Ngời ta nhấc nhẹ hình trụ ra khỏi phễu. Hãy tính thể tích và chiều cao của khối nớc còn lại trong phễu... Chứng minh rằng:.. Sau đó người ta rót nước từ ly ra để chiều cao mực nước c[r]
(1)CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO
CÁ
C
BÀ
I TỐN KHĨ TRONG TUY
Ể
N SINH L
Ớ
P 10 TRÊN
TỒN QU
ỐC TRONG NHIỀU NĂM QUA
LIÊN HỆ :0976978545 Bài 1: (HẢI DƯƠNG)
Cho x, y, z ba số dương thoả mãn x + y + z =3 Chứng minh rằng:
1
3 + + ≤
+ + + + + +
x y z
x x yz y y zx z z xy
HD:
Từ
(
)
2x− yz ≥ ⇔0 x +yz≥2x yz (*) Dấu “=” x2 = yz
Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z) ≥x(y+ +z) 2x yz
Suy 3x+yz≥ x(y+ +z) 2x yz = x ( y + z ) (Áp dụng (*))
x x
x 3x yz x ( x y z )
x 3x yz x y z
+ + ≥ + + ⇒ ≤
+ + + + (1)
Tương tự ta có: y y
y+ 3y+zx ≤ x+ y+ z (2),
z z
z+ 3z+xy ≤ x+ y+ z (3)
Từ (1), (2), (3) ta có x y z
x+ 3x+yz +y+ 3y+zx +z+ 3z+xy ≤ Dấu “=” xảy x = y = z =
Bài :(ĐAKLAK )
(
)
(
)
2 2
2 2 2 2
2
2
, ,
1 3
4 4 3
4
1
2 7, , ,
2
x y z x y z yz x y
x y z yz x y x x y y z z y y
x y z y x y z
+ + − − − ≥ −
+ + − − − = − + + − + + − + − −
= − + − + − − ≥ − ∀ ∈
Cho lµ ba sè thùc tuú ý Chøng minh: Ta cã:
Bài 3: (TỈNH NINH BÌNH)
Cho ba số x, y, z thỏa mãn x, y, z
[
1: 3]
x + y + z
∈ −
=
Chứng minh rằng:
2 2
(2)HD : Vì x,y,z∈
[ ]
−1;31
( 1)( 1)( 1)
1
(3 )(3 )(3 )
1
x
x y z
y
x y z
z
− ≤ ≤
+ + + ≥
⇒ − ≤ ≤ ⇒ −
− − ≥
− ≤ ≤
1
2( )
27 9( ) 3( )
xyz xy yz xz x y z
xy yz xz x y z xy yz xz xyz
+ + + + + + + ≥
⇒ − + + + ⇒ + + ≥ −
+ + − ≥
2 2 2 2 2
2( ) ( )
x y z xy yz xz x y z x y z x y z
⇒ + + + + + ≥ + + − ⇒ + + ≥ + + −
2 2 2 2
3 x y z x y z 11
⇒ + ≥ + + ⇒ + + ≤
Cách2:.Khơng giảm tính tổng qt, đặt x = max
{
x,y,z}
⇒ = x + y + z ≤ 3x nên 1≤ x ≤3
⇒ ( x -1 ) (x - 3) ≤ (1)
Lại có: x2 + y2 + z2 ≤ x2 + y2 + z2 + 2(y +1) (z+1) = x2 + ( y + z )2 + ( y + z ) + = x2 + ( - x )2 + ( 3- x) + = x2 - 8x + 17 = ( x -1 ) (x - 3) + 11 (2)
Từ (1) (2) suy x2 + y2 + z2 ≤ 11 Dấu đẳng thức xảy x = max
{
x,y,z}
( x -1 ) (x - 3) =(y +1) (z+1) = ⇒ Không xảy dấu đẳng thức x + y + z =
Bài :(SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH) Cho số a, b, c lớn 25
4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2 5
a b c
Q
b c a
= + +
− − −
HD : Do a, b, c > 25
4 (*) nên suy ra: a− >5 0, b− >5 0, c− >5 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho số dương, ta có:
2
2
a
b a
b− + − ≥ (1)
2
2
b
c b
c− + − ≥ (2)
2
2
c
a c
a− + − ≥ (3)
(3)Vậy Min Q = 15 ⇔ = = =a b c 25 Bài : (BÌNHĐỊNH)
2 x 2x 2011 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A =
x
− +
(với x 0≠ )
HD: * MinA =2010 x = 2011 2011⇔
* Cách 1: (Dùng kiến thức đại số lớp 8)
(
)
− + ≠
− ⋅ + ⋅ − ≠
− ⋅ ⋅ + + −
− + ≥ ⇔ ⇔ =
2
2
2
2
x 2x 2011
A = với x
x
1 1
= 2011 = 2011.t 2t + (với t = 0)
x x x
1 1
= 2011 t t
2011 2011 2011
1 2010 2010
= 2011 t dấu"=" t = x 2011 ; thõa x
2011 2011 2011 2011 ≠0
* Vaäy MinA =2010 x = 2011 2011⇔
* Cách 2: (Dùng kiến thức đại số 9)
(
)
(
)
( )
(
)
− + ≠
⇒ = − + ⇔ − + − =
2
2 2
x 2x 2011
A = với x
x
A.x x 2x 2011 A x 2x 2011 * coi phương trình ẩn x 2011
Từ (*): A = A = x = (1)
− ⇔ ⇔
Nếu A (*) ln phương trình bậc hai ẩn x.− ≠
x tồn phương trình (*) có nghiệm
(
)
⇔ ∆ ≥ ⇔ + − ≥
− − −
⇔ ≥ ⇔ = = = ≠
−
−
/
/
2
0 2011 A
2010 b 1
A daáu "=" (*) có nghiệm kép x = 2010 2011 ; thõa x (2)
2011 a A 1
2011 So sánh (1) (2) khơng phải giá trị nhỏ A mà: Bài 6:( THANH HÓA)
Cho số dương x, y , z Chứng minh bất đẳng thức >2
+ + + +
+ x y
z z
x y z
y x
HD :Áp dụng BĐT Cosi ta có :
x x
z y x x
z y z
y + + +
+
(4)z y x y z x y y z y x y z x y z x + + ≥ + => + + = + + ≤ + 2 1 z y x z x y z z z y x z x y z x y + + ≥ + => + + = + + ≤ + 2 1
Cộng vế với vế ta có : 2( ) =2
+ + + + ≥ + + + +
+ x y z
z y x x y z z x y z y x
dấu xảy
y+ z = x
x+ z = y x + y + z = y+ x = z
Vì x, y ,z > nên x + y + z > dấu xảy
=> >2
+ + + +
+ y x
z z x y z y x
với x, y , z > (Đpcm )
Bài :( BẮC GIANG)
Cho hai số thực dương x, y thoả mãn:
(
)
(
)
3 2 2 3
3 4
x +y − xy x +y + x y x+y − x y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x + y
HD: Đặt a = x+y = M; b = xy;
4
a ≥ b Từ giả thiết có:
3 2
3 4
a − ab− a b+ b + ab − b = 2
2
2
( )( )
2
a b
a b a ab b b
a ab b b
=
− − + − = ⇔
− + − =
+) Nếu a =2b
Thì: x+y = 2xy Mà (x+y)2 ≥4xy nên (x+y)2 ≥2(x+y) ⇒M = + ≥x y 2;" "= khi x: = =y
(*)
+) Nếu 2
2
a −ab+ b − b= 2 2
2 ( 3)
a −ab+ b − b= ⇔ b − +a b+a = (1)
Giả sử ∆ =(1) có nghiệm b thoả mãn b
2
4 a
≤
b=
2
3
2
a+ ≤ a
2 7; ( : 0)
a a a Do a
⇔ − − ≥ ⇔ ≥ + >
2
( 3) ( 2)( 2)
2
a+ − a ≥ ⇔ ⇔ + +a a a+ − a ≥ ⇔ ≥a
−
Vậy a ≥ +1 (**)
(5)Với x > 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức: M 4x2 3x 2011 4x
= − + +
HD: Cách 1: 2
4 2011 4 2010 (2 1) ( ) 2010
4 4
M x x x x x x x
x x x
= − + + = − + + + + = − + + +
Vì
(2x−1) ≥0 x > 4x
⇒ > , Áp dụng bdt Cosi cho số dương ta có: x +
1 4x
1
2
4
x x
≥ = =
M =
(2 1) ( ) 2010
x x
x
− + + + ≥ + + 2010 = 2011
M≥ 2011 ; Dấu “=” xảy ra
1
2 2
1 1
4
0 x x x
x x x
x x x x x = = − = = ⇔ = ⇔ = > > = − >
⇔ x =
Vậy Mmin = 2011 đạt x =
1 Cách 2:
2 2
2
1 1 1
4 2011 2010
4 8
1 1
3 2010
2 8
M x x x x x
x x x
M x x
x x = − + + = − + + + + + + = − + + + + +
Áp dụng cô si cho ba số
x x x , ,
2 ta có
4 8
2 + + ≥ =
x x x x x
x Dấu ‘=’ xẩy x = 1/2
mà ≥
−x Dấu ‘=’ xẩy x = 1/2
Vậy 2010 2011
4
0+ + + =
≥
M
Vậy giá trị nhỏ M 2011 M =
2
Bài :( NAM ĐỊNH)
2
(6)HD :
2
2
2
1 1 1
3 x x x x x x
x x x x x x
1 1
3 x x (vì x nên x 0) (2)
x x x
− < − ⇔ − + < − + +
⇔ + < + + > − >
Đặt x t x2 12 t2
x x
+ = + = − , ta có (2) ⇔2t2− − > ⇔ −3t
(
t 2t 1)(
+ >)
(3) Vì x nên x 1(
)
2 x2 2x x hay tx
> − > ⇔ + > ⇔ + > > => (3) Vậy ta có đpcm
Bài 10:( VĨNH PHÚC)
Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãnđiều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức:
P = ab bc ca
c ab+ + a+bc+ b ca+
HD:
Có:
(
)
1
a b c+ + = ⇒ = + +c a b c c=ac bc c+ +
⇒
( ) ( )
c+ab=ac bc c+ + +ab=a c b+ +c b c+ = (c+a c)( +b) ⇒
( )( )
a b
ab ab c a c b
c ab c a c b
+
+ +
= ≤
+ + +
Tương tự: ( )( )
( )( )
a bc a b a c b ca b c b a
+ = + +
+ = + +
( )( )
b c
bc bc a b a c
a bc a b a c
+
+ +
⇒ = ≤
+ + +
( )( )
c a
ca ca b c b a
b ca b c b a
+
+ +
= ≤
+ + +
P≤
2
a b b c c a
c+a+c b+ +a b+ +a+c+b c+ +b+a =
2
a c c b b a a c c b b a
+ + + + +
+ + + =
2
Dấu “=” xảy
3 a= = =b c
Từ giá trị lớn P
2 đạt
1 a= = =b c
Bài 11:( HẢI DƯƠNG)
Cho ba số x y z, , thoả mãn 0<x y z, , ≤1 x+ + =y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A =
2 2
(x 1) (y 1) (z 1)
z x y
(7)HD:
Do x, y, z ≤ 1đặt a = – x ≥ 0, b = 1- y ≥ 0, c = 1- z ≥ a + b + c = suy z = 1– x + 1- y = a + b, y = 1– x + 1- z = a + c, x = 1- z + 1- y = c + b Khi A =
2 2
a b c
a+b+b c+ +c a+
Với m, n ≥
(
m− n)
2 ≥ ⇔ + ≥0 m n mn (*) Dấu “=” m = n Áp dụng (*) ta có:2 2
a a b a a b a a b
2 a
a b a b a b
+ + +
+ ≥ ⇔ + ≥
+ + +
2
a a b
a
a b
+
⇔ ≥ −
+
Tương tự ta có:
2
b b c
b
b c
+ ≥ −
+ ;
2
c c a
c
c a
+ ≥ − +
Suy ra:
2 2
a b c
a+b+b c+ +c a+
a b c
+ +
≥ =1
2
Dấu “=” xảy a = b = c =
3 suy x = y = z =
Vậy giá trị nhỏ A
2 x = y = z =
Bài 12:( HƯNG YÊN)
Tìm giá trị lớn biểu thức:
4( 1)
y= − x − + +x x− với-1 < x <
HD:
(
)
y = −4 x − + +x 2x−1 với-1< x <
(
)
2
2
y 4x 4x 3
(2 1) 3
9
(2 1)
4
x
x x
x x
= − − + + − −
= − − + − −
= − − − − + −
2
3 3
2
2 4
x
= − − − − ≤ −
Vậy ymax =
−
Khi x− − = *
4
x= (loại ) *
4
(8)Cho biểu thức:
(
)(
)
22 12 24 18 36
P=xy x− y+ + x − x+ y + y + Chứng minhP dương với giá trị x y; ∈
HD:
(
)(
) (
) (
)
P= x −2x y +6y +12 x −2x +3 y +6y 12+
(
)(
) (
)
x 2x y 6y 12 y 6y 12
= − + + + + +
(
)(
)
y 6y 12 x 2x
= + + − +
(
)
2(
)
2y 3 x x, y
= + + − + > ∀ ∈ Vậy P dương với giá trị x, y∈ Bài 14: (
PHÚ TH
Ọ)
Cho x, y số thực thỏa mãnđiều kiện: x−1−y y = y−1−x x Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = x2 +3xy−2y2 −8y+5
HD : từ GT ta có x−1− y−1= y y−x x
giả sử x>y>1 VT>0; VP<0 vơ lí
giải sử 1<x<y VT<0;VP>0 vơ lí suy x= y Do S=2
(
x−2)
2− ≥ −3 dấu “=” xảy x=2 Vậy minS=-3 x=y=2Bài 15 :( TUYÊN QUANG)
HD
a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + 2y2 + 2xy + 3y– = (1)
HD: (1) ⇔(x2 + 2xy + y2) + (y2 + 3y– 4) =
⇔(x + y)2 + (y - 1)(y + 4) =
⇔ (y - 1)(y + 4) = - (x + y)2 (2)
Vì - (x + y)2 ≤ với x, y nên: (y - 1)(y + 4) ≤ ⇔ -4 ≤ y ≤ Vì y nguyên nên y ∈
{
− − − −4; 3; 2; 1; 0; 1}
Thay giá trị nguyên y vào (2) ta tìmđược cặp nghiệm nguyên (x; y) PT cho là: (4; -4), (1; -3), (5; -3), ( -2; 0), (-1; 1)
Bài 16 : (ĐỒNG NAI)
(9)HD :
(
) (
)
(
)
(
) (
)(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
x x x x x x x nên x x v́ x x x x x x x x x x x x x x x x ∀ ≥ + − + − ⇒ ≥ − + ≥ − > + − + = − + + = + − + + − + + = + − + − , 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4Bài 17 :( THÁI BÌNH)
Cho a,b,c số thực không âm thoả mãn : a + b + c = Chứng minh rằng:
(
) (
3) (
3)
3a b c
4
− + − + − ≥ −
Câu Nội dung Điểm
Đặt x = a- 1; y = b - 1; z = c–
Đ/K x ≥ -1 ; y ≥- 1; z ≥ -
⇒ x + y + z =
và VT = x3 + y3 +z3 = 3xyz Câu V(0,5đ): HN
Giải phương trình: 2 1
(2 1)
4
(10)Câu 5( 2điểm - Sn La)
Tìm số tự nhiên n biết n+S(n) = 2011, S(n) tổng chữ số n
Câu 5.
