Mét sè bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö mµ trong ®a thøc ®· cho cã biÓu thøc xuÊt hiÖn nhiÒu lÇn. Ta ®Æt biÓu thøc Êy lµ mét biÕn míi.[r]
(1)Phần 1: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Các phơng pháp b¶n
I/ Phơng pháp đặt nhân tử chung
1 Phơng pháp
+ Tỡm nhõn t chung đơn thức, đa thức có matự tất ca\r cỏc hng t
+ Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử
+ Viết nhân tử chung ngoàI dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc (kể hạng tử chúng).
2 Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) 3xy + x 2 y
❑2 – 5x ❑2 y b) 2x(y – x) + 5y(z – y)
c)10x ❑2 (x + y) – 5(2x + 2y)y ❑2 Bµi Lµm a) –3xy + x ❑2 y
❑2 – 5x ❑2 y = xy(- + y – 5x)
b) 2x(y – x) + 5y(z – y) = 2x(y – z) – 5y(y – z) = (y – z)(2x – 5y) c) 10x ❑2 (x + y) – 5(2x + 2y)y
❑2 = 10x ❑2 (x + y) – 10y ❑2 (x + y)
= 10(x + y)(x ❑2 – y
❑2 ) = 10(x + y)(x + y)(x – y) = 10(x + y) ❑2 (x – y)
3 Bµi tËp
Bµi 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 12xy ❑2 – 12xy + 3x b) 15x – 30 y + 20z
c)
7 x(y – 2007) – 3y(y – 2007) d) x(y + 1) + 3(y + 2y + 1)
Bµi 2: TÝnh giá trị biểu thức sau
a) 23,45 97,5 +23,45 5,5 -,23,45 b) 2x ❑3 (x – y) + 2x
❑3 (y – x ) + 2x ❑3 (z – x) (Víi x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008)
II) Phơng pháp dùng đẳng thức
1 Phơng pháp
S dng cỏc hng ng thc để biến đổi đa thức thành tích nhân tử luỹ thừa đa thức đơn giản
Những đẳng thức :
1 (A + B) ❑2 = A
❑2 + 2AB + B ❑2 (A - B) ❑2 = A
❑2 - 2AB + B ❑2 A – B = (A + B)(A – B)
4 (A + B) ❑3 = A
❑3 + 3A ❑2 B + 3AB ❑2 + B ❑3 (A - B) ❑3 = A
❑3 - 3A ❑2 B + 3AB ❑2 - B ❑3 A ❑3 + B
❑3 = (A + B)(A ❑2 – AB + B ❑2 ) A ❑3 - B
❑3 = (A - B)(A ❑2 + AB + B ❑2 ) (A + B + C) ❑2 = A
❑2 + B ❑2 + C ❑2 + 2AB + 2BC + 2CA A ❑n – B
(2)10 A ❑2k – B
❑2k = (A +B)(A ❑2k −1 - A ❑2k −2 B + … - B ❑2k −1 )
11 A ❑2K+1 + B
❑2K+1 = (A + B)(A ❑2k – A ❑2k −1 B + A ❑2k −2 B ❑2 - … +B
❑2k ) 12 (A + B) ❑n = A
❑n + n A ❑n−1 B - n(1 2n −1) A ❑n−2 B ❑2 + +
… n(n −1)
1 A ❑2 B ❑n−2 +
+nAB ❑n−1 + B ❑n
13 (A - B) ❑n = A
❑n - n A ❑n−1 B + n(1 2n −1) A ❑n−2 B ❑2 - … +(-1) ❑n B
❑n
2 VÝ Dô
2.1 Phân tích đa thức tành nhân tử
a) x ❑2 + 6xy
❑2 + 9y ❑4 b) a ❑4 – b
❑4
c) (x – 3) ❑2 - (2 – 3x) ❑2 d) x ❑3 – 3x
❑2 + 3x - Bµi Lµm a) x ❑2 + 6xy
❑2 + 9y ❑4 = x ❑2 + 2x3y ❑2 + (3y) ❑2 = (x + 3y ❑2 )
❑2 b) a ❑4 – b
❑4 = (a ❑2 ) ❑2 – (b ❑2 ) ❑2 = (a ❑2 + b ❑2 ) (a ❑2 – b
❑2 ) = (a ❑2 + b ❑2 ) (a + b) (a – b) c) (x – 3) ❑2 - (2 – 3x)
❑2 = [(x – 3) + (2 – 3x)][(x – 3) – (2 – 3x)]
= (- x – 1)(5 – 4x) d) x ❑3 – 3x
❑2 + 3x - = (x – 1)
2.2 Phân tích đa thức thành nhân tử
a) a ❑3 + b
❑3 + c ❑3 – 3abc b) (a + b + c) ❑3 – a
❑3 – b ❑3 – c ❑3 Bµi Lµm
a) a ❑3 + b
❑3 + c ❑3 – 3abc = (a + b) ❑3 – 3ab(a + b) + c ❑3 – 3abc
= ( a + b + c)[(a + b) ❑2 – (a + b)c + c
