyên x để biểu thức B nhận giá trị nguyên 5, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức B -2
6, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức B âm
7, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức B nhỏ -2 8, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức B lớn x 1
Bµi 3. Cho biĨu thøc:
3
3
2 1
1 1
x x x
C x
x x x
x
kq: x 1
1, Biểu thức C xác định với giá trị x? 2, Rút gọn C
3, Tính giá trị biểu thức C x = 7 4, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức C -3 5, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức C lớn
1
6, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức C nhỏ x 3 7, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức C nhỏ
8, So s¸nh C víi
2
x
(8)
Bµi 4. Cho biĨu thøc:
2
1 :
4
x x x x x
D
x x x x x
kq:
2
x
1, Tìm ĐK X§ cđa biĨu thøc D 2, Rót gän D
3, Tính giá trị biểu thức D x = 13 48 4, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức D 5, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức D âm
6, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức D nhỏ -2
7, Tìm giá trị nguyên x để biểu thức D nhận giá trị nguyên 8, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức D lớn
9, Tìm x để D nhỏ
1
x
Bµi 5. Cho biĨu thøc:
1
:
1
1 1
a a a a a
E
a a
a a a
kq:
1, Tìm a để biểu thức E có nghĩa 2, Rút gọn E
3, Tính giá trị biểu thức E a = 24 5 4, Tìm giá trị a để giá trị biểu thức E -1 5, Tìm giá trị a để giá trị biểu thức E dơng
6, Tìm giá trị a để giá trị biểu thức E nhỏ a 3 7, Tìm giá trị a để giá trị biểu thức E nhỏ
8, So s¸nh E víi
Bµi 6. Cho biĨu thøc:
1 1
4
1
a a
F a a
a a a
kq: 4a
1, Tìm ĐK XĐ cđa biĨu thøc F 2, Rót gän F
3, Tính giá trị biểu thức F a =
6 2
4, Tìm giá trị a để giá trị biểu thức F -1
5, Tìm giá trị a để giá trị biểu thức E nhỏ a 1 6, Tìm giá trị a để giá trị biểu thức E nhỏ
7, Tìm giá trị a để F F (
2 0 0
4
F F a
) 8, So s¸nh E víi
1
a
Bµi 7. Cho biĨu thøc:
2
2 2
1 2
x x x x
M
x x x
kq: x x
1, Tìm x để M tồn 2, Rút gọn M
(9)3, Tính giá trị biểu thức M x = 4/25 4, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M -1 5, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M âm ; M dơng 6, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M lớn -2
7, Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị nguyên 8, Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M lớn
9, Tìm x để M nhỏ -2x ; M lớn 2 x 10, Tìm x để M lớn 2 x
bµi tËp Bỉ SUng
Bµi 8: Rót gän c¸c biĨu thøc sau
1. a¿√a− 3
a− 9 ;b¿
a −2√a+1 √a − 1 ; c¿
4 − 4√a+a
4 − a ; d¿
a − 5√a+4 a − 1 ;e¿
a −5√a+6 √a− 3 ; g)
x −5√x+6 x − 4 ; 2.a)A= ( √x
√x +2− √x √x − 2+
4√x −1 x − 4 ):
1
4 − x b) B = ( 2+2√a+
1 2− 2√a−
a2+1 1− a2):
a a+1 c) C=
√xy: (
√x−
1
√y)
− x + y
(√x −√y)2 d) D= (
√x+√x − y
√x −√x − y−
√x −√x − y
√x+√x − y):
4√x(x − y)
y
Bµi9: Cho biÓu thøc: A = ( √a+2 a −2√a+1−
√a −2 a −1 ): √
a
2 a −2
a) Rút gọn A; b)Tìm giá trị nguyên a để A nguyên; c) Tìm a để A < -1 Bài10 Cho biểu thức B =
√x − 2+
1
√x+2−
4
x − 4
a)Tìm x để B có nghĩa; b) Rút gọn B; c)Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên Bài11 Cho biểu thức C= (
a −√a+
1
√a− 1):
√a+1 a − 2√a+1
a) Rót gän C; b)TÝnh C víi a =3 - √2
Bµi 12 Cho biĨu thøc D = (1+ √a
a+1):(
1
√a −1−
2√a
a√a+√a −a −1)
a) Rút gọn D; b)Tìm a để D > 1; c) Tìm a nguyên để D nhận giá trị nguyên Bài 13 Cho biểu thức E = ( √a
a+1):(
1
√a −1−
2√a
a√a+√a −a − 1)
Bµi 14 Cho biÓu thøc F
1− a¿2 ¿ ¿(√a −2
a −1 − √ a+2 a+2√a+1):
2 ¿
KQ : F=√a − a
a) Rót gän F ; b) T×m GTLN cđa F Bµi 15 Cho biĨu thøc G ¿(1+ √a
a+1):(
1
√a − 1−
2√a
a√a+√a − a− 1) KQ :G=
a+√a+1 √a− 1
a) Rót gän G; T×m a cho G > 1; c)Tính giá trị G với a=19 83
Bµi 16 Cho biĨu thøc H
:
2
x x y y x x y y x y
x y
x y x y xy
x Víi y x y
(10)a) Rót gän H (
: xy
KQ H
x xy y
); b) Chøng minh : <H<1 (So sánh H với H )
Bài 17 Cho biÓu thøc K=(2+√x
2−√x−
2 −√x
2+√x −
4 x
x − 4): √ x − 3
2√x − x KQ : K =
4 x
√x −3
a) Rút gọn K; b)Tìm x để K > 0; c) Tìm x để K = Bài 18 Cho biểu thức L= x −3
√x −1 −√2 a) Rút gọn L; b)Tìm GTNN L
Bài 19 Cho biÓu thøc M=( √x − 1
3√x − 1−
1 3√x +1+
8√x
9 x − 1):(1 −
3√x −2
3√x+1) KQ : M=
− x +√x
3√x − 1
a) Rút gọn M; b)Tìm x để M=6
5
Bµi 20 Cho biĨu thøc N=(x −3√x x −9 −1):(
9− x
x +√x − 6+ √x − 3 √x − 2−
√x − 2
√x +3) KQ : N =
3
√x − 2
a) Rút gọn N; b) Tìm x để N <1; c)Tìm x Z để N Z Bài 21 Cho biểu thức P=(x −5√x
x −25 −1):(
25 − x
x +2√x −15− √x +3 √x +5+
√x+5
√x − 3) KQ : P=
5
√x +3
a) Rút gọn P; b)Tìm x Z để P Z Bài 22 Cho biểu thức Q=(√x+ y −√xy
√x+√y):( x √xy + y+
y √xy − x=
x+ y
√üy ) KQ :Q=√y −√x
a) Rút gọn Q; b)Tính giá trị Q víi x=3 , y=4+2√3
Bµi 23 Cho biĨu thøc R=(a −√a+7 a − 4 +
1
√a −2):( √a+2 √a −2−
√a− 2 √a+2 −
2√a
a − 4) ; KQ : R= a+9
6√a
a) Rót gän R; b) So s¸nh R Víi R
Hàm số bậc nhất- đồ thị hàm số bậc nhất.
I, Mơc tiªu:
* Kiến thức - Kĩ năng:
- HS đợc củng cố khái niệm HSBN, đk để hàm số hàm số bậc - HS xác định đợc tính đồng biến, nghịch biến, hình dạng, cách vẽ đồ thị HSBN
* Thái độ: Rèn tính cẩn thận, xác, linh hoạt II, Lí thuyết cần nhớ:
* D¹ng HSBN y = ax + b (a 0)
Là đờng thẳng song song với đờng thẳng y = ax , cắt trục tung b, cắt trục hoành
(11)* T/ c đồng biến, nghịch biến HSBN - Đồng biến a >
- Nghịch biến a < * Cách vẽ đồ thị HSBN
- Cho x = y = b Đồ thị hàm số cắt trục tung b - Cho y = x= -
b
a Đồ thị hàm số cắt trục hoành - b a.
- Vẽ đờng thẳng qua hai điểm vừa tìm ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b III, Bài tập h ớng dẫn:
Bài Trong hàm số sau hàm số hàm số bậc nhất? Xác định a, b tính đồng biến, nghịch biến hàm số
y = - 0,3 x; y = - 2x2; y = 2(x 2); y = -2,5x; y = ( 1) x3; y + = x - 3; y= 2x 3; y = x + 3; y =
1
x x
; y = x - 1; y = (x + 1)(x + 2)
Bài Tìm ĐK tham số để hàm số hàm số bậc y = (m - 3)x +5; y = (2 - 4m)x - 1; y = (1 - 2m)x +
1
2; y = mx - 2x + 3;
y = 7 m (x -1); y =
2
100
m x m
; y = m2 4m4x3; y =
2
4,5 1x
m
.
Bài Cho hàm số y = (m + 1)x - 5; y = (6 - 2m)x + a Tìm m để hàm số đồng biến
b Tìm m để hàm số nghịch biến
Bài Tìm tất điểm mặt phẳng toạ độ: a Có tung độ
b Có tung độ c Có hồnh độ -2 d Có hồnh độ
e Có hồnh độ tung độ
f Có hoành độ tung độ đối g Có hồnh độ gấp đơi tung độ
Bài a Trên mặt phẳng toạ độ, vẽ đồ thị hàm số sau: y = -2x; y =
1 2x;
y = 2x +3
b Qua điểm (0;2), vẽ đờng thẳng song song với 0x cắt hai đờng thẳng lần lợt A, B CMR tam giác AOB vuông
Bài Cho hàm số g( )x 3x b Xác định b nếu:
a g (1) 4; b g( ) 2 ; c g( 8) 3
đờng thẳng song song- đờng thẳng cắt nhau.
I, Mơc tiªu:
* Kiến thức - Kĩ năng:
- HS đợc củng cố khái niệm HSBN, ĐTHS BN
- Củng cố kiến thức đờng thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau, vng góc măt phẳng toạ độ
(12)II, Lí thuyết cần nhớ: * Dạng HSBN y = ax + b (a 0)
Là đờng thẳng song song với đờng thẳng y = ax , cắt trục tung b, cắt trục hoành
-b a
* T/ c đồng biến, nghịch biến HSBN - Đồng biến a >
- Nghịch biến a < * Cách vẽ đồ thị HSBN
- Cho x = y = b Đồ thị hàm số cắt trục tung b.
- Cho y = x= -
b
a Đồ thị hàm số cắt trục hoành - b a.
- Vẽ đờng thẳng qua hai điểm vừa tìm ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b
* ĐK để hai đờng thẳng song song (a a ,;b b ,), cắt nhau(a a ,), trùng nhau(a a ,;
,
b b ), vuông góc nhau(a a , 1).
III, Bài tËp vµ h íng dÉn: Bµi Cho hµm sè y = (m - 1)x + m
a, m =? Thì hàm số đồng biến? nghịch biến?
b, m =? Thì đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 3x? c, m =? Thì đồ thị hàm số qua A(-1; 5)
d, m =? Thì đồ thị hàm số cắt tung độ 6? e, m =? Thì đồ thị hàm số cắt hoành độ -3? f, m =? Thì đồ thị hàm số cắt đồ thị y = mx + 3?
g, m =? Thì đồ thị hàm số vng góc với đồ thị y = -mx + 1?
h, Vẽ đồ thị tìm đợc câu trên? tìm toạ độ giao điểm (nếu có) Bài Xác định hàm số y = ax + b biết:
a, ĐTHS song song với đờng thẳng y = 2x, cắt trục hồnh diểm có tung độ b, ĐTHS song song với đờng thẳng y = 3x - 1, qua diểm A(2;1)
c, ĐTHS qua B(-1; 2) cắt trục tung -2 d, ĐTHS ®i qua C(
1
; -1) vµ D(1; 2)
Bài Cho hàm số y = 3x + m (m- tham số) CMR: họ đờng thẳng
2
2
y mx m
mx m
đi
qua điểm cố định
Bài Cho đờng thẳng y = 3x +
a, Tính diện tích tạo đờng thẳng với trục toạ độ
b, Viết PT đờng thẳng qua gốc toạ độ vng góc với đờng thẳ ng cho Bài Cho hàm số y = (m-1)x + (m +1) (1)
a, Xác định hàm số y đờng thẳng (1) qua gốc toạ độ b, m =? để đờng thẳng (1) cắt trục tung -1
c, m =? để đờng thẳng (1) song song với đờng thẳng y = 3x + d, m =? để đờng thẳng (1) vng góc với đờng thẳng y = 2mx - e, CMR: Đờng thẳng(1) qua 1điểm cố định
Bìa 6: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết:
a) (d) qua A(1 ; 2) B(- ; - 5)
(13)d) (d) ®i qua D(1 ; 3) tạo với chiều dơng trục Ox mét gãc 300.