Ta có n+S(n) = 2011
+Nếu n số có chữ số S(n) ≤ 27 => n ≥1984 Vơ lí Gọi n số có chữ số : abcd
Nên theo đầu bài: abcd+ a + b + c + d = 2011
1000a + 100b + 10c + d + a + b + c + d = 2011
(11)Ta có 1≤a≤2 a ≥3 VP > 3003 > 2011 vơ lí
• Với a = => 101b +11c + 2d = vơ lí
• Với a = => 101b +11c + 2d = 1010 nên 8≤b≤9 b = => 11c + 2d = 202 vơ lí => b =9
=> 11c + 2d = 101 => 8≤c≤9
Nếu c = => 2d = 13 vơ lí 2d số chẵn => c = => 2d = 2=>d=1
Vậy số n cần tìm 1991
Bài 5.(0,5 điểm-Thái Bình)
Cho a, b, clà sốkhơng âmthoả mãn: a + b + c = 1006 Chứng minh rằng:
2 2
2012
(b c) (c a) (a b)
2012a 2012b 2012c
2 2 ≤
− − −
+ + + + +
BG:
Ta có:
(
)
(
)
(
)
2 2
b c b c b c
2012a 2012a bc 2012a
2 2
− + +
+ = + − ≤ + (vì bc≥ 0)
⇒
(
)
(
)
2
b c 1006 a
2012a 2012a
2
− −
+ ≤ +
⇒
(
)
(
)
2
b c 1006 a
2012a
2
− +
+ ≤
⇒
(
)
2
b c 1006 a
2012a
2
− +
+ ≤ dấu = xảy ⇔ bc
a b c 1006
=
+ + =
Tương tự:
(
)
2
c a 1006 b
2012b
2
− +
+ ≤
(
)
2c b 1006 c
2012c
2
− +
+ ≤ Vậy:
(
)
2(
)
2(
)
2b c c a a b 3.1006 a b c
2012a 2012b 2012c
2 2
− − − + + +
+ + + + + ≤
⇒
(
)
(
)
(
)
2 2
b c c a a b 4.1006
2012a 2012b 2012c 2012
2 2
− − −
+ + + + + ≤ =
Dấu = xảy ra⇔ a b c 1006
ab bc ca
+ + =
= = =
(Khi ba số a, b, c có số 1006 hai số 0)
Baøi 5: (1,0 điểm- BìnhĐịnh)
2 x 2x 2011 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A =
x
− +
(12)Cách 1: (Dùng kiến thức đại số lớp 8)
(
)
− + ≠
− ⋅ + ⋅ − ≠
− ⋅ ⋅ + + −
− + ≥ ⇔ ⇔ =
2
2
2
2
x 2x 2011
A = với x
x
1 1
= 2011 = 2011.t 2t + (với t = 0)
x x x
1 1
= 2011 t t
2011 2011 2011
1 2010 2010
= 2011 t daáu"=" t = x 2011 ; tho
2011 2011 2011 2011
≠
õa x 0
* Vaäy MinA =2010 x = 2011 2011⇔
*Cách 2: (Dùng kiến thức đại số 9)
(
)
(
)
( )
(
)
2
2
2
x 2x 2011
A = với x
x
A.x x 2x 2011
A x 2x 2011 * coi phương trình ẩn x
− + ≠
⇒ = − +
⇔ − + − =
2011 Từ (*): A = A = x = (1)
2
− ⇔ ⇔
Nếu A (*) ln phương trình bậc hai ẩn x.− ≠
x tồn phương trình (*) có nghiệm
(
)
/
/
2
0
1 2011 A
2010 b 1
A dấu "=" (*) có nghiệm kép x = 2010 2011 ; thoõa x (2)
2011 a A 1
2011
⇔ ∆ ≥
⇔ + − ≥
− − −
⇔ ≥ ⇔ = = = ≠
−
−
So sánh (1) (2) thì1 giá trị nhỏ A mà: * MinA =2010 x = 2011
2011⇔
NĂM HỌC 2009-2010 Bài 5: (1,25đ) Huế
Một phễu có hình dạng hình nón đỉnh S, bán kính đáy R =
(13)HD
Bài 5: Hà Tĩnh
Các số a,b,c∈
[ ]
−1;4 thoả mãnđiều kiện a+2b+3c≤4chứng minh bất đẳng thức: a2 +2b2 +3c2 ≤36
Đẳng thức xảy nào?
Bµi 5: Do -1≤a,b,c≤4 Nªn a +1≥ a - ≤
Suy ra: (a+1)( a -4) ≤ ⇒ a2 ≤3.a +4
Tương tự ta có b2 ≤ 3b +4
⇒ 2.b2 ≤ b + 8
3.c2 ≤ 9c +12
Suy ra: a2+2.b2+3.c2 ≤3.a +4+6 b + 8+9c +12
a2+2.b2+3.c2≤ 36
(v× a +2b+3c ≤ 4) Câu 5: (1,0 điểm) BÌNHĐỊNH
(14)HD: Bài :
2 2
2 2
1 1
a a ab ab ab
a
b b b
+ −
= = −
+ + + tương tự với phân thức lại suy
2 2
2 2 ( 2 2)
1 1 1
a b c ab bc ca
a b c
b + c + a = + + − b + c + a ≥
+ + + + + +
2 2
3 ( )
2 2
ab bc ca
b c c
− + +
Ta có
(a b c+ + ) ≥3(ab bc ca+ + ) , thay vào có
2 2
1 1
a b c
b + c + a ≥
+ + + – 9/6 => điều phải chứng minh , dấu đẳng thức xảy a = b = c =
Bài 5: (1,0điểm) BÌNHĐỊNH
Với số k nguyên dương, đặt Sk = ( + 1) k
+ ( - 1)k
Chứng minh rằng: Sm+n + Sm- n = Sm.Sn với m, n số nguyên dương m > n
Bài (1,5điểm)NAMĐỊNH
1) Giải hệ phương trình:
2 2
2
( 1)
x y xy
x y x y xy
+ − =
+ − = − +
2) Chứng minh với x ta ln có: (2x+1) x2 − + >x (2x−1) x2+ +x
Bµi 5:
a)1) Giải hệ phương trình:
(
)
2 22 0(1)
1 1(2) x y xy
x y x y xy
+ − =
+ − = − +
(1) <=> x + y =2xy thay vào (2) ta : 2xy - x2y2 =
<=>xy(2-xy) = Đặt t =xy(2-xy) ĐK: t
=> t = <=> t2 = - t => tìm t => tìm xy => thay vào (1) tìm x+y =>
x = y =1
b)
(
2x+1)
x2 −x+1>(
2x−1)
x2+x+1(I) Lập luận cho biểu thức dấu dương với x(Bằng cách sử dụng đẳng thức thứ 2)Nhân vế I lần lt vi v
ta BĐT : (2x+1)(x2-x+1) > (2x-1) (II)
(2x+1) >(2x-1)(x2+x+1) (III)
Céng tõng vÕ cđa II vµ III khai triển rút gọn ta được: > x2-1
TH1: với x -1 => VT > , VP <0 BĐT
TH2:với x>1 , x< -1 => vế khơng âm bình phương vế ta x4+x2+1> x4-2x2 +1 <=>x2> -2x2 với x>1 , x< -1
VËy víi mäi x ta lu«n cã:
(
2x+1)
x2 −x+1>(
2x−1)
x2 +x+12
2
x y − xy+ ( 2) xy xy− + 2 t−
2
1
x − +x x2+ +x
4
1
+ +
x x
4
1
+ +
x x
2
1 x + +x
≥ ≥
(15)Bài :(1điểm) HẢI PHÒNG
Cho 361 số tự nhiên a , a , a , , a1 361 thoả mãnđiều kiện
1 361
1 1
37
a + a + a + + a =
Chứng minh 361 số tự nhiên đó, tồn số
Câu 7(2 điểm):TPHCM
Cho a, b hai số thực cho a3 + b3 = Chứng minh < a + b ≤
