ThS VÕ GIANG GIAI
Trang 2ThS VÕ GIANG GIAI
TUYỂN TẬP
CÁC BÀI TỐN
BAT DANG THUC VA CUC TRI
TIRONG CAC BE THI TUYEN SINH BAI HOC & CAO BANG
© TẤT CẢ CÁC ĐỀ THỊ ĐỀU ĐƯỢC PHÂN LOẠI CHI TIẾT
e LUYỆN THI DAI HOC VA CAO BANG
e NHIỀU BÀI TỐN ĐƯỢC GIẢI NHIỀU CÁCH HAY VÀ MỚI
e GIỚI THIỆU CÁC ĐỀ THỊ TRẮC NGHIỆM
Trang 3CÁC KIẾN THỨC CĂN BẢN CẦN NHỚ 1 Định nghĩa a>b @ a-b>0 «» b-as0 (Dấu = «>a=b) 2 Tinh chat e Tinh chdét 1: a<a vae R (tinh phan xa) + a 2> bị - aos e Tinh chat 2: ho a ze (tính bat cau) bec) e Tinh chat3: az2b = a+c>b+c, VceR " „ a> b| © Tinh chat 4: => a+c>bed c>d | , a>b>0 e Tinh chat 5: > ac2bd c2d20 fac>be, néuc>O e Tinh chat 6: a>b -:= 4ac=be, nếu c=0 | jac<be, nếu c<0 , a>b e Tinh chat 7: a 1 < 1 ab > 0 a ob >b>0 lạ" » bn a } 2<neN Wa > Vb e Tinh chat 8: „ a> b a“mrl > bnt1 e Tinh chat 9: => 9 ‘ neN 20 Va > 2p , 2y e Tinh chat 10: => a‘ >a’ a>l , x2 e Tinh chét 11: y => a‘ <a’ O<a<l 3 Các bất đẳng thức thường gặp
* Bdt dang thite Cauchy
Néu a, a ,a,20(2<ne Z) thi:
n
Dau "=" <> a; = a= = A
Trang 4
* Bất đẳng thức Bunhiacopski
Nếu ay, 8¿, , aạ, Dị, bạ, , bạ cR(2<n e Z) thi:
(aybị + a;bạ + vn anbn)? < (a? + a2 + +a2 bể + bộ + + bổ) Dấu "=" « 3k e R: a; = kb; (Vi = 1, 2, ., n) w Bất đẳng thức Bernoulli se Dạng 1: Nếu a>-1 và 1<necZthì(1+a)">1+na Dấu "=" © eos n=l e Dang 2 (MG rong): + Nếua>-1 vàn >1 thì (1+a)">1+na + Nếua>-1và0<n<1thì(1+a)"<1+na Cả hai bất đẳng thức đều cĩ dấu "=" | 7 °_ Dạng 3 (Mở rộng) :
Néu aj, a, ., 27 2-1 (2 <n € Z) va tat cd déu cing đấu thì :
Trang 5" fon \ >a, fix ne \ aX ‘ “~ ot Vx, € (a; b) va Yu, > 0 thoa Nụ, Lae 1,n va 2<neZ) cà e Dang 2 (ham lõm) : Néu ham sé f : (a; b) -» R thoa f(x) > 0, vx € (a; b) thi: dì i ì Ya fix) >f Sux, t=] ii
Yx, € (a; b) va Vơ, > 0 thỏa du, =lUi=1,n va2<neZ) Ca hai bat dang thuic déu co dau"=" <> x, = Xg = = XS
Trang 6DANG 1: AP DUNG CAC TINH CHAT CAN BAN CUA BAT DANG THUC: A CAC BÀI TỐN BẤT DANG THUC 1 Cho x, y thỏa : x? + y? = 1 Chung minh rang: -V2 s x+y <2 (Đại học Miễn Bác 19700) Giải
Ta cĩ: (x+y)? = 2x? + y”)-(x- y)?=2-(x-y)? <2
=> (x+y)? <2 => lx+y| < v2 => -V2<x+y<s 2
Chú ý : Lấy x = sing, y = + cosg thi ta cé ngay bat dang thuc lugrng
gidc |sing + cose | < 2
2 V2
Trang 7Chủ y : Lay x = tana ta - sẽ k- Z2 thị cĩ ngay bất đẳng thức
lượng giác : tana + cota’ S9
4 a) Choa>0 Ching minh ving 1 eas 2va
b) Cho ay, a¿, , aị c0 Chứng mình rang:
(1+ ajHđ1+a20 11 xa c2" vlads Ay -
Dau "=" xay ra khi nào ?
