Gọi M là trung điểm của BC; H là trực tâm; AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC.. SDB ...[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
THANH HÓA NĂM HỌC 2011 - 2012
MƠN: TỐN Lớp thcs
Thời gian làm 150 phút không kể thời gian phát đề Ngày thi: 23 tháng năm 2012
Câu I (4đ)
Cho biểu thức P =
1 1
: 10
3 1
x x x
x
x x x x
ỉ - + ỉ÷ - + ửữ
ỗ + ữỗ - ữ
ỗ ữỗ ữ
ỗ ữữỗ ữữ
ỗ + - - ç - - -
-è ø è ø
1) Rút gọn P
2) Tính giá trị P x =
√
3+2√2 3−2√2−4
√
3−2√2 3+2√2Câu II (4đ)
Trong hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – parabol (P): y = - x2 Gọi A B giao điểm d (P)
1) Tính độ dài AB
2) Tìm m để đường thẳng d’: y =- x = m cắt (P) hai điểm C D cho
CD = AB Câu III (4đ)
1) Giải hệ phương trình
¿
x2 y+x=2 y2
x +y=
¿{
¿
2) Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x6 + y2 –2 x3y = 320 Câu IV (6đ)
Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC Gọi M trung điểm BC; H trực tâm; AD, BE, CF đường cao tam giác ABC Kí hiệu (C1) (C2) đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF DKE, với K giao điểm EF BC Chứng minh rằng:
1) ME tiếp tuyến chung (C1) (C2) 2) KH AM
Câu V (2đ)
Với 0≤ x ; y ; z ≤1 Tìm tất nghiệm phương trình:
x 1+y+zx+
y 1+z+xy+
z 1+x+yz=
3 x+y+z
(Cán coi thi khơng giải thích thêm)
Họ tên thí sinh SDB
§Ị CHÝNH THøC
(2)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2011-2012
Mơn : TỐN
Ngày thi :18/02/2012 Câu I:
1,
C1,
a,
1 1
: 10
3 1
x x x
P
x
x x x x
æ - + ổữ - + ửữ
ỗ ữỗ ữ
=ỗỗ + ữữỗỗ - ữữ
ữ ữ
ỗ + - - ỗ - - -
-è ø è ø(ĐK: x>1;x¹ 10; x ≠ 5)
Đặt x a ( a ≥ 0)
( )( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
3 3
3
:
3 3 3 2 2
a a a
a a a
P
a a a a a a a a
é ù + -+ ê + ú Þ = = =-ê ú + - ë - û + - + +
(
)
((
))
3 1
3
2
2
x x x P x x - -=- = + b, 2 4
4 2 2 (3 2) (3 2) 2 2 2 2
1 ( 1) (T/M)
x= + - - = + - - = + -
+
= + - - =
a x 1 (T/m)
( ) ( )
3 3.1
2 2 2
a P
a
Þ =- =-
=-+ +
C2,
a,
3
:
10 1
x x
P
x x x
é ù
- + ê - + ú
= ê ú
- êë - - - úû (ĐK: x>1;x¹ 10)
(
)
1 3( 3)
10
x x x P x x - + = - - +
(
)
((
))
3 1
3 1( 10)( 2)
2(10 )( 4) 2
x x
x x x x
P
x x x x
- - - - -= =- = - - - + b) 2 4
4 2 2 (3 2) (3 2) 2 2 2 2
x= + - - = + - - = + -
+
=> x=1+ ( 1)- - =2 x>1 P =
1 P Câu II:
1) Hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình x2 + x -2=0
=> x = x =
Vậy A(1,-1) B(-2;-4) A(-2;-4) vàB(1;-1) AB2 = (x2–x1)2 + (y2 - y1)2 = 18
AB =
(3)có hai nghiệm phân biệt <=> D >0<=> m<
Ta có CD2 = (x1-x2)2+(y1-y2)2 mà y2 y1
x2m
x1m
x1 x2nên:
2
2
2 1
y y x m x m x x
Ta có AB2 =18
nên CD = AB CD2 = AB2 (x2-x1)2+(y2-y1)2=18 (*) 2(x1-x2)2 = 18 (x1-x2)2 = (x1+x2)2 - 4x1x2 =
1-4m-9 = (Theo Viet) m = - (TM)
Câu III
1,ĐK x¹ 0, y¹ 0
C1,
Dùng phương pháp rút y theo x từ (1) thay vào pt (2) ta có pt:
3
2
2
1
2
3x 4x 4x
x (0 t / m) x 3x 4x
3x 4x (*)
x y
(*) 2 1
x y
3
C2,
Nhân vế hai PT được: (x+y)2 = x+y = ± (1) Chia vế hai PT được:
2 x
4 x 2y y
(2)
Từ PT giải (x;y) = (1/3;2/3); (2;-1); (-2/3;-1/3); (-2;1) Thử lại: Chỉ có hai nghiệm thoả mãn HPT là: (-2;1) (1/3;2/3) 2, GPT: 2x6 + y2 – x3y = 320
C1,
2
6 6
3
y 2x y 2x 320
' x 2x 320 320 x x 320 x x Z x 0; 1;
* x y I y Z * x y I y Z
2 16
* x ' 320 256 ' 16 y
1 KL : x; y 2; 24 ; 2;8 ; 2; ; 2;24
Câu IV: (Đổi điểm C1 thành C’, C2 thành C’’ cho dể đánh máy vẽ hình)
1) Ta có RE=RF=90o
nên tứ giác AEHF nội tiếp đường trịn tâm (C1) trung điểm AH
(4)1
AEC' B A BEM
AEC' BEM
ME C 'E
ME tt cua (C')
MEC CEK = MCE DEC
MEK MDE
MED MKE
ME tt cua (C'')
1
1
3
I
C''
K
C'
H
E
F
D
M
B
C
A
2, gọi giao điểm AM với (C’) I ta có: ME tt (C’’) ME2 = MI MA ME tt (C’’) ME2 = MD MK
MI MA = MD MK AIDK nt AIK = ADK = 1v KI AM (1)
Ta lại có: AIH = 1v (góc nt chắn nửa (C’) HI AM (2) Từ (1) (2) I; H; K thẳng hàng KH AM (Đpcm)
Câu V: GPT
x y z
1 y zx z xy x yz x y z (1) Do vai trò x,y,z nên 0£ £ £ £x y z * TH1: Nếu x= =>
(5)2
1
1 1
( ) ( )
1
( 1)( ) 1
(1 )( ) (1 )( )
y z
z zy y z
y z
z y z zy y z y z
y y z z
z y z yz y z y z
+ =
+ + +
=> - + - =
+ + + + +
- + +
-=> + =
+ + + + +
Ta có VT < mà VP³ nên trường hợp khơng có nghiệm
* TH2: Nếu x khác mà 0£ £ £ £x y z 1
z 1 x
0 xz x z 0 <=> zx x z Dấu “=” xảy khi: x=1 z=1.
+ Ta lại có: zx x z ⇔1+y+zx≥ x+y+z
⇒ x 1+y+zx≤
x x+y+z + Tương tự: 1 y
+z+xy≤
y x+y+z 1 z
+x+yz≤
z x+y+z ⇒VT= x
1+y+zx+
y 1+z+xy+
z 1+x+yz≤
x+y+z
x+y+z=1 (2)
+ Mặt khác, vì: 0≤ x ; y ; z ≤1⇒x+y+z ≤3 Dấu “=” xảy : x = y = z = ⇒VP=
x+y+z≥
3=1 Dấu “=” xảy : x = y = z = (3)
+ Từ (2) (3) VT VP khi: VT=VP=1 .Khí x = y = z =1. * Vậy phương trình có nghiệm nhất: