Trong tất cả các đường thẳng d qua M cắt mặt cầu theo dây cung AB , viết phương trình tham số của đường thẳng cắt trục Ox và thỏa mãn độ dài AB nhỏ nhất. Câu VIIb.[r]
(1)NĂM HỌC 2010 - 2011
c
(2)http://www.math.vn
3 5
4 6
5 7
6 8
7 9
8 10
9 11
10 12
11 13
(3)http://www.math.vn Câu I. (2 điểm)
Cho hàm sốy=2x+3
x+1 (C)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị(C)của hàm số
2 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C)tại điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng 3x+4y−2=0bằng2
Câu II. (2 điểm)
1 Giải phương trình: cos2x+π
+3 tanx=1+3 tanx·sin2x 2 Giải phương trình: 3x3−6x2−3x−17=3p3
9(−3x2+21x+5) Câu III. (1 điểm)
Tính giới hạn lim x→0
√
cos 2x+p3 1−2esin2x ln(1+x2) Câu IV. (1 điểm)
Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình thang vng tạiA,vàD,AB=AD=a,CD=2a.Cạnh bênSDvng góc với mặt phẳngABCDvàSD=a GọiElà trung điểm củaCD Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.BCE
Câu V. (1 điểm)
Cho tam giácABCcó ba cạnha,b,cthỏa mãn điều kiện
a2+1+
b2+1+
c2+1=2 Chứng minh SABC≤
√
3
8
Câu VI. (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vng gócOxycho ba điểmI(1; 1),J(−2; 2),K(2;−2) Tìm tọa độ đỉnh hình vngABCDsao choIlà tâm hình vng,Jthuộc cạnhAB,vàKthuộc cạnhCD
2 Trong không gian với hệ tọa độ vng gócOxyzcho ba điểmA(2; 3; 1),B(−1; 2; 0),C(1; 1;−2).Tìm tọa độ trực tâmHvà tâm đường tròn ngoại tiếpIcủa tam giácABC
Câu VII. (1 điểm)
Giải hệ phương trình
(
A3x−54Cx2+x=29
(4)http://www.math.vn Câu I. (2 điểm)
Cho hàm sốy=x3−3mx+2, vớimlà tham số
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị(C)của hàm số vớim=1
2 Tìm giá trị củamđể đồ thị hàm số có hai điểm cực trịA,Bsao cho4IABcó diện tích bằng√18,
I(1; 1) Câu II. (1 điểm)
Giải phương trình 2√2
sinπ
8−
x
2
cos
π
8−
3x
2
−cosx
=2 sin 2x−3
Câu III. (1 điểm)
Giải hệ phương trình sau trênR:
(
3x=p
8y2+1 3y=√8x2+1. Câu IV. (1 điểm)
Tính tích phân I= Z
1
x+lnx
(1+x)2 dx Câu V. (1 điểm)
Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thoi vàAB=BD=a,SA=a√3,SA⊥(ABCD) GọiMlà điểm cạnhSBsao choBM=2
3SB, giả sửNlà điểm di động cạnhAD Tìm vị trí điểmNđểBN⊥DMvà tính thể tích khối tứ diệnBDMN
Câu VI. (1 điểm)
Choa,b,clà độ dài ba cạnh tam giác nhọnABC Chứng minh
a3
cosA+
b3
cosB+
c3
cosC≥12pR
2, đóplà nửa chu vi vàRlà bán kính đường tròn ngoại tiếp4ABC Câu VII. (1 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxycho tam giácABCcó phương trình đường cao
AH: 3x+2y−1=0, phân giác trongCK: 2x−y+5=0và trung điểmM(2;−1)của cạnhAC Tính chu vi diện tích của tam giácABC
Câu VIII. (1 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độOxyzcho mặt cầu(S)tâmI(1;−2; 1); bán kínhR=4và đường thẳng (d): x
2=
y−1
−2 =
z+1
−1 Lập phương trình mặt phẳng(P)chứa(d)và cắt mặt cầu(S)theo đường trịn có diện tích nhỏ
Câu IX. (1 điểm)
(5)http://www.math.vn Câu I. (2 điểm)
Cho hàm sốy=x4−2mx2+2 (Cm)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số khim=1
2 Tìm tất giá trị tham sốmđể đồ thị(Cm)có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có đường trịn ngoại tiếp qua điểmD