e) (d) qua E(0 ; 4) đồng quy với hai đờng thẳng f) (): y = 2x – 3; (’): y = – 3x điểm
g) (d) qua K(6 ; - 4) cách gốc O khoảng 12/5 (đơn vị dài)
Bài 7: Gọi (d) đờng thẳng y = (2k – 1)x + k – với k tham số.
a) Định k để (d) qua điểm (1 ; 6)
b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y – = c) Định k để (d) vng góc với đờng thẳng x + 2y =
d) Chứng minh khơng có đờng thẳng (d) qua điểm A(-1/2 ; 1)
e) Chứng minh k thay đổi, đờng thẳng (d) qua điểm cố định
Bài 8: Cho đường thẳng (d) y = (m − 2)x + n (m ≠ 2) Tìm giá trị m, n trong mỗi trường hợp sau:
a) Đường thẳng (d) qua hai điểm A(−1 ; 2) B(3 ; −4)
b) Đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ 1 2 cắt trục
hồnh điểm có hồnh độ 2
c) Đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d1): −2y + x − = 0
d) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng(d2): 3x + 2y = 1
e) Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng (d3): y − 2x + = o BÀI TẬP Bæ SUNG HÀM SỐ BẬC NHẤT
Bài : Cho hàm số : y = ( m – 1).x + m (d)
a) Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến ? b) Tìm m để hàm số song song với trục hồnh. c) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm A( - ; 1)
d) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng có phương trình : x – 2y = 1
e) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm A có hồnh độ x=2 −√3
2
f) Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm cố định m thay đổi Bài : Cho hàm số y = ( m – 2).x + n (d’) m, n tham số
a) Tìm m, n để (d’) qua hai điểm A(1 ; - 2) ; B(3 ; - )
b) Tìm m, n để (d’) cắt trục tung điểm M có tung độ y=1 −√2 cắt trục hoành điểm N có hồnh độ x=2+√2
Bài :
a) Lập phương trình đường thẳng qua điểm A(x0, y0), hệ số góc k.
b) Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm M(x1, y1) N( x2, y2)
c) Lập phương trình đường thẳng qua điểm B( - ; 3) :
Song song với đường thẳng : 3x – 2y = 1. Vng góc với đường thẳng : 3y – 2x +1 = 0
Bài
4: Cho hàm số : y =
1 2 x
a , Xác định giao điểm đồ thị hàm số với trục tung trục hoành ?
(14)b , Gọi A , B thứ tự giao điểm nói Tính diện tích tam giác OAB ( O gốc tọa độ )
Bài : Trong hàm số sau hàm số bậc ? Với hàm số bậc xác định hệ số a , b chúng cho biết hàm số đồng biến hay nghịch biến ? a ) y3x 2 b , y 1 2x
c )
1
y x
d )
1
y x
e ) y2x3 4x g ) y3x1 3x
Bài : Vẽ tam giác ABC mặt phẳng tọa độ biết A ( 1;3 ) , B ( -2;0 ) , C ( 2;0 ) Tính diện tích tam giác ?
Bài : Cho điểm A ( 2;1) Xác định tọa độ điểm : a ) B đối xứng với A qua trục tung
b ) C đối xứng với A qua trục hoành c ) D dối xứng với A qua O
Bài : Tìm mặt phẳng tọa độ điểm : a ) Có tung độ -1
b) Có hồnh độ
c) C tung độ gấp đơi hồnh độ Bài : Cho hàm số y = 2x
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Điểm A thuộc đồ thị hàm số có khoảng cách đến gốc tọa độ 3 5 Xác định tọa độ điểm A ?
Bài 10 : Cho hàm số y= -2x (d1) ,
1
y x (d2)
a) Vẽ đồ thị hàm số hệ trục tọa độ ?
b) xác dịnh điểm B thuộc (d1) điểm C thuộc (d2) cho hoành độ chúng đều
bằng ?
c) Giải thích đường thẳng (d1) (d2) vng góc với ?
Bài 11 : Xác dịnh hàm số y =ax+b biết đồ thị song song với đường thẳng y = -2x qua điểm A ( ; -4 ) Vẽ đồ thị hàm số với a,b tìm được?
Bài 12 : Xác định hàm số y = ax +b biết đồ thị cát trục tung điểm có tung độ -2 , cắt trục hoành điểm có hồnh độ ?
Bài 12 : Xác dịnh hàm số y =ax+b biết đồ thị song song với đường thẳng
2
y x
qua điểm A ( ; -1 )
(15)Bài 14 : Cho hàn số y=ax có đồ thị qua điểm A ( ; 3 ) xác định hệ số a tính góc tạo đường thẳng tia Ox ?
Bài 15 : Cho hàm số y = x -2 a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Gọi a góc tạo đường thẳng y = x -2 tia Ox tính a ?
Bài 16 : Xác dịnh hàm số y =ax+b biết đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ -3 tạo với tia Ox góc a = 600
Bài 17: Cho đường thẳng
y2x2 (d1)
1 2
y x
(d2)
2
y x (d
3)
Không vẽ hàm số cho biết đường có vị trí với ? Bài 18 : Cho hàm số sau , hàm số bậc ? Với hàm số bậc hãy xác định hệ số a ,b cho biết hàm số đồng biến , hàm số nghịch biến ?
a) y = 3x -7 b)
1
y x x
c ) y 5 3(x1)
Bài 19 : Cho hàm số y = f(x) =3x+6 y=g(x) = 6-3x , tính f(1) ,f(2) ,f(3) ,f(4) , f(5) g(1) , g(2) ,g(3) ,g(4), g(4)
Có nhận xét giá trị hàm số f(x) g(x) với giá trị biến x ? Bài 20: Trên mặt phẳng tọa độ oxy , vẽ tam giác ABC biết A( 1;2) , B ( -1;0) , C(2;0)
a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tính chu vi tam giác ABC
Bài 21: Cho hàm số y3 2 x 1
a) Chứng tỏ hàm số cho hàm số bậc Hàm số cho hàm số đồng biến hay nghịch biến ?
b) Tìm giá trị biến x để y = 0
Bài 22 : Trong mặt phẳng tọa độ 0xy ,cho điểm A1( ; 2) Vẽ A2 đối xứng A1 qua
Ox A4 đối xứng A1 qua trục Oy , A3 đối xứng A1 qua gốc tọa độ
a) Chứng minh tứ giác A1 A1 A 1A4 hình vng điểm O tâm hình vng
b) Tính chu vi diện tích hình vng A1 A1 A 1A4
Bài 23 : Cho hàm số y x
a) Vẽ đồ thị hàm số
(16)b) Xác định tung độ điểm A , B ,C thuộc đồ thị có hồnh độ -1 ;1 ; 2 c) Tính khoảng cách từ A, B ,C đến gốc tọa độ
d) Gọi a góc hợp đồ thị với trục Ox tính tga từ suy góc a Bài 24 : Cho hàm số y = | x |
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Vẽ đường thẳng y = cắt đồ thị y = |x | A B chứng minh tam giác OAB tam giác vng Tính diện tích tam giác OAB.
Bài 25: a) Biết đồ thị hàm số y = ax +7 qua điểm M ( ; 11 ) tìm a ? b) Biết x = hàm số y = 2x + b có giá trị Tìm b ? Bài 26 : Cho hàm số y = 2x y = -3x +5
a) Vẽ hệ trục tọa độ ,đồ thị hai hàm số ?
b) Tìm tọa độ giao điểm M hai hàm số nói goi A , B giao điểm của đường thẳng y = -3x +5 với trục hồnh trục tung Tính diện tích tam giác OAB tam giác OMA
Bài 27 : Cho hàm số y = -x +1 , y = x+1 , y = -1
a) Vẽ hệ trục tọa độ , đồ thị hàm số
b) Gọi giao điểm hai đường thẳng y = -x + y = x + A, giao điểm đường thẳng y = -1 với hai đường thẳng B , C Chứng tỏ tam giác ABC là tam giac cân Tính chu vi diện tích tam giác ?
Bài 28 : Một đường thẳng qua gốc tọa độ có hệ số góc a) Viết phương trình đường thẳng
b) Các điểm M ( 2;5) , N(1;5) , P ( 3;5 ) có thuộc đường thẳng cho khơng ?
c) Viết phương trình tổng quát đường thẳng song song với đường thẳng nói trong câu a
Bài 29 : Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = -2x + thỏa mãn điều kiện :
a) Đi qua gốc tọa độ b) Đi qua diểm M ( 1; ) c) Đi qua điểm N ( -1 ;10)
Bài 30 : a) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A ( ; -5 ) có hệ số góca = -2
b)Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm B ( ;1 ) C ( : -1)
c) Ba điểm sau có thẳng hàng hay không : M ( -2 ; -3 ) , N ( -6 ; -5 ) , P ( ; ) Bài 31 : Chứng tỏ ba điểm A ( 2;3) , B ( -1;-3) , C ( ; -1 ) ba điểm thẳng hàng Bài 32 : Chứng minh đường thẳng y = 2x +4 , y = 3x + , y = -2x đi qua điểm ?
(17)b) Cắt
c) Vng góc với nhau.
Bài 34 : Chứng minh k thay đổi đường thẳng sau qua điểm cố định
a) kx – 2y =6 b) k( x-1) +3y =1 Bài 35 :
a) Vẽ tam giác ABC mặt phẳng tọa độ biết A ( ; 4) , B ( -5 ;0) , C ( ;7) b) Tìm khoảng cách từ đỉnh tam giác đến gốc tọa độ
c) Tìm tọa độ điểm đối xứng đỉnh A qua Ox , Oy gốc O Bài 35 : Xác định hệ số a , b hàm số y = ax + b biết :
a) Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ cắt trục hoành điểm A có hồnh độ 2
b) Đồ thị đường thẳng có hệ số góc -3 qua điểm C ( ; 2) Bài 36: Xác định hệ số a , b hàm số y = ax + b biết
a) Đồ thị qua hai điểm M ( 1;3) , N ( ; 1)
b) Đồ thị đường thẳng song song với đường thẳng y = -3x +1 qua điểm P ( ;-2)
c) Đồ thị đường thẳng qua điểm Q ( ; ) song song với đường thẳng chứa phân giác góc phần tư thứ ?
Bài 37 : a) Không vẽ đồ thị nhận xét ba đường thẳng : y = 3x + ; y = – x ;
x y
đồng quy điểm Tìm tọa độ điểm ?
b)Với giá trị m đường thẳng y = 5x + m đồng quy với hai đường thẳng y = 3x + ; y = x -1
Bài 38 : Tìm giá trị m để đường thẳng mx - 2y + = x + y – = a) Cắt
b) Song song c) Trùng
Bài 39 : a) Vẽ đồ thị hàm số y x
b)Tìm tung độ điểm M ,N ,P thuộc đồ thị có hồnh độ -1 ; ; 3
a) Gọi a góc tạo đường thẳng y x 3 với tia Ox tính tg a , suy số đo góc
a ?
Bài 40 : a) Cho hàm số y = 2x -3 ; y = -2x ;
4
y x
hệ trục tọa độ có nhận xét đồ thị hàm số ?
b) Cũng hỏi với hàm số : y = x - ; y = -3x - ;
1 2
y x
Bài 41 : Xác định hàm số y = ax + b biết
(18)a) a = thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hoành độ 3. b) a = đồ thị hàm số qua điểm ( 2;1 )
c) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = x qua điểm ( : )
d) Có nhận xét góc ba đường thẳng câu a )b)c ) tạo với tia Ox ? Bài 42 : Vẽ đồ thị hàm số y1 = x +1 ; y2 =
1
3
3x ; y3 3x 3 gọi , , lần
lượt góc tạo đường thẳng với tia Ox CMR :
1
1; ;
3
tg tg tg
suy 45 ;0 30 ;0 600
Bài 43 : Biết tọa độ ba đỉnh hình vng A(-2 ; ) ; B ( 0;2) ; C( ; ) a) Hãy xác định tâm I hình vng đỉnh thứ tư D
b) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh hình vng
Bài 44 : Gọi (d) đường thẳng y = 2x + cắt trục hoành C trục tung D a) Viết phương trình đường thẳng (d1) // (d) qua điểm A ( ; 0).
b) (d1) cắt trục tung B tứ giác ABCD hình ?
c) Viết phương trình đường thẳng (d2) qua điểm D vng góc với (d).
d) (d1) (d2) cắt M Tìm tọa độ M tính diện tích tứ giác BCDM
Bài 45 : Xét đường thẳng (d) có phương trình ( m +2 ) x +(m - 3)y – m + = CMR với m , đường thẳng (d) qua điểm A ( -1 ; )
Bài 46 : CMR m thay đổi , đường thẳng 2x + ( m - 1)y = luôn qua một điểm cố định
Bài 47 : Cho đường thẳng ( m - 2)x+(m - 1)y = ( m tham số )
a) CMR đường thẳng qua điểm cố định với giá trị m b) Tính giá trị m để khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng lớn
Bài 48: Xét đường thẳng (d) có phương trình : ( 2m + 3)x +(m + 5)y + (4m - 1) = 0
( m tham số )
a) Vẽ đồ thị đường thẳng (d) ứng với m = -1
(19)Hệ phơng trình bậc hai ẩn.