‘Dai hoc Tong hop TP.HCM 1977) (Dat hav Y - Duoe — Nha TP.HCM 1979) Giải a) Ta cĩ: (1- va)? >0 coo l+a2z2Va Dấu "=” :+ a = 1 b} Theo câu (a4): l1+a,z>z 2Va, <0, Xi=l,2, ,1 Đấu "=” © a,= 1 Suy ra : (1 +a, X1 + a,) (1+ + a,)> 2" Jajay a, Dau "=" © ai=a¿;= = ay = Ì
5 a) Ching minh rang : Néu b, c > 0 thi = > ~* n |
Trang 86 Cho x, y, z e R Chứng minh rằng : x” + y? + z?-xy-yz—zx20 8 (**) (Đại học Bách khoa - Tổng hợp TP.HCM 19799) (Đại học Sư phạm TP.HCM khối D uà G 20000) Giải Ta cĩ: (x—y)°+(y—z)°+(z—x >0
= x? + y? — Oxy + y? + 2? — Dye + 2% + x? — Qex 20
<> 2x? + Qy? + 22" - 2xy —- 2yz - 9zx >0 o x+y? +2? — xy — yz- 2x20
Dau “=" = x=y=2
Trang 9Theo câu a) suy ra : 1 1 ) [ ] \ \ 2 2 tora) vee pt)? Toate?’ Teetp? 1+A' 1+B') (1-C* 1+p') 14+A7B? 14+C?D 4 > 4 1+ ABCD 1+abc IV 1 1 1 1 4 => — + — + — + > l+a? o1+b*? lực? Ltabe 1+abe 1 1 1 3 => + + > l+a? 1+b> L+c? l+abe
Trang 11(x—y) + Ate xr oO Ta cĩ : y ‘ ~ (X+y+z + |x? x +y” +E XV EVE sử : aN : => [x2 ay? +2" +2'XY hVZ tC2X) c1 Ll2>xyt+yz x , 2 2
— 1+ 2(xy + yz+z2x) y+}yz+/ 2 0 Wiis +y7 42° = 1) => ~5 Sey tye ows
fabe = 1
13 Che | a+bt+e>-—+—-+- 11
a bec
a) Chứng minh rang : (a — 1b - Iie - 1) > 0
b) Chứng minh rằng trong ba số a, b, c cĩ đúng một số lớn hơn 1 (Dai học Tổng hợp TP.HCM 1993) Giải a) Ta cĩ: (a~ 1Xb— 1Xc- 1)=-1l+(ta+b+c€)~ (ab + be + ca) + abc 1 =+b + e=(nD + he + em a + b + e— ghe [2+2 +2) Ta bì 1 1 1) =a+b+e c[Tvi rẻ >0 a b ec) - ~1J(@-1)>0 b) The TC 1)(b — 1)(€ - 1) > abe = 1 Vì vậy : ta cĩ đúng hai trường hợp sau : * Ca ba sé a- 1, b-1,¢- 1 đều dương
=> a,b,e>1 => abe>1 = Mau thudn véi abe = 1
Trang 13
16 Choa, b, cla ba canh AABC
Chứng mình rằng : a” + D7 + cÍ< Ylab + be + ca)
(Đại hoc Van Lang 1995) Giai (a chee ta < ab + ca Cách 1:Ta cĩ: Ìb-c+a › :b + ab+ be c<a+b ic « be +ca = a’ +b? +c? < 2(ab + be + ca) Cách 2 : Theo định lí hàm cos : a? = bf+c —2be.cosA + b? = c? + a° — 2ca.cosB ce? = a’ +b* - 2be.cosC 2(bc.cosA + ca.cosB + ab.cosC) 5 > a+b?+e? < 2be+ca+ab) (vì: -1 < cosA, cosB, cosƠ < 1) 17* Cho0<a<b<c Chứng mính rằng :
a*(b? — c?) +btc°— a?) + cta°~ b?) <0 (1)
(Đại học Thủy lợi 1995)
Giải
(1) < ab? —c?) + b'(c” - a”) - cl(b°- 7) + (c a?|<0 â (ađ eb? -— ¢*) + (b° — ec’ - a7) < 0
ôâ (b-c)(e a)[(b + be + c”(e + a) ~ (c? + ca + ab +0)} <0
c© (b—e)(c- a(cb? - ca”) + (ab* ~ ba*)] < 0
= -(b-c)(c- aXa - bab + be + ca) <9
<> (a-bXb- cXc - aXab + be + ca) > 0 ab + be + ca > 0 Luơn đúng vì:0<a<b<c = hàn c-a>0
18 Cho AABC nhọn Chứng mình rằng : (1 + cosAX1 + cosBX1 + cosC) > 2
Trang 14= 1+ (cosA + cosB + cosC) + cosA.cosB + cosB.cosC +
+ cosC.cosA + cosA.cosB.cos¢C
> 1+ (cosA + cosB + cosC) > 2 + 4sin= sin sinc >2
(vi : cosA + cosB + cosC = 1+ asin sin sins (?))) => (1 + cosAX1 + cosBX1 + cosC) > 9 .19*, Cho AABC cĩ : of + + 1 ~ 5] < cotB + cotC (il) sinB sinC Chứng minh rằng AABC đều ` (Đạt học Xây dựng Hà Nội 19985) Giải
(1) © 2AsinB + sinC - X3 sinB.sinC) $ sin(B + C)
<= &sinB + sinC - 3 sinB.sinC) < sinB.cosC + sinC.cosB <= sinB + sinC < snc{ Boos + Sanh] +
+ sina Bosc + Banc)
© siRB +sinC < sinC cos|B - 3) + sinB.ens[C - *|
