DE VA DAP AN THI HSG TOAN 8

O lµ mét ®iÓm thuéc miÒn trong cña tam gi¸c.. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC.[r]

Đề thi chon đội tuyển hc sinh gii lp 8

Năm học: 2009-2010 Môn: Toán

(Thời gian làm bài:120 phút Vòng 1) Bài 1(2,5 điểm): Cho đa thức: f(x)=x4+6x3+11x2+6x

1/ Phân tích f(x) thành nhân tử.

2/ Chứng minh với giá trị nguyên x f(x) +1 có giá trị số phơng.

Bài (3 điểm):

a)Cho x,y,z số nguyên khác a=x2-yz; b=y2-xz; c=z2-xy Chứng

minh r»ng

ax+by+cz chia hÕt cho a+b+c.

b)Tìm cặp số tự nhiên (x,y) thoả mÃn phơng trình. (x+1) y = x2+4

Bài 3(1,5 điểm):

Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thøc B = x+y+z; BiÕt r»ng x; y; z lµ các số thực thoả mÃn điều kiện y2 + yz + z2 = -

2 3x2

Bài 4(3 điểm):

a)Cho tam giỏc ABC O điểm thuộc miền tam giác Gọi D, E, F, M, N, P lần lợt trung điểm AB, BC, CA, OA, OB, OC Chứng minh đoạn thẳng EM, FN, DP đồng quy.

b)Cho tam gi¸c ABC (AB<AC) Dùng vỊ phía tam giác ABC tam giác ABD cân B tam giác ACE cân C cho gãc ABD = gãc ACE Gäi M là trung điểm BC HÃy so sánh MD ME.

Họ tên thí sinh:……… ; Số báo danh:……… Chú ý:Ngời coi thi khơng đợc giải thích thờm.

Đáp án, biểu điểm môn toán

Kỳ thi chän häc sinh giái líp – vßng I Năm học 2009 2010

Bài Nội dung Điểm

1.Lần lợt phân tích để có kết f(x)=x (x+1) (x+2) (x+3)

………

1

1(2,5 ®) 2.Tõ kÕt câu ta có:

+ f(x) +1 = x (x+3) (x+1) (x+2) + = (x2 +3x)(x2 + 3x+2) + 1 + Đặt x2 + 3x = t; ta cã A=t(t+2)=t2+2t+1=(t+1)2

+ xZ nên t=x2+3x  Z ;do (t+1)2 Z (t+1)2 số phơng. + KL :với giá trị nguyên x f(x) +1 số phơng

0,5

0,75 0,25

2(3®)

a,(1,5) ta cã: ax+by+cz = x3+y3+z3-3xyz.

Mµ :

x3+ y3+z3-3xyz = (x+y)3-3xy(x+y)+z3-3xyz = = (x+y+z)( x2+y2+z2-xz-yz+2xy)-3xyz(x+y+z)= =(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)

x3+ y3+z3-3xyz = (x+y+z)( x2+y2+z2-xy-yz-zx). Mặt khác: a+b+c = (x2+y2+z2-xy-yz-zx).

T ú ta có : ax+by+cz chia hết cho a+b+c (đpcm)

0,25

1® 0,25

b,(1,0đ) Ta có : (x+1)y= x2+4 (x+1)y-(x2-1)=5 (x+1)(y-x+1)=5 Do : x+1N ớc Suy x+1=1;5

Suy x=0,4 Thử trực tiếp ta đợc cặp số tự nhiên (x,y) thoả đề (0;4); (4;4)

0,5 0,5 0,5

3(1,5®)

+Ta cã y2+yz+z2

=2-2 3x2

 2y2+2yz+2z2=4-3x2  3x2+2y2+2yz+2z2=4 (1)

 x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz+x2-2xy+y2+x2-2xz+z2=4  (x+y+z)2+(x-y)2+(x-z)2=4

+Do (x-y)20; (x-z)20 nªn tõ (*) suy (x+y+z)24

Hay -2x+y+z2

+Dấu “ ”= xảy x-y=0 x-z=0 hay x=y=z Thay vào (1) ta đợc 9x2 = 4  x =

3

hc x=

-3

+KL: Víi

x=y=z=-3

th× B = -2 Víi x = y = z =

3

th× max B =

0,25

0,5

0,25

4(3®)

a.(1,5đ) Vẽ hình xác

Hc sinh chng minh đợc MF//NE; MF=NE (Tính chất đờng trung bình) Suy MFEN hình bình hành nên EM, FN cắt trung điểm I chúng

Chứng minh tơng tự: MDEP hình bình hành nên ME, DP cắt trung điểm đờng

Từ suy DP, ME, NF đồng quy I

0,5đ

0,5đ 0,5đ

b.(1,5đ)

*Vẽ hình xác

Dựng hình bình hành ABFC

Hc sinh chứng minh đợc BDF CFE(c.g.c) FDFE Trên cạnh CA lấy điểm A1, cạnh CE lấy điểm C1 cho

CA1=CC1 A1CC1 ABD(c.g.c) A1C1 BD.Dựng hình bình hành AEGA1 tam giác ACE cân C nên góc CAE<900, suy góc AEG>900 góc CAE= góc AEC< góc AEG suy A1C1<A1G hay DA<AE Xét hai tam giác AFD AFE suy góc AFD = góc AFE Xét tam giác MFD tam giác MFE suy MD<ME.(đpcm)

0,25 0,25 0,5

0,5