I, Mục tiêu:
* Kiến thức: HS nắm vững khái niệm HPT BN hai ẩn Các cách giải HPTBN hai ẩn
* K năng: Giải thành thạo HPTBN hai ẩn Tránh đợc sai sót hay mắc phải: Thiếu ĐK, trình bày tắt, kết luận nghiệm không rõ ràng…
* Thái độ: Rèn tính cẩn thận, xác, lơ gíc chặt chẽ, rõ ràng
II, LÝ thut cÇn nhí:
* HPTBN hai Èn cã d¹ng , , , ax by c a x b y c
trong ax by c a x b y c, , ,là
PTBN hai Èn
* KN nghiƯm cđa HPTBN hai Èn * NghiƯm cña PTBN hai Èn
* Các phơng pháp giải HPT BN hai ẩn: Dùng đồ thị, PP cộng, PP thế, PP đặt ẩn phụ
III, Bµi tập h ớng dẫn:
VD : Giải c¸c HPT sau:
a 3 x y x y
b
2
5
x y x y
c
2 1 1 x y x y Gi¶i:
a Dïng PP thÕ:
2 3 x y x y
2 3 2
3 10 2.2
y x y x x x
x x x y y
Vậy HPT cho có nghiệm là:
2 x y
Dïng PP céng:
2 3 x y x y
5 10 2
3 3.2
x x x
x y y y
Vậy HPT cho có nghiệm là:
2 x y
b Để giải loại HPT ta thờng sử dụng PP céng cho thn lỵi
2
5
x y x y
10 15 10 11 22 2
10 12 2.( 6)
x y y y x
x y x y x y
(20)VËy HPT cã nghiƯm lµ 2 x y
c §èi với HPT dạng ta sử dụng hai cách giải sau đây: + Cách 1: Sử dơng PP céng §K: x1,y0
1 1 x y x y
2 1 1 1 3
1
2
2
2 1 1 1
1 1
1
y y
y x x
y y x x x y
VËy HPT cã nghiƯm lµ
3 x y
+ Cách 2: Sử dụng PP đặt ẩn phụ ĐK: x1,y0 Đặt
1 a
x ;
b
y HPT cho trở thành:
2 5.1
2 2 1
a b a b a a
a b b b b
1 x x y y
(TMĐK)
Vậy HPT có nghiệm
3 x y
Lu ý: - NhiÒu em thiếu ĐK cho HPT dạng - Cã thĨ thư l¹i nghiƯm cđa HPT võa giải
Bài tập Giải hệ phơng trình sau:
1, x y x y ; 3
x y x y ; x y x y ;
3
3 x y x y ;
0, 15 10 x y x y ; 2 2007
x y x y ;
3
x y y x ; 2 y x x y ;
2 5 x y x y ;
3 15
2
x y x y ; 2, x y x y ;
2 y x x y ;
6
1
x y xy x y ;
( )( )
x y x y x y ;
2
2 3
x y
3 3 3
x y x y ;
( 1) 2( 2) 3( 1) ( 2)
x y x y ;
( 5)( 2) ( 2)( 1) ( 4)( 7) ( 3)( 4)
x y x y
x y x y
(21)
( 1)( 2) ( 1)( 3) ( 3)( 1) ( 3)( 5)
x y x y
x y x y
;
3( ) 5( ) 12 5( ) 2( ) 11
x y x y x y x y
;
( )( 1) ( )( 1) ( )( 1) ( )( 2)
x y x x y x xy
y x y y x y xy
3,
1 1
x y x y
;
1
2
5
3
x y x y x y x y
1 5
2 3
3
2 3
x y x y x y x y
PHƯƠNG TRìNH BÂC HAI Và Hệ THứC VIET
A MỞ ĐẦU
Trong vài năm trở lại đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông , tốn phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thức Vi- Et xuất phổ biến Trong nội dung thời lượng phần sách giáo khoa lại ít, lượng tập chưa đa dạng
Ta thấy để giải tốn có liên qua đến hệ thức Vi – Et, học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức đại số , thơng qua học sinh có cách nhìn tổng qt hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ số
Vậy nên nhóm tốn chúng tơi xây dựng chun đề ngồi mục đích giúp học sinh nâng cao kiến thức giúp em làm quen với số dạng tốn có đề thi vào lớp 10 trung học phổ thơng
Nội dung chun đề gồm :
I. Ứng dụng 1 II. Ứng dụng 2 III Ứng dụng 3 IV Ứng dụng 4 V. Ứng dụng 5 VI Ứng dụng 6 VII Ứng dụng 7
VIII Ứng dụng 8
Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn Lập phương trình bậc hai
Tìm hai số biết tổng tích chúng
Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình
Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số
Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm
Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm
(22)Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a0) (*)
Có hai nghiệm
b x
a
; 2
b x
a
Suy ra:
2
2
b b b b
x x
a a a
2
1 2 2
( )( )
4 4
b b b ac c
x x
a a a a
Vậy đặt : - Tổng nghiệm S : S =
b x x
a
- Tích nghiệm P : P =
c x x
a
Như ta thấy hai nghiệm phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với các hệ số a, b, c Đây nội dung Định lí VI-ÉT, sau ta tìm hiểu số ứng dụng định lí giải tốn
I NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :
1 Dạng đặc biệt:
Xét phương trình (*) ta thấy :
a) Nếu cho x = ta có (*) a.12 + b.1 + c = a + b + c = 0
Như vây phương trình có nghiệm x 1 nghiệm cịn lại c x
a
b) Nếu cho x = ta có (*) a.( 1)2 + b( 1) + c = a b + c = Như phương trình có nghiệm x 1 nghiệm lại
c x
a
Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm phương trình sau:
1) 2x25x 3 (1) 2) 3x28x11 0 (2)
Ta thấy :
Phương trình (1) có dạng a b + c = nên có nghiệm x 1
3
x
Phương trình (2) có dạng a + b + c = nên có nghiệm x 1
11
x
Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm phương trình sau:
1 35x2 37x 2 2 7x2500x 507 0
3 x2 49x 50 0 4 4321x221x 4300 0
2 Cho phương trình , có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm tìm nghiệm cịn lại hệ số phương trình :
Vídụ: a) Phương trình x2 2px 5 0 Có nghiệm 2, tìm p nghiệm thứ hai.
(23)c) Cho phương trình : x2 7x q 0, biết hiệu nghiệm 11 Tìm q hai
nghiệm phương trình
d) Tìm q hai nghiệm phương trình : x2 qx50 0 , biết phương trình có 2
nghiệm có nghiệm lần nghiệm
Bài giải:
a) Thay x 1 v phương trình ban đ ầu ta đ ợc :
1 4
4
p p
T x x 1 suy
1
5
x x
b) Thay x 1 v phương trình ban đ ầu ta đ ợc
25 25 q q50
T x x 1 50 suy
1
50 50 10
x x
c) Vì vai trị x1 và x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1 x2 11 theo VI-ÉT ta có
1
x x , ta giải hệ sau:
1
1 2
11
7
x x x
x x x
Suy q x x 18
d) Vì vai trị x1 và x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1 2x2 theo VI-ÉT ta có 50
x x Suy ra
2
2 2
2
2
5
2 50
5
x
x x
x
Với x 2 th ì x 1 10
Với x 2 th ì x 1 10
II LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1 Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x x1;
Ví dụ : Cho x 1 3; x 2 lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm
Theo hệ thức VI-ÉT ta có
1 2
5
S x x P x x
x x1; 2là nghiệm phương trình có dạng:
2 0 5 6 0
x Sx P x x
Bài tập áp dụng:
1 x1 = vµ x2 = -3
2 x1 = 3a vµ x2 = a
(24)3 x1 = 36 vµ x2 = -104
4 x1 = 1 vµ x2 = 1
2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm một phương trình cho trước:
V í dụ: Cho phương trình : x2 3x 2 0 có nghiệm phân biệt x x1; Khơng giải phương
trình trên, lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn :
1
y x x
2
1
y x x
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
1
1 2 1 2
1 2
1 1
( ) ( )
2
x x
S y y x x x x x x
x x x x x x
1 2 1
1 2
1 1
( )( ) 1 1
2
P y y x x x x
x x x x
Vậy phương trình cần lập có dạng: y2 Sy P 0
hay
2 9
0 9 2
y y y y
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình 3x25x 0 có nghiệm phân biệt x x1; Khơng giải phương trình,
Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm 1
1
y x x
2
1
y x x
(Đáp số:
2 0
6
y y
hay 6y25y 0 )
2/ Cho phương trình : x2 5x 0 có nghiệm x x1; Hãy lập phương trình bậc có ẩn y
thoả mãn y1x14
4 2
y x (có nghiệm luỹ thừa bậc nghiệm phương trình
đã cho)
(Đáp số : y2 727y 1 0)
3/ Cho phương trình bậc hai: x2 2x m 0 có nghiệm x x1; Hãy lập phương trình
bậc hai có nghiệm y y1; cho :
a) y1 x1 y2 x2 b) y1 2x11 y2 2x21
(Đáp số a) y2 4y 3 m2 0 b) y2 2y (4m2 3) 0 )
III TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
(25)2 0
x Sx P (điều kiện để có hai số S2 4P )
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = tích P = ab =
Vì a + b = ab = n ên a, b nghiệm phương trình : x23x 0
giải phương trình ta x 1 x 2
Vậy a = b = a = b =
Bài tập áp dụng: Tìm số a b biết Tổng S Tích P
1 S = P = 2 S = P = S = P = 20 S = 2x P = x2 y2
Bài tập nâng cao: Tìm số a b biết
1 a + b = a2 + b2 = 41
2 a b = ab = 36 a2 + b2 = 61 v ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức VI-
ÉT cần tìm tích a v b
T
2
2 2 2 81
9 81 81 20
2
a b a b a b a ab b ab
Suy : a, b nghiệm phương trình có dạng :
1
2
4 20
5
x x x
x
Vậy: Nếu a = b = a = b =
2) Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = a.c = 36
Suy a,c nghiệm phương trình :
1
2
4 36
9
x x x
x
Do a = c = nên b = a = c = 4 nên b = 4
Cách 2: Từ
2 2
4 169
a b a b ab a b a b ab
2 132 13
13
a b a b
a b
*) Với a b 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình :
1
2
4 13 36
9
x
x x
x
Vậy a =4 b = 9
*) Với a b 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình :
1
2
4 13 36
9
x
x x
x
(26)Vậy a = b =
3) Đã biết ab = 30, cần tìm a + b:
T ừ: a2 + b2 = 61 a b 2 a2b22ab61 2.30 121 11
11 11
a b a b
*) Nếu a b 11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình:
1
2
5 11 30
6
x
x x
x
Vậy a =5 b = 6 ; a =6 b = 5
*) Nếu a b 11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình :
1
2
5 11 30
6
x
x x
x
Vậy a = b = ; a = b =
IV TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức
1 Biến đổi biểu thức để làm xuất : (x1x2) x x1
Ví dụ a) x12x22 (x122x x1 2x22) 2 x x1 (x1x2)2 2x x1
b)
2
3 2
1 2 1 2 2
x x x x x x x x x x x x x x
c)
2
4 2 2 2 2 2
1 ( )1 ( )2 2 ( 2) 2 2 x x x x x x x x x x x x x x
d)
1
1 2
1 x x x x x x
Ví dụ x1 x2 ?
Ta biết
2 2
1 2 2
x x x x x x x x x x x x
Từ biểu thức biến đổi biến đổi biểu thức sau: x12 x22 ( x1 x2 x1x2=…….)