❑2 ] – 3abc( a + b +c) = (a + b + c)( a ❑2 + b
❑2 + c ❑2 – ab – bc – ca) c) (a + b + c) ❑3 – a
❑3 – b ❑3 – c ❑3 = (a + b) ❑3 + c
❑3 + 3c(a + b)(a + b + c) – a ❑3 – b ❑3 – c ❑3
= 3(a + b)(ab + bc + ac + c ❑2 ) = 3(a + b)(b + c) (c + a)
3 Bµi TËp
Bài Phân tích đa thức thành nhân tử
a) (x – 15) ❑2 – 16 b) 25 – (3 – x) ❑2
c) (7x – 4) ❑2 – ( 2x + 1) ❑2 d) 9(x + 1) ❑2 – 1
e) 9(x + 5) ❑2 – (x – 7) ❑2 f) 49(y- 4) ❑2 – 9(y + 2)
(3)Bài Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 8x ❑3 + 27y ❑3 b) (x + 1) ❑3 + (x – 2)
❑3 c) – y ❑3 + 6xy
❑2 – 12x ❑2 y + 8x ❑3 d) 2004 ❑2 - 16
III/ Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử, ph ơng pháp nhóm nhiều hạng tử.
1 Phơng pháp
- S dụng tính chất giao hốn, kết hợp để nhóm hạng tử thích hợp vào nhóm
- áp dụng phơng pháp phân tích đa thức khác để giải toỏn Vớ d
2.1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x 2 3xy + x – 3y b) 7x ❑2 – 7xy – 4x + 4y c) x ❑2 + 6x – y
❑2 + d) x ❑2 + y
❑2 – z ❑2 – 9t ❑2 – 2xy + 6zt Bµi Lµm
a) x ❑2 – 3xy + x – 3y = (x
❑2 – 3xy) + (x – 3y) = x(x – 3y) + (x – 3y)
= (x – 3y) (x + 1) b) 7x ❑2 – 7xy – 4x + 4y = (7x
❑2 – 7xy) – (4x – 4y) = 7x(x – y) – 4(x – y)
=(x – y) (7x – 4) c)x ❑2 + 6x – y
❑2 + = (x ❑2 + 6x + 9) – y ❑2 = (x + 3) ❑2 -y ❑2
= (x + + y)(x + – y) d)x ❑2 + y
❑2 – z ❑2 – 9t ❑2 – 2xy + 6zt = (x ❑2 – 2xy + y
❑2 ) – (z ❑2 – 6zt + 9t ❑2 ) = (x – y) ❑2 – (z – 3t)
❑2 = (x – y + z – 3t)(x – y – z + 3t
2.2 – Ph©n tích đa thức thành nhân tử
a) x 2 y + xy
❑2 + x ❑2 z + xz ❑2 + y ❑2 z + yz ❑2 + 2xyz
b) x ❑2 y + xy
❑2 + x ❑2 z + xz ❑2 + y ❑2 z + yz ❑2 + 3xyz
Bµi Lµm a) x ❑2 y + xy
❑2 + x ❑2 z + xz ❑2 + y ❑2 z + yz ❑2 + 2xyz = (x ❑2 z + y
❑2 z + 2xyz) + x ❑2 y + xy ❑2 + x ❑2 z + yz ❑2 = z(x + y) ❑2 + xy(x + y) + z
❑2 (x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z ❑2 )
(4)b) x ❑2 y + xy
❑2 + x ❑2 z + xz ❑2 + y ❑2 z + yz ❑2 + 3xyz = (x ❑2 y + x
❑2 z + xyz) + ( xy ❑2 + y ❑2 z + xyz) + (x ❑2 z + yz ❑2 + xyz)
= x(xy + xy + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy) = (xy + yz + xz)( x + y + z)
3 Bài Tập
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x 4 + 3x
❑2 – 9x – 27 b) x ❑4 + 3x
❑3 – 9x – c) x ❑3 – 3x
❑2 + 3x – 8y
BàI 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x(y2 z2) + y(z2 – y2) + z(x2 – y2)
b) xy(x – y) – xz( x + z) – yz (2x + y – z ) c) x(y + z )2 + y(z + x) 2 + z(x + y) 2 – 4xyz d) yz(y +z) + xz(z – x) xy(x + y)
IV/ phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phơng pháp
1 phơng pháp
Vn dng linh hoạt phơng pháp biết thờng tiến hành theo trình tự sau :
- Đặt nhân tử chung - Dùng đẳng thức - Nhóm nhiều hạng tử
2 vÝ dơ : Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử a) 5x 3 45x
b) 3x ❑3 y – 6x2y – 3xy
❑3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy Bµi lµm