2 saB|: - cu[C - *)| + sinc - cas|B - *)| <0 {e-3) : © 8 8 & AABC déu coo(B- 2] =1 c=2 3 3
20 Cho AABC cé diện tích bằng 1 và độ dai ba canh Ia a, b, c (a 2 b> c?) Ching minh ring: b 2 V2
Trang 15> 1=S< — b- V2 2 [b= , woos by V2 Dau "=" <> } T IA=s L 2 { 2 ‘21* Cho AABC c6 A> B> C b Chứng minh rang: — + o,f ,f,2 (1) ec b c b aie ‘Dai hoc Y khoa Hà Nội 1996) Giai (1) = be+clax+ab>ae+eb+La => be(b — c) + calc — a) + abla - b)> 0
= belb—c) + calc — a)- abib -c +ec-a)>0 c (be — ab)(b - e) + (€ — a)(ca - aÙ) >0
oS b(c — a)(b — c) + alc - ake — b) > 0 = (e— a)(b—e)\b—a)>0 |c-a<0 Luơn đúng vì A>B> c» a>b>»>c c (¿b-c>0 lb-a <0 22* Chứng minh rằng :
\jx? +xy+y? + yy? +vz+z” + Vz? +ux + x° > VWBix+y +2), Vx, y,z>0
tHọc uiện Quan hệ Quốc tế 1997) Giải ‹ 2 2 32 2 1,2 2 Ta cĩ: af +a + fo = —(œ“ + 2øj\ + “)+ —(œˆ - 2q + B“) 4 4 3 9 ] 9 3 Q = =(a+)) +—(a -f > =(a + BY 4 4 4 > 3
=> fot app = Bea spy
Trang 16
23 Chimg minh rang : trong moi AABC, ta luén cé :
cos”A + cos?B + cos”C < a+ i (cos3A + cos3B + cos3C) (1) (Dai hoc An ninh khéi C 19977)
Gidi
Do cos3x = 4cos"x — 3cosx
Nén (1) <~ ~~ cos°A + cos"B + cos"C <
< -+ i [4(cos*A + cos"B + cos"C) - 3(cosA + cosB + cosC))]
<= CosA + cosB + cosC < D
Trang 17SX EV 4 De YiNy 4 ye 4 2x) 2 Bixy + yz + 2x) > (X= yr +ty- zr 4 iz xi > 0 luén dung => (DPCM)
2?5* Cho AABC cĩ : sim A + sin*B = YsinC Cho A, B nhon Tinh C
(Bat hoc Ngoat thuong Ha Noi 1997)
Giải
Ta cĩ: sin2A + sinB = ŸSinC > sin’C
=> sin"A + sin“B - simfC LC / 2¿ 33
= a’ +b? >¢ (Đo định h ham sin) S
â a +bf-c>z0 ô+ 2abcosC>0 & ~~ cosC 20 Nà 3) ] - = ĐsinC =sin” A + sinˆB =1 5 (cos2A + cos2B) 1 - cos(A + B).cos(A — B) 1 + cosC.cos(A - B)> 1 H \ 1 { ì _¬ 3 _ |" sạc 20 = vi:
0<A, B< > ~ iia Bl <5 cos(A - B) >0 => sinC 21 => sinC = 1 => Ce 5 (thử lại thỏa đề bài)
2tG Cho a,b,c e R Chứng minh rằng :
ia) a? +b? +c? > ab + be + ca (1) b) (ab + be + ca)? > 3abc(a + b + e) (Đại học Quốc gia TH HCM 1998) - (Đại học Sư phạm TP.HCM 2000)
Giải
m), (1) << — Qa* + 2b? + 2c" 2 2ab + 2be + 2ca
= (a* +b? - 2aL) + (b? +c? — 2be) + (c7 + a?— 2ca) > 0
= (a—b)’?+(b—c)* + (c— a)’ > 0 ludn ding
Vậy : a“ + b? + c?>ab + bc + ca b) Theo câu a) :
(ab + be + ca)” = (ab)* + (be)? + (ca)? + 9abe(a + b + €)
2 ab.be + be.ca + ca.ab + 2abe(a + b + c)
> 8abce(a + b +c) => (DPCM)
17
Trang 18a+b 27 Cho a,b >0 Chứng minh rằng : loga;a + logs;b > 2logos (1) (Cao đẳng Đà Nảng 19998) Giỏải a+bŸ Ta cĩ:(1) <= loges(a.b) > logo; 2 c© ab < (° + >} (vi: ham sé: y = flx) = log,x (0 < a < 1) gidm trén (0; +020)) © 4ab<(a+b)? = (a-b)?20 Bất đẳng thức cuối luơn đúng Dấu "=” © a =b 28 Cho phương trình : x” - x” + ax + b = 0 cĩ ba nghiệm phân biệt Chứïng minh rang : a? + 3b > 0 (Đại học Quốc gia Hà Nội khối A 1998) Giải Gọi a, đ, y là 3 nghiệm phân biệt của phương trình : x” - x? + ax +b =0 œ+j+y=l Khi đĩ : 4œ + By+yd=a apy = =b
=> a’ + 3b = (œB + By + ya)” — 3apy
= (œB)? + (By)? + (yœ)? + 2œBy(œ + B + y) - 3aPy (a +B + yy)
——†——”
= (aB)? + (By)? + (ya)? - aByla + B + y) = site ~ By)” + (By - yœ) + (yœ ~ œB)?