3
5;
Câu II. (2 điểm)
1 Giải phương trình : sinx=16cos
6x+2cos4x
54−51cos2x
2 Giải hệ phương trình:
(
x2+2y2−3x+2xy=0
xy(x+y) + (x−1)2=3y(1−y) Câu III. (1 điểm)
Tính tích phân I= Z
2
0
ln(1−x) 2x2−2x+1 dx Câu IV. (1 điểm)
Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vng cạnha Hình chiếu củaStrùng với trọng tâm tam giácABD Mặt bên(SAB)tạo với đáy góc60o
Tính theoathể tích khối chópS.ABCD
Câu V. (1 điểm)
Cho số thựca,b,c∈[0; 1] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức
P=a5b5c5(3(ab+bc+ca)−8abc) Câu VI. (2 điểm)
1 Trong mặt phẳngOxycho điểmA(1; 4)và hai đường tròn(C1):(x−2)2+ (y−5)2=13,
(C2):(x−1)2+ (y−2)2=25 Tìm hai đường trịn(C1),(C2)hai điểmM,Nsao cho tam giácMANvng cân tạiA
2 Trong không gian với hệ tọa độOxyz,choM(1; 2; 3) Lập phương trình mặt phẳng quaMcắt ba tiaOxtạiA,
OytạiB,OztạiCsao cho thể tích tứ diệnOABCnhỏ Câu VII. (1 điểm)
(6)http://www.math.vn Câu I. (2 điểm)
Cho hàm sốy=−x4+6x2−5.
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị(C)của hàm số
2 Tìm giá trị củamđể phương trình(x2−5)|x2−1|=mcó6nghiệm phân biệt. Câu II. (2 điểm)
1 Giải phương trình: x 3−2x
x2−1−√x2−1 =2
√
6 2 Giải hệ phương trình sau trênR:
(
14x2−21y2+22x−39y=0 35x2+28y2+111x−10y=0
Câu III. (1 điểm) Tính tích phân I=
Z
0
r
x
9−x dx
Câu IV. (1 điểm)
Cho khối lập phươngABCD.A0B0C0D0cạnha GọiM trung điểm củaBC, điểmNchia đoạnCDtheo tỷ số−2 Mặt phẳng(A0MN)chia khối lập phương thành hai phần Tính thể tích phần
Câu V. (1 điểm)
Cho số dươnga, b,cthỏa mãn(a+b+c)
1
a+
1
b+
1
c
=16
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thứcP=a 2+2b2
ab
Câu VI. (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxycho tam giácABC có B(4; 0), cạnh AC qua O, phương trình trung trựcAC
x+y−1=0, phương trình đường cao quaClà5x+y−12=0
Tính diện tích tam giácABC
2 Cho tứ diệnABCDcóA(−1; 1; 6),B(−3;−2;−4),C(1; 2;−1),D(2;−2; 0) Tìm điểmMthuộc đường thẳngCD
sao cho chu vi tam giácMABnhỏ Tính giá trị nhỏ Câu VII. (1 điểm)
Giải bất phương trình: log√
2(x)
≥
(7)http://www.math.vn PHẦN CHUNG (7,0 điểm) Cho tất thí sinh
Câu I. (2 điểm)
Cho hàm sốy=x3+6x2+9x+3
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị(C)của hàm số
2 Tìm giá trị củakđể tồn tiếp tuyến với(C)phân biệt có hệ số góck, đồng thời đường thẳng qua tiếp điểm (của tiếp tuyến với(C)) cắt trụcOx,Oytương ứng tạiAvàBsao choOB=2011.OA
Câu II. (2 điểm)
1 Giải phương trình : 2−sin 2x cos 2x+4 cosx+3=
1 2tan
2x 2 Giải hệ phương trình :
(
x3+2y2=x2y+2xy
2px2−2y−1+p3
y3−14=x−2 (x,y∈R) Câu III. (1 điểm)
Tính tích phânI= Z
−1
(x2−2x−22010
x−1)2011+2012
sin4πx
2 dx
Câu IV. (1 điểm)
Cho hình chópS.ABCcó đáy tam giác vng tạiA, BC=avàABCd =300 Mặt phẳng(SBC)vng góc với
đáy, hai mặt phẳng(SAB)và(SAC)cùng tạo với mặt phẳng đáy góc60o Tính thể tích khối chópS.ABCtheoa Câu V. (1 điểm)
Cho số dươngx,y,zthoả mãnx+y+1=zTìm giá trị lớn biểu thức
F= x 3y3
(x+yz)(y+zx)(z+xy)2 PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần A B
Phần A theo chương trình chuẩn
