Đang tải... (xem toàn văn)
2- Dạng thứ 2: Các phép biến đổi liên quan đến phân số ( các phép chia phức tạp ) quá trình tìm tòi cách giải và giải nên sử dụng SĐĐT ( Sơ đồ đoạn thẳng ) , một phương pháp đặc biệt phù[r]
(1)GIÚP HỌC SINH LỚP 4; PHÂN LOẠI VÀ GIẢI BÀI TỐN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI
( Kinh nghiệm xếp bậc 4)
NGƯT Võ Văn Đàn Phòng GD&ĐT TP Vinh
A ĐẶT VẤN ĐỀ
Bồi dưỡng học sinh giỏi việc làm cần thiết Trong chương trình tốn tiểu học có nhiều nội dung liên quan đến việc bồi dưỡng học sinh giỏi Việc bồi dưỡng học sinh giỏi không nhằm giúp em giải tốn khó, mà qua bồi dưỡng khả tư duy, suy luận để áp dụng vào sống đòi hỏi người Có nhiều dạng tốn, tốn có nhiều cách giải khác Trong có cách giải dùng đến kiến thức lớp trên, chưa phù hợp với tư học sinh tiểu học ( - 11 tuổi ) Một vấn đề cần quan tâm với nội dung tốn cần giải theo lôgic khả suy nghĩ em Trong viết muốn đề cập đến phương pháp giải toán quen thuộc gần gũi với học sinh tiểu học Giải tốn phương pháp tính ngược từ cuối ( suy luận từ cuối - suy luận từ lên ) Với loại toán cần giúp học sinh phân loại nào, có cách giải nào, bước giải thực trình tự nào? Qua muốn trao đổi bạn đọc đồng nghiệp quan tâm đến việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán số vấn đề xung quanh cách suy nghĩ, dẫn dắt học sinh tìm tịi lời giải toán
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I THẾ NÀO LÀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ
CUỐI ?
Có số tốn mà ta tìm số chưa biết cách thực liên tiếp phép tính (hoặc q trình biến đổi) ngược với phép tính cho tốn Như từ kết cuối cùng, ta tính ngược lại để tìm giá trị trước cuối tiếp tục số phải tìm Giải tốn phương pháp gọi phương pháp tính ngược từ cuối suy luận từ cuối suy luận từ lên
II MỘT SỐ DẠNG CƠ BẢN
Loại tốn giải phương pháp tính ngược từ cuối có nhiều dạng Trong viết tơi xin đưa số dạng bản, gần gũi với học sinh tiểu học hướng giải cho dạng
1- Dạng thứ nhất: Dạng biến đổi phép tính đơn giản, q trình tìm tịi cách giải dùng lược đồ đưa tốn tìm x quen thuộc 2- Dạng thứ 2: Các phép biến đổi liên quan đến phân số ( phép chia phức tạp ) q trình tìm tịi cách giải giải nên sử dụng SĐĐT ( Sơ đồ đoạn thẳng ) , phương pháp đặc biệt phù hợp với học sinh tiểu học
(2)4- Dạng thứ 4: Quá trình biến đổi liên tiếp phức tạp cuối phần chia Để tìm tịi cách giải cần biết phân tích từ thành phần " trước cuối" hay " áp chót" mối quan hệ gía trị " áp chót" gía trị cuối để suy kết tốn
III CÁC VÍ DỤ VÀ HƯỚNG DẪN
Dạng thứ nhất:
Ví dụ 1.1: Tìm số biết đem số cộng với 32, đem chia cho 3, nhân với 120
Hướng dẫn giải:
Với tốn dạng này, ta sử dụng cách: + Dùng lược đồ
+ Dùng sơ đồ đoạn thẳng
+ Đưa tốn " tìm x" ( Lập phương trình )
Để phù hợp với nhận thức học sinh tiểu học ( đặc biệt em mức trung bình vươn lên giỏi ), ta nên hướng dẫn em sử dụng lược đồ sau:
+ 32 : x
- 32 x :
Nếu ta quay lược đồ góc 90 ta có cách nói suy luận từ dưới
lên
- 32 + 32
x :
: x
Bằng dấu mũi tên ngợc với trình biến đổi đề ta dễ dàng giúp em tìm kết tốn
C x = 120 VËy, muèn tìm C
ta làm bao nhiªu ?
( 120 : = 30 VËy C = 30 )
B : = 30 VËy, muèn t×m B ta
làm ? ( 30 x = 90 VËy B = 90 )
A + 32 = 90 VËy, muèn tìm A ta làm ?
