Bài viết này tái hiện lịch sử hình thành hai khái niệm cơ bản của logic toán học: Phép kéo theo và phép tương đương. Nó không đơn giản là một bản liệt kê các niên đại mà là một tiếp cận khoa học luận. Qua đó, ta thấy được sự tiến triển (theo nghĩa rộng của từ này) của hai khái niệm này theo dòng lịch sử: chúng xuất hiện như thế nào, nhằm giải quyết bài toán gì, những chướng ngại khoa học luận liên quan?
Đỗ Tất Thắng Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ VỀ LỊCH SỬ HÌNH THÀNH PHÉP KÉO THEO VÀ PHÉP TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỖ TẤT THẮNG * TÓM TẮT Bài viết tái lịch sử hình thành hai khái niệm logic tốn học: phép kéo theo phép tương đương Nó khơng đơn giản liệt kê niên đại mà tiếp cận khoa học luận Qua đó, ta thấy tiến triển (theo nghĩa rộng từ này) hai khái niệm theo dòng lịch sử: chúng xuất nào, nhằm giải tốn gì, chướng ngại khoa học luận liên quan? ABSTRACT About the emergence history of implication and equivalence This article traces the emergence history of two fundamental concepts of mathematical logic: implication and equivalence It is not as simple as a chronological list, but an epistemological approach in which we can see the evolution (in the broadest sense of that word) of these two concepts throughout history: how they appeared, for what problems to be solved, and epistemological obstacles associated? Phép kéo theo Được Aristotle (384-322 trước Thiên Chúa) hình thức hóa đầu tiên, tam đoạn luận phương thức lập luận lôgic từ hai mệnh đề (còn gọi tiền đề) đến kết luận Ví dụ: Mọi người phải chết, Socrates người, Socrates phải chết tam đoạn luận Trong tam đoạn luận, hai tiền đề (còn gọi đại tiền đề tiểu tiền đề) mệnh đề cho trước giả định Tam đoạn luận cho phép hợp thức hóa tính xác thực hình thức kết luận Nó xem tiền thân lơgic tốn đại giảng * ThS, Trường THPT Ngô Quyền, Đồng Nai dạy đến tận cuối kỷ XIX Có thể sơ đồ hóa tam đoạn luận Aristotle ngôn ngữ phép kéo theo đại sau: (P Q) = (A P) = (A Q) = Dù chưa thể cách toàn diện xác ý tưởng phép kéo theo, tam đoạn luận Aristotle cố gắng việc xây dựng sở lơgic hình thức cho phép suy diễn mệnh đề thứ ba từ hai tiền đề ban đầu Euclide (330 - 275 TCN) đưa hệ tiên đề sở công nhận, không chứng minh (hệ tiên đề Euclide) Từ hệ 65 Số 21 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ tiên đề trên, Euclide dùng suy diễn toán học để viết tác phẩm Nguyên lý (Elements), thành công bật để xếp lại tồn kiến thức tốn học vào hệ thống diễn dịch logic tảng tiên đề đơn giản Hầu hết tiên đề, hay định đề Euclide phát biểu dạng “Nếu P Q” Trong đó: P, Q kiểu mệnh đề1 (số học, đại số hay hình học) có mối quan hệ nhân quả2 với Nói cách khác, xét giá trị chân lí mệnh đề “Nếu P Q” Euclide quan tâm đến mối quan hệ nội dung hai mệnh đề P, Q, xem P nguyên nhân để suy luận Q kết Philo người đưa bảng chân trị cho mệnh đề “Nếu P Q” xét đủ trường hợp chân trị P Q Ông lập bảng chân trị từ việc quy nạp số trường hợp cụ thể Hai mệnh đề P Q kiểu mệnh đề P Q mệnh đề hình học, số học, đại số, sống Chẳng hạn “Nếu 2004 chia hết cho 2004 chia hết cho ” mệnh đề nối mệnh đề kiểu số học: “2004 chia hết cho 6” “2004 chia hết cho 3” “Nếu 1+1=3 Xuân Diệu nhà văn” mệnh đề nối mệnh đề không kiểu: “1+1=3 ” mệnh đề số học, “ Xuân Diệu nhà văn” mệnh đề sống Hai mệnh đề P Q có mối quan hệ nhân P Q kiểu mệnh đề, có mối liên hệ mật thiết nội dung Từ nội dung mệnh đề P (nguyên nhân) suy luận mệnh đề Q (kết quả) Ví dụ: “Nếu 2004 chia hết cho 2004 chia hết cho 3” mệnh đề nối mệnh đề có mối quan hệ nhân “Nếu 1+1=3 Xuân Diệu nhà văn” mệnh đề nối mệnh đề mối quan hệ nhân 66 P Đúng Đúng Q Đúng Sai Nếu P Q Đúng Sai Sai Đúng Đúng Sai Sai Đúng Trong bảng chân trị mệnh đề P Q Philo khơng kiểu mệnh đề, khơng có mối quan hệ nhân Nói cách khác xét giá trị chân lí mệnh đề Nếu P Q, Philo không quan tâm đến mối quan hệ nội dung hai mệnh đề