1. Trang chủ
  2. » Khoa Học Tự Nhiên

tuyển tập các bài toán bất đẳng thức và cực trị trong các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng

207 479 0
Tài liệu được quét OCR, nội dung có thể không chính xác

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 207
Dung lượng 6,87 MB

Nội dung

Trang 1

ThS VÕ GIANG GIAI

Trang 2

ThS VÕ GIANG GIAI

TUYỂN TẬP

CÁC BÀI TỐN

BAT DANG THUC VA CUC TRI

TIRONG CAC BE THI TUYEN SINH BAI HOC & CAO BANG

© TẤT CẢ CÁC ĐỀ THỊ ĐỀU ĐƯỢC PHÂN LOẠI CHI TIẾT

e LUYỆN THI DAI HOC VA CAO BANG

e NHIỀU BÀI TỐN ĐƯỢC GIẢI NHIỀU CÁCH HAY VÀ MỚI

e GIỚI THIỆU CÁC ĐỀ THỊ TRẮC NGHIỆM

Trang 3

CÁC KIẾN THỨC CĂN BẢN CẦN NHỚ 1 Định nghĩa a>b @ a-b>0 «» b-as0 (Dấu = «>a=b) 2 Tinh chat e Tinh chdét 1: a<a vae R (tinh phan xa) + a 2> bị - aos e Tinh chat 2: ho a ze (tính bat cau) bec) e Tinh chat3: az2b = a+c>b+c, VceR " „ a> b| © Tinh chat 4: => a+c>bed c>d | , a>b>0 e Tinh chat 5: > ac2bd c2d20 fac>be, néuc>O e Tinh chat 6: a>b -:= 4ac=be, nếu c=0 | jac<be, nếu c<0 , a>b e Tinh chat 7: a 1 < 1 ab > 0 a ob >b>0 lạ" » bn a } 2<neN Wa > Vb e Tinh chat 8: „ a> b a“mrl > bnt1 e Tinh chat 9: => 9 ‘ neN 20 Va > 2p , 2y e Tinh chat 10: => a‘ >a’ a>l , x2 e Tinh chét 11: y => a‘ <a’ O<a<l 3 Các bất đẳng thức thường gặp

* Bdt dang thite Cauchy

Néu a, a ,a,20(2<ne Z) thi:

n

Dau "=" <> a; = a= = A

Trang 4

* Bất đẳng thức Bunhiacopski

Nếu ay, 8¿, , aạ, Dị, bạ, , bạ cR(2<n e Z) thi:

(aybị + a;bạ + vn anbn)? < (a? + a2 + +a2 bể + bộ + + bổ) Dấu "=" « 3k e R: a; = kb; (Vi = 1, 2, ., n) w Bất đẳng thức Bernoulli se Dạng 1: Nếu a>-1 và 1<necZthì(1+a)">1+na Dấu "=" © eos n=l e Dang 2 (MG rong): + Nếua>-1 vàn >1 thì (1+a)">1+na + Nếua>-1và0<n<1thì(1+a)"<1+na Cả hai bất đẳng thức đều cĩ dấu "=" | 7 °_ Dạng 3 (Mở rộng) :

Néu aj, a, ., 27 2-1 (2 <n € Z) va tat cd déu cing đấu thì :

Trang 5

" fon \ >a, fix ne \ aX ‘ “~ ot Vx, € (a; b) va Yu, > 0 thoa Nụ, Lae 1,n va 2<neZ) cà e Dang 2 (ham lõm) : Néu ham sé f : (a; b) -» R thoa f(x) > 0, vx € (a; b) thi: dì i ì Ya fix) >f Sux, t=] ii

Yx, € (a; b) va Vơ, > 0 thỏa du, =lUi=1,n va2<neZ) Ca hai bat dang thuic déu co dau"=" <> x, = Xg = = XS

Trang 6

DANG 1: AP DUNG CAC TINH CHAT CAN BAN CUA BAT DANG THUC: A CAC BÀI TỐN BẤT DANG THUC 1 Cho x, y thỏa : x? + y? = 1 Chung minh rang: -V2 s x+y <2 (Đại học Miễn Bác 19700) Giải

Ta cĩ: (x+y)? = 2x? + y”)-(x- y)?=2-(x-y)? <2

=> (x+y)? <2 => lx+y| < v2 => -V2<x+y<s 2

Chú ý : Lấy x = sing, y = + cosg thi ta cé ngay bat dang thuc lugrng

gidc |sing + cose | < 2

2 V2

Trang 7

Chủ y : Lay x = tana ta - sẽ k- Z2 thị cĩ ngay bất đẳng thức

lượng giác : tana + cota’ S9

4 a) Choa>0 Ching minh ving 1 eas 2va

b) Cho ay, a¿, , aị c0 Chứng mình rang:

(1+ ajHđ1+a20 11 xa c2" vlads Ay -

Dau "=" xay ra khi nào ?