a) 5x ❑3 – 45x = 5x(x2 – 9) = 5x(x +3) (x – 3) b) 3x2y – 6x2y – 3xy
❑3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy = 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1)
= 3xy [( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy [(x – 1) 2 – (y + a) 2]
= 3xy [(x – 1) + (y + a)] [(x – 1) – (y + a)] = 3xy(x + y + a – 1) (x – y – a – 1)
3 bµi tËp
Bµi Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc b) 8x ❑3 (x + z) – y
❑3 (z + 2x) – z ❑3 (2x - y)
c) [(x2 + y2)(a2 + b2) + 4abxy] 2 – 4[xy(a2 + b2) + ab(x2 + y2)]
Bài Phân tích đa thức thành nhân tử
(x + y + z) 3 – x
❑3 – y ❑3 - z ❑3
Híng dÉn
(x + y + z ) ❑3 – x
❑3 – y ❑3 z ❑3 =[(x + y + z) ❑3 – x
❑3 ] – (y ❑3 + z ❑3 )
= (x + y + z – x) [(x+ y + z) 2 + (x + y + z)x + x2] – (y + z)(y2 – yz + z2)
= (y+z)[ x2 + y2 + z2 +2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x2 + x2 – y2 + yz – z2]
(5)V/ Phân tích đa thức thành nhân tử cách tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử
1 Phơng pháp
Ta phõn tích hạng tử thành tổng nhiều hạng tử thích hợp, để xuất nhóm số hạng mà ta phân tích thành nhân tử ph-ơng pháp dùng đẳng thức, đặt nhân tử chung…
2.Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành thành nhân tö
x2 – 6x + 8
Bài làm
cách 1: x2 6x + = (x2 – 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x –2)(x – 4)
C¸h 2: x2 – 6x + = (x2 – 6x + 9) – = (x – 3) 2 – = (x –3 + 1)(x – – 1)
= (x – 2)(x – 4)
C¸ch 3: x2 – 6x + = (x2 – 4) – 6x + 12 = (x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x + – 6) = (x – 2)(x – 4)
C¸ch 4: x2 – 6x + = (x2 – 16) – 6x + 24 = (x –4)(x + 4) – 6(x – 4)
= (x – 4)(x + –6) = (x –4)(x – 2)
C¸ch 5: x2 – 6x + = (x2 – 4x + 4) – 2x + = ( x – 2) 2 – 2(x – 2) = (x – 2)(x – – 2) = (x – 2)(x – 4)
3 Bµi TËp
Bài : Phân tích đa thức thành nhân tö.
a) x2 + 7x +10 b) x2 – 6x + 5 c) 3x2 – 7x – 6 d) 10x2 29x + 10
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x 3 + 4x2 – 29x + 24 b) x ❑3 + 6x2 + 11x + 6 c) x2 – 7xy + 10y
d) 4x2 – 3x – 1
VI/ Phơng pháp thêm bớt hạng tử.
1 Phơng pháp
Ta thờm hay bt cựng mt hạng tử vào đa thức cho để làm xuất n nhóm số hạng mà ta phân tích đợc thành nhân tử chung phơng pháp: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức,
2 Ví dụ
2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử.
x 4 + 64 = x
❑4 + 64 + 16x ❑2 – 16x ❑2 = (x ❑2 + 8)
❑2 – (4x) ❑2 = (x + 4x + 8)(x ❑2 – 4x + 8)
2.2 – Ph©n tích đa thức thành nhân tử.
a) x 4 + 4y ❑4 b) x ❑5 + x + 1
Bµi lµm a) x ❑4 + 4y
❑4 = x ❑4 + 4y ❑4 + 4x ❑2 y ❑2 – 4x ❑2 y ❑2 = (x + 2y) – (2xy)
= (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy)
b) x ❑5 + x + = (x
(6)= x ❑3 (x
❑2 + x + 1) – x ❑2 (x ❑2 + x + 1) + (x ❑2 + x +1)
= (x ❑2 + x + 1)(x
❑3 – x ❑2 +1)
3 Bµi tập
Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tö.