= = (a%B - y)* + By - a)? + ya - B)*] > 0 Vậy : a” + 3b > 0
29" Cho x, y, z € [0; 2] Chimg minh rang : 2(x + y + z) - (xy + yz + zx) << 4
Trang 19<> 380" Cho a, b, 2(X+ VY +/Z)- (NY + VZ tZXIc 4 xvz <4 ) 2Xx+ VY + Z)- (xv t+ vee “xi 4 e là ba cạnh SABC Chung nianh rang 2 : 1 3
ab -— cc) + bic = ar +ciathe so a+b te (1) ‘Da hoc Dan lap Van Lang 1998) Cách 1: (1)= => 0 0 0 00 Cách 2: (Ao > $ 0b, Ũ _9cos Giai af(b — ¢)* — a“] + bic - a - U†+ cella + b)?- c?] > 0 a(b—-ec+a)\b=ec=a)+bte-a-=ble-=a+b)+ +c(a+b-c(a+b+c)>0 (a+b-—ofaib-c-ab+ciatb+c)-bic-a+b)]>0 (a+b— eWab - ae- a +cat cb +c’ — be + ba—-b*) >0 (a +b - elec’ — a — b* + 2ab) > 0 (a+b — e)[e* -(a- by} > 0 (a+b—cXec-a+b\(e+a-b)>0 a<b+c (b+c-aJ(e+a-b(a+Ùb~ec)> 0 luơn đúng | vi b<c+a c<a+b
a[(Œb — e)? — a?l + b[(e — a)’ - bỶ] + cl(a + b)? — e?| >0
a(bŸ + c? - a” - 9be) + b(e” + a” - b”- 2ea) +
+ cla” + b? - c? + 2ab) > 0
Trang 20¿+ Ý 31 Chimg minh rang : a2 +b°+c?+d?+e2>za(b+c+d+e), Va, b,c, d,e eR _ (Đại học Y Dược (Hệ Cử nhán) 19939) Giải Ta cĩ: a?+bf+c?+d°+e?-a(b+c+d+e) 2 2 2 2 [= avon?) [S-aceet | -adcat | Sass?) 4 4 4 4 a 2 fa ? fa 2 (a ? (Đ-ơ) +(3-e} +(2-a] +($-e} 20 2 2 7 2 AQ Vay : a? + b? +c? +d? +e? > alb+c+d+e) H 32 Chứng minh rằng : ab + be „ca <atbtc a+b b+c c+a (Đạt học Quốc gia Hị Nội 1999) , Va,b,c>0 Giải Tacĩ: (a-b)*20 = a?+b>29ab => (a+b)? > 4a => ab < arb a+b 4: Chứng minh tương tự : + bc <btt b+e 4 ca c+a <Š c+a 4 : ab be ca a+b+c'ˆ => + + < a+b bực cra 2 Dau "=" = a=b=c>0 1 ‘ 1 1 1 + — + $s a?+bỀ+abc bẺ+c?+abc c?+a?+abc abœ & (Đạt học Thủy lợi 19409) 88 Chứng mình rằng : Giải
Ta cĩ: xỶ+ yÌ + xyz = (x + yXX? - Xy + y?) + xyz
Trang 211 — i ~ | ] Suy ra: a2 +b+vabe be: abe oe? als abe c a Ụ 1 IA (a+b+oabe tatbecabe tateot+ecdabe abe Dau "=" =a=b=c»0 34" Cho x, y, z € [0; 1] Ching mình ràng : Q(x? + y+ 2') = ix’y + yn + 27x) <3 (Dai hoc An ninh khéi D, G 1999) - (Dé thi HSG TP.HCM, nắm 2005) Giai Do: x,y € (0; 1] => xyefO 1] = (l-x%1-y%)20 => 1-(X +y)+xy `>0 = X'tv'sl+xy <l+xŸy = X'+Y Sl+XYy ) Chứng mình tương tự: + yo #2 cl+y*z 3 3 2 Z”+X 6l+ZX Ax? + yi 42°) <34 xy + yz + 22x : 3 3 2 2 2 > Q(x? + yo + 2°) — (xy + yz + 2°x) <3
35 Chứng minh rang: a®- a’ + a°-a+1>0, Vae R
(Đại học Y khoa Hà Nội 1999) Giải , I ) Ta cĩ: a°-a?+a?-a+l= la =a " ria? -a+i ai 4} \ 4) 2 fal on =]a ` ~=| than +— >0,VaeR \ 27 2) Vay: a°-a®+a?7-a41>0,VaeR ae dela 36 Chứng minh rằng : ————— <——————, Va,beR (1) 1 +|a + bị 1+la +|b| (Dai học Nơng nghiệp I Hà Nội 1999) Giải
(1) © la+bl(1+ lai + |bl)<(ial + lblj1 + la+bÏ)
c© la+bl + lal.la+bi + Ibl.la + bị <la|l + lbl + la+bl.lal + 'a+bl.lbị
21
Trang 22
o la+bl<slal+lbl «œ6 (a+b3#<(lal + lb|? = a? + b + 9ab < a? + bẺ + 2Ì ab | © ab<lab] luơn đúng Dau “="_ © ab >0 37* Cho AABC khơng tù Chứng mình rằng :
sinA + sinB + sinC > cosA + cosB + cosC ((1) (Hoc vién Quân y 1999) - (Đạt học Sư phạm: Vinh 1999)
Giải
()© (sinA + sinB + sinC) > (cosA + cosB + cosC)?