P, Q, không phân biệt trường hợp P có phải nguyên nhân để có Q hay khơng, mà quan tâm đến tính đúng, sai chúng Ấn tượng phương pháp người Ai Cập Trung Quốc việc sử dụng hình ảnh, kí hiệu để diễn tả cho khái niệm, Gottfried Leibniz (16461716) người tiên phong sử dụng kí hiệu cho phép kéo theo vào tốn học Hệ thống kí hiệu Leibniz đánh dấu xuất ngôn ngữ hình thức hố Trong tác phẩm Formal Logic The Calculus of Inferrence xuất năm 1847, De Morgan (1806-1871) phát biểu công thức sau mang tên ông A B A B A B A B Để chứng minh chúng, ông phải liên tục dùng tới bảng chân trị phép kéo theo phép tương đương Năm 1879, nhà toán học Đức trẻ Gottlob Frege (1848-1925) xuất Begriffsschrift (Ý tưởng Ký hiệu) Ông người hệ thống Đỗ Tất Thắng Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ hóa tồn lý thuyết logic tốn học Tuy nhiên, tác phẩm cịn khó hiểu nên người biết tới Cho đến Russell (1872 -1970) bổ sung hoàn thiện thêm hệ thống hố logic hình thức Frege giải tốn, Begriffsschrift Frege nhiều người biết tới Whitehead Russell định nghĩa phép kéo theo sau: P kéo theo Q mệnh đề, kí hiệu P Q, sai P Q sai trường hợp lại Bảng chân trị phép kéo theo: P Q P Q Đúng Đúng Đúng Đúng Sai Sai Sai Đúng Đúng Sai Sai Đúng Hilbert (1862-1943) định nghĩa phép kéo theo : P kéo theo Q mệnh đề, kí hiệu P Q, sai P Q sai trường hợp lại Bảng chân trị phép kéo theo: P Q PQ Đúng Đúng Đúng Đúng Sai Sai Sai Đúng Đúng Sai Sai Đúng Định nghĩa phép kéo theo Hilbert kết hợp quan niệm Euclide, Philo, Frege, Russell ý tưởng hình thức hóa riêng ông Trong bảng chân trị này, P Q mệnh đề khơng cần phải kiểu có mối quan hệ nhân Ký hiệu ông đưa sử dụng ngày Phép tương đương Aristotle tự đặt câu hỏi làm để thay phát biểu hình thức khác mà không ảnh hưởng đến việc đề xuất? Chẳng hạn, Aristotle cho rằng: phát biểu “Mọi β α” tương đương với phát biểu “α thuộc β” Từ đó, ơng đến thừa nhận rằng: Hai phát biểu tương đương với chúng có chân trị Những phát biểu ông lĩnh học triết học sống khơng phải tốn học Trong tác phẩm Formal Logic The Calculus of Inferrence xuất năm 1847, De Morgan liên tục dùng tới bảng chân trị phép kéo theo, phép tương đương để chứng minh công thức ông đưa Russell (1872 -1970) đưa định nghĩa phép tương đương sau Cho P, Q mệnh đề cho trước mệnh đề P tương đương Q kí hiệu P Q, Chân trị mệnh đề P Q xác định bảng chân trị: P Đúng Đúng Sai Sai Q Đúng Sai Đúng Sai PQ Đúng Sai Sai Đúng 67 Số 21 năm 2010 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ Năm 1920, Hilbert đề nghị dự án nghiên cứu rõ ràng siêu toán học (metamathematics) mà sau gọi chương trình Hilbert Ơng muốn tốn học phải hệ thống hóa tảng logic vững đầy đủ Chương trình cơng nhận tiếng triết học tốn học hình thức hóa tồn Logic học sở tiên đề TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Lương Công Khanh (2005), « Tóm tắt lịch sử xuất khái niệm tích phân », Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, (342), tr 1-3 Đỗ Tất Thắng (2009), Nghiên cứu Didactic phép kéo theo, phép tương đương dạy học tốn trung học phổ thơng, Luận văn Thạc sĩ Toán học, ĐHSP TP HCM, tr.10-24 Michal Walicki (2006), Mathematical Logic an Introduction, University of Bergen, pp 1-22 Wiliam Kneale - Martha Kneale (1962), The development of logic, Oxford University Press, Ely House, London 68 ... bảng chân trị phép kéo theo, phép tương đương để chứng minh công thức ông đưa Russell (1872 -1970) đưa định nghĩa phép tương đương sau Cho P, Q mệnh đề cho trước mệnh đề P tương đương Q kí hiệu... trường hợp lại Bảng chân trị phép kéo theo: P Q P Q Đúng Đúng Đúng Đúng Sai Sai Sai Đúng Đúng Sai Sai Đúng Hilbert (1862-1943) định nghĩa phép kéo theo : P kéo theo Q mệnh đề, kí hiệu P Q,... Bảng chân trị phép kéo theo: P Q PQ Đúng Đúng Đúng Đúng Sai Sai Sai Đúng Đúng Sai Sai Đúng Định nghĩa phép kéo theo Hilbert kết hợp quan niệm Euclide, Philo, Frege, Russell ý tưởng hình thức hóa