( 90 - 32 = 58 Vậy A = 58 - Đây số phải tìm toán )
L u ý : Lợc đồ nên sử dụng phần nháp để tìm tịi cách giải Nếu vẽ vào làm rờm rà thời gian
Bài giải cụ thể:
Số trớc nhân víi lµ: 120 : = 30 Sè tríc chia cho lµ: 30 x = 90
Số phải tìm ( hay trớc cộng 32 ) là: 90 - 32 = 58 Đáp số: 58
A ? B C 120
A? B C
A
(3)Bài tốn ta hớng dẫn học sinh giải phơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng nh sau:
Số cần tìm : 32
Số sau cộng với 32: Số sau chia cho 3: Cuối :
120
Lưu ý: Số sau cộng với 32 hay trước chia cho
* Giải cách đưa tốn tìm X ( tìm thành phần chưa biết phép tính - lập phương trình )
Gọi số cần tìm X ta có : ( X + 32 ) : x = 120 Giải: ( X + 32 ) : = 120 : ( X + 32 ) : = 30 X + 32 = 30 x X + 32 = 90 X = 90 - 32 X = 58 Lưu ý: tốn tìm X dạng bản:
X + a = b ; X x a = b ; X - a = b ; a - X = b , X : a = b ; a : X = b
Trong a, b số biết X số cần tìm Hầu hết tốn tìm X tiểu học ( giải phương trình bậc có ẩn số ) khơng dạng bản, qua số biến đổi tương đương đưa dạng Ví dụ 1.2: Tìm số biết số nhân với cộng với 45, nhân với chia cho cuối trừ 17 kết 2073
Hướng dẫn giải:
Dùng lược đồ:
x + 45 x : - 17
: - 45 : x + 17
Bài giải: ( Nên hướng dẫn học sinh trình bày theo kiểu đây) Số trước trừ 17 : 2073 + 17 = 2090
Số trước chia cho : 2090 x = 4180 Số trước nhân với : 4180 : = 1045 Số trước cộng với 45 : 1045 - 45 = 1000 Số phải tìm : 1000 : = 200
Đáp số: 200
Dùng SĐĐT
Dạng tìm tịi cách giải phương pháp sử dụng SĐĐT phải vẽ phiền phức Cách vẽ cách trình bày tương tự ví dụ 1.1, nên khơng trình bày
X?
X? A B C D
(4) Sử dụng cách đưa tốn tìm X
Việc sử dụng cách đưa tốn tìm X đơn giản, tương tự ví dụ 1.1, việc đưa giải phương trình chưa thật phù hợp với học sinh tiểu học Bên cạnh cần lưu ý học sinh sử dụng dấu ngoặc đơn cách hợp lý
Cụ thể: Gọi số phải tìm X ta có:
(X x + 45 ) x : - 17 = 2073
Giải tốn ta tìm X = 200 Cách giải tương tự ví dụ 1.1 trình bày
- Dạng thứ hai:
Ví dụ 2.1: Một người đem bán số cam Lần đầu bán 1/3 số cam, lần thứ hai bán 1/3 số cam lại, lần thứ ba bán 20 cịn 56 Hỏi lúc đầu người có tất cam ?
Hướng dẫn giải:
Dùng lược đồ: Dạng dùng lược đồ khó khăn việc
biểu diễn phần cịn lại sau lần bớt Cụ thể:
Bớt 1/3 X Bớt 1/3 A - 20
( Suy luận theo đường mũi tên có nét đứt để giải toán )
+ Bán 20 quả, cịn 56 Vậy, muốn tìm số cam trước bán 20 ta làm nào? ( lấy 56 cộng với 20, ta có 56 + 20 = 76 Như B = 76 )
+ Bớt 1/3 A B, tức 76 Vậy, muốn tìm A ta làm ? Hướng dẫn cách nghĩ: A bớt 1/3 cịn 32 A, mà
2
3 A 76 , A = 76: 2/3 = 114 ( trình bày A = 76 : x =
114) Vậy A = 114
+ Bớt 1/3 X A, tức 114 Vậy, muốn tìm X ta làm ?Tương tự cách tìm A ta có: X = 114 : 2/3 = 171.Vậy, X ( số cần tìm ) 171
Cách giải cụ thể:
Trước bán 20 , người cịn số cam: 56 + 20 = 76 ( ) Số cam lại trước bán lần thứ hai là: 76 : 2/3 = 114 ( ) Số cam người đem bán là: 114 : 2/3 = 171 ( )
Đáp số 171
Dùng SĐĐT ( Phương pháp chủ công loại )
Để phù hợp với HS tiểu học ( đặc biệt học sinh chưa học phép tính phân số ) Nên hướng dẫn HS sử dụng phương pháp dùng SĐĐT
Ta có SĐĐT sau:
(5)Số cam cần tìm:
Số cam lại sau bán lần I: Số cam lại sau bán lần II :
20 qu¶
Cuối
56
Hướng dẫn giải:
Tìm số cam cịn lại sau bán lần thứ hai ( hay trước bán lần thứ ba ) Số cam lại sau bán lần thứ hai biểu diễn hai đoạn thẳng: đoạn cuối 56 đoạn biểu diễn 20 Như vậy, muốn tìm số cam cịn lại sau lần bán thứ hai ta làm nào? ( 56 + 20 = 76 )
Tìm tiếp số cam lại sau bán lần thứ Số cam biểu diễn đoạn thẳng có phần nhau, mà phần 76 Vậy, muốn tìm số cam cịn lại sau lần bán thứ ta làm nào?