(Để ý : 2 vế của (1) đều đương)
©_ (cos?A — sin?A) + (cos2B — sin?B) + (cos?C - sin?C) +
+ 2(cosA.cosB — sinA.sinB) + 2(cosB.cosC - sinB.sinC)) + + 2(cosC.cosA — sinC.sinA) << 0 © (2cos?A — 1) + (2cos?B — 1) + (2cos2C — 1) +
+ 2cos(A + B) + 2cos(B + C) + 2cos(C + A) << 0
<= (2cos*A ~ 1) + (2cos*B - 1) + (2cos’C — 1) -
- — 2cosC — 2cosA — 2cosB << 0
° 2cosA(cosA — 1) + 2cosB(cosB - 1) + 2cosC(cosC ~ 1) - 3 < 0 <0 <0 <0 Luơn đúng = (DPCM)
38 Cho AABC cĩ ba cạnh là a, b, c và S là diện tích Chứng minh rằng ::
Trang 23b) 2 1 ° => 16S° = 16| Besina | = dboe stat A = 9(a'bi+be + ca tata bh 4 ch) Cach 2: Theo céng thie Herone i a t7 + CC S = Jp(p alp bp oc) voip = : => 16S* = (a+b4¢ci-at+tbecia o+ecla+b-e)
= [(b+e) - a} fae -tb— or}
= [2be + (bo + ¢ - aiif2be = tb? + c* — a?)] = 4b°c? - tbo +c = ay °b? — 9e?a?) = 9(a°b°+ be + c?a?) -(at+ bt+ e'), = 4b°c? - bi +c) 4¢al 4 2b’ - 2a Theo cau a): 16S° = 2(a?bˆ+brc + € a2 — (a! + bt +c’) = a'+b' +c! ~(2a' + 2b' + 2c! — 2a*b? — Ø9b?c? - 2e?a?) = at¢b'+c'-(a -by - tb’ - 7) — (ce? — a®)? < af+bl+c!
=> 16S? < at+b‘'+c' Dau"=" < AABC déu
39 Cho a, b > 0 Ching minh rang : Fe t + >1 + Vb (1)
" (Đạt học Huế 2000)
Giải
Đặt: 4ˆ va > 0
= vb >0
Trang 24Giải Dat: x= Ya >0 o az=x? Suyra: (1) @ x+x?<1+x? © x'-x +1-x>0 © xXx-l)-(x-1)>0 œ (@&-1Xx-l)>0 © (x+lXx-l>0(uơnđúng = (DPCM) 41 a) Chứng minh rằng : + + > x y x+y , ¥x,y>0 (1) 2,21 dt sinA sinB sinC coS— A coS— B Ccos— 2 2 2 b) Cho AABC cĩ : Chứng minh AABC đều
(Đại học Tài chánh Kế tốn Hà Nội 2000)) (Đại học Mở Hà Nội 20011) s Giải a) (1) © [2+2]}e+nes = (x+y)? > 4xy x sy ©_ (x-y} >0 luơn đúng Dấu "="” ©x= y 1 1 4 4 b) Theo câ : + > ) eo cu a) sinB sinC * sinB + sinC 2si B+C sin COS P B-C 4 2 2 B > ^ 2sin cos— => oy 1 > 2 Dau "=" <0 B= @ sinB sinC A 2 + 4 1 1 2 aon {
Chứng minh tương tự: + ——~+—— 2 Dau "=" << C = Ak
Trang 251 + ——— ‡ ———- 1 1 Ì + l tỶ—m— 1 - —— = AABC déu snA sinB sinC oN 3 C Vậy :
42 Chứng minh rằng : Vlet +Vl-t-l- V1 Tơ >2—t?, Vte [-l; 1|
(Đại học Quốc gia TP.HCM 2001) Giải Cách 1: Cho t e [-1; 1| « Chứng minh : V1+t+vl1-t>1:v1-t (1) (1) < (41+t+V1-t)/>01l+vIi-t ) ôâC 2+ 2V1-t >2-t+2vI-t c© t”> 0 luơn đúng = (1) dung e Ching minh: 1+ Vl-t? 22-t- (2) (2) o V1I-t? >1-tŒœ0) oe 1-t2a-ty 2 (1 — t*)t? > 0 luén dung (vi: O<t (2) dung : Cách 2: Đặt t= cos2u, ae Bất đẳng thức (1) ©
Trang 27keZ , ú 45 Cho {osx < 2001: “2 nành ràng CC?! OP < (C212 (4) (Học tiện Quân y 2001) Gtat