Câu 7: Cho a, b hai số thực cho a3 + b3 = Chứng minh < a + b ≤ Ta có: a3 + b3 > ⇒ a3 >–b3⇒ a >– b⇒ a + b > (1)
(a– b)2(a + b)≥ 0⇒ (a2– b2)(a– b)≥ 0⇒ a3 + b3– ab(a + b)≥
⇒ a3 + b3≥ ab(a + b)⇒ 3(a3 + b3)≥ 3ab(a + b)
⇒ 4(a3 + b3)≥ (a + b)3⇒ 8≥ (a + b)3⇒ a + b≤ (2) Từ (1) (2)⇒ < a + b ≤
Bài 5(0,5 điểm) THÁI BÌNH
Giải phương trình: 2 1
2
4
x x x x x x Bài 5: ĐK : 2x3+ x2 + 2x + 1≥ 0
( x2 + 1) ( 2x + 1)
≥
Mµ x2+ > vËy x
−
≥
Ta cã vÕ tr¸i =
2
2 1 1 1
4 4
x − + x+ = x − + + =x x − + +x
( v× x
1
−
≥ )
Bài 5.(0,5 điểm)THÁI BÌNH
Giải phương trình: 1 1
x 2x 4x 5x
+ = +
− − −
Bài (1,0 điểm) THANH HÓA Cho số thực m, n, p thỏa mãn :
2
2
1 m n +np+p = −
Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : B = m + n + p Bài 4 ( 1,5 điểm )ĐÀ NẲNG
Người ta rót đầy nước vào ly hình nón cm3 Sau người ta rót nước từ ly để chiều cao mực nước lại nửa Hãy tính thể tích lượng nước cịn lại ly
(16)và qua D Gọi E giao điểm thứ hai hai đường tròn Chứng minh điểm E nằm đường tròn (O)
Câu V : (1 điểm) HẢIDƯƠNG
Cho x, y thỏa mãn: x y+ − =3 y x+ −
Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B x= +2xy 2y− +2y 10+ Câu IV: (1đ)
Từ x, y thoả mãn : x+ −2 y3 = y+ −2 x3 Điều kiện x ≥ -2 ; y ≥ -2 + Nêú x > y x+ >2 y+2 x3 > y3 ⇒ - y3 > - x3
⇒ 3
2
x+ − y > y+ −x ( Mâu thuẫn) Vậy x > y loại + Nêú x < y x+ <2 y+2 x3 < y3 ⇒ - y3 < - x3
⇒ 3
2
x+ − y < y+ −x ( Mâu thuẫn) Vậy x < y loại + Nếu x = y x+ =2 y+2 x3 = y3 ⇒ - y3 = - x3
⇒ 3
2
x+ − y = y+ −x thoả mãn Vậy x = y x+ −2 y3 = y+ −2 x3
Thay y = x vào biểu thức B ta B = x2 + 2x + 10 =
(
x+1)
2 + ≥9 Vậy giá trị nhỏ B Khi x + = 0⇔ x = -1⇒ y = -1 Câu 5:(1,0 điểm) HẢI DƯƠNGTìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhấtcủa biểu thức: A = 62 4x
x
− +
Bài 5: HÀ GIANG (1,0điểm) Tính giá trị biểu thức: P = 2 2
sin 15 +sin 25 +sin 65 +sin 75 Bài 5:(1 điểm) BÌNH THUẬN
Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón có chiều cao h = 12 cm bán kính đường trịnđáy r = cm
Câu 5: (1đ) Long An
Cho b,c hai số thoả mãn hệ thức: 1
2 b+ =c
Chứng minh hai phương trình sau phải có nghiệm: x2+bx+c=0 (1) ; x2+cx+b=0 (2)
Câu 7: (0,5điểm) BẮC NINHCho hình thoi ABCD Gọi R, r lần lợt bán kínhđờng trịn ngoại tiếp tam giác ABD, ABC, a làđộ dài cạnh hình thoi Chứng minh rằng:
2 2
1
R +r = a Câu VI:(0,5 điểm) BẮC GIANG
Cho số dương x, y, z thỏa mãn xyz - 16 x+ +y z =
(17)Câu VI:(0,5 điểm) BẮC GIANG
Tìm số nguyên x; y thoả mãn đẳng thức: x2+ xy +y2- x2y2 = Bài 5:(1,0 điểm) ĐĂK LĂK
Gọi x , x1 2 hai nghiệm phương trình: x2+2(m 1)x+ +2m2 +9m+ =7
(m tham số)
Chứng minh :
1 7(x x )
x x 18
2
+ − ≤
Bài 5:(1,0 điểm) ÐẠI HỌC TÂY NGUYÊN
Cho x, y >0 x+ ≤y 1Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 21 2
x y xy
= +
+ Bài 5: (1, 0điểm)HƯNG YÊN
Cho hai số a,b khác thoả mãn 2a2 +
2
2
1 + b
a = Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = ab + 2009
Bài V(0,5 điểm)H NI
Gii phng trỡnh:
2 1
2
4
x x x x x x
* PT⇔ x − + x+ = ( x+ )(x + =) x+ (x + )
2 1 2 1 1 1
4 2
Vế phải đóng vai trị bậc hai số học số nên phải có VP≥0 Nhưng (x2+ >1) ∀ ∈x nên VP≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥0 x x −1
2
Với điều kiện đó: x+ = + = +x x
1 1
2 2
( ) ( ) ( )
( )
⇔ − + + = + +
⇔ + + = + +
⇔ + = + +
−
+ = =
⇔ ⇔
= + =
Tho¶ m·n ®iỊu kiƯn
* T x x x x
x x x x
x x x
x x
x x
P 1
4 2
1
2 2 1
4
1 2 1
2
1 0
2
2 1 1 0
Tập nghiệm: S=
{ }
−1 0;Bài NINH BÌNH 2003-2004
Giải phương trình: x4– 8x2 + x + 12 = Hướng dẫn:
(18)Câu (1,5 điểm) NINH BÌNH 2004-2005
1 Chứng minh a4 +b4 ≥a b ab3 + vớimọi a, b
2.Tìm nghiệm nguyêncủa phương trình: (y2 + 4)(x2 + y2) = 8xy2 Hướng dẫn:
Câu 4:
(
)
(
)
4 3
2 2 2
a b a b ab
a b a ab b
+ ≥ +
⇔ − + + ≥
2 (y2 + 4)(x2 + y2) = 8xy2
⇔ (xy – 2y)2 + (y2– 2x)2 =
2
2
y xy 2y
x
y 2x
y 2x
=
− =
=
⇔ ⇔
− =
=
Do có nghiệm: (0; 0); (2; 2); (2; -2) Câu 5: (1,0 điểm) NINH BÌNH 2005-2006
Cho hai số dương x, y có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2
1
P 1
x y
= − −
Câu 5:
2 2 2
2
2
1 1 1
P 1
x y x y x y
1
P
x y xy x y
2 P
xy
= − − = − − +
= − + + +
= +
Ta có: x+y=1 suy ra: x2+y2 +2xy *=
( )
Mặt khác 2xy x≤ +y2 (**)Từ (*) (**) suy xy
≤ Do đó: P xy
= + ≥ + = Dấu xảy x=y=0,5 Vậy giá trị nhỏ P x = y = 0,5
Bài 6: (1,5đ) NINH BÌNH 2006-2007
Tìm x, y nguyên thoả mãn phương trình x + x² + x³ = 4y + 4y² Bài 6.