( lấy 76 chia để tìm phần, nhân với để có phần cụ thể 76 : x = 114)
Tìm số cam người đem bán Tồn số cam biểu diễn đoạn thẳng chứa phần nhau, mà có phần 114 Vậy, muốn tìm số cam người đem bán ta làm ? ( lấy 114 chia để tìm phần, nhân với để tìm phần - Cụ thể : 114 : x = 171)
Bài giải cụ thể:
Số cam lại sau bán lần thứ hai : 65 + 20 = 76 ( quả) Số cam lại sau bán lần đầu là: 76 : x = 114 (quả) Số cam lúc đầu : 114 : x = 171 ( quả)
Đáp số: 171 cam
Sử dụng cách đưa tốn tìm X:
Với dạng này, ta hướng dẫn học sinh giải cách đưa toán tìm X gặp số khó khăn học sinh tiểu học học sinh chưa học phép tính phân số Ta đưa tốn tìm X khơng thuộc dạng sau:
Gọi số cam cần tìm X ( X số tự nhiên lớn - đơn vị : ) X - 13 x X - 13 x ( X - 13 x X ) - 20 = 56
Ví dụ 2.2: Một người đem bán số trứng sau: Lần đầu bán cho khách 1/2 số trứng biếu khách Lần thứ hai bán 1/2 số trứng lại lại biếu khách Lần thứ ba bán 1/2 số trứng lại sau hai lần trước lại biếu khách Cuối người cịn 10 trứng Hỏi lúc đầu người có trứng đem bán ?
Hướng dẫn giải:
Dùng sơ đồ đoạn thẳng
(6)Vẽ sơ đồ:
Một nửa
Số trứng ?:
Số trứng lại sau lần b¸n thø nhÊt:
Một nửa qu
Số trứng lại sau lần bán thứ hai :
Mt na1
Cuối :
10
Theo sơ đồ ta có ( nhìn ngược từ lên ):
+ Một nửa số trứng lại sau bán lần thứ hai gồm đoạn thẳng biểu diễn 10 trứng Muốn tính nửa số trứng lại sau bán lần thứ hai ta làm ? ( 10 + = 11 ) Muốn tính số trứng cịn lại sau bán lần thứ hai ta làm ? ( 11 x = 22 )
+ Một nửa số trứng lại sau bán lần thứ gồm 22 Từ dễ thấy cách tính số trứng cịn lại sau bán lần thứ là: ( 22 + ) x = 46
+ Một nửa số trứng lúc đầu gồm 46 Từ dễ thấy cách tính số trứng người đem bán là: ( 46 + ) x = 94 ( )
Bài giải cụ thể:
Số trứng lại sau bán lần thứ hai là: ( 10 + ) x = 22 ( ) Số trứng lại sau bán lần thứ là: ( 22 + ) x = 46 ( ) Số trứng người đem bán là: ( 46 + ) x = 94 ( )
Đáp số: 94 trứng
Lưu ý: Có thể hướng dẫn học sinh thử lại, tạo thêm niềm tin cho em: 94 : - = 46 , 46 : - = 22 ; 22 : - = 10
Dùng lược đồ:
X- 12 X - A - 12 A - B - 12 B -
( Suy luận theo đường mũi tên có nét đứt )
+ Tìm B: B - 12 B - = 10 12 B - = 10 12 B = 11 B = 11 x = 22
+ Tìm A: A - 12 A - = 22 12 A - = 22 12 A = 23 A = 23 x = 46
+ Tìm X: X - 12 X - = 46 12 X - = 46 12 X = 47 X = 47 x = 94
(7)Nhận xét: Với cách rõ ràng học sinh phải dùng đến phép tính phân số, bên cạnh lại phải kết hợp với việc đặt ẩn số không thật phù hợp với tư học sinh tiểu học
Đưa tốn "tìm X ":
Trong trường hợp này, đưa toán " tìm X " phức tạp học sinh tiểu học Để cho học sinh nắm nên chuyển thành bước nhỏ sau:
Gọi số trứng người đem bán X ( X số tự nhiên lớn ), ta có: Số trứng cịn lại sau lần bán thứ là:
X - 12 X - = 12 X -
Số trứng lại sau lần bán thứ hai là:
1
2 X - - (
1
2 X - 1) - = X -
3
Số trứng lại sau lần bán thứ ba là:
1 X -
3 -
1 (
1 X -
3
2 ) - =
8 X -
Theo tốn ta có: 18 X - 74 = 10 X= 94 ( tự giải )
Qua cách giải ta thấy với dạng này, sử dụng SĐĐT hợp lý Ví dụ 2.3: An có số bi đựng hộp
Lần đầu An lấy 1/3 số bi hộp bỏ trở lại bi Lần thứ hai An lấy 1/4 số bi lại lại bỏ lại bi Lần thứ ba An lấy 1/2 số bi lại hộp bỏ lại bi Lần thứ tư An lấy 2/3 số bi lại lần lấy bỏ lại bi hộp có 15 bi Hỏi lúc đầu hộp có bi ?