‘Dai hoc Tong hop TP.HCM 1977) (Dat hav Y - Duoe — Nha TP.HCM 1979) Giải a) Ta cĩ: (1- va)? >0 coo l+a2z2Va Dấu "=” :+ a = 1 b} Theo câu (a4): l1+a,z>z 2Va, <0, Xi=l,2, ,1 Đấu "=” © a,= 1 Suy ra : (1 +a, X1 + a,) (1+ + a,)> 2" Jajay a, Dau "=" © ai=a¿;= = ay = Ì

5 a) Ching minh rang : Néu b, c > 0 thi = > ~* n |

Trang 8

6 Cho x, y, z e R Chứng minh rằng : x” + y? + z?-xy-yz—zx20 8 (**) (Đại học Bách khoa - Tổng hợp TP.HCM 19799) (Đại học Sư phạm TP.HCM khối D uà G 20000) Giải Ta cĩ: (x—y)°+(y—z)°+(z—x >0

= x? + y? — Oxy + y? + 2? — Dye + 2% + x? — Qex 20

<> 2x? + Qy? + 22" - 2xy —- 2yz - 9zx >0 o x+y? +2? — xy — yz- 2x20

Dau “=" = x=y=2

Trang 9

Theo câu a) suy ra : 1 1 ) [ ] \ \ 2 2 tora) vee pt)? Toate?’ Teetp? 1+A' 1+B') (1-C* 1+p') 14+A7B? 14+C?D 4 > 4 1+ ABCD 1+abc IV 1 1 1 1 4 => — + — + — + > l+a? o1+b*? lực? Ltabe 1+abe 1 1 1 3 => + + > l+a? 1+b> L+c? l+abe

Trang 11

(x—y) + Ate xr oO Ta cĩ : y ‘ ~ (X+y+z + |x? x +y” +E XV EVE sử : aN : => [x2 ay? +2" +2'XY hVZ tC2X) c1 Ll2>xyt+yz x , 2 2

— 1+ 2(xy + yz+z2x) y+}yz+/ 2 0 Wiis +y7 42° = 1) => ~5 Sey tye ows

fabe = 1

13 Che | a+bt+e>-—+—-+- 11

a bec

a) Chứng minh rang : (a — 1b - Iie - 1) > 0

b) Chứng minh rằng trong ba số a, b, c cĩ đúng một số lớn hơn 1 (Dai học Tổng hợp TP.HCM 1993) Giải a) Ta cĩ: (a~ 1Xb— 1Xc- 1)=-1l+(ta+b+c€)~ (ab + be + ca) + abc 1 =+b + e=(nD + he + em a + b + e— ghe [2+2 +2) Ta bì 1 1 1) =a+b+e c[Tvi rẻ >0 a b ec) - ~1J(@-1)>0 b) The TC 1)(b — 1)(€ - 1) > abe = 1 Vì vậy : ta cĩ đúng hai trường hợp sau : * Ca ba sé a- 1, b-1,¢- 1 đều dương

=> a,b,e>1 => abe>1 = Mau thudn véi abe = 1

Trang 13

16 Choa, b, cla ba canh AABC

Chứng mình rằng : a” + D7 + cÍ< Ylab + be + ca)

(Đại hoc Van Lang 1995) Giai (a chee ta < ab + ca Cách 1:Ta cĩ: Ìb-c+a › :b + ab+ be c<a+b ic « be +ca = a’ +b? +c? < 2(ab + be + ca) Cách 2 : Theo định lí hàm cos : a? = bf+c —2be.cosA + b? = c? + a° — 2ca.cosB ce? = a’ +b* - 2be.cosC 2(bc.cosA + ca.cosB + ab.cosC) 5 > a+b?+e? < 2be+ca+ab) (vì: -1 < cosA, cosB, cosƠ < 1) 17* Cho0<a<b<c Chứng mính rằng :

a*(b? — c?) +btc°— a?) + cta°~ b?) <0 (1)

(Đại học Thủy lợi 1995)

Giải

(1) < ab? —c?) + b'(c” - a”) - cl(b°- 7) + (c a?|<0 â (ađ eb? -— ¢*) + (b° — ec’ - a7) < 0

ôâ (b-c)(e a)[(b + be + c”(e + a) ~ (c? + ca + ab +0)} <0

c© (b—e)(c- a(cb? - ca”) + (ab* ~ ba*)] < 0

= -(b-c)(c- aXa - bab + be + ca) <9

<> (a-bXb- cXc - aXab + be + ca) > 0 ab + be + ca > 0 Luơn đúng vì:0<a<b<c = hàn c-a>0

18 Cho AABC nhọn Chứng mình rằng : (1 + cosAX1 + cosBX1 + cosC) > 2

Trang 14

= 1+ (cosA + cosB + cosC) + cosA.cosB + cosB.cosC +

+ cosC.cosA + cosA.cosB.cos¢C

> 1+ (cosA + cosB + cosC) > 2 + 4sin= sin sinc >2

(vi : cosA + cosB + cosC = 1+ asin sin sins (?))) => (1 + cosAX1 + cosBX1 + cosC) > 9 .19*, Cho AABC cĩ : of + + 1 ~ 5] < cotB + cotC (il) sinB sinC Chứng minh rằng AABC đều ` (Đạt học Xây dựng Hà Nội 19985) Giải