2 x13 x23 ( =
2
1 1 2 2
x x x x x x x x x x x x
=…… )
3 x14 x24 ( =
2 2
1 2
x x x x
=…… )
4 x16 x26 ( = 3 2 2
1 2 1 2
( )x ( )x x x x x x x
= …… ) Bài tập áp dụng
5 x16 x26 5
x x 7 x17 x27 8 1 2
1
1
(27)2 Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình : x2 8x15 0 Khơng giải phương trình, tính
1 x12x22 (34) 2
1
x x
8 15
3
1 2 x x x x
34 15
4
2
x x (46)
b) Cho phương trình : 8x2 72x64 0 Khơng giải phương trình, tính:
1
1
x x
9
2 x12x22 (65)
c) Cho phương trình : x214x29 0 Khơng giải phương trình, tính:
1
1
x x
14 29
2 x12x22 (138)
d) Cho phương trình : 2x2 3x 1 0 Khơng giải phương trình, tính:
1
1
x x (3) 2
1
1
1 x x
x x
(1)
3 x12x22 (1)
1
2 1
x x
x x
5
e) Cho phương trình x2 3x 8 0 có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính
2
1 2
3
1 2
6 10
Q
5
x x x x
x x x x
HD:
2 2
1 2 2
3 2
1 2 1 2 1 2 1 2
6 10 6( ) 6.(4 3) 2.8 17
Q
5 5 2 5.8 (4 3) 2.8 80
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
V TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ
Để làm toán loại này, ta làm theo bước sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a
0 0)
- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v P = x1 x2 theo tham số
- Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x1 x2 Từ đưa hệ thức liên hệ
giữa nghiệm x1 x2
(28)Ví dụ 1: Cho phương trình : m1x2 2mx m 0 có nghiệm x x1; Lập hệ thức liên
hệ x x1; 2 cho chúng khơng phụ thuộc vào m.
Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì :
2
1
1
4
' ( 1)( 4)
5
m m
m m
m m
m m m
Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :
1 2
1 2
2
2 (1)
1
4
(2)
1
m
x x x x
m m
m
x x x x
m m
Rút m từ (1) ta có :
1
1
2
2
1 x x m
m x x (3)
Rút m từ (2) ta có :
1
1
3
1
1 x x m
m x x (4)
Đồng vế (3) (4) ta có:
2 2
1 2
2
2 3
2 x x x x x x x x
x x x x
Ví dụ 2: Gọi x x1; nghiệm phương trình :
1
m x mx m Chứng minh biểu thức A3x1x22x x1 2 8 không phụ thuộc giá trị m.
Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì :
2
1
1
4
' ( 1)( 4)
5
m m
m m
m m
m m m
Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :
1 2 m x x m m x x m
thay v A ta c ó:
2
2 8( 1)
3 8
1 1
m m m m m
A x x x x
m m m m
(29)Vậy A = với m 1
4
m
Do biểu thức A khơng phụ thuộc vào m
Nhận xét:
- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm
- Sau dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đồng vế ta biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số
Bài tập áp dụng:
1 Cho phương trình : x2 m2x2m1 0 có nghiệm x x1; Hãy lập hệ thức liên hệ
giữa x x1; cho x x1; 2 độc lập m.
Hướng dẫn: Dễ thấy
2 2
2 4
m m m m m
do phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2
Theo hệ thức VI- ÉT ta có
1 2
1 2
2(1)
1
(2)
2
m x x x x m
x x
x x m m
Từ (1) (2) ta có:
1
1 2
1
2
2
x x
x x x x x x
2 Cho phương trình : x24m1x2m 4 0
Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy (4m1)2 4.2(m 4) 16 m233 0 phương trình cho ln
có nghiệm phân biệt x1 x2
Theo hệ thức VI- ÉT ta có
1 2
1 2
(4 1) ( ) 1(1) 2( 4) 16(2)
x x m m x x
x x m m x x
Từ (1) (2) ta có:
1 2 2
(x x ) 2x x 16 2x x (x x ) 17
VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO
Đối với toán dạng này, ta làm sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường
a 0)
(30)- Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn tham số)
- Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm
Ví dụ 1: Cho phương trình : mx2 6m1x9m 3 0
Tìm giá trị tham số m để nghiệmx1 x2 thoả mãn hệ thức : x1x2 x x1
Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó nghiệm x1 x2 l :
0 0
' 9 27 ' 1
' 21 9( 3)
m m m m
m m m m m
m m m
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
1
1
6( 1) 9( 3)
m x x
m m x x
m
v t gi ả thi ết: x1x2 x x1 Suy ra:
6( 1) 9( 3)
6( 1) 9( 3) 6 27 21
m m
m m m m m m
m m
(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 2
x x x x
Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 2m1x m 2 2
Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x x1 2 5x1x2 7
Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1&x2 :
2
' (2m 1) 4(m 2)
2
4m 4m 4m
7
4
m m
Theo hệ thức VI-ÉT ta có:
1 2
2
x x m
x x m
và từ giả thiết 3x x1 2 5x1x2 7 Suy
2
2
3( 2) 5(2 1) 10
2( )
3 10 4
( )
3
m m
m m
m TM
m m
m KTM
(31)Bài tập áp dụng
1 Cho phương trình : mx22m 4x m 7
Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 2x2 0
2 Cho phương trình : x2m1x5m 0
Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức: 4x13x2 1
3 Cho phương trình : 3x2 3m 2x 3m1 0
Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 5x2 6
BT1: - ĐKX Đ:
16 &
15
m m
-Theo VI-ÉT: 2 ( 4) (1) m x x m m x x m
- Từ x1 2x2 0 Suy ra:
1 2
1 2
1
3
2( ) 2( )
x x x
x x x x
x x x
(2)
- Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình sau: m2127m128 0 m11;m2 128
BT2: - ĐKXĐ: m2 22m25 0 11 96m11 96
- Theo VI-ÉT:
1 2
1 (1)
x x m
x x m
- Từ : 4x13x2 1 Suy ra:
1
1 2
2
2
1 2
1 3( )
1 3( ) 4( ) 4( )
7( ) 12( )
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
(2)
- Thế (1) vào (2) ta có phương trình :
0 12 ( 1)
1 m m m m
(thoả mãn ĐKXĐ)
BT3: - Vì (3m 2)24.3(3m1) 9 m224m16 (3 m4)2 0 với số thực m nên
phương trình ln có nghiệm phân biệt
- -Theo VI-ÉT:
1 2 3 (1) (3 1) m x x m x x
(32)- Từ giả thiết: 3x1 5x2 6 Suy ra:
1
1 2
2
2
1 2
8 5( )
64 5( ) 3( ) 3( )
64 15( ) 12( ) 36
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
(2)
- Thế (1) vào (2) ta phương trình:
0 (45 96) 32
15
m
m m
m
(thoả mãn )
VII XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Cho phương trình: ax2bx c 0 (a 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2
nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm …. Ta l p b ng xét d u sau:ậ ả ấ
Dấu nghiệm x1 x2 Sx1x2 P x x Điều kiện chung
trái dấu P < 0 0 ; P < 0.
cùng dấu, P > ; P >
cùng dương, + + S > P > ; P > ; S >
cùng âm S < 0 P > 0 0 ; P > ; S < 0.
Ví dụ: Xác định tham số m cho phương trình:
2
2x 3m1 x m m 0 có nghiệm trái dấu. Để phương trình có nghiệm trái dấu
2
2
(3 1) 4.2.( 6)
0 ( 7)
2
6
0 ( 3)( 2)
2
m m m
m m
m
m m
P P P m m
Vậy với 2m3 phương trình có nghi ệm trái dấu.
Bài tập tham khảo:
1 mx2 2m2x3m 2 0 có nghiệm dấu 3mx22 2 m1x m 0 có nghiệm âm
3.m 1x22x m 0 có nghiệm khơng âm
VIII TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM
Áp dụng tính chất sau bất đẳng thức: trường hợp ta ln phân tích được:
A m C
k B
(33)Thì ta thấy : C m (v ì A 0) minC m A0
C k (v ìB 0) maxC k B0
Ví dụ 1: Cho phương trình : x22m1x m 0
Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm m để : 2
1
A x x x x có giá trị nhỏ nhất.
Bài giải: Theo VI-ÉT:
1 2
(2 1)
x x m
x x m
Theo đ ề b ài :
2
2
1 2 A x x x x x x x x
2
2
2
2 12 (2 3) 8
m m
m m
m
Suy ra: minA 8 2m 0 hay
m
Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 mx m 1 0
Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn
nhất biểu thức sau:
1 2
1 2
2
2
x x B
x x x x
Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT :
1
1
x x m x x m
1 2
2 2 2
1 2
2 3 2( 1)
2 ( ) 2
x x x x m m
B
x x x x x x m m
Cách 1: Thêm bớt để đưa dạng phần (*) hướng dẫn
Ta biến đổi B sau:
2
2
2
2 1
1
2
m m m m
B
m m
Vì
2
2
2
1
1 0
2
m
m B
m
Vậy max B=1 m = 1 Với cách thêm bớt khác ta lại có:
(34)
2 2 2
2 2
1 1
2 4 2 1
2 2
2 2 2
m m m m m m m
B
m m m
Vì
2
2
2
2 0
2
2
m
m B
m
Vậy
1
min
2
B m
Cách 2: Đưa giải phương trình bậc với ẩn m B tham số, ta tìm điều kiện
cho tham số B để phương trình cho ln có nghiệm với m.
2
2
2 2
m
B Bm m B
m
(Với m ẩn, B tham số) (**)
Ta có: 1 B B(2 1) 2 B2B
Để phương trình (**) ln có nghiệm với m hay 2B2B 1 2B2 B 1 2B1 B10
1
2 2
1 1
1
2 1
2
1
B B
B B
B B
B B
B
Vậy: max B=1 m = 1
1
min
2
B m
Bi ỏp dng
Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai. Bài 1: Giải phơng trình
1) x2 – 6x + 14 = ; 2) 4x2 – 8x + = ;
3) 3x2 + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = ;
5) x2 – 4x + = ; 6) x2 – 2x – = ;
7) x2 + 2
√2 x + = 3(x + √2 ) ; 8) √3 x2 + x + =
√3 (x + 1) ;
9) x2 – 2(
√3 - 1)x - √3 =
Bài 2: Giải phơng trình sau c¸ch nhÈm nghiƯm:
1) 3x2 – 11x + = ; 2) 5x2 – 17x + 12 = ;
3) x2 – (1 +
√3 )x + √3 = ; 4) (1 - √2 )x2 – 2(1 +
√2 )x + + √2 = ;
(35)7) ( √3 + 1)x2 + 2
√3 x + √3 - = ; 8) x2 – 11x + 30 = ;
9) x2 – 12x + 27 = ; 10) x2 – 10x + 21 = 0.
D¹ng 2: Chøng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm. Bài 1: Chứng minh phơng trình sau có nghiệm.
1) x2 – 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ;
3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12
= ;
5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = ;
7) x2 – 2mx – m2 – = ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x –
3 + m =
9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0.
Bµi 2:
a) Chøng minh với a, b , c số thực phơng trình sau có nghiệm: (x a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) =
b) Chøng minh r»ng víi ba sè thøc a, b , c phân biệt phơng trình sau có hai nghiệm phân biÕt:
x −a+
1
x − b+
1
x − c=0 (Èn x)
c) Chứng minh phơng trình: c2x2 + (a2 b2 – c2)x + b2 = v« nghiƯm víi a, b, c
là độ dài ba cạnh mt tam giỏc
d) Chứng minh phơng trình bËc hai:
(a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = lu«n cã hai nghiệm phân biệt.
Bài 3:
a) Chứng minh phơng trình bậc hai sau có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1)
bx2 + 2cx + a = (2)
cx2 + 2ax + b = (3)
b) Cho ph¬ng tr×nh (Èn x) sau:
x2 + 2ax + 4b2 = (1)
x2 - 2bx + 4a2 = (2)
x2 - 4ax + b2 = (3)
x2 + 4bx + a2 = (4)
Chøng minh r»ng c¸c phơng trình có phơng trình có nghiệm c) Cho phơng trình (ẩn x sau):
ax2−2b√b+c b+c x +
1
c +a=0 (1)
bx2−2c√c +a c +a x +
1
a+b=0 (2)
cx2−2a√a+b a+b x +
1
b+c=0 (3)
víi a, b, c số dơng cho trớc
Chứng minh phơng trình có phơng trình có nghiệm
Bài 4:
a) Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0.
Biết a ≠ 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh phơng trình cho có hai nghiệm b) Chứng minh phơng trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) có hai nghiệm trong
hai điều kiện sau đợc thoả mãn: a(a + 2b + 4c) < ;
5a + 3b + 2c =
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm phơng trình bậc hai cho trớc.