Hướng dẫn giải:
Dùng SĐĐT (Phương pháp chủ công loại này)
phần ba
Số bi ?
bi
Số bi lại sau lần lấy T1:
bi
Số bi lại sau lần lấy thứ hai:
bi
Số bi lai sau lần lấy thứ ba:
bi
Cuối cùng:
15 bi
Theo SĐĐT ta thấy:
(8)+ Số bi lại sau lần lấy thứ chứa phần ? ( phần ) Muốn tìm giá trị phần ta làm ?
- Trước hết phải tìm giá trị phần Muốn tìm giá trị phần ta làm ? ? ( 52 - = 51 )
- Để tìm giá trị phần ta làm ? ( 51 : = 17 )
Vậy, muốn tìm số bi cịn lại sau lần lấy thứ ta làm ? ( 17 x = 68 )
+ Số bi lúc đầu hộp có phần ? ( phần ) Ta tính giá trị phần trước ? ( phần ) Muốn tính giá trị phần ta làm ? ( 68 - = 66 ) Ta dễ dàng tính phần.Vậy, muốn tính số bi hộp lúc đầu An ta làm ? ( 66 : x = 99 )
Bài giải cụ thể ( Lưu ý có số bước cần làm gộp để giải không dài dòng )
Số bi lại sau lần lấy thứ ba : ( 15 - ) x = 30 ( bi ) Số bi lại sau lần lấy thứ hai là: ( 30 - ) x = 52 ( bi ) Số bi lại sau lần lấy thứ là: ( 52 - ) : x = 68 ( bi ) Số bi lúc đầu hộp An : ( 68 - ) : x = 99 ( bi ) Đáp số : 99 bi
Dạng vận dụng lược đồ đưa tốn "tìm X " để giải có nhiều khó khăn học sinh tiểu học Tuy vậy, học sinh giỏi thật nên khuyến khích em giải theo nhiều cách khác Nhưng rõ ràng cách giải SĐĐT hợp lý
Dạng thứ ba
Ví dụ 3.1: Có ba hộp bi A, B, C Lần đầu chuyển từ hộp A sang hộp B 20 bi từ hộp C sang hộp B 15 bi Lần thứ hai chuyển từ hộp B sang hộp C 40 bi từ hộp C sang hộp A 15 bi Lần thứ ba chuyển từ hộp B sang hộp A 18 bi từ hộp C sang hộp B bi Cuối hộp A có 140 bi, hộp B có 160 bi hộp C có 180 bi Hỏi lúc đầu hộp có bi ?
Hướng dẫn giải
Để tìm tịi cách giải dạng có nhiều cách, cách phù hợp với học sinh tiểu học lập bảng Việc lập bảng khơng u cầu trình bày vào giải mà cần thực nháp để có cách trình bày xác Ta lập bảng sau:
NỘI DUNG CHUYỂN SỐ BI Ở CÁC HỘP HÀNG
Lần 1: - Từ A B 20 bi - Từ C B 15 bi
A
20
B C
15
Lần 2: - Từ B C 40 bi
- Từ C A bi * * 40 *
5
2 Lần 3: - Từ B A 18 bi
- Từ C B bi * 18 * 4*
CUỐI CÙNG 140 bi 160 bi 180 bi
(9)
+ Các dấu * ô 2A, 2B, 2C số bi lại sau chuyển lần thứ + Các dấu * ô 3A, 3B, 3C số bi lại sau chuyển lần thứ hai + Khi nháp cần cột số bi hộp
Dựa vào bảng trên, phương pháp suy luận từ lên ta tìm * hàng hàng cuối hàng - số bi hộp phải tìm
Tìm giá trị ô hàng ( số bi hộp trước chuyển lần thứ ba
hay sau chuyển lần thứ hai ) - Số bi hộp C ( ô 3C )
Bớt bi cịn 180 bi Vậy, muốn tính số bi hộp C trước chuyển lần thứ ba ta làm ? ? ( 180 + = 184) - Số bi hộp B ( ô 3B )
Bớt 18 bi thêm vào bi cịn 160 bi Vậy, muốn tính số bi hộp B trước chuyển lần thứ ba ta làm ? bao nhiêu?