(1) © 2AsinB + sinC - X3 sinB.sinC) $ sin(B + C)

<= &sinB + sinC - 3 sinB.sinC) < sinB.cosC + sinC.cosB <= sinB + sinC < snc{ Boos + Sanh] +

+ sina Bosc + Banc)

© siRB +sinC < sinC cos|B - 3) + sinB.ens[C - *|

2 saB|: - cu[C - *)| + sinc - cas|B - *)| <0 {e-3) : © 8 8 & AABC déu coo(B- 2] =1 c=2 3 3

20 Cho AABC cé diện tích bằng 1 và độ dai ba canh Ia a, b, c (a 2 b> c?) Ching minh ring: b 2 V2

Trang 15

> 1=S< — b- V2 2 [b= , woos by V2 Dau "=" <> } T IA=s L 2 { 2 ‘21* Cho AABC c6 A> B> C b Chứng minh rang: — + o,f ,f,2 (1) ec b c b aie ‘Dai hoc Y khoa Hà Nội 1996) Giai (1) = be+clax+ab>ae+eb+La => be(b — c) + calc — a) + abla - b)> 0

= belb—c) + calc — a)- abib -c +ec-a)>0 c (be — ab)(b - e) + (€ — a)(ca - aÙ) >0

oS b(c — a)(b — c) + alc - ake — b) > 0 = (e— a)(b—e)\b—a)>0 |c-a<0 Luơn đúng vì A>B> c» a>b>»>c c (¿b-c>0 lb-a <0 22* Chứng minh rằng :

\jx? +xy+y? + yy? +vz+z” + Vz? +ux + x° > VWBix+y +2), Vx, y,z>0

tHọc uiện Quan hệ Quốc tế 1997) Giải ‹ 2 2 32 2 1,2 2 Ta cĩ: af +a + fo = —(œ“ + 2øj\ + “)+ —(œˆ - 2q + B“) 4 4 3 9 ] 9 3 Q = =(a+)) +—(a -f > =(a + BY 4 4 4 > 3

=> fot app = Bea spy

Trang 16

23 Chimg minh rang : trong moi AABC, ta luén cé :

cos”A + cos?B + cos”C < a+ i (cos3A + cos3B + cos3C) (1) (Dai hoc An ninh khéi C 19977)

Gidi

Do cos3x = 4cos"x — 3cosx

Nén (1) <~ ~~ cos°A + cos"B + cos"C <

< -+ i [4(cos*A + cos"B + cos"C) - 3(cosA + cosB + cosC))]

<= CosA + cosB + cosC < D

Trang 17

SX EV 4 De YiNy 4 ye 4 2x) 2 Bixy + yz + 2x) > (X= yr +ty- zr 4 iz xi > 0 luén dung => (DPCM)

2?5* Cho AABC cĩ : sim A + sin*B = YsinC Cho A, B nhon Tinh C

(Bat hoc Ngoat thuong Ha Noi 1997)

Giải

Ta cĩ: sin2A + sinB = ŸSinC > sin’C

=> sin"A + sin“B - simfC LC / 2¿ 33

= a’ +b? >¢ (Đo định h ham sin) S

â a +bf-c>z0 ô+ 2abcosC>0 & ~~ cosC 20 Nà 3) ] - = ĐsinC =sin” A + sinˆB =1 5 (cos2A + cos2B) 1 - cos(A + B).cos(A — B) 1 + cosC.cos(A - B)> 1 H \ 1 { ì _¬ 3 _ |" sạc 20 = vi:

0<A, B< > ~ iia Bl <5 cos(A - B) >0 => sinC 21 => sinC = 1 => Ce 5 (thử lại thỏa đề bài)

2tG Cho a,b,c e R Chứng minh rằng :

ia) a? +b? +c? > ab + be + ca (1) b) (ab + be + ca)? > 3abc(a + b + e) (Đại học Quốc gia TH HCM 1998) - (Đại học Sư phạm TP.HCM 2000)

Giải

m), (1) << — Qa* + 2b? + 2c" 2 2ab + 2be + 2ca

= (a* +b? - 2aL) + (b? +c? — 2be) + (c7 + a?— 2ca) > 0

= (a—b)’?+(b—c)* + (c— a)’ > 0 ludn ding

Vậy : a“ + b? + c?>ab + bc + ca b) Theo câu a) :

(ab + be + ca)” = (ab)* + (be)? + (ca)? + 9abe(a + b + €)

2 ab.be + be.ca + ca.ab + 2abe(a + b + c)

> 8abce(a + b +c) => (DPCM)