(36)Bài 1: Gọi x1 ; x2 nghiệm phơng trình: x2 3x =
TÝnh:
A=x12+x22; B=|x1− x2|;
C= x1−1
+
x2− 1
; D=(3x1+x2) (3x2+x1); E=x13+x23; F=x14+x24
Lập phơng trình bậc hai có nghiệm
x11
vµ
x2−1
Bµi 2: Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình: 5x2 3x = Không giải phơng
trình, tính giá trị biểu thức sau:
A=2x13−3x12x2+2x23−3x1x22;
B=x1 x2+
x1 x2+1+
x2 x1+
x2 x1+1−(
1
x1−
1
x2)
; C=3x12+5x1x2+3x22
4x1x22+4x
12x2
Bµi 3:
a) Gäi p vµ q nghiệm phơng trình bậc hai: 3x2 + 7x + = Không giải phơng
trình hÃy thành lập phơng trình bậc hai với hệ số số mà nghiệm
p
q −1 vµ q p −1
b) Lập phơng trình bậc hai có nghiệm
10 −√72 vµ 10+6√2
Bµi 4: Cho phơng trình x2 2(m -1)x m = 0.
a) Chứng minh phơng trình luôn cã hai nghiƯm x1 ; x2 víi mäi m
b) Với m 0, lập phơng trình ẩn y thoả mÃn y1=x1+
1
x2 y2=x2+
1
x1
Bài 5: Không giải phơng tr×nh 3x2 + 5x – = H·y tÝnh giá trị biểu thức sau: A=(3x1 2x2) (3x2 2x1); B= x1
x2−1
+ x2
x1−1 ; C=|x 1− x2|; D=x1+2
x1 + x2+2
x2
Bài 6: Cho phơng trình 2x2 4x – 10 = cã hai nghiÖm x
1 ; x2 Không giải phơng trình
hÃy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2
x1
Bài 7: Cho phơng tr×nh 2x2 – 3x – = cã hai nghiƯm x
1 ; x2 H·y thiÕt lËp ph¬ng tr×nh
Èn y cã hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n:
¿
a¿y1=x1+2¿y2=x2+2¿ b¿ ¿ ¿y1= x12
x2 ¿y2= x22
x1 ¿ ¿{¿
Bài 8: Cho phơng trình x2 + x = cã hai nghiÖm x
1 ; x2 HÃy thiết lập phơng trình ẩn
y có hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n:
¿
a¿y1+y2=x1
x2
+x2
x1
¿ y1
y2
+y2
y1
=3x1+3x2¿ ; b¿ y1+y2=x12+x22y12+y22+5x1+5x2=0 {
Bài 9: Cho phơng trình 2x2 + 4ax – a = (a tham sè, a ≠ 0) cã hai nghiÖm x
1 ; x2 HÃy
lập phơng trình ẩn y có hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1+y2=
1
x +
1
x vµ
1
y +
1
(37)Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vơ nghiệm.
Bµi 1:
a) Cho phơng trình (m 1)x2 + 2(m – 1)x – m = (Èn x).
Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phơng trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + =
Tìm m để phơng trình có nghiệm
a) Cho phơng trình: (m 1)x2 2mx + m – = 0.
- Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm
- Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phơng trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – = 0.
Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân bit
Bài 2:
a) Cho phơng trình: 4x
2
x4+2x2+1−
2 (2m− 1) x
x2+1 +m
2
− m−6=0 Xác định m để phơng trình có nghiệm
b) Cho phơng trình: (m2 + m 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = X¸c
định m để phơng trình có nghiệm
Dạng 5: Xác định tham số để nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = thoả mãn điều kiện cho trớc.
Bài 1: Cho phơng trình: x2 2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép
2) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tính nghiệm cịn lại 3) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dấu (trái dấu) 4) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dơng (cùng âm) 5) Định m để phơng trình có hai nghiệm cho nghiệm gấp đôi nghiệm 6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = -
7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhn
giá trị nhỏ
Bi 2: nh m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra:
a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = ; (4x
1 + 1)(4x2 + 1) = 18
b) mx2 – (m – 4)x + 2m = ; 2(x
12 + x22) = 5x1x2
c) (m – 1)x2 – 2mx + m + = ; 4(x
12 + x22) = 5x12x22
d) x2 – (2m + 1)x + m2 + = ; 3x
1x2 – 5(x1 + x2) + =
Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra:
a) x2 + 2mx – 3m – = ; 2x
1 – 3x2 =
b) x2 – 4mx + 4m2 – m = ; x
1 = 3x2
c) mx2 + 2mx + m – = ; 2x
1 + x2 + =
d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = ; x
1 = x22
e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = ; x
1 = x22
f) x2 – 4x + m2 + 3m = ; x
12 + x2 =
Bµi Cho phương trình x2 2(m1)x 3 m0 Tìm m cho nghiệm x x1; thỏa mãn
điều kiệnx12x22 10
Bµi Cho phương trình : x2 2(m 4)x m 2 0 xác định m để phương trình có
nghiệm x x1; 2thỏa mãn
a) A x 1x2 3x x1 đạt giá trị lớn
(38)b) B x 12x22 x x1 đạt giá trị nhỏ
Bµi Cho phương trình : x2 (m1)x m 2m 0 Với giá trị m, biểu thức
2 2
C x x dạt giá trị nhỏ nhất.
Bµi Cho phương trình x2(m1)m0 Xác định m để biểu thức Ex12x22 đạt giá trị
nhỏ
Bµi 8:
a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – + m = Tìm điều kiện m để
phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho nghiệm gấp đôi nghiệm
kia
b) Ch phơng trình bậc hai: x2 – mx + m – = Tìm m để phơng trình có hai
nghiƯm x1 ; x2 cho biÓu thøc R=
2x1x2+3
x12+x22+2(1+x1x2)
đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn
c) Định m để hiệu hai nghiệm phơng trình sau mx2 – (m + 3)x + 2m + = 0.
Bµi 9: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0).
Chứng minh điều kiện cần đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm 9ac = 2b2.
Bài 10: Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chøng minh điều kiện cần
v phng trỡnh có hai nghiệm mà nghiệm gấp k lần nghiệm (k > 0) : kb2 = (k + 1)2.ac
Dạng 6: So sánh nghiệm phơng trình bËc hai víi mét sè. Bµi 1:
a) Cho phơng trình x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = Xác định m để phơng trình có
hai nghiƯm x1 ; x2 tho¶ m·n < x1 < x2 <
b) Cho phơng trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = Xác định m để phơng trình có hai
nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mÃn: - < x1 < x2 <
Bµi 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1.
a) Chứng minh phơng trình f(x) = cã nghiƯm víi mäi m
b) Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ tìm điều kiện m để phơng trình f(x) = có hai nghiệm lớn
Bài 3: Cho phơng trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.
a) Với giá trị tham số a, phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt ln hn
Bài 4: Cho phơng trình: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0.
a) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn
b) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ
Bài 5: Tìm m để phơng trình: x2 – mx + m = có nghiệm thoả mãn x
1 - x2
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số.
Bài 1:
a) Cho phơng trình: x2 mx + 2m = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm
phơng trình không phụ thuộc vào tham số m
b) Cho phơng trình bËc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m 1) = Khi phơng trình
(39)c) Cho phơng trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = Định m để phơng trình có hai
nghiệm x1 ; x2 Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với m, suy vị trí
nghiệm hai s v
Bài 2: Cho phơng tr×nh bËc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = Khi ph¬ng
trình có nghiệm, hÃy tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
Bài 3: Cho phơng trình: x2 2mx m2 = 0.
a) Chứng minh phơng trình lu«n cã hai nghiƯm x1 , x2 víi mäi m
b) Tìm biểu thức liên hệ x1 ; x2 không phụ thuộc vào m
c) Tỡm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: x1 x2
+x2
x1
=−5
Bài 4: Cho phơng trình: (m 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0.
a) Giải biện luận phơng trình theo m
b) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2:
- Tìm hệ thức x1 ; x2 độc lập với m
- T×m m cho |x1 – x2| ≥
Bµi 5: Cho phơng trình (m 4)x2 2(m 2)x + m – = Chøng minh r»ng nÕu
ph-ơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + =
Dạng 8: Mối quan hệ nghiệm hai phơng trình bậc hai. Kiến thức cần nhớ:
1/ Định giá trị tham số để phơng trình có nghiệm k (k ≠ 0) lần
nghiệm phơng trình kia: Xét hai phơng tr×nh:
ax2 + bx + c = (1)
a’x2 + b’x + c’ = (2)
trong hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m
Định m để cho phơng trình (2) có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiệm ph-ơng trình (1), ta làm nh sau:
i) Gi¶ sử x0 nghiệm phơng trình (1) kx0 nghiệm phơng trình
(2), suy hệ phơng trình:
ax02+bx0+c=0
a'k2x
02+b'kx0+c'=0
(∗)
¿{ ¿
Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số để tìm m
ii) Thay giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) (2) để kiểm tra lại
2/ Định giá trị tham số m để hai phơng trình bậc hai tng ng vi nhau.
Xét hai phơng trình:
ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (3)
a’x2 + b’x + c’ = (a’ ≠ 0) (4)
Hai phơng trình (3) (4) tơng đơng với hai phơng trình có tập nghiệm (kể tập nghiệm rỗng)
Do đó, muỗn xác định giá trị tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với ta xét hai trờng hợp sau:
i) Trờng hợp hai phơng trinhg cuùng vô nghiƯm, tøc lµ:
(40)¿
Δ(3)<0
Δ(4 )<0 ¿{
¿
Giải hệ ta tịm đợc giá trị tham số
ii) Trờng hợp hai phơng trình có nghiệm, ta giải hệ sau:
¿
Δ(3)≥0 Δ(4)≥ 0 S(3)=S(4 )
P(3)=P(4 ) ¿{ { {
¿
Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phơng trình (*) đa hệ phơng trình bậc ẩn
nh sau:
¿ bx+ay =c b'x+a'y= c'
{
Để giải tiếp toán, ta làm nh sau:
- Tỡm điều kiện để hệ có nghiệm tính nghiệm (x ; y) theo m - Tìm m thoả mãn y = x2.
- Kiểm tra lại kết
-Bài 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung:
2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0
4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0
Bài 2: Với giá trị m hai phơng trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó:
a) 2x2 + (3m + 1)x – = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0.
b) 2x2 + mx – = 0; mx2 – x + = 0.
c) x2 – mx + 2m + = 0; mx2 – (2m + 1)x – = 0.
Bài 3: Xét phơng trình sau:
ax2 + bx + c = (1)
cx2 + bx + a = (2)
Tìm hệ thức a, b, c điều kiện cần đủ để hai phơng trình có nghiệm chung
Bµi 4: Cho hai phơng trình:
x2 2mx + 4m = (1)
x2 – mx + 10m = (2)
Tìm giá trị tham số m để phơng trình (2) có nghiệm hai lần nghiệm phơng trình (1)
Bµi 5: Cho hai phơng trình:
x2 + x + a = 0
x2 + ax + = 0
a) Tìm giá trị a hai phơng trình có nghiệm chung b) Với giá trị a hai phơng trình trờn tng ng
Bài 6: Cho hai phơng trình:
x2 + mx + = (1)
x2 + 2x + m = (2)
(41)c) Xác định m để phơng trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = cú nghim phõn bit
Bài 7: Cho phơng trình:
x2 5x + k = (1)
x2 – 7x + 2k = (2)
Xác định k để nghiệm phơng trình (2) lớn gấp lần nghiệm phơng trình (1)
CÁC DẠNG BAØI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN HAØM SỐ Y = AX2
Dạng 1: Tính giá trị hàm số y = f(x) = ax2 bieát x = 2
1/ Cho hàm số f(x) = x2 – 3x + 10 Tính gía trị f(3)
2/ Cho hàm số f(x) =
1
3x2 .Tính gía trị f( 3)
3/ Cho hàm số y = f(x) = -2x2 Tìm x biết f(x) =
Dạng 2: Tìm điều kiện m để hàm số y = ax2 đồng biến nghịch biến
4/ Tìm m để hàm số y = (m-2)x2 đồng biến x >0
5/ Tìm m để hàm số y = (3m-6)x2 đồng biến x >0
6/ Tìm m để hàm số y =(2m-6)x2 đồng biến x <
Dạng 3: Tìm m để hàm số y = ax2 nằm phía trục hồnh , nằm phía trục hồnh
(42)7/ Tìm m để đồ thị hàm số y =(m+2)x2 nằm phía trục hồnh
8/ Tìm m để đồ thị hàm số y =(-2m-2)x2 nằm phía trục hồnh
Dạng : Xác định điểm có thuộc đồ thị hay khơng ?
9/ Cho hàm số y=3x2 Xét
1 1 2,12 , , , ,
3
A B C
Điểm thuộc đồ thị hàm số
?
Dạng 5:Xác định hàm số y = ax2
Hàm số y = ax2 có đồ thị qua A(2;8) Tìm a
10/ Cho hàm số y = ax2 có đồ thị (P) Xác định a biết (P) qua điểm A (-;-1)
11/ Cho hàm số y = ax2 có đồ thị (P) Xác định a biết (P) qua điểm A(2;2).
12/ Cho Parabol (P) y = ax2 có đồ thị (P) Xác định a biết (P) cắt đường thăûng
y = - 3x + điểm M có hoành độ
13/ Cho Parabol (P) y = ax2 có đồ thị (P) Xác định a biết (P) cắt đường thăûng
y =x + điểm M có hồnh độ -2
14/ Đồ thị hàm số y = ax2 cắt đường thăûng x+y = điểm có hồnh độ
4
.Tìm a
15/ Hàm số y = 2x2 qua điểm A( 2;m) B( 3;n) Tính giá trị A = 2m-n
16/ Hàm số y = ax2 qua điểm A( 2;m) B(- 3;n) C(2;8)
Tính giá trị A = 3m-4n
17/ Cho (P) y = -2x2 A(a;-4) ; B(b;-8) thuộc đồ thị hàm số Tính M = 2(a2 + b2)
18/Cho (P) y = 2x2 điểm M(2;a) ; N(-1;b) thuộc đồ thị hàm số (P).Tính a – 4b = ?