( 160 + 18 - = 174 ) - Số bi hộp A ( ô 3A)
Thêm vào 18 bi 140 bi Vậy, muốn tính số bi hộp A trước chuyển lần thứ ba ta làm ? bao nhiêu? (140 -18 = 122)
Ta tính số bi hộp A cách khác: Việc luân chuyển luẩn quẩn ba hộp nên tổng số bi ba hộp không đổi Đã tính được ở hai hộp dễ dàng tính hộp lại Cụ thể: Tổng số bi ba hộp luôn là: 140 + 160 + 180 = 480 (bi) Số bi hộp A trước chuyển lần thứ ba là: 480 - 174 - 184 = 122 (bi)
Tìm giá trị hàng ( số bi hộp trước chuyển lần hay
sau chuyển lần thứ )
Bằng phương pháp suy luận ta tính số bi hộp hàng cách đơn giản sau:
- Số bi ô 2C là: 184 - 40 + = 149 ( bi ) - Số bi ô 2B là: 174 + 40 = 214 ( bi ) - Số bi ô 2A là: 122 - = 117 ( bi )
Tìm số bi lúc đầu hộp ( số bi ô hàng )
Bằng phương pháp suy luận tìm hàng 3, hàng ta dễ dàng tính số bi lúc đầu hộp
- Số bi lúc đầu hộp C là: 149 + 15 = 164 ( bi ) - Số bi lúc đầu hộp B là: 214 - 20 - 15 = 179 ( bi ) - Số bi lúc đầu hộp A là: 117 + 20 = 137 ( bi )
(10)Bên cạnh suy luận tìm tịi theo kiểu " hàng ngang", ta hướng dẫn giúp học sinh suy luận theo kiểu " cột dọc " Cách hữu hiệu Đây thực chất ta lại sử dụng lược đồ xếp theo kiểu cột Cụ thể sau:
- 20 +20, + 15 -15
+ - 40 + 40, -
+ 18 -18, +4 -
Nhìn vào lược đồ cột, thực theo chiều mũi tên "dài", ta dễ dàng tính số bi hộp lúc đầu Chú ý xét " thêm ", " bớt" cột không cần biết đâu chuyển đến hay chuyển đâu Các bước giải toán làm gộp ngắn gọn sau:
Số bi hộp A lúc đầu là: 140 - 18 - + 20 = 137 ( bi )
Số bi hộp B lúc đầu là: 160 - + 18 + 40 - 15 - 20 = 179 ( bi ) Số bi hộp C lúc đầu là: 180 + + - 40 + 15 = 164 ( bi )
Đáp số: Hộp A: 137 bi; Hộp B: 179 bi; Hộp C: 164 bi
Ví dụ 3.2: Có hai thùng đựng dầu A B Lần đầu chuyển 26 l từ thùng A sang thùng B Lần thứ hai chuyển từ thùng B sang thùng A số lít dầu gấp lần số lít dầu có thùng A Lần thứ ba chuyển từ thùng A sang thùng B số lít dầu số lít dầu có thùng B cuối thùng A có 48 l, thùng B có 60 l Hỏi lúc đầu thùng có lít dầu ?