Theo bai 44: Ch, Ch, Coe Ook Sp Lay n = 2001 ta co ngay bat dang thie st) tanXx - tanyv | an 7T ———————— - Ì.*X,Yy€ | —;— (1) 1~tanx.tany 4 4 (Đại học Hàng hải 2001) 46 Chứng minh rằng : Giúi a = tanx (a,b € (-1,1) 0?) b = tany (1) = a=b <1 2 ta =bÌ < |1-ab| l-ab = (a-b)’<(1- abr = a’ +b’ -2ab< 1 - 2ab + a°b” = (1-a?)+bf(a -1)>0 © (1-a?(1-b2)>0_ luơn đúng vì a, b e (—1; 1)
47 Cho x, y, z > 0 Chứng mình rằng : AY, ey z x y oy +y+2 (1) (Cao đẳng Hỏi quan 2001)
Giải
(1) <> (xy)? + (yz)? + (zx) > xyzx + y + 2)
©_ (xy — yz)’ + (yz — 2x)? + (zx ~ xy)” > 0 luơn đúng
Dau "=" x= y=z
48 Cho AABC Chứng minh rằng : cosA.cosB.cosC < s:
Trang 28u 5 cos -C)- 2 cos A — cosA.cos(B ~ C) + ~eos2(B - 0)| H 2 *$os2B -C)- 3{ cosa ~ + sos(B ~C)} < i 8 2 2 8 1 1 A = =cos(B -C zi = 60° Dấu "=" © cos acos( ) Ă© je 2e I 60 cos?(B -C) =1 B=C (?) B=C < AABC déu
Vay : cosA.cosB.cosC < n Dau “=" < AABC déu
Cách 2 : Trong AABC phải cĩ ít nhất hai gĩc nhọn, vì vậy ta cĩ thể xem A nhọn © cosA > 0 Khi đĩ : cosA.cosB.cosC = 5 cosAlcostB - C) + cos(B + C)] 2 Š 1 sa - cosA) < + - 2|°95A _ 3) < + 2 8 2 2 8 => cosA.cosB.cosC < ; cosA = + A=609 ` Dấu “=" 9 ~ AABC déu cos(B - C) = 1 B= : 40" Chứng minh rằng AABC đều nếu ta cĩ : 2b Le mạ Mm, mẹ
Ở đây a, b, c theo thứ tự là độ đài các cạnh, đối diện các đỉnh A, B, C;
Trang 29Mặt khác từ giả thiết: - —= m my ne ab ¢ Do do: Néum,#m, thi ——-—-— -—- >0 m, =m, mn
= đụ m1 bi>Q = Mâu thuẫn với (*)
Vay phaicé: m,=m, = a=b
Ching minh tuong tu : bse la=l ` Tĩm lại : Ta chứng minh được ib "es AABC déu =€ b Cách #: Ta cĩ: -— =——=—— m, my mi = a”_ bổ cổ a+bsc 4 mỹ mỹ mỹ m?+n¿+mẺ 3 2D 1 v22 Q22 Q2 m, = —(2(b° +¢"}-a"} 4 ` 2 1,2 02, Q2 2, 2,.2_3/)2 yo, 2 (vì : my = 7 [alc +a°)-b°}] > m>+mp +m =7@ +b’ + c*) m? = 1 (a? +b?) - c?] 4 4m? = 3a” Q(b? +c?) - a® = 3a? bỀ + c2 = 2a? © 4m? =3b2 c© 42c2+a?)-b?=ä3b? œ© {c?+a?=2p2 4m? = 3c? 2(a” + bŸ)- c° = 3c? a? +b? = 2c? oe a@=b*=cđ c a=b=c â AABC đều :ð0? Cho a, b, c> 2 Chứng mình rằng : logi,ua + logc,b + log,¿se > 1 (Dai hoc Phịng cháy Chữa cháy 2001) Giải
Khơng giảm tính tổng quát ta xem a>b>c> 2
Trang 30a) (1) © c© Pe Bất đẳng thức cuối đúng, vì : a>b>c © | b) Theo câu a) : (a? — b? + c”) - d? Giải a’ — b? +c? > a? + b? +c” — 2ab + 2ac — 2be bể - ab + ae - be <0 (ablc-b)<0 >(a-b+ec)~- d7 >a(ab+cd)(a-=bx+e+ -_ 0)? ôâ- b(b~—a)+c(a—b)<0 a-b>0 c-b<0 d) 2(a—b+c-dXa-b+c-—d) >z(a-b+e-d} Vậy : 8” - b? + c?- d?2(a-—b+c-d)’ GœGa—b+c-d)? 52* Choa+b+c= 1 Chứng minh rằng : Ta luơn cĩ : Chứng minh tương tự : + 30 1 1 1 a boc