Dạng6 : Vẽ Parabol(P)y =ax2(a 0) đường thăûng y = ax + b mặt phẳng toạ độ
19/ Vẽ (P): y = x2 (d) : y = x +2 mặt phẳng toạ độ
20/ Vẽ (P): y = x2 (d) : y = - x +2 mặt phẳng toạ độ
21/ Vẽ (P): y = - x2 (d) : y = 4x -5 mặt phẳng toạ độ.
22/ Veõ (P): y =
1
2x2 (d) : y = x +m2 mặt phẳng toạ độ với m =
23/ Veõ (P): y = 2x2 vaø (d) : y = x+1
24/ Veõ (P): y = - 2x2
25/ Veõ (P): y =
1
4x2 (d) : y = - x -1 mặt phẳng toạ độ
26/ Veõ (P): y =
1
4x2 (d) : y = m x –m+2 mặt phẳng toạ độ m =
(43)b/Trong hai điểm M(-4;16) ; N(3;9) điểm vừa thuộc (P) vừa (d) ? Vì ?
c/Lập phương trình đường thăûng (d1) // (d) (d1) qua điểm I(2;14)
Dạng 7:Tìm toạ độ giao điểm đường thăûng Parabol :
28/ Tìm toạ độ giao điểm (P): y = x2 (d) : y = -x +2
29/ Tìm toạ độ giao điểm (P): y = x2 (d) : y = 3x -2
30/ Tìm toạ độ giao điểm (P): y = -x2 (d) : y = x -2
31/ Tìm toạ độ giao điểm (P): y = -x2 (d) : y = 2x -3
32/ Tìm toạ độ giao điểm (P): y = 2x2 (d) : y = 3x -1
33/ Tìm toạ độ giao điểm (P): y = 2x2 (d) : y = 3x +5
34/ Tìm toạ độ giao điểm (P): y = 2x2 (d) : y = x+1
35/ Tìm toạ độ giao điểm (P): y =
1
4x2 vaø (d) : y = - x -1
36/ Tìm toạ độ giao điểm (P): y =
1
4x2 vaø (d) : y = m x –m+2 m =
37/ Tìm toạ độ giao điểm (P): y =
1
2 x2 vaø (d) : y = 2x+m2 m =
Dạng8 : Xác định điểm nằm arabol (P) y = ax2 biết hoành độ tung độ
38/ Cho (P) : y = x2 Điểm A (P) có hồnh độ Tính tung độ điểm A
39/ Cho (P) : y = x2 Gọi A B điểm nằm (P) có hồnh độ và
2 Tìm tung độ A B
40/ Cho (P) : y = 2x2 Gọi A B điểm nằm (P) có hồnh độ
Tìm tung độ A B
41/ Cho (P) : y = - x2 Gọi A B điểm nằm (P) có hồnh độ
-2 Tìm tung độ A B
42/ Cho Parabol ( P) y = x22 Đ điểm M nằm (P) có hồnh độ 12 Xác định toạ độ điểm M
43/ Cho Parabol ( P) y = - x32 Đđiểm M nằm (P) co ùtung độ -2.Xác định toạ độ điểm N
44/ Cho Parabol ( P) y = −x
4 điểm A nằm (P) cóhồnh độ √2
.Xác định toạ độ điểm A
Điểm A có hồnh độ -3 thuộc (P) : y = -4x2 Tìm toạ độ điểm A
Bài tập khó :
45/ Cho Parabol ( P) y = x2 xác định điểm A (P) cho tung độ
của gấp hai hồnh độ
(44)Cho Parabol ( P) y = x2
2 xác định điểm M (P) cho khoảng cách từ
A đến gốc tọa độ √3
47/ Cho Parabol ( P) y = 2x2 xác định điểm M(a;b) (P) biết tọa độ
®iĨm M tháa m·n -3a + b = 48/ Cho Parabol ( P) y = −x
2
2 xác định điểm M (P) biết hoành
độ tung độ M
49/ Cho (P) y = xác định điểm A (P) cho khoảng cách từ A đến o
3
Dạng9: Phương trình đuờng thẳng có liên quan đến Parabol
50/ Cho (P) : y = x2 vaø (d) : y = x +
Cho điểm A (P) có hồnh độ Víet phương trình đường thăûng qua A song song với (d)
51/ Cho (P) : y = x2 Gọi A B điểm nằm (P) có hồnh độ
và 2.Viết phương trình đường thăûng AB
52/ Cho (P) : y = 2x2 Gọi A B điểm nằm (P) có hoành độ
và 2.Viết phương trình đường thăûng AB 53/ Cho (P) : y = x2 (d) : y = - x +
Tìm hàm số y = ax + b biết đồ thị song song với (d) cắt (P) điểm có hồnh độ
54/ Cho (P) : y = - x2 Gọi A B điểm nằm (P) có hồnh độ -2
và 4.Viết phương trình đường thăûng AB 55/ Cho (P) : y = x2 A(2;4)
a/Điểm Bnằm (P) có hồnh độ -1 Viết phương trình đường thăûng AB b/ Viết phương trình đường thăûng (d) song song đường thăûng AB (d) cắt trục hoành điểm có hồnh độ -10
56/ Cho (P) : y = x2 vaø (d) : y = 3x -
Viết phương trình đường thăûng (d’) song song đường thăûng (d) (d’) cắt (P) điểm M có hồnh độ -1
57/ Cho (P) : y = 2x2 vaø (d) : y = 3x -
Viết phương trình đường thăûng (d’) song song đường thăûng (d) (d’) cắt (P) điểm M có hồnh độ -2
58/ Cho (P) : y = 2x2 vaø (d) : y = 3x +5
a/Điểm A (P) có hồnh độ Tính tung độ điểm A
(45)59/ Cho (P) : y = -x2 vaø (d) : y = 2x -
Viết phương trình đường thăûng (d’) song song đường thăûng (d) (d’) cắt (P) điểm có hồnh độ
60/ Cho (P) : y = 2x2 vaø (d) : y = x+3
Viết phương trình đường thăûng (d’) song song đường thăûng (d) (d’) cắt (P) điểm có hồnh độ –
61/ Cho (P) : y = x2
Điểm A (P) có hồnh độ Viết phương trình đường thăûng (l) //(d) qua A
62/ Cho (P) : y = -x2 vaø (d) : y = 4x -
Hai điểm A , B thuộc (P) có hồnh độ ; 4.Viết phương trình đường thăûng AB
b/ Viết phương trình đường thăûng qua gốc toạ độ // AB
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho A điểm thuộc parabol y = x2 với hoành độ
là Tính khoảng cách từ A đến gốc toạ O
Giải toán cách lập hệ phơng trình.
I, Mục tiêu:
* Kiến thức: HS giải đợc toán thực tế cách lập HPT * Kĩ năng:
- HS đợc củng cố kĩ phân tích tìm lời giải, trình bày lời giải toán cách lập HPT
* Thái độ: Rèn tính cẩn thận, xác, lơ gíc chặt chẽ, rõ ràng
II, LÝ thut cÇn nhí:
* Bíc 1: + LËp HPT
- Chọn ẩn, tìm đơn vị ĐK cho ẩn
- Biểu diễn mối quan hệ lại qua ẩn đại lợng biết - Lập HPT
* Bíc 2: Gi¶i HPT.
* Bớc 3: Đối chiếu với ĐK để trả lời.
III, Bµi tËp vµ h íng dÉn:
Bµi Hai ô tô khởi hành lúc từ hai tỉnh A B cách 160 km, ngợc chiều gặp sau Tìm vận tốc ô tô biết ô tô từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h hai lần vận tốc ôtô từ B
Bài Một ngời đibxe máy từ A đến B thời gian dự định Nếu vận tốc tăng14 km/h đến B sớm vận tốc giảm km/h đến B muộ Tính quãng đờng AB, vận tốc thi gian d nh
(46)xuôi dòng lớn vận tốc ca nô ngợc dòng km/h (có vận tốc dòng nớc) vận tốc dòng nớc km/h
Bài Một ca nô xuôi dòng 108 km ngợc dòng 63 km hết Một lần khác ca nô xuôi dòng 81 km ngợc dòng 84 km hết Tính vận tốc dòng nớc vận tèc thËt cđa ca n«
Bài Một tô dự định từ A đến B dài 120 km Đi đợc nửa quãng đờng xe nghỉ 30 phút nên để đến nơi xe phải tăng vận tốc thêm km/h quãng đờng lại Tính thời gian xe chạy
Bài Hai ngời ngợc chiều phía nhau.M từ A lúc sáng phía B N từ B lúc sáng phía A Họ gặp lúc sáng Tính thời gian ngời hết quãng đờng AB Biết M đến B trớc N đến A 20 phút
HPT:
2 1
x y y x
Bài Hai ô tô khởi hành lúc từ A B ngợc chiều phía Tính quãng đ-ờng AB vận tốc xe Biết sau hai xe gặp điểm cách quãng đờng AB 10 km xe chậm tăng vận tốc gấp đơi hai xe gặp sau 24 phút
HPT:
10
1 ( ) 2( )
x y
x y x y
Bµi Hai líp 9A vµ 9B cã tỉng céng 70 HS nÕu chun HS tõ líp 9A sang líp 9B th× sè HS ë hai líp b»ng Tính số HS lớp
Bi Hai trng A, B có 250 HS lớp dự thi vào lớp 10, kết có 210 HS trúng tuyển Tính riêng tỉ lệ đỗ trờng A đạt 80%, trờng B đạt 90% Hỏi trờng có HS lớp dự thi vào lớp 10
Bài 10 Hai vịi nớc chảy vào bể khơng có nớc sau 55 phút đầy bể Nếu chảy riêng vịi thứ cần thời gian vịi thứ hai Tính thời gian để vịi chảy riêng đầy bể
Bài 11 Hai tổ làm chung công việc hoàn thành sau 15 tổ làm giờ, tổ hai làm đợc 30% cơng việc Hỏi làm riêng tổ hoàn thành
Bài 12 Một ruộng có chu vi 200m tăng chiều dài thêm 5m, giảm chiều rộng 5m diện tích giảm 75 m2 Tính diện tích ruộng
(47)Giải toán cách lập phơng trình.
I, Mục tiêu:
* Kiến thức - Kĩ năng:
- HS đợc củng cố kĩ phân tích tìm lời giải, trình bày lời giải tốn cách lập PT
* Thái độ: Rèn tính cẩn thận, xác, lơ gíc chặt chẽ, rõ ràng
II, LÝ thut cÇn nhí:
* Bíc 1: + LËp PT
- Chọn ẩn, tìm đơn vị ĐK cho ẩn
- Biểu diễn mối quan hệ lại qua ẩn đại lợng biết - Lập PT
* Bíc 2: Gi¶i PT.
* Bớc 3: Đối chiếu với ĐK để trả lời.
