Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp trường năm 2019-2020 có đáp án - Trường THCS Đại An

Mời các bạn cùng tham khảo Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp trường năm 2019-2020 có đáp án - Trường THCS Đại An. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho giáo viên và học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập môn Toán lớp 9 cấp trường.

PHÒNG GD& ĐT THANH BA TRƯỜNG THCS ĐẠI AN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2019 - 2020 MƠN: TỐN - LỚP Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức   2x  x  2x x  x  x   A     : x   1 x 1 x x 1 x  a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x  17  12 c) So sánh A với A Bài 2: (4,0 điểm) Với x  0; x  ; x  a) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x3 + y3 b) Chứng minh rằng: Biểu thức B   20082  20082 2008  có giá trị số tự nhiên 20092 2009 Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình x  3x   x   x   x  2x  b) Cho số thỏa mãn điều kiện: x2+2y+1 = y2+2z+1 = z2+2x+1 = Hãy tính giá trị biểu thức: A = x2012 + y2012 + z2012 Bài 4.(7,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB = c; AC = b; BC = a, phân giác AD a) Chứng minh hệ thức AD2 = AB.AC – BD.DC b) Tính độ dài phân giác AD? Bài 5: (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: A 1 1     1 2 3 2009  2010 - Hết - HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2019-2020 MƠN TỐN LỚP Bài (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức (2 điểm)   2x  x  2x x  x  x     A      x  0;x  ;x  1  :   x x  1 x x   1 x   x 2x  x   x   x  2x  x  x    :   x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x  x     x x 1 x 1  x 1  x 1 x 1   :  x x   1 x 1 x 1 x 1 x  x      x 1  x  :  x      x x     x  x  x            x 1 x  x    x 1                      : x 1 : 1 x 1 :  1 x  x  x 1 x  1 x 1 x 1  x x   x x   0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 1 x  x x b) Tính giá trị A x  17  12 (1 điểm)  Tính x  17  12   2 A     2  17  12 3 2 c) So sánh A với A (1 điểm)   x 3  2    2 5  2   5 15  10  3 2 2  3 2 0.5 0.5 3 2 1 x  x  x 1 x x 1 Chứng minh x   với x  0;x  ;x  x A  x   1 A  1 A    A A   x Biến đổi A    0.25 0.25 0.5  A  A  0 A  A Bài (4 điểm) a) Ta có M = x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = x2 - xy + y2 ( x + y = 1) 0.25 x2 y x2 y2 x y    xy   (x  y2 )  (  ) 2 2 2 Suy M  ( x  y ) Mặt khác : x + y =1  x2 + y2 +2xy =  2(x2 + y2) – (x – y )2 =  2(x2 + y2)  1 Do : x2 + y2  Dấu “ = “ xảy x = y = 1 1 Ta có M  ( x  y ) x2 + y2   M    2 1 Vậy M  , nên giá trị nhỏ biểu thức M x = y = 4 M= 0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 20082 2008  b) Biểu thức B   2008  có giá trị số tự nhiên ) 20092 2009 20082 2008   Ta có : B   2008  20092 2009 20082 2008  1 2008  2.1.2008  20092 2009 0.75 2008 20082 2008 2008  2008    2009  2.2009     2009   2009 2009 2009 2009  2009  2008 2008 2008 2008  2009    2009    2009 2009 2009 2009 2009 0.75 0.5 Vậy B có giá trị số tự nhiên Bài (4điểm) Giải phương trình x2  3x   x   x   x  2x  a)  x  1 x  2  x    x  1 x  2   x2  x   Điều kiện  x2 x     x  1 x  3   1    x2   x 1 1  x 1 1  x    x  1 x  3 1 0.5 0.25  x 1 1   x 1 1  x 1  x2 x3 0   x2  x   x    x   x   0.25 0.5 0.5 x = thoả mãn điều kiện xác định Vậy phương trình có nghiệm x = b).Ta có x2+2y+1 = (1); y2+2z+1 = (2) z2+2x+1 = (3) 0.25 Cộng vế (1),(2),(3) ta có 0.5 (x2+2x+1) +( y2+2y+1) + (z2+2z+1) =  ( x  1)  ( y  1)  ( z  1)  x 1     y    x  y  z  1 z 1   0.75 0.5 Vậy: A = x2012 + y2012 + z2012 = (-1)2012+(-1)2012+(-1)2012 = Bài (7 điểm) Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp  ABC Gọi E giao điểm AD (O) a) Ta có :  ABD ~  CED (g –g) A 0.5 0.5 BD AD   AD.ED = BD.CD ED CD   AD(AE – AD) = BD.CD  AD2 = AD.AE – BD.CD Lại có:  ABD ~  AEC (g –g) C (1) AB AD   AB.AC = AD.AE (2) AE AC  Từ (1) (2) suy ra: AD2 = AB.AC – BD.DC b) Vì AD phân giác   DB BA  DC CA DB DC DB  DC a    cb bc c b  DB = ac bc DC = ab bc a bc  AD = bc (b  c) B D E 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: 1 1 A     1 2 3 2009  2010 Ta có: 1 1    1 1 1 1 2 2    3 23 1 2 3 3   4 = 43 1 3 0.5 Tương tự ta có 1 1 A     1 2 3 2009  2010 =        2010  2009 ( = 1  2010  2010  Chú ý: Nếu thí sinh làm cách khác cho điểm tương đương 0.25 0.25 ... 2008   Ta có : B   2008  20 092 20 09 20082 2008  1 2008  2.1.2008  20 092 20 09 0.75 2008 20082 2008 2008  2008    20 09? ??  2.20 09     20 09   20 09 20 09 20 09 20 09  20 09  2008...HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 20 1 9- 2020 MƠN TỐN LỚP Bài (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức (2 điểm)   2x  x  2x x  x...  20 09   20 09 20 09 20 09 20 09  20 09  2008 2008 2008 2008  20 09    20 09    20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 0.75 0.5 Vậy B có giá trị số tự nhiên Bài (4điểm) Giải phương trình x2  3x   x