17

Trang 18

a+b 27 Cho a,b >0 Chứng minh rằng : loga;a + logs;b > 2logos (1) (Cao đẳng Đà Nảng 19998) Giỏải a+bŸ Ta cĩ:(1) <= loges(a.b) > logo; 2 c© ab < (° + >} (vi: ham sé: y = flx) = log,x (0 < a < 1) gidm trén (0; +020)) © 4ab<(a+b)? = (a-b)?20 Bất đẳng thức cuối luơn đúng Dấu "=” © a =b 28 Cho phương trình : x” - x” + ax + b = 0 cĩ ba nghiệm phân biệt Chứïng minh rang : a? + 3b > 0 (Đại học Quốc gia Hà Nội khối A 1998) Giải Gọi a, đ, y là 3 nghiệm phân biệt của phương trình : x” - x? + ax +b =0 œ+j+y=l Khi đĩ : 4œ + By+yd=a apy = =b

=> a’ + 3b = (œB + By + ya)” — 3apy

= (œB)? + (By)? + (yœ)? + 2œBy(œ + B + y) - 3aPy (a +B + yy)

——†——”

= (aB)? + (By)? + (ya)? - aByla + B + y) = site ~ By)” + (By - yœ) + (yœ ~ œB)?

= = (a%B - y)* + By - a)? + ya - B)*] > 0 Vậy : a” + 3b > 0

29" Cho x, y, z € [0; 2] Chimg minh rang : 2(x + y + z) - (xy + yz + zx) << 4

Trang 19

<> 380" Cho a, b, 2(X+ VY +/Z)- (NY + VZ tZXIc 4 xvz <4 ) 2Xx+ VY + Z)- (xv t+ vee “xi 4 e là ba cạnh SABC Chung nianh rang 2 : 1 3

ab -— cc) + bic = ar +ciathe so a+b te (1) ‘Da hoc Dan lap Van Lang 1998) Cách 1: (1)= => 0 0 0 00 Cách 2: (Ao > $ 0b, Ũ _9cos Giai af(b — ¢)* — a“] + bic - a - U†+ cella + b)?- c?] > 0 a(b—-ec+a)\b=ec=a)+bte-a-=ble-=a+b)+ +c(a+b-c(a+b+c)>0 (a+b-—ofaib-c-ab+ciatb+c)-bic-a+b)]>0 (a+b— eWab - ae- a +cat cb +c’ — be + ba—-b*) >0 (a +b - elec’ — a — b* + 2ab) > 0 (a+b — e)[e* -(a- by} > 0 (a+b—cXec-a+b\(e+a-b)>0 a<b+c (b+c-aJ(e+a-b(a+Ùb~ec)> 0 luơn đúng | vi b<c+a c<a+b

a[(Œb — e)? — a?l + b[(e — a)’ - bỶ] + cl(a + b)? — e?| >0

a(bŸ + c? - a” - 9be) + b(e” + a” - b”- 2ea) +

+ cla” + b? - c? + 2ab) > 0

Trang 20

¿+ Ý 31 Chimg minh rang : a2 +b°+c?+d?+e2>za(b+c+d+e), Va, b,c, d,e eR _ (Đại học Y Dược (Hệ Cử nhán) 19939) Giải Ta cĩ: a?+bf+c?+d°+e?-a(b+c+d+e) 2 2 2 2 [= avon?) [S-aceet | -adcat | Sass?) 4 4 4 4 a 2 fa ? fa 2 (a ? (Đ-ơ) +(3-e} +(2-a] +($-e} 20 2 2 7 2 AQ Vay : a? + b? +c? +d? +e? > alb+c+d+e) H 32 Chứng minh rằng : ab + be „ca <atbtc a+b b+c c+a (Đạt học Quốc gia Hị Nội 1999) , Va,b,c>0 Giải Tacĩ: (a-b)*20 = a?+b>29ab => (a+b)? > 4a => ab < arb a+b 4: Chứng minh tương tự : + bc <btt b+e 4 ca c+a <Š c+a 4 : ab be ca a+b+c'ˆ => + + < a+b bực cra 2 Dau "=" = a=b=c>0 1 ‘ 1 1 1 + — + $s a?+bỀ+abc bẺ+c?+abc c?+a?+abc abœ & (Đạt học Thủy lợi 19409) 88 Chứng mình rằng : Giải

Ta cĩ: xỶ+ yÌ + xyz = (x + yXX? - Xy + y?) + xyz

Trang 21

1 — i ~ | ] Suy ra: a2 +b+vabe be: abe oe? als abe c a Ụ 1 IA (a+b+oabe tatbecabe tateot+ecdabe abe Dau "=" =a=b=c»0 34" Cho x, y, z € [0; 1] Ching mình ràng : Q(x? + y+ 2') = ix’y + yn + 27x) <3 (Dai hoc An ninh khéi D, G 1999) - (Dé thi HSG TP.HCM, nắm 2005) Giai Do: x,y € (0; 1] => xyefO 1] = (l-x%1-y%)20 => 1-(X +y)+xy `>0 = X'tv'sl+xy <l+xŸy = X'+Y Sl+XYy ) Chứng mình tương tự: + yo #2 cl+y*z 3 3 2 Z”+X 6l+ZX Ax? + yi 42°) <34 xy + yz + 22x : 3 3 2 2 2 > Q(x? + yo + 2°) — (xy + yz + 2°x) <3