map tac >3 3 3) ge)
Trang 31Chi ý : Bài này cĩ thể giải truc tiep ahi bat dang thức Trêbưsếp như sau : Khơng giảm tính tơng quát tr xem a be => 3* > 3 > 3° 1 1 1 => ——<—=<— 3 3P gt a2b2c Như vậy : 4 1 c1 1 e Theo bất đẳng thức Trêbưsếp : 3" ~ ah 7 „ 1 1 1 a b c — + —— te —— ~ —— + — a+b+c l a 3b 3° 5 qa 3 3° 3 3 3 ( = n2 3g 3 3 3 3 3 ` 1 Dâu "=" a=b=cz=- 3 x, y,z>0 53 Cho,1 —+—+-=4 1 1 x y Z 4 ` 1 1 1 Chứng minh rằng : + + <1
Qx+yt+z X+2Y+7 X+y+922—ˆ
(Dé thi Dai hoc cù Cao đẳng, khối A năm 2005) Giải Với a,b> 0, ta cĩ: 4ab <(a + b) 1 1/1 +
> 1 < ath c> “3Í *x) Dấu "=” œa=b a+b_ 4ab a+b 4\a b Áp dụng kết quả trên, ta cĩ : 1 <-|—+ lÍI lI Ì) II <—|Ì—+—+— 1 1 4 j 4 2x+y+z 2x y+z 2x 4y 4z Tương tự: + —i <1 273,28 x+2y+z 4\4x 2y 42 1 1ƒ 1 1 1 <S—|—†+—+—- x+y+2: 4\4x 4y 2z
Vậy : i + 1 + 1 <i ii iil =1
axy+zZ Xx+2y+z xt+y+2z 4|x y z won 3
Trang 3254 Cho AABC khơng tù thỏa : cos2A + 2V2cosB + 2/2 cosC = 3 Tính các gĩc của AABC (Dé thi Dai hoc va Cao đẳng khối A, năm 20041) Giải AABC khơng tù nên 0 < cosA <1 (= cos*A < cosA) Do đĩ : B+C B-C cOS 2 cos2A + 2V2cosB + 24/2cosC = 2cos? A - 1 + 442 cos
= 2cos*A + 4V2sin=.cos -1<2cosA + 4Vsin= “4 aft -9sin? =| + 42sin= -l= ~4sin? = + 4vsin= +1 A `2 -2(VBsin2 -1] +8<3 Vì vậy : cos2A + 242cosB + 22cosC = 3 cosA = 0 o | B=C © AABC vuơng cân tại A.: _ Al sin— = — 2 B CAC BAI TOAN CVC TRI _1 Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số : y = sin‘x + cos‘x (Đại học Miễn Bắc khối A 1972)) Giải - Tacĩ: y =sin’x + cos‘x = (sin’x + cos*x)? ~ 2.sin?x.cos’x 21 - 4sin*2x
Do: 0x<ain?2x < 1 (mỗi vế dấu "=" luơn xảyra?) © ; sy sl Vay : Maxy=1; Miny = >:
2 Cho AABC bat ki Tim Max của P = V3 cosB + 3(cosC + cosA)
(Đại học Sư phạm II Hà Nội 1998))
32
Trang 34
A-B A Bì sin—.sin— 2 22
4* Cho AABC c6 C< B< A < 90° Tim Min cua M = cos
(Dai học Kiến trúc Hà Nội 19999) Giải Tacĩ: Me zoos SF cost -coa^† >| 2 2 2 2
{ 2A-B A-B A-+ =| = —| cos - cos ,COS
9 2 2 = ũ + cos(A — B) — (cosÀ + cosB)]
Ma: sinCcos(A — B) = sin(A + B).cos(A — B) = 5 (sin2a + sin2B) = sinA.cosB + sinB.cosB => cos(A - B) = sins cos + SP cap sinC sinC >cosA+cosB (vì:0<C<B<A<90)
Dấu "=" © AABC đểu => M2 7
Dau "=" < AABC déu Vay MinM = 7 se a® +b? a+b) ð* a) Chứng minh rằng : _ 2 5 ,“a +b>0 b) Cho AABC tùy ý Tìm Max của P = VsinA + YsinB + YsinC_ | 3 A B C ị cos + Icos— + 3cos— 2 2 2 (Đại học Bách khoa Hà Nội khối A 20000) Giải 3 3 3 a) Tacé: = -* :(đ) â 4(a + b*) > (a +b)"
© 4(a +bXa? + b- ab) >(a + bị)!