a) x ❑5 + x
❑4 + b) x ❑8 + x
❑7 + c) x ❑8 + x + 1 d) x 8 + 4
Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x 3 + 5x
❑2 + 3x – b) x ❑3 + 9x
❑2 + 11x – 21 c) x ❑3 – 7x + 6
Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x ❑3 - 5x
❑2 + 8x – b) x ❑3 – 3x + 2
c) x ❑3 – 5x
❑2 + 3x + d) x ❑3 + 8x
❑2 + 17x + 10 e) x ❑3 + 3x
❑2 + 6x +
Bµi 14: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x ❑3 – 2x – 4 b) 2x ❑3 – 12x
❑2 + 7x – c) x ❑3 + x
❑2 + d) x ❑3 + 3x
❑2 + 3x + e) x ❑3 + 9x
❑2 + 26x + 24 f) 2x ❑3 – 3x
❑2 + 3x + g) 3x ❑3 – 14x
❑2 + 4x +
* MéT Sè Phơng Pháp khác
VII/ Phng phỏp t biờn s (t biờn ph)
1 Phơng pháp
Mt s tốn phân tích đa thức thành nhân tử mà đa thức cho có biểu thức xuất nhiều lần Ta đặt biểu thức biến Từ viết đa thức cho thành đa thức dễ phân tích thành nhân tử
2 Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tö
a) 6x ❑4 – 11x
❑2 + b) (x ❑2 + 3x + 1)(x
❑2 + 3x – 3) –5 c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
Bài Làm a) Đặt x = y
- Đa thức cho trở thành: 6y ❑2 – 11y + = (3y – 1)(2y – 3) - Trả lại biến cũ:
6x ❑4 – 11x
❑2 + = (3x ❑2 – 1) (2x ❑2 – 3)
= ( √3 x – 1)( √3 x + 1)( √2 x - √3 )( √2 x + √3 )
b) §Ỉt x ❑2 + 3x + = y x
❑2 – 3x – = y –
- Đa thức cho trở thành
y(y – 4) – = y ❑2 – 4y – = (y + 1)(y + 5)
(7)(x ❑2 + 3x + 1)(x
❑2 + 3x – 3) – = (x ❑2 + 3x + + 1)(x ❑2 + 3x + – 5)
= (x ❑2 + 3x + 2)(x
❑2 + 3x – 4) = (x + 1)(x + 2)(x – 1)(x + 1) c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 15
- §Ỉt x ❑2 + 8x + = y x ❑2 + 8x + 15 = y +
- Đa thức cho trở thành :
y(y + 8) + 15 = y ❑2 + 8y + 15 = y
❑2 + 5y + 3y + 15 = y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3)
- Trả lại biến cũ
(x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 = (x ❑2 + 8x +7 + 5)(x
❑2 + 8x + + 3)
= (x ❑2 + 8x + 12)(x
❑2 + 8x + 10) = (x ❑2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
3 Bài Tập
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) (x 2 + x)
❑2 – 2(x ❑2 + x) – 15 b) (x ❑2 + 3x + 1)(x
❑2 + 3x + 2) – c) (x ❑2 + 4x + 8)
❑2 + 3x(x ❑2 + 4x + 8) + 2x
Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 b) (4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) – c) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) + 3x ❑2 d) 3x ❑6 – 4x
❑5 + 2x ❑4 – 8x ❑3 + 2x ❑2 – 4x +
VIII/ Phơng Pháp hệ s bt nh
1 Phơng Pháp
Sử dụng tính chất: Hai đa thức bậc hệ số tơng ứng chúng phải
a ❑n x ❑n + a ❑
n=1 x ❑n−1 + + a ❑2 x ❑2 + a ❑1 x + a ❑0 = b ❑n x ❑n + b ❑
n=1 x ❑n−1 + + b ❑2 x ❑2 +
+ b ❑1 x + b ❑0 a ❑i = b ❑i i = 1; n
2 Ví dụ: Phân tích đa thức thành nh©n tư
2.1 – VD1: A = x ❑3 + 11x + 30
Vì A đa thức bậc 3, hệ số cao Nên A phân tích đợc A có dạng
A = (x + a)(x ❑2 + bx + c) = x
❑3 + (a + b)x ❑2 + (ab + c)x + ac
x ❑3 + 11x + 30 = x ❑3 + (a + b)x ❑2 + (ab + c)x + ac §ång nhÊt hÖ sè, ta cã