35 Chứng minh rang: a®- a’ + a°-a+1>0, Vae R

(Đại học Y khoa Hà Nội 1999) Giải , I ) Ta cĩ: a°-a?+a?-a+l= la =a " ria? -a+i ai 4} \ 4) 2 fal on =]a ` ~=| than +— >0,VaeR \ 27 2) Vay: a°-a®+a?7-a41>0,VaeR ae dela 36 Chứng minh rằng : ————— <——————, Va,beR (1) 1 +|a + bị 1+la +|b| (Dai học Nơng nghiệp I Hà Nội 1999) Giải

(1) © la+bl(1+ lai + |bl)<(ial + lblj1 + la+bÏ)

c© la+bl + lal.la+bi + Ibl.la + bị <la|l + lbl + la+bl.lal + 'a+bl.lbị

21

Trang 22

o la+bl<slal+lbl «œ6 (a+b3#<(lal + lb|? = a? + b + 9ab < a? + bẺ + 2Ì ab | © ab<lab] luơn đúng Dau “="_ © ab >0 37* Cho AABC khơng tù Chứng mình rằng :

sinA + sinB + sinC > cosA + cosB + cosC ((1) (Hoc vién Quân y 1999) - (Đạt học Sư phạm: Vinh 1999)

Giải

()© (sinA + sinB + sinC) > (cosA + cosB + cosC)?

(Để ý : 2 vế của (1) đều đương)

©_ (cos?A — sin?A) + (cos2B — sin?B) + (cos?C - sin?C) +

+ 2(cosA.cosB — sinA.sinB) + 2(cosB.cosC - sinB.sinC)) + + 2(cosC.cosA — sinC.sinA) << 0 © (2cos?A — 1) + (2cos?B — 1) + (2cos2C — 1) +

+ 2cos(A + B) + 2cos(B + C) + 2cos(C + A) << 0

<= (2cos*A ~ 1) + (2cos*B - 1) + (2cos’C — 1) -

- — 2cosC — 2cosA — 2cosB << 0

° 2cosA(cosA — 1) + 2cosB(cosB - 1) + 2cosC(cosC ~ 1) - 3 < 0 <0 <0 <0 Luơn đúng = (DPCM)

38 Cho AABC cĩ ba cạnh là a, b, c và S là diện tích Chứng minh rằng ::

Trang 23

b) 2 1 ° => 16S° = 16| Besina | = dboe stat A = 9(a'bi+be + ca tata bh 4 ch) Cach 2: Theo céng thie Herone i a t7 + CC S = Jp(p alp bp oc) voip = : => 16S* = (a+b4¢ci-at+tbecia o+ecla+b-e)

= [(b+e) - a} fae -tb— or}

= [2be + (bo + ¢ - aiif2be = tb? + c* — a?)] = 4b°c? - tbo +c = ay °b? — 9e?a?) = 9(a°b°+ be + c?a?) -(at+ bt+ e'), = 4b°c? - bi +c) 4¢al 4 2b’ - 2a Theo cau a): 16S° = 2(a?bˆ+brc + € a2 — (a! + bt +c’) = a'+b' +c! ~(2a' + 2b' + 2c! — 2a*b? — Ø9b?c? - 2e?a?) = at¢b'+c'-(a -by - tb’ - 7) — (ce? — a®)? < af+bl+c!

=> 16S? < at+b‘'+c' Dau"=" < AABC déu

39 Cho a, b > 0 Ching minh rang : Fe t + >1 + Vb (1)

" (Đạt học Huế 2000)

Giải

Đặt: 4ˆ va > 0

= vb >0

Trang 24

Giải Dat: x= Ya >0 o az=x? Suyra: (1) @ x+x?<1+x? © x'-x +1-x>0 © xXx-l)-(x-1)>0 œ (@&-1Xx-l)>0 © (x+lXx-l>0(uơnđúng = (DPCM) 41 a) Chứng minh rằng : + + > x y x+y , ¥x,y>0 (1) 2,21 dt sinA sinB sinC coS— A coS— B Ccos— 2 2 2 b) Cho AABC cĩ : Chứng minh AABC đều

(Đại học Tài chánh Kế tốn Hà Nội 2000)) (Đại học Mở Hà Nội 20011) s Giải a) (1) © [2+2]}e+nes = (x+y)? > 4xy x sy ©_ (x-y} >0 luơn đúng Dấu "="” ©x= y 1 1 4 4 b) Theo câ : + > ) eo cu a) sinB sinC * sinB + sinC 2si B+C sin COS P B-C 4 2 2 B > ^ 2sin cos— => oy 1 > 2 Dau "=" <0 B= @ sinB sinC A 2 + 4 1 1 2 aon {