Đây toán thuộc dạng thứ ba Trong cần lưu ý, chuyển từ địa sang địa khác có cách:
- Chuyển số đơn vị cụ thể ( tương tự ví dụ 3.1) - Chuyển số lần có địa chuyển đến Hướng dẫn giải:
Lập bảng
NỘI DUNG CHUYỂN SỐ BI Ở CÁC HỘP HÀNG
Lần 1: Chuyển 26 bi từ A B A
26
B
Lần 2: Chuyển từ B A số lít dầu gấp lần số dầu có A
2A 2B
Lần 3: Chuyển từ A B số lít dầu số dầu có B
3A 3B
CUỐI CÙNG 48 lít 60 lít
A B C
A 3
A 2 C 2
B 3 C 3
B 2
(11)
+ Tính số lít dầu thùng trước chuyển lần thứ ba ( 3A, 3B ) - Số lít dầu thùng B ( ô 3B)
Sau chuyển lần thứ ba ( cuối ), thùng B có 60 l Đã chuyển từ thùng A sang thùng B số dầu số dầu thùng B có để 60 l Vậy trước chuyển lần thứ ba thùng B có lít dầu ? Muốn tính ta phải làm ? ( 60 : = 30 - minh hoạ SĐĐT để em dễ hiểu )
- Số lít dầu thùng A ( 3A )
Bớt 30 cịn 48 Vậy, muốn tìm số lít dầu thùng A trước chuyển lần thứ ba ta làm ? ( 30 + 48 = 78 - 48 + 60 - 30 = 78 )
+ Tính số lít dầu thùng trước chuyển lần thứ hai - Số lít dầu thùng A ( ô 2A )
Được thêm lần 78 Vậy, muốn tìm "chính nó" hay số lít dầu thùng A trước chuyển lần thứ hai ta làm ? ( 78 : = 26 ) Nên mimh hoạ SĐĐT để học sinh dễ hiểu
78
có
thêm
- Số lít dầu thùng B ( 2B )
Muốn tính số lít dầu 2B ta làm ? ( 48 + 60 - 26 = 82 )
+ Tính số lít dầu thùng lúc đầu ( ô 1A, 1B ), hay trước chuyển lần thứ
- Số lít dầu thùng B lúc đầu:
Được thêm 26 82 Vậy, muốn tìm số dầu lúc đầu thùng B ta làm ? ( 82 - 26 = 56 )
- Từ tìm số lít dầu thùng A lúc đầu là: 108 - 56 = 52 ( l )
Sử dụng lược đồ cột
+ 26 - 26 + 26
+ thêm lần Bớt lần ( 2A )
: ( gấp lần )
+ 30 Trừ lần ( 3B ) + thêm lần
B A
2 A B
3 A 3 B
(12)Bài giải cụ thể:
Tổng số lít dầu hai thùng là: 60 + 48 = 108 ( l )
Số lít dầu thùng B trước chuyển lần thứ ba là: 60 : = 30 ( l ) Số lít dầu thùng A trước chuyển lần thứ ba là: 108 - 30 = 78 ( l ) Số lít dầu thùng A trước chuyển lần thứ hai là: 78 : = 26 ( l ) Số lít dầu thùng B trước chuyển lần thứ hai là: 108 - 26 = 82( l ) Số lít dầu thùng B lúc đầu là: 82 - 26 = 56 ( l )
Số lít dầu thùng A lúc đầu là: 108 - 56 = 52 ( l )
Đáp số: Thùng A: 52 l; Thùng B: 56 l Chú ý: Nếu xếp theo lược đồ cột khơng thể tính liên tục thùng ví dụ 3.1
Dạng thứ tư
Đây dạng tương đối phức tạp toán giải phương pháp suy luận từ cuối Những khó là:
- Kết cuối thường số cụ thể - Q trình thay đổi phức tạp, có tính quy luật
Muốn giải dạng này, cần giúp học sinh sử dụng SĐĐT để phân tích tìm giá trị " áp chót" ( trước cuối ) Từ tính đáp số tốn Ví dụ 4.1: Một tổ cơng nhân sau hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ thưởng số tiền Người tổ trưởng đem chia số tiền sau:
- Tổ trưởng 100000 đồng 1/10 số tiền cịn lại - Tổ phó 200000 đồng 1/10 số tiền lại
- Công nhân thứ 300000 đồng 1/10 số tiền cịn lại - Cơng nhân thứ hai 400000 đồng 1/10 số tiền lại
Cứ tiếp tục chia người cuối số tiền thưởng chia cho tất người Hỏi số tiền thưởng cho tổ người thưởng tiền ?