¿
a+b=0
ab+c=11
ac=30
¿{ {
¿
Chän a = ⇒ c = 15; b = -2
VËy (x ❑3 + 11x + 30) = (x + 2)(x
❑2 – 2x + 15) 2.2 – VÝ dô 2: B = x ❑4 – 14x
(8)Vì B đa thức bậc 4, hệ số cao nên B phân tích đợc thành nhân tử B có dạng:
B = (x ❑2 + ax + b)(x
❑2 + cx + d) B = x ❑4 + (a + c)x
❑3 + (ac + b + d)x ❑2 + (ad + bc)x + bd §ång nhÊt hƯ sè, ta cã:
¿
a+c=14
ac+b+d=15
ad+bc=−14
bd=1
¿{ { {
¿
⇒
¿
a=−1
b=1
c=−13
d=1
¿{ { {
¿
hc ¿
a=13
b=1
c=−1
d=1
¿{ { {
¿ Do vËy B = (x ❑2 – x + 1)(x
❑2 – 13x + 1)
hc B = (x ❑2 – 13x + 1)(x
❑2 – x + 1)
2 Bµi tËp
Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x ❑3 + 4x
❑2 + 5x + b) 2x ❑4 – 3x
❑3 –7x ❑2 + 6x + c) 5x ❑4 + 9x
❑3 – 2x ❑2 – 4x
Bài 17: Tìm a, b, c
a) x ❑4 – 2x
❑3 + 2x ❑2 – 2x + a = (x ❑2 – 2x + 1)(x ❑2 + bx + c)
b) x ❑3 + 3x
❑2 – x – = (x – 2)( ❑2 x + bx + c) + a c) 4x ❑3 + 7x
❑2 + 7x – = (ax + b)(x ❑2 + x +1) + c
IX / Phơng pháp xét giá trị riêng
1 Phơng pháp
Khi biến có vai trò nh đa thức ta xét giá trị riêng
2 Ví Dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử
2.1: VD1: P = (x + y + z) ❑3 - x
❑3 – y ❑3 – z ❑3 Bµi Lµm
- Coi P đa thức biến x
Khi x = -y P = ⇒ P (x + y)
- Trong P, vai trị x, y, z bình đẳng nên P (x + z)
P (y + z)
⇒ P = (x + y)(x + z)(y + z).Q
Mà P đa thức bậc biế x, y, z nên Q số Với x = ; y = z = 1, ta có Q =
VËy P = 3(x + y)(x + z)(y + z) 2.2 – VÝ dô 2:
M = a(b + c)(b ❑2 – c
❑2 ) + b(c + a)(c ❑2 –a ❑2 ) + c(a + b)(a ❑2 – b ❑2 )
Bµi Lµm
- Coi M đa thức biến a
(9)M (a - b)
- Trong M vai trị a, b, c bình đẳng nên : M (b - c)
M (c - a)
M = (a - b)(b –c)(c – a)N
Vì M đa thức bậc biến a nên N đa thức bậc a Nhng a,b,c có vai trị bình đẳng nên:
N = (a + b + c)R (R lµ h»ng sè)
M = (a - b)(b –c)(c – a)(a + b + c)R Chän a = 0, b = 1, c = R =
VËy B = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c)
3 Bµi tËp
Bµi 18: Phân tích đa thức thành nhân tử
A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
X Phơng pháp tìm nghiệm đa thức
1 phơng pháp
Cho đa thức f(x), a nghiệm đa thức f(x) f(x) =
Nh đa thức f(x) chứa nhân tử (x – a) phải nghiệm đa thức Ta biết nghiệm nguyên đa thức có phải ớc hệ số tự
2 VÝ dô: x3 + 3x –
Nếu đa thức có nghiệm a ( đa thức có chứa nhân tử (x – a) nhân tử cịn lại có dạng x2 + bx = c suy - ac = - suy a ớc – Vậy đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên có phải ớc hạng t khơng đổi
¦íc cđa (- 4) lµ : -1; 1; -2; 2; - 4; sau kiĨm tra ta thÊy1 lµ nghiƯm cđa ®a thøc suy ®a thøc chøa nh©n tư (x 1)
Do ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung (x – 1)
*c¸ch 1:
x3 + 3x2 – = x3 – x2 + 4x2 = x2(x – 1) + (x – 1) (x + 1) = (x – 1) (x2 + 4x + 4) = (x – 1) (x + 2)2 *c¸ch 2:
x3 + 3x2 – = x 3– + 3x2 – = (x3 – 1) + 3(x2 – 1) = (x – 1) (x2 + x + 1) + 3(x2 – 1)
= (x – 1) (x + 2)2 Chó ý:
+ NÕu đa thức có tổng hệ số không ®a thøc chøa nh©n tư (x – 1)
+NÕu đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hạng tử bậc lẻ đa thức chứa nhân tử (x + 1)
VÝ dơ :
* §a thøc : x3 5x2 + 8x – cã – + 8– = 0
Suy đa thức có nghiệm hay đa thức cã chøa thõa sè (x – 1) *§a thøc : 5x3 – 5x2 + 3x + cã ( 5) + = + 3
(10)Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ có phải có dạng p/q p ớc hạng tử không đổi, q ớc dơng hạng tử cao
VÝ dô: 2x3 – 5x2 + 8x – 3
NghiÖm hữu tỷ Nếu có đa thức :
( 1); ; ( 1/2) ; 1/2 ; ( 3/2) ; 3/2 ;
Sau kiểm tra ta thấy x =1/2 nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - 1/2) hay (2x – 1) Do ta tìm cách tách hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung (2x – 1)
2x3 – 5x2 + 8x – = 2x3 – x2 – 4x2 + 2x + 6x – =x2 (2x – 1) – 2x(2x –1) + 3(2x –1) =(2x – 1)(x2 – 2x + 3)
XI Ph ơng pháp tính nghiệm tam thức bậc hai
a) Phơng pháp: Tam thức bậc hai ax2 +bx + c
Nếu b2 – 4ac bình phơng số hữu tỷ phân tích tam thức thành thừa số phơng pháp biết
Nếu b2 – 4ac khơng bình phơng số hữu tỷ khơng thể phân tích tiếp đợc
b)VÝ dô : 2x2 – 7x + 3
Víi a =2 , b =- , c = XÐt b2 4ac = 49 4.2.3 =25 = 55
Suy Phân tích đợc thành nhân tử : 2x2 7x + 3
= ( x 3)(2x 1) Hoặc phân tích cách để bình phơng đủ 2x2 7x + = 2/9x2 7/2x + 3/2
=2(x2 2.7/4 + 49/16 25/16)
=2[(x 7/4) 2 (5/4) 2] = 2(x - 1/2)(x - 3) =(2x - 1)(x - 3)
Chó ý: P(x) = ax2 + bx + c cã nghiƯm lµ x
1 , x2 th× P(x) =a( x x1)(x x2)
Phần 2: Các toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử.
I).Bài toán rút gọn biểu thức
1 Phơng pháp
+Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiƯn nh©n tư chung
+ áp dụng tính chất phân thức đại số: Chia tử thức mẫu thức cho nhân tử chung
Học sinh thấy đợc liên hệ chặt chẽ kiến thức giúp phát triển t suy luận lơgic, sáng tạo
2)VÝ dơ: Rót gän biÓu thøc
a) A = 3x3−7x2+5x −1
2x3− x2−4x
(11)b) B = xx++31−2x −1 x −1 −
x −3
x2−1
Bµi Lµm a) A = 3x
3
−3x2−4x2+4x+x −1
2x3−2x2+x2− x −3x+3
A = 3x
2
(x −1)−4x(x −1)+(x −1)
2x2
(x −1)+x(x −1)−3(x −1)
A = (x −1)(3x
2
−4x+1) (x −1)(2x2+x −3) =
(x −1)(x −1)(3x −1) (x −1)(2x+3)(x −1)
A =
x −1¿2(3x −1)
¿
x −1¿2(2x+3)
¿ ¿ ¿ ¿
b) MTC = x2 - = (x + 1)(x - 1)
B = (x+3)(x −1)−(2x −1)(x+1)−(x −3)
(x+1)(x −1)
B = x
+2x −3−2x2+x+1− x+3 (x+1)(x −1)
B =
x −1¿2 ¿
−¿
− x2+2x+1 (x+1)(x −1)=¿
3 Bµi tËp
Bµi 19 Rót gän biĨu thøc
a) A = a
2(b − c)+b2
(c − a)+c2(a −b)
ab2−ac2− b3 +bc2 b) B = 2x
3
−7x2−12x+45
3x3−19x2+33x −9
c) C =
z − x¿2
y+z¿2+¿
x+y¿2+¿ ¿
x3− y3+z3+3 xyz
(12)d) D =
z − x¿2
y − z¿2+¿
x − y¿2+¿ ¿
x3
+y3+z3−3 xyz
¿
Bµi 20 Rót gän biĨu thøc
a) A =
x(x+y)+
1
y(x+y)+
1
x(x − y)+
1
y(y − x)
b) B =
a(a − b)(a − c)+
1
b(b −a)(b− c)+
1
c(c − a)(c −b)
Bµi 21 Cho x2 - 4x + = 0
Tính giá trị biểu thức A = x
+x2+1
x2
II) Bài toán giải phơng trình bậc cao.