Chứng minh tương tự: + ——~+—— 2 Dau "=" << C = Ak

Trang 25

1 + ——— ‡ ———- 1 1 Ì + l tỶ—m— 1 - —— = AABC déu snA sinB sinC oN 3 C Vậy :

42 Chứng minh rằng : Vlet +Vl-t-l- V1 Tơ >2—t?, Vte [-l; 1|

(Đại học Quốc gia TP.HCM 2001) Giải Cách 1: Cho t e [-1; 1| « Chứng minh : V1+t+vl1-t>1:v1-t (1) (1) < (41+t+V1-t)/>01l+vIi-t ) ôâC 2+ 2V1-t >2-t+2vI-t c© t”> 0 luơn đúng = (1) dung e Ching minh: 1+ Vl-t? 22-t- (2) (2) o V1I-t? >1-tŒœ0) oe 1-t2a-ty 2 (1 — t*)t? > 0 luén dung (vi: O<t (2) dung : Cách 2: Đặt t= cos2u, ae Bất đẳng thức (1) ©

Trang 27

keZ , ú 45 Cho {osx < 2001: “2 nành ràng CC?! OP < (C212 (4) (Học tiện Quân y 2001) Gtat

Theo bai 44: Ch, Ch, Coe Ook Sp Lay n = 2001 ta co ngay bat dang thie st) tanXx - tanyv | an 7T ———————— - Ì.*X,Yy€ | —;— (1) 1~tanx.tany 4 4 (Đại học Hàng hải 2001) 46 Chứng minh rằng : Giúi a = tanx (a,b € (-1,1) 0?) b = tany (1) = a=b <1 2 ta =bÌ < |1-ab| l-ab = (a-b)’<(1- abr = a’ +b’ -2ab< 1 - 2ab + a°b” = (1-a?)+bf(a -1)>0 © (1-a?(1-b2)>0_ luơn đúng vì a, b e (—1; 1)

47 Cho x, y, z > 0 Chứng mình rằng : AY, ey z x y oy +y+2 (1) (Cao đẳng Hỏi quan 2001)

Giải

(1) <> (xy)? + (yz)? + (zx) > xyzx + y + 2)

©_ (xy — yz)’ + (yz — 2x)? + (zx ~ xy)” > 0 luơn đúng

Dau "=" x= y=z

48 Cho AABC Chứng minh rằng : cosA.cosB.cosC < s:

Trang 28

u 5 cos -C)- 2 cos A — cosA.cos(B ~ C) + ~eos2(B - 0)| H 2 *$os2B -C)- 3{ cosa ~ + sos(B ~C)} < i 8 2 2 8 1 1 A = =cos(B -C zi = 60° Dấu "=" © cos acos( ) Ă© je 2e I 60 cos?(B -C) =1 B=C (?) B=C < AABC déu

Vay : cosA.cosB.cosC < n Dau “=" < AABC déu

Cách 2 : Trong AABC phải cĩ ít nhất hai gĩc nhọn, vì vậy ta cĩ thể xem A nhọn © cosA > 0 Khi đĩ : cosA.cosB.cosC = 5 cosAlcostB - C) + cos(B + C)] 2 Š 1 sa - cosA) < + - 2|°95A _ 3) < + 2 8 2 2 8 => cosA.cosB.cosC < ; cosA = + A=609 ` Dấu “=" 9 ~ AABC déu cos(B - C) = 1 B= : 40" Chứng minh rằng AABC đều nếu ta cĩ : 2b Le mạ Mm, mẹ

Ở đây a, b, c theo thứ tự là độ đài các cạnh, đối diện các đỉnh A, B, C;

Trang 29

Mặt khác từ giả thiết: - —= m my ne ab ¢ Do do: Néum,#m, thi ——-—-— -—- >0 m, =m, mn

= đụ m1 bi>Q = Mâu thuẫn với (*)

Vay phaicé: m,=m, = a=b

Ching minh tuong tu : bse la=l ` Tĩm lại : Ta chứng minh được ib "es AABC déu =€ b Cách #: Ta cĩ: -— =——=—— m, my mi = a”_ bổ cổ a+bsc 4 mỹ mỹ mỹ m?+n¿+mẺ 3 2D 1 v22 Q22 Q2 m, = —(2(b° +¢"}-a"} 4 ` 2 1,2 02, Q2 2, 2,.2_3/)2 yo, 2 (vì : my = 7 [alc +a°)-b°}] > m>+mp +m =7@ +b’ + c*) m? = 1 (a? +b?) - c?] 4 4m? = 3a” Q(b? +c?) - a® = 3a? bỀ + c2 = 2a? © 4m? =3b2 c© 42c2+a?)-b?=ä3b? œ© {c?+a?=2p2 4m? = 3c? 2(a” + bŸ)- c° = 3c? a? +b? = 2c? oe a@=b*=cđ c a=b=c â AABC đều :ð0? Cho a, b, c> 2 Chứng mình rằng : logi,ua + logc,b + log,¿se > 1 (Dai hoc Phịng cháy Chữa cháy 2001) Giải