Ví dụ toán thuộc dạng suy luận từ cuối Cái cuối cụ thể, mà biết cách biến đổi cuối số tiền chia cho người Bằng cách giải với ví dụ trước với loại khơng thể thực Để giúp HS giải loại ta cần phân tích, xét phần " áp chót" phần "chót" để tìm cách giải Bằng SĐĐT ta có:
" Áp chót " " Cuối cùng"
1/10
" Cuối "
Trước hết phải thấy người cuối nhận số tiền số nguyên
(13) Theo sơ đồ ta thấy: Người " Áp chót " nhận số nguyên trăm
nghìn đồng 1/10 số tiền lại Như vậy, 9/10 số tiền lại người cuối
Người cuối nhận số nguyên trăm nghìn người "áp
chót" 100000 đ Vậy, 100000 đ 1/9 số tiền người cuối nhận Từ ta có:
+ Số tiền người cuối nhận là: 100000 : 1/9 = 900000 (đồng )
+ Số người tổ là: người
+ Số tiền toàn tổ là: 900000 x = 8100000 ( đồng )
Cũng lập luận ta có cách trình bày thứ hai sau: Gọi số nguyên trăm nghìn đồng người " áp chót" nhận A, phần
cịn lại B đồng
Từ ta có:
Số tiền người "áp chót" nhận biểu diễn theo A B ? ( A + 101 B )
Số tiền người cuối nhận biểu diễn ? ( 109 B ) Theo toán, số tiền chia cho người, có nghĩa số tiền người " áp chót" nhận số tiền người cuối nhận, nên ta biểu diễn quan hệ số tiền hai người ? ( A + 101 B =
9
10 B
A = 108 B )
Mặt khác, người cuối nhận 109 B vừa hết, nên số tiền người cuối nhận số nguyên trăm nghìn người " áp chót" nhận thêm 100000 đ Tức là:
109 B = A + 100000 109 B = 108 B + 100000 101 B = 100000
B = 100000 : 1/10 = 1000000 Vậy, số tiền người nhận là: 1000000 x 9/10 = 900000 ( đ ) Từ tính số tiền tổ:
+ Cách 1: Theo quy luật cộng thêm số nguyên trăm nghìn, dễ thấy tổ có người Vậy : Tổng số tiền thưởng là: 900000 x = 8100000 ( đ )
+ Cách 2: Từ chỗ người thưởng 900000 đ, nên ta có: 100000 đ + 1/10 số tiền lại = 900000 đ 1/10 số tiền lại 8000000 đ Vậy, tổng số tiền thưởng : 8000000 + 100000 = 8100000 ( đ )
Lưu ý: Về cách tính số người tổ thực theo cách sau:
Số người tổ là: ( 900000 - 100000 ) : ( 200000 - 100000) + = ( người )
(14)Người thứ ba mua 27 1/6 số cam lại
Cuối số cam vừa hết số cam người mua Hỏi người bán cam ?
Hướng dẫn giải:
Tương tự ví dụ 4.1, trước hết ta cần khảng định số điều sau: + Người thứ mua quả, người thứ hai mua 18 quả, người thứ ba mua 27 quả, …
Vậy, quy luật người mua sau người mua liền trước + Người cuối mua số nguyên cam vừa hết, có nghĩa phần dư cịn lại
+ Người " áp chót" mua số nguyên cam 1/6 số cam cịn lại 5/6 số cam lại số cam người cuối mua
+ Số cam người mua
Ta sử dụng SĐĐT: Cuối
"Áp chót" (A)
(B)
Cuối
Đặc biệt lưu ý: Phần nguyên số cam người cuối mua phần nguyên số cam người " áp chót" mua thêm Vậy, 1/6 số cam lại sau người " áp chót" mua số nguyên cam
Vậy, số cam người cuối mua là: x = 45 ( )
Số người mua cam là: ( 45 - ) : ( 18 - ) + = ( người ) Số cam người đem bán là: 45 x = 225 ( )
Ta hướng dẫn em giải theo cách khác:
Gọi phần nguyên số cam người "áp chót" mua A, phần cịn lại B ( xem hình vẽ )
Số cam người " áp chót" mua biểu diễn theo A B : A + 61 B Số cam người " cuối " mua biểu diễn theo B là: 56 B Theo tốn ta có: A + 61 B = 56 B A = 46 B Từ đó: 56 B
-4
6 B =
6 B =
B = 54
Mỗi người mua số cam : 54 : x = 45 quả, số cam người đem bán là: 45 x = 225 (quả)
Khái quát vấn đề
Mơ hình chung loại tốn giải phương pháp suy luận từ cuối là:
CẦN TÌM + Mét sè + NhiỊu sè b»ng
KẾT QUẢ SAU BIẾN ĐỔI LẦN THỨ NHẤT (CHƯA BIẾT )
KẾT QUẢ SAU BIẾN ĐỔI LẦN
THỨ HAI (CHƯA BIẾT)
KẾT QUẢ SAU BIẾN ĐỔI LẦN
THỨ BA (CHƯA BIẾT)
… CUỐI CÙNG
(15)