1) Phng phỏp : ỏp dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
đa phơng trình tích
AB = ⇔ hc A = hc B =
2) Ví dụ: Giải phơng trình
* VÝ Dô 1: x3 7x2 + 15x 25 =
⇔ x3 5x2 2x2 + 10x + 5x- 25 = ⇔ x2(x- 5) - 2x(x - 5) + 5(x 5) = 0
⇔ (x- 5)(x2- 2x + 5) = 0
⇔
x −5=0
¿
x2−2x+5=0
¿ ¿ ¿ ¿
⇔
x=5
¿
x −1¿2+4=0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
(V« lý)
Vậy phơng trình cho có tập nghiệm S = {5} *Ví dụ 2:
(2x2 + 3x - 1) 2 5(2x2 + 3x + 3) + 24 = 0 (1) Đặt : 2x2 + 3x - = t (*) 2x2 + 3x + = t + 4
Phơng trình cho trở thành: t2 - 5(t + 4) + 24 = 0
t2 - 5t + = 0
(13)
t −1=0
¿
t −4=0
¿ ¿ ¿ ¿
t=1
¿
t=4
¿ ¿ ¿ ¿ + Thay t = vµo (*), ta cã:
2x2 + 3x - = 1
2x + 3x - = 0
(2x + 4x) - x - = 0
2x(x + 2) - (x + 2) =
(x + 2) (2x - 1) =
x+2=0
¿ 2x −1=0
¿ ⇔
¿
x=−2
¿
x=1
2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
+ Thay t =4 vµo (*), ta cã :
(14)
x −1=0
¿ 2x+5=0
¿ ⇔
¿
x=1
¿
x=−5
2 ¿ ¿
Vậy phơng trình (1) cã tËp nghiÖm: S = { -2; −5 ;
1
2 ; 1} * VÝ Dô 3:
(x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40 (1)
(x + 1)(x + 5)(x + 2)(x + 4) = 40
(x2 + 6x + 5)(x2 + 6x + 8) = 40
Đặt x2 + 6x + = t (*) x2 + 6x + = t + 3 Phơng trình cho trở thành:
t(t + 3) = 40 t2 + 3t – 40 = 0 (t – 5)(t + 8) =
t=5
¿
t=−8
¿ ¿ ¿ ¿
Thay t = vµo (*), ta cã: x2 + 6x + = 5 x2 + 6x = 0
x(x + 6) =
x =
¿ x = -6
¿ ¿ ¿ ¿ Thay t = -8 vµo (*), ta cã: x2 + 6x + = - 8 x2 + 6x + 13 = 0
x2 + 2x +
25 +
27
4 = (x + 52 )2 + 27
4 = (V« lý) Vậy phơng trình (1) có tập nghiệm S = {0; -6}
(15)x ❑4 + 3x
❑3 + 4x ❑2 + 3x + = (4) Ta thÊy x = không nghiệm phơng trình (4)
Chia hai vế (4) cho x ❑2 0, ta đợc x ❑2 + 3x + + 3
x +
x2 = ⇔ (x2 +
x2 ) + 3(x +
1
x ) + = Đặt x +
x = t (*)
x ❑2 +
x2 = t ❑2 –
Phơng trình cho trở thành : t ❑2 + 3t + = 0 ⇔ (t + 1)(t + 2) =
⇔
t=−1
¿
t=−2
¿ ¿ ¿ ¿ Thay t = - vào (*), ta đợc : x +
x = -1 ⇔ x ❑2 + x + = (V« nghiƯm)
Thay t = - vào (*), ta đợc : x +
x = - ⇔ x ❑2 + 2x + = ⇔ (x + 1) ❑2 = ⇔ x = -1
Vậy phơng trình (4) có tập nghiệm S = {-1} *Ví Dụ : Giải Phơng trình đối xứng bậc lẻ
x ❑5 – x
❑4 + 3x ❑3 + 3x ❑2 – x + = (5) Cã x = - lµ nghiệm phơng trình (5)
Do (5) (x + 1)(x ❑4 – 2x
❑3 + 5x ❑2 – 2x + 1) = Giải phơng trình đối xứng bậc chẵn
x4 – 2x3 + 5x2 – 2x + = (5’)
Ta thÊy x = không nghiệm (5) Chia vế (5’) cho x ❑2 0, ta cã: x ❑2 – 2x + - 2
x +
1
x2 = (x ❑2 +
x2 ) – 2(x +
x ) + =
Đặt (x +
x ) = t (*)
(x ❑2 +
x2 ) = t ❑
2 – 2 (5’) t ❑2 – 2t +3 = 0