x + x² + x³ = 4y + 4y² ⇔(x + 1)(x²+1) = (1 + 2y)² (1) Đặt (x + 1; x² + 1) = d (d∈ N*)
Ta có x + d ⇒ x² + x d ⇒ (x² + x)– (x² + 1) d ⇒ x– d
(19)Từ (2) (3) ta có d = (4)
(
)(
)
2
2
2
2
x m
Tõ (1) vµ (4) (m;n Z)
x n
n x n x
Tõ x n n x n x hc
n x n x
x 4y 4y y hc y = -1
+ =
⇒ ∈
+ =
− = − = −
+ = ⇔ − + = ⇔
+ = + = −
⇒ = ⇒ + = ⇒ =
Bài 5: (1 đ) NINH BèNH 2007-2008
Tìm số hữu tỉ x y cho 12 3− + y = x Bài 5
12 3− + y = x ⇔ x − y = 2−
( )
( )
x y *x y xy * *
> ⇔
+ − = −
( )
( )1(
)
2* * ⇔ + − =x y 2 xy − ⇒ x y 2+ − =4xy 3xy+ − ⇒ 3xyhữu tỉ Đặt 3xy= m với m ∈Q thay vào (1) ta có: x y 2 m
3
⇔ + − = −
(
)
3
3 x
2m xy
3 2
x y 2m
3 x y x y 2
y
=
− = =
⇔ + − = − ⇒ ⇔ ⇔
+ − =
+ = =
(vì theo (*) x > y)
Câu 5:(1,5 điểm)
1 Cho A= 326 15 3+ + 326 15 3− Chứng minh A = Cho x, y, z ba số dương Chứng minh
3 3
x y z
xy yz xz
y + z + x ≥ + +
3 Tìm a∈ N để phương trình x2– a2x + a + = có nghiệm nguyên Câu 5: 3) Ta có:
Để phương trình có nghiệm ngun delta phải số phương
Đặt: với k số nguyên Kết hợp với điều kiện a số tự nhiên ta có: Kiểm tra với a= ta có delta (thỏa mãn)
(20)Mặt khác Do đó:
Giữa hai số phương liên tiếp khơng có số phương nên khơng số phương a>2
KL: a =
Bài 5:(1, điểm) HƯNG YÊN 2009-2010
Cho hai số a,b khác thoả mãn 2a2 +
2
2
1 + b
a = Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = ab + 2009 Bài 5: Từ 2a2 +
2
4 b
+ 12
a = 4⇔ (ab)
= - 8a4 + 16a2– = 4– 8(a4– 2a2 +1)≤ -2≤ ab ≤
2007≤ S ≤ 2011
MinS = 2007 ⇔ ab = -2 a2 = 1⇔ a = ± , b = 2 Câu 4: (1,0 điểm) HẢI PHÒNG
Gọi x1, x2 nghiệm phương trình:
2x2 + 2(m+1)x + m2 +4m +3 =
Tìm giá trị lớn biểu thức A = x x1 2−2x1−2x2
Bài 5: (1 điểm)BC GIANG
Tỡm nghim nguyờn phương trình
xy2 + 3y2- x = 108
Câu 5 (1điểm ) HẢI DƯƠNG 2007-2008
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A(-1;2), B(2;3)và C(M;0) Tìm m cho chu vi tam giác ABC nhỏ
Bài 5(0,5đ) HÀ NỘI 2007-2008
Cho đường thẳng y = (m– 1)x + Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng lớn nhất.
Câu 8(0,5đ) BẮC NINH 2007-2008
Cho phương trình ax2 + bx +c = với hệ số nguyên Chứng minh biệt số ∆ 2006, 2007
Câu 5(0,5đ) THÁI BÌNH 2007-2008
(21)Cho phương trìnhẩn x: (x2 + ax + b)(x2 +bx +a) = với a,b khác
2 b a
1 + = Chứng minh : phương trình ln có nghiệm
Bài 4:(1 điểm) HÀ NỘI 1994-1995 Tìm mđể hệ phương trình sau có nghiệm
= − + +
= + − −
0
0 ) ( 2
m x x
x m x
Bài 5 ( 1điểm)HẢI DƯƠNG 2006-2007 Tìm mđể giá trị lớn biểu thức 22
1 x m x
+
+
Bài 5 ( 1điểm) HÀ NỘI 2006-2007
Cho hai số dương x, y thỏa mãn x+ y=2 Chứng minh :x y x2 2
(
2+y2)
≤2 Bài 5(1 điểm) HẢI DƯƠNG 2005-2006Gọi y1và y2 hai nghiệm phương trình y2
+ 3y +1 = Tìm p q cho phương trình x2
+ px + q = có hai nghiệm :x1=y
1 + y2và x2=y
2+ y1
Bài 5:(1 Đ) HẢI DƯƠNG 2005-2006
Gọi x x x x1, 2, 3, 4 tất nghiệm phương trình:
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = Tính: x x x x1 4 Bài 4 ( điểm) HẢI DƯƠNG 2004-2005
Xác định a, b ,c thỏa mãn
5
x
x x
− =
− − 2 1 ( 1)2
a b c
x− +x+ + x+
Bài 4( 1điểm) HẢI DƯƠNG 2004-2005 Tính giá trị biểu thức A =
4
4 11
x x x
x x
− − +
+ + với
1
x x + +x =
Bài 5 ( điểm) HẢI DƯƠNG 2003-2004 Tìm số nguyên m để m2+ +m 23 số hữu tỉ Bài 5( điểm) HẢI DƯƠNG 2003-2004
Chứng minh (m+2)(m+3)(m+4)(m+5) số vô tỉ với số tự nhiên m Bài 4( 1điểm) HẢI DƯƠNG 2002-2003
Tìm số ngun lớn khơng vượt ( + 3)7
(
7 3+)
7 = +(2 3)14và áp dụng BĐT
n n n
a b a b
2
+ +
≤
Bài 4( 1điểm) HẢI DƯƠNG 2002-2003
Xácđịnh số hữu tỉ a, b, c cho : (x + a) (x2
+ bx + c) = x3
(22)cmr - nghiệm PT: y2
+ 6y +7 =
y, từ phân tích đa thức: y
3
+ 6y2
+ 7y– thành nhân tử
Bµi 4( ®iĨm)HẢI DƯƠNG 2001-2002
Tìm cặp số ngun (a;b) thỏa mãn phương trình a + b = 3200 Bài 4 ( 1điểm) HẢI DƯƠNG 98-99
Cho a>0 , b > a + b = Tính giá trị nhỏ biểu thức (1 42)(1 42)
a b
− −
Bài 4 ( 1điểm) HẢI DƯƠNG 98-99
Cho a ≤1 vàb ≤1,a b+ = Tìm giá trị lớn 2
1−a + 1−b
Bài 5(1 điểm) HẢI DƯƠNG 95-96
Ch a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh
2 2 2 2
3( )
a +b + b + +c c +a ≤ a b c+ +
Bµi 5 HẢI DƯƠNG 96-97
T×m k lín nhÊt tháa m·n (x2+ x)( x2+ 11x + 30) +7 ≥ k víi mäi x
Câu 5(0,5đ) VĨNH PHÚC 2003-2004
Cho a, b thỏa mãn
(
a2+ −1 a)(
b2+ −1 b)
=1 Tính a+bBài V (1đ) BẮC GIANG 2000 Chứng minh phương trình :