Các bước thực ngược để giải
Quy trình giải chủ yếu thực bước theo chiều mũi tên ngược với chiều mũi tên biến đổi ban đầu Việc thực phép tính hồn tồn phụ thuộc vào q trình biến đổi Có việc biến đổi đơn giản, có biến đổi phức tạp
Có số tốn kết cuối khơng phải số cụ thể mà lại tốn, giải tốn ta sễ tìm kết cuối ( thơng thường tốn Tổng - Tỉ, Hiệu - Tỉ … )
IV KẾT LUẬN VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Như trình bày phần đặt vấn đề, tốn tiểu học có nhiều dạng, nhiều phương pháp giải Giải toán phương pháp suy luận từ cuối dạng quen thuộc Nhưng học sinh nắm chắc, nhớ lâu, vận dung linh hoạt, sáng tạo làm em tự tin vào khả khơng phải dễ Nhiệm vụ người dạy toán phải đốt lên " lửa " yêu toán lịng em Hệ thống, phân loại, phân tích, tìm cách giải cách làm tạo niềm tin cho em Trên sở này, nghĩ tới khơng dạy dạng tốn mà nhiều dạng toán khác áp dụng quy trình để giúp em nắm kiến thức, phương pháp tư lơgic giải tốn sống
Nhiều năm tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi tốn tiểu học, tơi nhận thấy việc giúp em nhận dạng, tìm tịi cách giải tốn có hiệu cao Trên tinh thần em nắm kiến thức, vận dụng linh hoạt sáng tạo
Tôi cố gắng, chưa phải đưa giải pháp tối ưu Tôi viết cịn nhiều khiếm khuyết, mong nhận giáo bạn đọc đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn nhiều, nhiều
PHỤ LỤC
I- CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO
Những phương pháp giải toán cấp
Tác giả: Đỗ Trung Hiệu - Vũ Dương Thuỵ Toán chọn lọc cấp
Tác giả: Đỗ Trung Hiệu - Nguyễn Khắc An
Vũ Hoàng Lâm - Nguyễn Thị Phước Hảo 255 toán chọn lọc số học
Tác giả: Vũ Dương Thuỵ - Trương Công Thành - Nguyễn Ngọc Đạm Giải tốn khó 3, 4,
Tác giả: Hồng Kỳ
Toán bồi dưỡng học sinh lớp
Tác giả: Nguyễn Áng - Dương Quốc Ấn
Hoàng Thị Phước Hảo - Phan Thị Nghĩa Toán bồi dưỡng học sinh lớp
(16) Toán chọn lọc lớp
Tác giả: Phạm Đình Thực
II- MỘT SỐ BÀI TỐN LUYỆN TẬP
Tìm số biết rằng, số trừ 80, nhân với cộng với 192 792
Mẹ cho hai anh em số tiền để mua sách Nếu anh cho em số tiền số tiền em, em lại cho anh số tiền số tiền lại anh em có 35000 đồng anh có 30000 đồng Hỏi mẹ cho người tiền ?
Có ba hộp bi A, B, C Lần đầu chuyển 10 bi từ hộp A sang hộp B 15 bi từ hộp C sang hộp B Lần thứ hai chuyển bi từ hộp A sang hộp B bi từ hộp B sang hộp C Lần thứ ba chuyển 20 bi từ hộp C sang hộp A 18 bi từ hộp B sang hộp A Lần thứ tư chuyển bi từ hộp A sang hộp B bi từ hộp C sang hộp B, cuối hộp A có 190 bi, hộp B có 350 bi, hộp C có 280 bi Hỏi lúc đầu hộp có bi ?
Một người chợ bán cam Lần thứ bán 1/2 số cam cộng thêm 1/2 Lần thứ hai bán 1/2 số cam lại cộng thêm 1/2 Lần thứ ba bán 1/2 số cam lại cộng thêm 1/2 Lần thứ tư bán 1/2 số cam lại cộng 1/2 vừa hết Tính số cam người đem bán
(Toán cổ) Một tên tham lam gặp quỷ cạnh cầu Tên than phiền nỗi nghèo khổ Con quỷ nói " Tơi giúp anh Cứ lần anh qua cầu số tiền anh tăng gấp đơi; sau anh phải trả cho tơi 24 xu Bằng lịng ?" Tên tham lam lòng Sau qua cầu ba lần thấy túi khơng cịn xu Hỏi lúc đầu tên tham lam có tiền ? Trong buổi lao động trồng đầu xuân, lớp 5A chia số cho tổ sau:
Tổ Một trồng 20 4/ 100 số lại; Tổ Hai trồng 21 4/100 số lại; Tổ Ba trồng 22 4/100 số lại; ………
Cứ chia tổ cuối vừa hết số số tổ đem trồng Hỏi lớp A có tổ tổ chia ?
7 Trong hộp có 130 bi Hai bạn chơi trị bốc bi Mỗi lần lấy từ đến bi Ai lấy viên bi cuối người thắng Bạn bốc trước, theo bạn nên lấy để bạn người thắng ?