O lµ mét ®iÓm thuéc miÒn trong cña tam gi¸c.. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC.[r]
(1)Đề thi chon đội tuyển hc sinh gii lp 8
Năm học: 2009-2010
Môn: Toán
(Thời gian làm bài:120 phút
Vòng 1)
Bài 1(2,5 điểm): Cho đa thức: f(x)=x
4+6x
3+11x
2+6x
1/ Phân tích f(x) thành nhân tử.
2/ Chứng minh với giá trị nguyên x f(x) +1 có giá trị
số phơng.
Bài (3 điểm):
a)Cho x,y,z số nguyên khác a=x
2-yz; b=y
2-xz; c=z
2-xy Chứng
minh r»ng
ax+by+cz chia hÕt cho a+b+c.
b)Tìm cặp số tự nhiên (x,y) thoả mÃn phơng trình.
(x+1) y = x
2+4
Bài 3(1,5 điểm):
Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thøc B = x+y+z; BiÕt r»ng x; y; z lµ
các số thực thoả mÃn điều kiện y
2+ yz + z
2= -
2 3x2
Bài 4(3 điểm):
a)Cho tam giỏc ABC O điểm thuộc miền tam giác Gọi D, E,
F, M, N, P lần lợt trung điểm AB, BC, CA, OA, OB, OC Chứng minh
đoạn thẳng EM, FN, DP đồng quy.
b)Cho tam gi¸c ABC (AB<AC) Dùng vỊ phía tam giác ABC tam
giác ABD cân B tam giác ACE cân C cho gãc ABD = gãc ACE Gäi M
là trung điểm BC HÃy so sánh MD ME.
Họ tên thí sinh:
………
; Số báo danh:
………
Chú ý:Ngời coi thi khơng đợc giải thích thờm.
Đáp án, biểu điểm môn toán
Kỳ thi chän häc sinh giái líp
–
vßng I
Năm học 2009
2010
Bài Nội dung Điểm
1.Lần lợt phân tích để có kết f(x)=x (x+1) (x+2) (x+3)
………
1
(2)1(2,5 ®) 2.Tõ kÕt câu ta có:
+ f(x) +1 = x (x+3) (x+1) (x+2) + = (x2 +3x)(x2 + 3x+2) + 1 + Đặt x2 + 3x = t; ta cã A=t(t+2)=t2+2t+1=(t+1)2
+ x
Z nên t=x2+3x
Z ;do (t+1)2
Z (t+1)2 số phơng. + KL :với giá trị nguyên x f(x) +1 số phơng0,5
0,75 0,25
2(3®)
a,(1,5) ta cã: ax+by+cz = x3+y3+z3-3xyz.
Mµ :
x3+ y3+z3-3xyz = (x+y)3-3xy(x+y)+z3-3xyz = = (x+y+z)( x2+y2+z2-xz-yz+2xy)-3xyz(x+y+z)= =(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)
x3+ y3+z3-3xyz = (x+y+z)( x2+y2+z2-xy-yz-zx). Mặt khác: a+b+c = (x2+y2+z2-xy-yz-zx).
T ú ta có : ax+by+cz chia hết cho a+b+c (đpcm)
0,25
1® 0,25
b,(1,0đ) Ta có : (x+1)y= x2+4 (x+1)y-(x2-1)=5 (x+1)(y-x+1)=5 Do : x+1
N ớc Suy x+1=1;5Suy x=0,4 Thử trực tiếp ta đợc cặp số tự nhiên (x,y) thoả đề (0;4); (4;4)
0,5 0,5 0,5
3(1,5®)
+Ta cã y2+yz+z2
=2-2 3x2
2y2+2yz+2z2=4-3x2 3x2+2y2+2yz+2z2=4 (1)
x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz+x2-2xy+y2+x2-2xz+z2=4 (x+y+z)2+(x-y)2+(x-z)2=4
+Do (x-y)20; (x-z)20 nªn tõ (*) suy (x+y+z)24
Hay -2x+y+z2
+Dấu
“ ”
=
xảy x-y=0 x-z=0 hay x=y=z Thay vào (1) ta đợc 9x2 = 4 x =3
hc x=
-3
+KL: Víi
x=y=z=-3
th× B = -2 Víi x = y = z =
3
th× max B =
0,25
0,5
0,25
(3)4(3®)
a.(1,5đ) Vẽ hình xác
Hc sinh chng minh đợc MF//NE; MF=NE (Tính chất đờng trung bình) Suy MFEN hình bình hành nên EM, FN cắt trung điểm I chúng
Chứng minh tơng tự: MDEP hình bình hành nên ME, DP cắt trung điểm đờng
Từ suy DP, ME, NF đồng quy I
0,5đ
0,5đ 0,5đ
b.(1,5đ)
*Vẽ hình xác
Dựng hình bình hành ABFC
Hc sinh chứng minh đợc BDF CFE(c.g.c) FDFE Trên cạnh CA lấy điểm A1, cạnh CE lấy điểm C1 cho
CA1=CC1 A1CC1 ABD(c.g.c) A1C1 BD.Dựng hình bình hành AEGA1 tam giác ACE cân C nên góc CAE<900, suy góc AEG>900 góc CAE= góc AEC< góc AEG suy A1C1<A1G hay DA<AE Xét hai tam giác AFD AFE suy góc AFD = góc AFE Xét tam giác MFD tam giác MFE suy MD<ME.(đpcm)
0,25 0,25 0,5
0,5