ax2 + bx + c = ( a≠ 0) có nghiệm ≥ +4 a c a
b
Bµi 5 (1®)) BẮC GIANG 2001
Chøng minh:
24
1+ + + + >
Bµi 5 :BẮC GIANG 2002
Tìm nghiệm nguyên phương trình
2x2 + 4x = 19 -3y2
Bài 5 (1 đ) BẮC GIANG 2005 Cho hệ phương trình
+ = +
= − + +
1
1
a y x
a y
x
(a tham số) Tìm giá trị a nguyên để hệ có nghiệm
(23)Cho a, b số thực thoả mãn
= −
= −
11
2
2
2
b a b
ab a
Tính giá trị biểu thức P= a2 + b2 Câu 5 (1đ)đ) BẮC GIANG 2007
Chứng minh :
2 2005 2006
1
1
3
1
< +
+ +
+
Câu 5 (1đ) BẮC GIANG 2008
Cho tam giác ABC có a, b, c x, y, z có độ dài cạnh BC, CA, AB đường phân giác góc A, B, C
Chứng minh :
c b a z y x
1 1 1
1+ + > + +
Câu 4:(1điểm) BẮC NINH
Tìm x; y nguyên dương để biểu thức (x2- 2) chia hết cho biểu thức (xy + 2) Page: 23
đáp án cho câu 4:
Tõ x2– chia hÕt cho xy +2 suy ra, y(x2– 2) chia hÕt cho xy+2,=> x(xy+2)-2(x+y) chia hÕt
cho xy+2 =>2(x+y) chia hết cho xy+2 Đặt 2(x+y)= k(xy+2);
với k=1 => 2(x+y)=xy+2 => (x-2)(y-2)=2 =>(x,y)=(3,4) hoặc(4,3); với k>=1 x+y>= xy+2 (x-1)(y-1)+1<=0 , PT ko có nghiệm dương Câu 4:(1điểm) BẮC NINH
Cho 5<x≤10 vµ x+ 10x =k Tính giá trị biểu thức:
5 10
5
− − −
=
x
x x
A theo k
Câu ( điểm): BC NINH 2007
tìm giá trị x, y thoả mÃn x2 + xy +y2 =3(x+y-1)
Câu (1 điểm): BC NINH 2008
Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác với a<=b<=c Chứng minh (a+b+c)2 <=9bc
Bµi (1®)
Tìm giá trị m để phương trình x− 1−x2 =m có nghiệm
Bài 5: ( điểm ) QUẢNG NGÃI 2008
(24)Chứng minh : 4 30123 4 10043 5 4 40163 2
1 1
x − + −x x −x + − −x x −x − + − + −x x x x > , ∀ ≠ ±x
Baøi : (1,0điểm)
Chứng minh : 4 30123 4 10043 5 4 40163 2
0
1 1
x − + −x x −x + − −x x −x − + − + −x x x x > , ∀ ≠ ±x
(
)
(
)
(
) (
)(
)
4 3 2
1 1 1 1
x − + − =x x x x− + − = −x x x + = x − x − +x
(
) (
) (
)
(
) (
)(
)
4 3 2
1 1 1 1
x + − − =x x x x+ − + = +x x x − = x − x + +x
(
)
(
) (
) (
)
(
)
5 4
1 1 1
x − + − + − =x x x x x x− +x x− + − = −x x x + +x
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
) (
)
4
2
2
2
2
2
2 4
3012 1004 4016
1 1
3012 1004 4016
1
2008 4014 2008 4016 4016
1
2008 2008
1 1
x x x x x x x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x x
x
x x x x x
− − =
− + − + − − − + − + −
+ + − − + − +
=
− + +
+ + − − =
− + +
−
=
− + + + +
Maø
1
x + + > ∀x x Suy : 420082
1 x + +x >
Suy điều phải chứng minh
Bài 5(1 điểm):THÁI BÌNH 2000-2001
Cho P(x) = 3x3+ax2+b Tìm giá trị a b để P(2000) = P(-2000) = Bài 5(0,5 điểm): THÁI BÌNH 2003-2004
Tìm cặp số (x;y) thoả mãn: (x2+1)( x2+ y2) = 4x2y Câu5: (0,5điểm) THÁI BÌNH 2005-2006
Tìm x, y thoả mãn : 4x− y2 − y+ = 4x2 + y Bµi5:
2
2 2 2
2 2
8
2 ( ) ( )
4
1
5 ( ) ( ) ( )
4
x x y y
x x y y x x y y x x y y
x y x y x y
+ +
+ + = = + + + − +
= + + − ≥ +
(25)Cho số dương x, y, z thoả mãn x+y+z =1 Chứng minh rằng:
2 2 2
2x + x y + y + y + y z + 2z + 2z + z x + 2x ≥ Bµi 5: (0,5 ®iĨm)THÁI BÌNH 2006-2007
Giải bất phương trình:
1
x− + − +x x x ≤ x + Bµi 5:
{
}
2
2
1 ( 2 ) ( 2)
2 ( 1)(3 ) 2 2; /
A x x x x B B
A x x A S x x
⇔ = − + − ≤ − + = ⇒ ≥
= + − − ≤ + ⇒ ≤ ⇒ = ≤ ≤
Bài 5: (1 điểm) THI BèNH 2007-2008
Cho hai số dương x, y thoả mãn điều kiện: x+y = Chứng minh: x2y2(x2+ y2)≤ 2
Câu 5:(1 điểm) VĨNH PHÚC2000-2001
Cho số dương a, b, c thoả mãn điều kiện : a2 + b2 +c2 = Chứng minh rằng: a + b + c + ab + bc + ca ≤ 1+
-Câu 5:(1 điểm) VĨNH PHÚC 2001-2002
Biết rằng: y2+yz+z2 =1-2 3x2
Chứng minh : − 2≤x+y+z≤ câu 5: (0,75 điểm):VĨNH PHÚC 2004-2005
Cho a, b số dương thoả mãn điều kiện a+b=2ab Xác định giá trị nhỏ biểu thức B=
1
1
2
− + + − +
b b a
a
Câu (0,75 điểm): VĨNH PHÚC 2004-2005 Giả sử
(
a2 +1−a)(
b2 +1−b)
=1Hãy tính tổng a+b
Câu :VĨNH PHÚC 2007-2008
Giải hệ phương trình :
2
2
(x y) (x y) xy
2
x y x 2y
3
+ − + − = −
+ + + = +
Câu 8: VĨNH PHÚC 2008-2009
(26)Bài 5:(1,0 điểm) ĐĂC LẮC 2003-2004
Chứng minh : Nếu abc = a b c
ab+ +a 1+bc+ +b 1+ac+ +c 1= Bài 4:(1,0 điểm) ) ĐĂC LẮC 2004-2005
Chứng minh : Nếu a,b,c độ dài ba cạnh tam giác phương trình :
2 2
2 c a c
x x
b b b
+ + − + =
vô nghiệm
Bài 4:(1,0 điểm) ) ĐĂC LẮC 2005-2006
Cho a≥0, b≥0, c≥0 thoả mãn : a+2b+3c=1
Chứng minh hai phương trình sau có nghiệm :
2
2
4x 4(2a 1)x 4a 192abc
