Đang tải... (xem toàn văn)
Mặt phẳng (P) xác định bởi đường thẳng AB và đường phân giác của góc giữa mặt bên (SAB) và mặt đáy (góc này có đỉnh ở trên AB) cắt hình chóp theo một thiết diện chia hình chóp thành hai [r]
(1)SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2010 - 2011
Mơn thi: Tốn - Vịng II
ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 26 tháng 10 năm 2010)
SỐ BÁO DANH: Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1:(2.5 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
1
2
1 3
y x
x y
x
y x x
Câu 2:(2.0 điểm)
Tìm tất hàm số f: R* R* thỏa mãn: i)
1 (1)
2
f
ii)
2010 2010
( ) ( ) ( )
f xy f x f f y f
y x
, x y R, *
Câu 3:(2.0 điểm)
Chứng minh tam giác ABC ta có:
2 2 125
1 cos cos cos
64
A B C
Câu 4:(2.5 điểm)
Cho hình chóp tam giác S.ABC cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy Mặt phẳng (P) xác định đường thẳng AB đường phân giác góc mặt bên (SAB) mặt đáy (góc có đỉnh AB) cắt hình chóp theo thiết diện chia hình chóp thành hai phần Tính thể tích phần theo a
Câu 5:(1.0 điểm)
Trong hội nghị có nhà toán học nam nhà toán học nữ Biết rằng: i) Mỗi nhà toán học nam quen 10 nhà toán học nữ
ii) Hai nhà tốn học nữ quen nhà tốn học nam Hãy tính số nhà tốn học nam biết hội nghị có 21 nhà tốn học nữ?
(2)
SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2010 - 2011
Mơn thi: Tốn - Vịng II (Khóa ngày 26 tháng 10 năm 2010) HƯỚNG DẪN CHẤM
(Đáp án, hướng dẫn cú trang)
yêu cầu chung
* Đáp án trình bày lời giải cho Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng.
* Trong bài, học sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước giải sau có liên quan Ở câu học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai cho điểm 0.
* Điểm thành phần nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm tuỳ tổ giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm từng bài.
* Điểm tồn tổng (khơng làm trịn số) điểm tất bài.
Câu Nội dung Điểm
1
2
1
2 (1)
1 3 (2)
y x
x y
x
y x x
ĐK: x > 0; y0 Ta cã:
(1) x y x y x y 2x y y x
x y y x
TH1: y x < Từ (2) suy y > ( vơ lí) TH2: y 2x Thay vào (2), ta có:
2x x 1 3x 3 2x x 1 2x
(2)
Nhận xét rằng:
3 x
nghiệm (2) Do đó: (2)
2 1 0
2
x x
x
Xét hàm số :
2
( )
2
x
f x x
x
có
2,5 điểm
0,25
0,5 0,25
0,25
(3) 2
2 3
'( ) 0, 0; \
2
1 2 3
x
f x x
x x
BBT
x 32 +
f’(x) + +
+ +
f(x)
-
Ta có: f x( ) 0 có nghiệm x 3 nên nghiệm nhất. Vậy hệ phương trình có nghiệm 3;2 3
0,25
0,5 0,25
2 Từ ii) cho: + x y 1:
1
(1) (1) (2010) (1) (2010) (2010)
2
f f f f f f
+
2010 2010
1: ( ) ( ) (2010) (1) ( )
y f x f x f f f f x f
x x
+
2
2010 2010 2010
: (2010) ( ) ( ) ( )
y f f x f x f f f x
x x x
( )2 ( )
4
f x f x
Thử lại
1 ( )
2 f x
thỏa mãn điều kiện toán
2,0 điểm 0,5 0,5
0,5
0,5 3
Giả sử C = min{A, B, C} Ta có
0
0 60 cos ;1
2
C C
2 cos2 cos
1 cos cos 1
2
1
3 cos cos2 3(cos2 cos ) cos cos2
4
A B
A B
A B A B A B
2,0 điểm 0,25
(4)
2
2
2
1
9 6cos cos( ) cos 2( ) cos 2( )
4
1
9 6cos cos( ) 2cos ( ) cos ( )
4
1
9 6cos cos( ) cos ( ) cos
4
9 cos( ) cos( ) 6cos 6cos cos
4
C A B A B A B
C A B A B A B
C A B A B C
A B A B C C C
2
1
9 6cos cos cos
4 C C C
(do
1
cos ;cos( )
2
C A B
)
Suy ra: VT
2 2
1
3 cos cos
4 C C
Xét hàm số
2 2
( ) , ;1
2 f x x x x
'( ) ;1
2
f x x x x x
Do f(x) đồng biến
;1
, suy VT
1 125
4 f 64
Dấu xảy 600 A B C
hay tam giác ABC đều.
0,25
0,25 0,25
0,25 0,25
4
Gọi O tâm tam giác ABC, M trung điểm AB
Mặt phẳng (P) tạo AB phân giác Mt góc SMO , cắt hình chóp
theo thiết diện tam giác cân ABN (N giao điểm tia phân giác Mt SC)
2,5 điểm
0,5
0,5
S
A C
M O
N H K
(5)Ta có: VSABC =
1
( ) tan ( )
3SO dt ABC 3MO dt ABC
2
1 3
.tan tan
3 a a 24a
Gọi H K hình chiếu S C xuống Mt, ta có hai tam giác vng SMHvà CMK đồng dạng, nên:
1 3cos
SH SM
CK CM
Suy tỉ thể tích hai hình tứ diện cắt thiết diện ANB là:
1 3cos
SABN
CABN
V SH SM
V CK CM
Do đó: VSABN
3
1
tan
24(1 3cos ) a
VSABN
3
3cos sin
tan
24(1 3cos )a 8(1 3cos )a
0,25
0,5 0,25 0,25 0,25 5
Gọi s số ba (A, B, C) A nhà toán học nam, B C hai nhà toán học nữ mà A quen Giả sử số nhà toán học nam hội nghị k Ta tính s hai cách
Cách 1:
+ Chọn nhà toán học nam A: Có k cách chọn
+ Chọn hai nhà toán học nữ B, C số 10 nhà tốn học nữ mà A quen: Có C102 cách chọn
Vậy s= k C102 cách chọn ba (A, B, C)
Cách 2:
+ Chọn hai nhà tốn học nữ B C: Có C212 cách chọn
+ Chọn nhà toán học nam A quen B, C: Có cách chọn Vậy s= C212 cách chọn ba (A, B, C)
Suy ra:
2
2 21
10 21
10
6
C 28
k C C k
C
1,0 điểm 0,25
0,25
0,25
0,25
M
(6)