III, Bµi tËp vµ h íng dÉn:
Dạng 1: Toán chuyển động
*Ph ơng pháp: Lập bảng, tóm tắt tìm lời giải
- Tìm dạng chuyển động, đối tợng chuyển động lập cột đầu, đại lợng lập cột đầu
- Tìm đại lợng biết điền vào bảng
- Chọn ẩn vào ô bảng (Thờng chọn ẩn trực tiếp, hỏi chọn ấy), biểu diễn đại lợng cha biết qua ẩn đại lợng biết vào ô cịn lại bảng
- Lập phơng trình( Chọn ẩn đại lợng lập PT đại lợng kia)
*Bµi tËp:
Bài Hai ô tô khởi hành từ A đến B dài 100 km, Ơ tơ thứ nhanh tô thứ hai 10 km /h nên đến B trớc ô tô thứ hai 30 phút Tính vận tốc ô tô
V S T
Xe thø nhÊt x + 10 (km/h) 100 km 100
10
x (h)
Xe thø hai x (km/h) 100 km 100
x (h)
PT:
100 100 10
x x
Bài 2. Một ô tô tải chạy từ A đến B dài 200 km Sau 30 phút tắc xi chạy từ B A, hai tơ gặp quãng đờng AB Tính vận tốc xe biết ô tô tải chạy chậm tắc xi 10 km/h
( HD: Cấu trúc khác song PT tơng tự trên)
Bi 3. Một ca nô xuôi khúc sông dài từ A đến B dài 120 km , ngợc dòng từ B A hết Tính vận tốc ca nơ biết vận tốc dịng nớc km/h
V S T
Xu«i x + (km/h) 120 km 120
3
x (h)
(48)Ngỵc x - (km/h) 120 km 120
3
x (h)
PT:
120 120
3
x x
Bài 4. Một ca nô xuôi khúc sông dài từ A đến B dài 120 km , ngợc dịng 78km Tính vận tốc ca nơ biết vận tốc dịng nớc km/h thời gian xuôi nhiều thời gian ngợc ( HD: Cấu trúc khác song PT tơng tự trên)
PT:
120 78
2
x x
Bài 5. Một ca nơ xi dịng từ A đến B Cùng lúc bè nứa trơi tự từ A đến B, sau đợc 24 km ca nô quay lại gặp bè nứa D cách A km Tính vận tốc thực ca nơ biết vận tốc dòng nớc km/h
( Chó ý: VËn tèc bÌ nøa chÝnh lµ vËn tèc cđa dßng níc)
PT:
24 16
4
x x
Bài 6. Một ô tô quãng đờng 150 km với vận tốc dự định Khi đợc
2
3 qu·ng
đ-ờng xe hỏng phải dừng lại sửa 15 phút Để kịp định ô tô phải tăng thêm 10 km/ h đoạn đờng cịn lại Tính vận tốc dự định ô tô
V S T
Dự định x (km/h) (x > 0) 150 km 150
x (h)
Thực tế
Đoạn đầu x (km/h) 2
.150 100
3 km
100
x (h)
Đoạn sau x+10 (km/h) 150 - 100 = 50 km 50 10
x (h)
(Chú ý: loại tập này, thời gian đoạn 1+ thời gian đoạn + thời gian nghỉ = thời gian dự định )
PT :
100 50 150 10
x x x (15 =
1 4 giê).
Bài 7. Xe máy ô tô khởi hành từ A đến B Vận tốc xe máy 30 km/h ô tô 45 km/h Sau đợc
3
4 quãng đờng AB, ô tô tăng vận tốc thêm km/h đoạn đờng
cịn lại Tính quãng đờng AB biết ô tô đến sớm xe máy 20 phút
V S T
Xe máy 30 x
Ô tô Đoạn đầu 45
3 4x
3
45 60
x x
(49)Đoạn sau 45 + = 50 x 34x14x 14
50 200
x x
PT:
7 30 60 200
x x x
(2 giê 20 =
7 3giờ). Dạng I1: Toán Về suất lao động (Cấu trúc phơng pháp giống nh toán chuyển động)
Bài Một đội xe cần chuyên chở 360 hàng Nếu bớt xe xe phải chở thêm Hỏi đội cú my xe?
Năng suất(Số hàng xe chở
đ-ợc)
Số xe KLCV
D nh 360
x
x 360
Thùc tÕ 360
3
x
x-3 360
PT:
360 360
3
x x
Bài Một đội xe cần chở 350 hàng Khi làm việc có hai xe phải điều làm việc khác nên xe phải chở thêm 20 hết số hàng cần chở Hỏi số xe lúc đầu đội?
PT:
350 350 20
x x
Bài Một đội máy cày phải cày 280 Khi thực đội đợc điều thêm máy Do đó, máy cày 10 tổng diện tích cày thêm 20 nữa.Tính số máy ban đầu
PT:
280 300
10
3
x x
Bài Một đội xe cần chở 168 thóc thêm xe xe chở nhẹ tổng số thóc tăng 12 Tính số xe ban đầu
PT :
168 180
x x
Bài Một đội SX cần SX số SP thời gian định Nhng thực hiện, số ngời trực tiếp SX giảm ngời Do vậy, để hoàn thành KH , ngời cịn lại phải tăng suất 25% Tính số ngời lúc ban đầu
KLCV NS Sè ngêi
Dự định 1x x
Thùc tÕ x 11 x -
PT:
1 1
1
x x x (25% =
1 4).
(50)thành kế hoạch 24 ngày mà cịn vợt mức 104.000 đơi Tính số giày phải làm theo kế hoạch?
PT:
104.000
6000
24 26
x x
Bài Trong dịp tổ chức tham quan, 180 HS khối lớp đợc tham gia Ngời ta dự tính, dùng xe lớn chở lợt hết số HS phải điều dùng xe nhỏ xe Biết xe lớn nhiều xe nhỏ 15 chỗ Tính số xe lớn?
PT:
180 180 15
x x
Dạng II1: Tốn có nội dung hình học * Cấu trúc: - Liên quan đến chu vi, diện tích
- Tìm kích thớc HCN, đờng cao, đáy tam giác, hình thang * Các công thức cần nhớ:
1 ,
S ah
Shcn ab,
1
ht
S a b h
Bài Một mảnh vờn hình chữ nhật có diện tích 400 m2 Chiều dài chiều rộng 9m Tính Chiều dài, chiều rộng PT: x(x + 9) = 400
Bµi Cạnh huyền tam giác vuông dài 10 m Hai cạnh góc vuông m Tìm cạnh góc vuông PT: x2(x2)2 102
Bài Hai cạnh hình chữ nhật 6m Diện tíchcủa 40 cm2 Tính cạnh HCN PT: x(x - 6) = 40
Bµi Vên trêng HCN cã diƯn tÝch lµ 600 m2 TÝnh kÝch thíc cđa biết giảm cạnh 4m diện tÝch lµ 416 m2 PT:
600
(x 4)( 4) 416
x
Bài Một hình thang có diện tích 140 cm2 Chiều cao 8cm Xác định độ dài cạnh đáy, biết cạnh đáy 15 cm
PT:
1
15 140 x x
Dạng IV: Toán cấu tạo số- quan hệ số Bài Tìm hai số biết tổng chúng 7, tổng bình phơng 289
PT: (x7)2x2 289
Bài Tìm số biết số nhỏ nghịch đảo 2,1 PT:
1
2,1
x x .
Bài Tìm số biết tổng số nghịch đảo 2,05 PT:
1
2,05
x
x .
Bài Tìm hai số biết tổng chúng 17, tổng bình phơng lµ 157 PT: x2(17 x)2 157
(51)Bài Tìm số có hai chữ số biết hai lần chữ số hàng chục lớn năm lần chữ số hàng đơn vị Chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị đợc thơng d
HPT:
2 2
y x y x
.
Dạng V: Toán có nội dung lí - hoá häc
Bài Ngời ta trộn kg chất lỏng loại I với kg chất lỏng loại II đợc hỗn hợp có khối lợng riêng 700 kg/m3 Biết KLR chất lỏng loại I lớn KLR chất lỏng loại II 200 kg/m3 Tính KLR chất
D M V
ChÊt I x 4/x
ChÊt II x - 200 3/(x-200)
PT:
4
200 100
xx .
Bài Ngời ta trộn g chất lỏng với g chất lỏng khác có KLR nhỏ 0,2 g/cm3 để đợc hỗn hợp có KLR 0,7 g/cm3 Tính KLR chất lỏng
D M V
ChÊt nµy x + 0,2 8/(x+0,2)
ChÊt x 6/x
PT:
8 14 0, 0,7
x x .
Bài kg nớc nóng pha vào kg nớc 100C ta đợc nớc 400C Tính nhiệt độ nớc nóng
PT: 4200.2(40-10) = 4200.3(x - 40) Dạng VI: Toán làm chung công việc HD: HS giải loại tập cách lập HPT lập PT
Bi Hai vịi nớc chảy vào bể sau đầy bể mở vòi thứ giờ, vòi thứ hai chảy đợc
8
15 bĨ Hái sau vòi chảy thì
đầy bể?
HPT:
1 1
1
5 15
x y
x y
Bảng phân tích:
Thời gian chảy đầy bể Năng suất
Vòi x (h)
x (bĨ)
(52)Vßi 1
6 x (bể)
Cả hai vòi (h)
6 (bÓ)
PT:
1 1
5
6 15
x x
.
Bài Hai đội công nhân tu sửa đoạn đờng ngày xong việc Nếu đội làm đội cần thời gian đội hai ngày Hỏi làm đội cần xong công việc?
PT:
1 1
6
xx .
Bài Hai vòi nớc chảy vào bể nớc sau
4
5 gìơ đầy bể Nếu lúc
đầu mở vòi thứ sau mở thêm vòi thứ hai sau
1
5 đầy
bể Hỏi từ đầu mở vòi thứ hai sau đầy bể?
PT:
1 6
.9
5 24
x x x
.
BÀI TẬP B SUNG
Giải toán cách lập hệ phơng trình
1 Hai ô tô khởi hành lúc từ hai tỉnh A B cách 160 km, ngợc chiều gặp sau Tìm vân tốc ô tô biết ô tô từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h hai lần vận tốc ô tô tõ B
2 Hai líp 9A vµ 9B cã tỉng céng 70 häc sinh NÕu chun häc sinh tõ líp 9A sang líp 9B th× sè häc sinh hai lớp Tính số học sinh líp
3 Một ngời xe máy từ A đến B thời gian dự định Nếu vận tốc tăng 14 km/h đến B sớm Nếu giảm vận tốc km/h đến B muộn Tính quãng đờng AB, vận tốc thời gian dự định
4 Hai ca nô khởi hành lúc từ hai bến A, B cách 85 km ngợc chiều gặp sau 40 phút Tính vận tốc riêng ca nơ biết vận tốc ca nơ xi dịng lớn vận tốc ca nơ ngợc dịng km/h(có tác động dịng nớc) vận tốc dòng nớc km/h
5 Hai vịi nớc chảy vào bể khơng có nớc sau 55 phút bể đầy Nếu chảy riêng vịi thứ chảy đầy bể cần thời gian vòi thứ hai T ính thời gian để vịi chảy riêng đầy bể
6 Hai vòi nớc chảy vào bể khơng có nớc sau 20 phút bể đầy Nếu mở vòi thứ chảy 10 phút vịi thứ hai chảy 12 phút đợc
15 bÓ T Ýnh
thời gian để vòi chảy riêng đầy bể
(53)8 Hai trờng A B có 250 học sinh lớp dự thi vào lớp 10, kết có 210 học sinh trúng tuyển Tính riêng tỷ lệ đỗ trờng A đạt 80%, trờng B đạt 90% Hỏi trờng có học sinh lớp dự thi vào lớp 10
9 Một ruộng hình chữ nhật có chu vi 200m Nếu tăng chiều dài 5m giảm chiều rộng 5m diện tích giảm 75m2 Tính diện tích ruộng đó.
10 A B làm cơng việc 16 xong Nếu A làm B làm hai làm đợc 25% cơng việc Hỏi làm riêng ngời cần làm xong
11 Một ca nơ xi dịng 108km ngợc dịng 63 km hết Một lần khác ca nơ xi dịng 81km ngợc dịng 84km hết Tính vận tốc dịng nớc vận tốc thật ca nô
12 Một ô tô dự định từ A đến B Biết quãng đơng AB dài 120km Đi đợc nửa đờng xe nghỉ 3phút nên để đến nơi xa phải tăng vận tốc thêm 2km/h qng đờng cịn lại Tính thời gian xe chạy
13 Hai ngời ngợc chiều phía M từ A lúc sáng phía B N từ B lúc sáng phía A Họ gặp lúc sáng Tính thời gian ngời hết quãng đ-ờng AB Biết M đến B trớc N đến A 1giờ 20phút
14 Một phòng họp có 360 ghế đợc xếp thành hàng hàng có số ghế Nhng số ngời đến họp 400 nên phải kê thêm hàng hàng phải kê thêm ghế đủ chỗ Tính lúc đầu phịng họp có hàng ghế hàng có ghế
15 Hai ô tô khải hành lúc từ A B ngợc chiều phía Tính quãng đờng AB vận tốc xe Biết sau 2giờ hai xe gặp địa điểm cách quãng đờng AB 10km Và xe chậm tăng vận tốc gấp đơi xe gp sau 1gi 24 phỳt
Giải toán cách lập phơng trình bậc hai
1 Một ca nô xuôi khúc sông từ A đến B dài 120 km ngợc dòng trở lại từ B đến A hết tổng cộng Tính vận tốc ca nơ Biết vận tốc dịng nớc 3km/h
2 Một ca nô xuôi khúc sông dài 120 km ngợc dịng 78km Tính vận tốc riêng ca nơ biết vận tốc dịng nớc 2km/h thời gian xuôi nhiều thời gian ngợc Một đội xe cần chuyên chở 360 hàng Nếu bớt xe xe phải trở thêm hàng Hỏi đội xe có xe
4 Một đội máy cày phải cày 280 Khi bắt đầu thực đội đợc điều thêm máy cày Do máy phải cày 10 tổng số diện tích cày tăng thêm 20 Tính số máy cày ban đầu đội
5 Một công nhân phải hoàn thành 60 sản phẩm thời gian định Do tăng xuất sản phẩm nên cơng nhân hồn thành cơng việc sớm dự định Tính số sản phẩm mà cơng nhân làm đợc
6 Mét h×nh chữ nhật có chu vi 100m Nếu tăng chiều rộng 5m giảm chiều dài 5m diện tích tăng 75m2 Tính kích thớc hình chữ nhật ban đầu.