Khơng giảm tính tổng quát ta xem a>b>c> 2

Trang 30

a) (1) © c© Pe Bất đẳng thức cuối đúng, vì : a>b>c © | b) Theo câu a) : (a? — b? + c”) - d? Giải a’ — b? +c? > a? + b? +c” — 2ab + 2ac — 2be bể - ab + ae - be <0 (ablc-b)<0 >(a-b+ec)~- d7 >a(ab+cd)(a-=bx+e+ -_ 0)? ôâ- b(b~—a)+c(a—b)<0 a-b>0 c-b<0 d) 2(a—b+c-dXa-b+c-—d) >z(a-b+e-d} Vậy : 8” - b? + c?- d?2(a-—b+c-d)’ GœGa—b+c-d)? 52* Choa+b+c= 1 Chứng minh rằng : Ta luơn cĩ : Chứng minh tương tự : + 30 1 1 1 a boc

map tac >3 3 3) ge)

Trang 31

Chi ý : Bài này cĩ thể giải truc tiep ahi bat dang thức Trêbưsếp như sau : Khơng giảm tính tơng quát tr xem a be => 3* > 3 > 3° 1 1 1 => ——<—=<— 3 3P gt a2b2c Như vậy : 4 1 c1 1 e Theo bất đẳng thức Trêbưsếp : 3" ~ ah 7 „ 1 1 1 a b c — + —— te —— ~ —— + — a+b+c l a 3b 3° 5 qa 3 3° 3 3 3 ( = n2 3g 3 3 3 3 3 ` 1 Dâu "=" a=b=cz=- 3 x, y,z>0 53 Cho,1 —+—+-=4 1 1 x y Z 4 ` 1 1 1 Chứng minh rằng : + + <1

Qx+yt+z X+2Y+7 X+y+922—ˆ

(Dé thi Dai hoc cù Cao đẳng, khối A năm 2005) Giải Với a,b> 0, ta cĩ: 4ab <(a + b) 1 1/1 +

> 1 < ath c> “3Í *x) Dấu "=” œa=b a+b_ 4ab a+b 4\a b Áp dụng kết quả trên, ta cĩ : 1 <-|—+ lÍI lI Ì) II <—|Ì—+—+— 1 1 4 j 4 2x+y+z 2x y+z 2x 4y 4z Tương tự: + —i <1 273,28 x+2y+z 4\4x 2y 42 1 1ƒ 1 1 1 <S—|—†+—+—- x+y+2: 4\4x 4y 2z

Vậy : i + 1 + 1 <i ii iil =1

axy+zZ Xx+2y+z xt+y+2z 4|x y z won 3

Trang 32

54 Cho AABC khơng tù thỏa : cos2A + 2V2cosB + 2/2 cosC = 3 Tính các gĩc của AABC (Dé thi Dai hoc va Cao đẳng khối A, năm 20041) Giải AABC khơng tù nên 0 < cosA <1 (= cos*A < cosA) Do đĩ : B+C B-C cOS 2 cos2A + 2V2cosB + 24/2cosC = 2cos? A - 1 + 442 cos

= 2cos*A + 4V2sin=.cos -1<2cosA + 4Vsin= “4 aft -9sin? =| + 42sin= -l= ~4sin? = + 4vsin= +1 A `2 -2(VBsin2 -1] +8<3 Vì vậy : cos2A + 242cosB + 22cosC = 3 cosA = 0 o | B=C © AABC vuơng cân tại A.: _ Al sin— = — 2 B CAC BAI TOAN CVC TRI _1 Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số : y = sin‘x + cos‘x (Đại học Miễn Bắc khối A 1972)) Giải - Tacĩ: y =sin’x + cos‘x = (sin’x + cos*x)? ~ 2.sin?x.cos’x 21 - 4sin*2x

Do: 0x<ain?2x < 1 (mỗi vế dấu "=" luơn xảyra?) © ; sy sl Vay : Maxy=1; Miny = >:

2 Cho AABC bat ki Tim Max của P = V3 cosB + 3(cosC + cosA)

(Đại học Sư phạm II Hà Nội 1998))

32

Trang 34

A-B A Bì sin—.sin— 2 22

4* Cho AABC c6 C< B< A < 90° Tim Min cua M = cos

(Dai học Kiến trúc Hà Nội 19999) Giải Tacĩ: Me zoos SF cost -coa^† >| 2 2 2 2

{ 2A-B A-B A-+ =| = —| cos - cos ,COS

9 2 2 = ũ + cos(A — B) — (cosÀ + cosB)]

Ma: sinCcos(A — B) = sin(A + B).cos(A — B) = 5 (sin2a + sin2B) = sinA.cosB + sinB.cosB => cos(A - B) = sins cos + SP cap sinC sinC >cosA+cosB (vì:0<C<B<A<90)

Dấu "=" © AABC đểu => M2 7

Dau "=" < AABC déu Vay MinM = 7 se a® +b? a+b) ð* a) Chứng minh rằng : _ 2 5 ,“a +b>0 b) Cho AABC tùy ý Tìm Max của P = VsinA + YsinB + YsinC_ | 3 A B C ị cos + Icos— + 3cos— 2 2 2 (Đại học Bách khoa Hà Nội khối A 20000) Giải 3 3 3 a) Tacé: = -* :(đ) â 4(a + b*) > (a +b)"

© 4(a +bXa? + b- ab) >(a + bị)!