4x 4(2b 1)x 4b 96abc
− + + + + =
− + + + + =
Bài 5:(1 điểm) ) ĐĂC LẮC 2006-2007
Chứng minh : 4 30123 4 10043 5 4 40163 2 , x x −x + −x 1−x +x − −x 1−x −x +x −x + −x 1> ∀ ≠ ± Bài 5:(1 điểm) ) ĐĂC LẮC 2007-2008
Chứng minh : 1 2 2 5+13+25+ +2008 +2009 < Bài 5:(1, điểm)Hưng yên 2008-2009
Cho hai số a,b khác thoả mãn 2a2 +
2
2
1 + b
a = 4(1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = ab + 2009
Lời giải:
Ta có (1) tương đương với; (a-1/a)2+(a+b/2)2– ab – =0
Suy ra: ab = (a-1/a)2+(a+b/2)2– ≥ -2 (vì (a-1/a)2+(a+b/2)2 ≥ 0) Dấu“=” xảy (a=1;b=2) (a=-1;b=-2)
Suy minS = -2 + 2009 =2007 (a=1;b=2) (a=-1;b=-2) Bài 5( 0,5 điểm) Vũng Tàu
Cho a + b , 2a x số nguyên Chứng minh y = ax2 + bx + 2009 nhận giá trị nguyên
Bài 5:
Vì a+b, 2a ∈Z => 2(a+b)– 2a∈ Z => 2b∈ Z Do x ∈ Z nên ta có hai trường hợp:
* Nếu x chẵn => x = 2m (m∈ Z) => y = a.4m2 + 2m.b +2009 = (2a).2m2 +(2b).m +2009
∈Z
(27)Vậy y = ax2 + bx +2009 nhận giá trị nguyên với đk đầu
Câu 5: (1đ) Long An
Cho b,c hai số thoả mãn hệ thức: 1
2 b+ =c
Chứng minh hai phương trình sau phải có nghiệm: x2+bx+c=0 (1) ; x2+cx+b=0 (2)
Câu 5: (1đ)
.1 1
2
b+ =c => 2(b+c)=bc(1)
x2+bx+c=0 (1) Có ∆1=b
2
-4c x2+cx+b=0 (2) Có ∆2=c
2
-4b
Cộng ∆1+∆2= b2-4c+ c2-4b = b2+ c2-4(b+c)= b2+ c2-2.2(b+c)= b2+ c2-2bc=(b-c)≥
(thay2(b+c)=bc )
Vậy ∆1;∆2có biểu thức dương hay hai phương trình x2+bx+c=0 (1)
; x2+cx+b=0 (2) phải cú nghim:
Câu VI:(0,5đ) Bc Giang 2009-2010
Cho số dương x,y,z thỏa mãn xyz- 16 x+ +y z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P=(x+y)(x+z) Câu VI:(0,5đ) xyz= 16
x+ +y z=>x+y+z= 16 xyz
P=(x+y)(x+z)=x2+xz+xy+yz=x(x+y+z)+yz=x. 16
xyz +yz=
16 16
2
yz yz
yz + yz = (bđt cosi) Vây GTNN P=8
Câu VI(0,5điểm) Bắc Giang 2009-2010
Tìm số nguyên x,y thoả mãn đẳng thức x2+xy+y2-x2y2=0 Câu VI(0,5điểm)
Tìm số nguyên x,y thoả mãn đẳng thức x2+xy+y2-x2y2=0 C1:Đưa phương trình bậc haiẩn x: (y2- 1)x2- yx - y2 =
C2:Đưa phương trìnhước số:
(
) (
2)
22 2 2 2
(28)Bài 5(1,0 điểm): Yên Bái 2009-2010 Tính P = x2 + y2 Q = x2009 +y2009
Biết rằng: x > , y>0 , 1+x+ y = x + xy+ y Bài 5(1,0 điểm):
Tính P = 2
y
x + Q = 2009 2009
y
x +
Biết rằng: x > 0, y > 0, 1+x+y= x+ xy+ y (1) * Vì x > 0, y >
(1) <=> 2+2x+2y=2 x+2 xy+2 y
<=> 2.( 1)2 +2( x)2 +2( y)2 =2 x+2 x y+2 y
* <=>
(
( 1)2 −2 x+( x)2) (
+ ( x)2 −2 x y +( y)2) (
+ ( 1)2−2 y +( y)2)
=0* <=>
(
1− x) (
2 + x− y) (
2 + 1− y)
2 =0* <=>
= −
= −
= −
0
0
y y x
x
<=>
= = =
1
y y x
x
hay x= y=1
Vậy P = Q =
Bài 5:(1,0 điểm) Thực hành Cao Nguyên
Cho x, y >0 x+ ≤y 1Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 2 2 xy
x y
= +
+ Bài 5: Với a>0, b>0; Ta có :
2 2
a +b ≥2 a b =2ab (Bđt Cô si) 2
a b 2ab 4ab (a b) 4ab
⇒ + + ≥ ⇒ + ≥
(a b)(a b) a b a a 1
4 (*)
ab ab a b ab ab a b a b a b
+ + +
⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ + ≥ ⇒ + ≥
+ + +
Áp dụng BĐT (*) với a = 2
x +y ; b = 2xy ; ta có:
2 2 2
1 4
2xy
x +y + ≥ x +y +2xy =(x+y) (1)
Mặt khác :
2
1 1
(x y) 4xy
4xy (x y) xy (x y)
+ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥
+ + (2)
2 2 2
1 1 1 1 1
A
xy 2xy 2xy 2xy xy
x y x y x y
⇒ = + = + + = + +
+ + +
2 2
4 4
2
(x y) (x y) (x y) (x y)
≥ + = + = ≥
+ + + + 6
[Vì x, y >0
x+ ≤ ⇒ <y (x+y) ≤1] ⇒ minA = 6 x = y = 1
(29)Bài : ( 1,0 điểm) THANH HểA 2000-2001 Tìm giá trị nhỏ biểu thøc:
2 2
( 1999) ( 2000) ( 2001)
M x x x
Bài : ( 1,0 điểm) THANH HểA 2001-2002 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình:
1998 x y
Bài (1điểm): THANH HÓA 2002-2003 Giải phương trình
2002 2002
x + x + =
Bài ( 1,0điểm ): THANH HÓA 2003-2004
Cho hai số dương x, y thay đổi cho x + y = 1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2
1
1
P
x y
Bài ( 1,0điểm ): THANH HÓA 2004-2005 Cho < x <
a CMR : x(1-x)≤
b Tìm giá trị nhỏ biểu thức A =
2
4
(1 ) x
x x
Bài ( 1,0điểm ): THANH HÓA 2005-2006 Cho a, b số thực với a+b≠
Chứng minh a2 + b2 +
2
1 ab
a b
Bài ( 1,0điểm ): THANH HÓA 2006-2007 Chứng minh với a > , ta có :
2
5( 1) 11
1 2
a a
a a
Bài ( 1,0điểm ): THANH HÓA 2007-2008
(30)Câu 5: (1điểm) THANH HĨA 2008-2009
Tìm nghiệm dương phương trình:
(
) (
2008)
20082 2009
1+ −x x −1 + + +1 x x −1 =2
Câu 4: (1.5điểm) THANH HÓA 1994-1995