Trang 35b) Theo caua): (3SinA + ° WsinB: HisinA + sinB) \.B ~ ) ST As TỦ sos A-B < 8cos C 2 2 => VsinA + ¥sinB “2 feos Dau "=" <> A=B a: Fe — | A eon Chứng mỉnh tương tự: YsinB + Vs “9% Dau "=" <= B=C \ +
Ysin€ + Ysina < Wa Dau "=" @C=A > YsinA + Ysin Be Ysin® < yo = + eos + eos
Dấu "=” AABC déu => P<]
Dau "=" = AABC déu MaxP =1 6 Cho AABC Dat P = cosA + cosB + cosC
a) Tim MaxP b) Chứng mình rằng khơng tồn tại MinP Chú ý : Trong để thi ĐH Sư phạm khối A chỉ cĩ câu a)
Trang 36b) Tac6: P=1+ 4sin= sin sin = > 1, VAABC Do đĩ nếu tổn tại hằng số m : MinP =m => mol (1.) ‘ A = 2x 7 Khi đĩ, xét AABC với i x với B<O=2~x (x{ 0; — 3) => P = cos2x + 2sinx 2 m, Vx € (0 *| => im P>m => l>m (2) x0 Từ (1) và (2) = Vơ lí Vậy : Khơng tên tạ: MinP
7 Cho x, y z0 thay đổi thỏa: (x + y)xy = x? + y’— xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xŠ + yŠ
Trang 37DANG 2: AP DUNG BAT DANG THUC CAUCHY
A CAC BAI TOAN BAT DANG THUC
1 Cho VABC cĩ a, b, c là độ dài các cạnh Chứng minh rằng : AABC đầu © laxb+e| xi ve ]=9: a boc (Đại học Miền Bác khối B 1976) Giải Theo bất đẳng thức Cauchy : a+b+c>3#abc >0 Dau "=" ©a=b=c 2242234 > 0 Dấu "=" a=be=c a boc abe
Vì vậy : larbro|2 xi xi] x9 Dau "=" ©a=b=c
Suy ra: (a+b+c) raed =9 © AABC déu
a bc
:2*, Cho 2 <n € N chan, tham số a > 3 Chứng minh rằng phương trình sau vo nghiém : (n + 1)x"**.— 3(n + 2)x"*! + a®*? = 0
Trang 39Dat: t=a-b>0 > tesa +h 2ab = ar+b?=t? +2 ave be 4D 2 mm uo (2 ty2>2/2 ‘ t (Do bat dang thite Cauchy) ve <6 8-8 v6 ca fi ị ib = fab = ] Dâu '=” t= 42 © 3 = 2 ta-b= 2 _ 42-6 #6 a | 2” (B+ 7 5 Cho a, b, c >0 Chứng mỉnh rằng : 1 1 ] _at b+e ae+be bo +ca ce ab abe © z (Đạt học Bách khoa Hà Nội 1990) Giải Theo bất đẳng thức Cauchy : 1 1/1 1) a? +be oa2be — Øjab.Vca - 4\ab ca} 1 1/1 1 \ Chir ng mi ¡nh tương tự : ng tu be sca [+4] 4 (ab be} 1 <s—lÌ—t— 1 1 1` cẪ+ba 4\be ca, 1 1 1 1/1 1 1 1 a+b+c Vay: = a2+bc bỀ+ca cơ+ab 2(ab be ca +— +— ¬ tt —|S<= 2 abe Dấu "=” ©a=b=c 6*', Cho aj, ay, ., An, by, by, ., b, > 0 (2 <n € Z) Ching minh rang :
va, + b, Mag + b,) (a, +b,) 2 Yajay a, + Wb, by b,
Trang 40a a , a, a a a ay 1 2 n < 1 + 2 + 4 n a, +b, ag+b, a,+b, a,+b, agtb, a, +b, b b b b b b n _— 2 < Loy Zt a a, +b, ag+by, a, +b, a, +b, a,+b, a, +b, n(/a,89 a, + Yb, bg b, ) Wa, + by (ag + bạ) (a, + bạ) sn o Way a9 8y + Wb, be b, <Š wa, + bị Nag + bạ ) da, + bạ)
7 Cho AABC cĩ các cạnh a, b, c; các độ dài đường cao tương ứng h,, hụ, h,; các bán kính đường trịn ngoại tiếp tương ứng rạ, rụ, rc và bán kính đường trịn nội tiếp r Chứng mỉnh rằng :
a) 4r.r, <a” b) r, +r +7, 2h, + hy, + hy