(t – 1) ❑2 + = ( vô nghiệm) Vậy Phơng trình (5) có tập nghiêm S = {-1}
3) Bài tập: Bài 22: giải phơng trình
a) 2x ❑3 + 3x
❑2 +6x +5 =0 b) x ❑4 – 4x
(16)c) 4x ❑4 + 12x
❑3 + 5x ❑2 – 6x – 15 = d) x ❑3 + 3x
❑2 + 4x + = Bài 23: giải phơng trình
a) x(x + 1) (x – 1)(x+ 2) = 24
b) (x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680 c) (2x + 1)(x+ 1) ❑2 (2x + 3) = 18
d) 12x + 7) ❑2 (3x + 2)(2x + 1) = 3 Bài 24: giải phơng trình
a) (x ❑2 – 6x + 9)
❑2 – 15(x ❑2 – 6x + 10) = b) (x ❑2 + x + 1)
❑2 +(x ❑2 + x + 1) – 12 = c) (x ❑2 + 5x)
❑2 – 2x ❑2 10x = 24 Bài 25: giải phơng trình
a) x ❑4 2x
❑3 + 4x ❑2 – 3x + = b) x ❑4 – 3x ❑3 + 4x ❑2 – 3x + = c) 2x ❑4 – 9x ❑3 + 14x ❑2 – 9x + = d) x ❑6 + x ❑5 + x ❑4 + x ❑3 +x ❑2 + x + = Bài 26: giải phơng trình x ❑5 + 2x ❑4 + 3x ❑3 + 3x ❑2 + 2x + = III/ Bài tốn giải bất phơng trình 1 Phơng pháp Với số bất phơng trình bậc bao dạng f(x) > ( f(x) < 0), vế trái f(x) đa thức phân tích thành nhân tử nhị thức bậc ta giải nhờ vào cách giải bất phơng trình tích 2) Ví dụ : Giải bất phơng trình * Ví dụ 1: x ❑2 – 5x +6 < (1)
(x – 2)(x –3) < Ta cã b¶ng : x
x – + +
x – +
x – 2)(x – 3) + +
Vậy bất phơng trình (1) có nghiệm < x <3
VÝ dô 2: x4 – 3x3 – x + 3 0 (x – 1)(x – 3)(x2 + x + 1) 0 v× x2 + x + = (x + )2 + > ∀ x Nªn x4 – 3x3 – x + (x – 1)(x – 3) x
VÝ dô 3: 3−5x>
1 2x+3
3−15x−2x1
+3 >
(17)(2x+3)−(3−5x)
(3−5x)(2x+3) >
7x
(3−5x)(2x+3) >
Ta cã b¶ng :
x −3
2
0
5
7 x - - + +
3 – 5x + + +
-2x + - + + +
Th¬ng + // - + //
-KÕt qu¶ x < −3
2 hc < x <
−3
2
2 Bµi TËp:
Bµi 25: Giải phơng trình a) x 3 2x
❑2 + x + > b) x ❑2 – 4x +
c) x ❑4 – 4x + < Bài 26 : Giải phơng trình
a) x +
(x + 7)(3 - 4x) <
b) −4
3 x + <
3 2− x
c) x + 3x +
x - 2x - d) x
x - +
x +
x >
IV/ Bài toán chia hết
1) Phơng pháp:
Bin i a thc cho thành tích, xuất thừa số có dạng chia hết
2) VÝ dơ
VÝ dô 1: Chøng minh r»ng
(4x + 3) ❑2 - 25 x є Z
Bµi lµm
Cã (4x + 3) ❑2 – 25 = 8(2x – 1)(x + 1) : x є Z
VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: n є Z th× biĨu thøc 3n + n 2 +
n3 є Z Bµi Lµm
Cã n +
n2 +
n3 =
2n+3n2+n3
(18)XÐt 2n + 3n2 + n3 = n(n + 1)(n + 2) tích số nguyên liên tiếp V× vËy Ýt nhÊt cã thõa sè chia hÕt cho 2; thõa sè chia hÕt cho Mµ (2; 3) = Nên tích chia hết cho
VËy n є Z th× 3n + n 2 +
n3 є Z
3) Bµi tËp
Bµi 27: Chøng minh r»ng
a) ❑5 + ❑5 + ❑5
b) ❑4n 1 15
c) ❑1 + ❑2 + ❑3 + ❑4 + + ❑4k 400 (k є N)
d) 75(4 ❑1975 + ❑1974 + + 42 + 5) + 25 ❑1976
Bµi 28 : Chøng Minh R»ng