Trang 35

b) Theo caua): (3SinA + ° WsinB: HisinA + sinB) \.B ~ ) ST As TỦ sos A-B < 8cos C 2 2 => VsinA + ¥sinB “2 feos Dau "=" <> A=B a: Fe — | A eon Chứng mỉnh tương tự: YsinB + Vs “9% Dau "=" <= B=C \ +

Ysin€ + Ysina < Wa Dau "=" @C=A > YsinA + Ysin Be Ysin® < yo = + eos + eos

Dấu "=” AABC déu => P<]

Dau "=" = AABC déu MaxP =1 6 Cho AABC Dat P = cosA + cosB + cosC

a) Tim MaxP b) Chứng mình rằng khơng tồn tại MinP Chú ý : Trong để thi ĐH Sư phạm khối A chỉ cĩ câu a)

Trang 36

b) Tac6: P=1+ 4sin= sin sin = > 1, VAABC Do đĩ nếu tổn tại hằng số m : MinP =m => mol (1.) ‘ A = 2x 7 Khi đĩ, xét AABC với i x với B<O=2~x (x{ 0; — 3) => P = cos2x + 2sinx 2 m, Vx € (0 *| => im P>m => l>m (2) x0 Từ (1) và (2) = Vơ lí Vậy : Khơng tên tạ: MinP

7 Cho x, y z0 thay đổi thỏa: (x + y)xy = x? + y’— xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xŠ + yŠ

Trang 37

DANG 2: AP DUNG BAT DANG THUC CAUCHY

A CAC BAI TOAN BAT DANG THUC

1 Cho VABC cĩ a, b, c là độ dài các cạnh Chứng minh rằng : AABC đầu © laxb+e| xi ve ]=9: a boc (Đại học Miền Bác khối B 1976) Giải Theo bất đẳng thức Cauchy : a+b+c>3#abc >0 Dau "=" ©a=b=c 2242234 > 0 Dấu "=" a=be=c a boc abe

Vì vậy : larbro|2 xi xi] x9 Dau "=" ©a=b=c

Suy ra: (a+b+c) raed =9 © AABC déu

a bc

:2*, Cho 2 <n € N chan, tham số a > 3 Chứng minh rằng phương trình sau vo nghiém : (n + 1)x"**.— 3(n + 2)x"*! + a®*? = 0

Trang 39

Dat: t=a-b>0 > tesa +h 2ab = ar+b?=t? +2 ave be 4D 2 mm uo (2 ty2>2/2 ‘ t (Do bat dang thite Cauchy) ve <6 8-8 v6 ca fi ị ib = fab = ] Dâu '=” t= 42 © 3 = 2 ta-b= 2 _ 42-6 #6 a | 2” (B+ 7 5 Cho a, b, c >0 Chứng mỉnh rằng : 1 1 ] _at b+e ae+be bo +ca ce ab abe © z (Đạt học Bách khoa Hà Nội 1990) Giải Theo bất đẳng thức Cauchy : 1 1/1 1) a? +be oa2be — Øjab.Vca - 4\ab ca} 1 1/1 1 \ Chir ng mi ¡nh tương tự : ng tu be sca [+4] 4 (ab be} 1 <s—lÌ—t— 1 1 1` cẪ+ba 4\be ca, 1 1 1 1/1 1 1 1 a+b+c Vay: = a2+bc bỀ+ca cơ+ab 2(ab be ca +— +— ¬ tt —|S<= 2 abe Dấu "=” ©a=b=c 6*', Cho aj, ay, ., An, by, by, ., b, > 0 (2 <n € Z) Ching minh rang :

va, + b, Mag + b,) (a, +b,) 2 Yajay a, + Wb, by b,

Trang 40

a a , a, a a a ay 1 2 n < 1 + 2 + 4 n a, +b, ag+b, a,+b, a,+b, agtb, a, +b, b b b b b b n _— 2 < Loy Zt a a, +b, ag+by, a, +b, a, +b, a,+b, a, +b, n(/a,89 a, + Yb, bg b, ) Wa, + by (ag + bạ) (a, + bạ) sn o Way a9 8y + Wb, be b, <Š wa, + bị Nag + bạ ) da, + bạ)

7 Cho AABC cĩ các cạnh a, b, c; các độ dài đường cao tương ứng h,, hụ, h,; các bán kính đường trịn ngoại tiếp tương ứng rạ, rụ, rc và bán kính đường trịn nội tiếp r Chứng mỉnh rằng :

a) 4r.r, <a” b) r, +r +7, 2h, + hy, + hy

Ngày đăng: 09/04/2017, 11:45

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w