7 Hai cạnh hình chữ nhật 4m TÝnh chu vi biÕt diÖn tÝch b»ng 1200m2.
8 Một hình chữ nhật có chiều rộng nửa chiều dài Nếu tăng chiều dài 5m chiều rộng m diện tích tăng 150m2 Tính chu vi hình chữ nhật đó.
9 Một phịng họp có 100 chỗ ngồi kê thêm hai dãy dãy bớt hai ghế đợc 96 ghế Tính số ghế ban đầu
10 Một phịng họp có 70 ghế bớt hai dãy dãy xếp thêm ghế số ghế phịng khơng thay đổi Tính số ghế phịng
11 Một tổ sản xuất cần sản xuất số sản phẩm thời gian định Nh ng thực số ngời trực tiếp sản xuất giảm ngời Do để hoàn thành theo kế hoạch ngời cịn lại phải tăng xuất 25% Tính số ngời lúc ban đầu
12 Một ca nô xuôi dịng từ A đến B Cùng lúc bè nứa trôi tự từ A đến B Sau đợc 24km ca nô quay lại gặp bè nứa D cách A 8km Tính vận tốc thật ca nô Biết vận tốc dòng nớc 4km/h
(54)13 Hai vòi nớc chảy vào bể nớc sau bể đầy Nếu chảy riêng vòi thứ chảy đầy bể thời gian vòi thứ hai Hỏi vòi chảy riêng đầy bể
14 Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B, đờng dài 100 km Ơ tơ thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km/h nên đến B trớc tơ thứ hai 30 phút Tính vận tốc xe
15 Một công nhân phải hoàn thành 50 sản phẩm thời gian dự định Do tăng suất sản phẩm nên ngời hoàn thành sớm thời gian dự định 40 phút Hỏi ngời cơng nhân làm đợc sản phẩm
Hệ thức cạnh đờng cao tam giác vng.
I, Mơc tiªu:
- HS đợc củng cố, ghi nhớ hệ thống hệ thức cạnh đờng cao tam giác vng
- áp dụng hệ thức vào làm đợc thập tính tốn độ dài yếu tố tam giác vuụng
II, Nhắc lại lí thuyết:
H thức cạnh đờng cao tam giác vuông:
2 ,
2 ,
2 2
b a b
c a c
a b c
2 , ,
2 2
1 1
a h b c
h b c
h b c
III, Bµi tËp
B C
(55)1, T×m x, y hình vẽ sau:
2, Cho tam giỏc vng với cạnh góc vng có độ dài Kẻ đờng cao ứng với cạnh huyền Tính đờng cao hai đoạn thẳng mà định cạnh huyền
3, Đờng cao tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng cú di l
và 4.Tính yếu tố lại tam giác vuông
4, Cho tam giác vuông Biết tỉ số hai cạnh góc vnglà : cạnh hguyền 125 cm, Tính độ dài cạnh góc vng hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền
5, Cho tam giác ABC vuông A, biết
5
AB
AC đờng cao AH = 30 cm Tính HB, HC? 6, Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đờng cao AH Biết hai cạnh góc vng Tính yếu tố cịn lại tam giác vng
7, Cho tam giác MNP vuông M, kẻ đờng cao MH Biết hai hình chiếu hai cạnh góc vng 12 Tính yếu tố càon lại tam giác vng
8, Cho tam giác PRK vuông R Kẻ đờng cao RH, biết đờng cao RH = 5, hình
chiÕu
7.Tính yếu tố cịn lại tam giác vng
TØ sè lợng giác góc nhọn.
I, Mục tiêu:
* Kiến thức - Kĩ năng:
- HS đợc củng cố định nghĩa tỉ số lợng giác góc nhọn, tính chất tỉ số lợng giác góc nhọn, hệ thức cạnh góc tam giác - Vận dụng tính tốn,tìm đợc tỉ số lợng giác góc, dựng góc biết tỉ
số lợng giác góc
* Thái độ: Rèn tính cẩn thận, xác, linh hoạt II, Lí thuyt cn nh:
*Đ/n tỉ số lợng giác góc nhọn * T/ c tỉ số lợng giác cña gãc nhän:
+ sin , cos 1; sin2 cos2 1; sin : cos tg; cos: sin costg .
+ NÕu vµ hai góc phụ sin cos; tg cotg + tg.cotg
* Hệ thức cạnh góc tam giác vuông III, Bài tập h ớng dẫn:
Nguyễn Văn Tuấn Trờng THCS Trịnh xá
B C
H A
B C
H A
B C
H A
B C
H A
B C
H A
B C
(56)Bài tập 1: Cho hình vẽ sau, hÖ thøc sai.
B
A
C
1, sin
BC A
AC
; 2, cos
AB C
AC
; 3,
AB tgC
BC
; 4, cot
BC gA
AB
; 5,
.cot
tgA gB
6, sinAcos(900 C); 7, sin2 Acos2C1; 8,
sin cos
A tgA
C ; 9,
sin
cot cos
A
gA A ; 10,
cot
tgA gC
Bài tập 2: Cho hình vẽ sau, hệ thức sau đúng.
B
A
C H
1, AB BC cosC; 2, ACAH tgC ; 3, AH AB tgB ; 4,BH AH tgB ; 5, sin
AC BC B;
6, AB AC tgC ; 7, BH AB.cosB; 8, cos
AB BC
C
; 9, cot
AC AB
gC
; 10,
AB AC
tgC
Bài tập 3:
Cho tam giác ABC vuông t¹i A AB = 30 cm gãc B b»ng BiÕt
5 12
tg
Tính cạch AB, AC
Bài tập 4:
Tìm x hình vẽ sau:
Bài tập 5:
Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đờng cao AH Tính sin ,sinB C trờng hợp sau: A, AB = 13 ; BH =
B, BH = ; CH =
Bµi tËp 6:
Dùng gãc nhän biÕt : a,
1 sin
2
; b,
2 cos
3
; c,
4
tg
; d,
3 cot
4
g
Bµi tËp7:
a, Sắp xếp tỉ số lợng giác sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn : 1,
0 0 ' 0
sin 35 ,cos 28 ,sin 34 72 ,cos 62 ,sin 45
2,
0 ' 0
(57)b, Sắp xếp tỉ số lợng giác sau theo thứ tự từ lớn đến nhỏ : 1,
0 0 '
42 ,cot 71 , 38 ,cot 69 15 , 28
tg g tg g tg
2,
0 0 ' 0
cot 57 , 46 ,cot 73 43 , 64 ,cot 75g tg g tg g
Bµi tËp 8:
Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đờng cao AH Biết hai cạnh góc vng Tính yếu tố cịn lại tam giác vng
Bµi tËp 9:
Cho tam giác MNP vuông M, kẻ đờng cao MH Biết hai hình chiếu hai cạnh góc
vng 12 Tính yếu tố cịn lại tam giác vng
Bµi tËp 10:
Cho tam giác PRK vuông R, kẻ đờng cao RH Biết đờng cao RH hình chiếu
là Tính yếu tố cịn lại tam giác vng
Bµi tập 11: Tính giá trị biểu thức:
a, A cos 52 sin 452 0 sin 52 cos 452 0 b, B sin 45 cos 470 sin 47 cos 452 0
Bài tập 12: Tìm sin ,cot g tg, biÕt
1 cos
5
Bài tập 13 : Cho tam giác ABC vu«ng ë A, gãc C b»ng 300, BC = 10 cm a, TÝnh AB, AC
b, Kẻ từ A đờng thẳng AM, AN lần lợt vng góc với đờng phân giác ngồi góc B CMR:
MN // BC; MN = BC
c, Tam giác MAB đồng dạng với tam giác ABC Tìm tỉ số đồng dạng
Sự XáC ĐịNH đờng trịn- đờng kính dây đ-ờng trịn
I, Mơc tiªu:
HS đợc củng cố kĩ xác định đờng trịn; hình trịn, tâm đờng trịn qua điểm, tốn CM vng góc; đoạn thẳng nhau, tính độ dài đoạn thẳng thơng qua quan hệ đờng kính dây đờng trịn
II, Bµi tËp:
Nếu tam giác có góc vng nằm giao điểm hai đờng trung trực hai cạnh tam giác
Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác tập hợp điểm có khoảng cách đến A nhỏ cm
Đờng trịn tâm O bán kính cm tâm đờng trịn ngoại tiếp nằm trung điểm cạnh lớn tam gíac vng
Hình tròn tâm A bán kính cm tập hợp tất điểm cách điểm O khoảng cm
nằm giao điểm hai đờng phân giác hai góc tam giác
(58)*Mệnh đề sai?
1, Trong đờng trịn, đờng kính vng góc với dây qua trung điểm dây
2, Trong đờng trịn, đờng kính qua trung điểm dây vng góc với dây
* Cho hình vẽ sau Biết độ dài OA = cm, OH = cm Độ dài dây AB bằng: a 4cm; b cm ; c cm
A H B
O
Bµi tËp 1:
Cho tam giác ABC có góc nhọn Vẽ (O) đờng kính BC, cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D E
a, CMR: CD AB; BE AC.
b, Gäi K giao điểm BE CD CMR: AK BC.
* Chốt lại cách CM vng góc dựa vào định lí đảo tam giác vng định lí đờng cao tam giác
Bµi tËp 2:
Cho tam giác ABC cân A, nội tiếp (O).Đờng cao AH cắt đờng tròn (O) D a Vì AD đờng kính đờng trịn (O)
b TÝnh sè ®o ACD
c Cho BBC = 24, AC = 20 Tính đờng cao AH bán kính (O)
Bµi tËp 3:
Cho đờng tròn (O), đờng kính AD = 2R Vẽ cung tâm D bán kính R, cung cắt đờng tròn (O) B C
a Tứ giác OBDC hình gì? b TÝnh sè ®o CBD, CBO, BOA
c Chứng minh tam giác ABC
Bµi tËp 4:
Cho đờng tròn (O), điểm A nằm bên đờng trịn, điểm B nằm bên ngồi đờng tròn, cho trung điểm I AB nằm bên (O) Vẽ dây CD vng góc với OI I Hãy cho biết tứ giác ABCD hình gì? Vì sao?
Bµi tËp 5:
a Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB, dây CD.Các đờng thẳng vng góc với CD C D cắt AB lần lợt tạiM N CMR: AM = BN
b Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB Trên AB lấy hai điểm M N cho AM =BN Qua M, N kẻ đờng thẳng song song với chúng cắt nửa đờng tròn lần lợt tạiC D
CMR: MC ND vuông góc với CD
(59)BT1.Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB Từ A B Kẻ tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc đờng tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By lần lợt E F
a, CM: Tø giác AEMO nội tiếp
b, AM cắt OE P, BM cắt OF Q Tứ giác MPOQ h×nh g×? V×
c, Kẻ MH AB ( HAB ) K giao điểm MH EB So sánh MK với HK. d, Cho AB = 2R, gọi r bk đờng tròn nội tiếp EOF CMR:
1
r R
BT2 ChoO AB; cố định, điểm I nằm A O cho AI =
2
3AO Kẻ MNAB I
Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lín MN cho CM, N vµ B Nèi AC cắt MN E CMR:
a, Tứ gi¸c IECB néi tiÕp b, AM=AE AC
c, AE AC- AI IB =AI
d, Xác định vị trí C cho khoảng cách từ N đến tâm O ngoại tiếp CME nhỏ
nhÊt
BT3 Cho hbh ABCD có đỉnh D nằm trênO AB; Hạ BN DM vng góc với đ-ờng chéo AC CMR:
a, Tø gi¸c CBMD néi tiÕp
b, Khi D di động trên O BMD+BCD khơng đổi c, DB DC= DN AC
BT4 Cho ABC néi tiÕp O Gọi D điểm cung nhỏ BC Hai tiÕp
tuyến C D với đờng tròn O cắt E Gọi P, Q lần lợt giao điểm cặp đ-ờng thẳng AB CD; AD OE CMR:
a, BC DE
b, tứ giác CODE APQC nội tiếp c, tứ giác BCQP hình gì?
d, ABC có điều kiện tứ giác BCPQ HBH?
BT5 Cho O AB; Đờng thẳng d cắt O A, B Cd (O) Từ điểm cung lớn AB, kẻ đờng kính PQ cắt AB D, CP cắt O điểm thứ hai I AB cắt IQ K CMR:
a, Tø gi¸c PDKI néi tiÕp b, CM: CI CP = CK CD
c, IC phân giác AIB.
d, A, B ,C cố định, O thay đổi nhng qua A, B CMR : IQ quađiểm cố định