Chướng minh với x, y ta có A=2x2+ 4y2 + 4xy – 2x +1 ≥ 0
Bài 4(1 điểm):YÊN BÁI 2000-2001
Cho phương trình x2 + mx + m− = Tìm mđể phương trình có hai nghiệm x1, x2 cho
x12 + x22 đạt giá trị nhỏ
Bài 4(2 điểm) YÊN BÁI 2001-2002
Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số thương phép chia 1000 cho tổng chữ số
Bài 5(1 điểm): YÊN BÁI 2002-2003
Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho dư 2, chia cho dư 3, chi Bài 5(1 điểm): YÊN BÁI 2003-2004
Chứng minh số có dạng xyz mà chia hết cho 37 số hạng có dạng yzx chia hết cho 37 a cho dư 4, chia cho dư 5, chia cho 10 dư
Bài 4(1,5 điểm) YÊN BÁI 2004-2005
Cho n số tự nhiên Tìm nđể phân số n 18
n
+
+ số tự nhiên
Bài 5(1 điểm) YÊN BÁI 2005-2006
Chứng minh khơng thể có phương trình bậc hai ax2 + bx + c = với hệ số a, b, c số nguyên, có biệt thức Δ = 23
Bài 4(2 điểm): YÊN BÁI 2006-2007
Cho ba số a, b, c biết: a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc Chứng minh: a = b = c Bài 4: (1đ) KHÁNH HỊA 1998-1999
Giải hệ phương trình:
9
x y
y x
− + =
− + =
(31)Cho P 1 x x
+ =
− Tìm giá trịnguyên x để P nhận giá trị nguyên
Bài 4: (1đ) KHÁNH HÒA 2004-2005
Cho phương trình bậc hai: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = (1) Gọi x1, x2 hai nghiệm số
của phương trình (1) Tính GTLN GTNN biểu thức: T = x1+ +x2 5m
Bài 4: (2đ)KHÁNH HÒA 2006-2007 a) Giải phương trình: 6x4– 7x2– =
b) Với giá trị nguyên x biểu thức: 2x + x
2 B
x x
+ =
+ − nhận giá trị
ngun
Bài 5:(1 điểm) KHÁNH HÒA 2007-2008
Biết x, y, z số thực tHĨAû mãn điều kiện : x + y + z + xy + yz + zx = Chứng minh : x2 + y2 + z2≥ 3
Câu 5: (1 điểm) BÌNHĐỊNH 2008-2009
Cho -1 <x<1 Hãy tìm giá trị lớn biểu thức:
(
)
4 2x
y= − x − + +x −
Câu 7:(1 điểm)BẮC GIANG 2008-2009
Tìm giá trị lớn A = (2x – x2)(y– 2y2) với ≤ x ≤ ≤ y ≤
2
Câu V: (1 điểm) HẢI DƯƠNG 2008-2009
Cho biểu thức : B = (4x5 + 4x4– 5x3 + 5x– 2)2 + 2008 Tính giá trị B x =
2
− +
Bài : (1 điểm) QUẢNG NGẢI 2008-2009
(32)Bài 5: (1 điểm) THÁI BÌNH 2007-2008
Cho hai số dương x, y thoả mãnđiều kiện: x+y = Chứng minh: x2y2(x2+ y2)≤ Bài 5(0,5 điểm): ) THÁI BÌNH 2008-2009
Cho x > y x.y = Tìm giá trị nhỏ
2
x y
A
x y
+ =
−
Bài (1,0điểm) NAM ĐỊNH 2005-2006 Giải phương trình : 9x2 +16
= 2x+4
+
2−x Bài (1,0điểm) NAM ĐỊNH 2004-2005Tìm giá trị nhỏ hàm số: y =
5 x x
6 x x
2
+ +
+ +
HDBµi4 : ta cã x2 + 2x +5 =
4 ) x
( + + ≥ 2
⇒ (2 x2 +2x+5 - 1)(
5 x
x2 + + - 2) ≥ 0
⇒2(x2+2x+5) - 5 x2 +2x +5 + 2 ≥0
⇒
5 x x
6 x x
2
+ +
+
+ ≥
2
hay y ≥
2
VËy Miny =
x= -1
Bài (1,0điểm) NAM ĐỊNH 2003-2004
Giải phương trình : x2 −2x −3+ x +2 = x2 +3x +2+ x−3 (1)
HD Bài5: (1)⇔ (x+1)(x−3) + x+2 = (x+1)(x+2)+ x −3 ĐKXĐ:x≥3
⇔( x−1−1).( x −3− x+2) =
Bài 5(1điểm) NAM ĐỊNH 2002-2003
Tìm tất cặp số (x ; y) nghiệmđúng phương trình : ( 16x4 + 1)( y4 +1) = 16x2y2
HD Bài 5: ( 16x4 + 1)( y4 +1) = 16x2y2 ⇔16x4y4 +16x4 + y4 +1 -16x2y2 =
⇔( 16x4y4- x2y2 + )(16 x4– x2y2 + y4) =0
⇔(4 x2y2– 1)(4x2– y2) =
Bài5(1đ): NAM ĐỊNH 2000-2001
(33)2 + +
(
n 1)
n + ++ <
HD Bài5:
(
)
(
)
+ − + + = + − = + =+ n
1 n 1 n n n n n n n n n n n = + − + + n n n n
1 Vì
+ + n n
1 < 1+1 = nên
(
n 1)
n+ <2
+ − n n
(1) Ap dụng BĐT (1) với n = 1;2;3;……;n ta cóđpcm
Bài5(1đ): NAM ĐỊNH 1999-2000 Giải phương trình : x2 +x +12 x +1=36
(1)
HD Bài : ĐK x≥−1 ; (1)⇔ x(x +1)+12 x+1=36.Đặt x+1=t ta có x + = t2 ⇒x= t2-1
Ta có PT (t2-1)t2 +12t =36⇔t4– (t2-12t +36)=0 ⇔t4-
(
t−6)
2=0⇔( t2- t + 6)( t2 + t -6)=0Bµi 4: HÀ NỘI 1994-1995
Tìm tất cặp số (x;y) thoả mãn phương trình sau:
5x- x(2+y)+y2 +1=0
Bµi4: : HÀ NỘI 1995-1996
Xét hai phương trình bậc hai : ax2+bx+c = 0; cx2 +bx+a = 0.
Tìm hệ thức a,b,c điều kiện cần đủ để hai phương trinhg có nghiệm chung
Bµi4: HÀ NỘI 1996-1997
Cho hai bất phương trình : 3mx -2m>x+1 (1) m-2x<0 (2)
Tìm m để hai bất phương trình có tập hợp nghiệm
Bµi 5: HÀ NỘI 2005-2006
Cho hai số dương x,y thoả mãn điều kiện x+y =2 Chứng minh : x2y2(x2+y2)
2
Bài 5(0,5 điểm): HÀ NỘI 2006-2007
T×m GTNN cđa biĨu thøc A=(x-1)4+(x-3)4+6(x-1)2(x-3)2 Bµi 5: HÀ NỘI 2007-2008
Cho đường thẳng y = (m-1)x+2 Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O tới đường thẳng lớn
(34)Giải phương trình x2 +4x +7 =(x+4)
7
2 +