Câu VIa. (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độOxycho tam giácABCbiết chân đường phân giác ứng với đỉnhA,B,C
lần lượt làA0(−1;−1),B0(3; 2),C0(2; 3) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giácABC 2 Trong không gian với hệ toạ độOxyzcho hình chóp tam giácS.ABCcóA;Bthuộc trục hồnh phương trình hai đường phân giác ngồi hai gócBSCd;CSAd là:(la):
x−1
2 =
y−2
3 =
z−3 ,(lb):
x+1
2 =
y
2 =
z+3 Hãy viết phương trình đường phân giác trong(l∗c)của gócASBd
Câu VIIa. (1 điểm)
Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức2z+3−ibiết|3z+i|2≤zz+9 Phần B theo chương trình nâng cao
Câu VIb. (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độOxycho điểmAchạy trênOx, điểmBchạy trênOysao cho đoạnABln
akhơng đổi Tìm tập hợp điểmMtrên đoạnABsao choMB=2MA
2 Trong không gian với hệ toạ độOxyzcho tứ giácABCDcóA(1; 2; 1),C(2; 4;−1) Hai đỉnhB,Dthuộc đường thẳng x−1
1 =
y−2
2 =
z
3 choBD=4 GọiIlà giao điểm hai đường chéo tứ giác biết
dt(ABCD) =2011dt(IAD) Tính khoảng cách từDtới đường thẳngAC Câu VIIb. (1 điểm)
(8)http://www.math.vn PHẦN CHUNG (7,0 điểm) Cho tất thí sinh
Câu I. (2 điểm)
Cho hàm số:y=x+3
x−1
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị(C)của hàm số cho
2 Tìm điểmAtrên đường thẳngx=5sao cho từAta vẽ đến(C)hai tiếp tuyến mà hai tiếp điểm với điểmB(1; 3)thẳng hàng
Câu II. (2 điểm)
1 Giải phương trình :√2 cosx
5−
π
12
−√6 sinx
5−
π
12
=2 sin
x 5+ 2π
−2 sin
3x + π 2 Giải phương trình sau tập số thực:x=1+1
2
√
x3+x2−8x−2+√3
x3−20. Câu III. (1 điểm)
Tính tích phân:I= √ Z dx q
(9−x2)3 Câu IV. (1 điểm)
Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vng cạnha, đường caoSA=a,Mlà điểm thay đổi cạnhSB Mặt phẳng(ADM)cắtSCtại điểmN Ta kí hiệuV1,V2lần lượt thể tích khối đa diệnSADMNvàMNADCB Tìm vị trí điểmMtrên cạnhSBđểV1
V2 =5
4 Câu V. (1 điểm)
Cho ba số thực dươnga,b,ccó tích Chứng minh rằng:(a+b) (b+c) (c+a)≥7
3
a+b+c+3
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần A B
Phần A theo chương trình chuẩn
Câu VIa. (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxycho tam giácABCvới điểmA(2; 7), đường thẳngABcắt trụcOytạiEsao cho−AE→=2−EB→ Biết tam giácAECcân tạiAvà có trọng tâm làG
2;13
3
Viết phương trình cạnhBC 2 Trong không gian với hệ tọa độOxyzcho hai đường thẳng:∆:x−5
13 =
y−6
1 =
z+3
4 ,∆
0:x−2
13 =
y−3
1 =
z+3
4
Gọi(α)là mặt phẳng chứa hai đường thẳng Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểmC(3;−4;−2)trên(α)
Câu VIIa. (1 điểm)
Giải phương trìnhz4+4=0trên tập số phức Phần B theo chương trình nâng cao
Câu VIb. (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxygọid0là đường thẳng qua điểmA(0; 1)và tạo với đường thẳng
d:x+2y+3=0một góc45o
Viết phương trình đường trịn có tâm nằm trênd0, tiếp xúc vớidvà có bán kính √7
5
2 Trong không gian với hệ tọa độOxyzcho tam giácABCvớiA(1; 2;−1),B(2;−1; 3)vàC(−4; 7; 5) GọiHlà trực tâm tam giác nói Viết phương trình đường thẳng quaHvà vng góc với mặt phẳng(ABC)
Câu VIIb. (1 điểm)
(9)http://www.math.vn PHẦN CHUNG (7 điểm) Cho tất thí sinh
Câu I. (2 điểm)
Cho hàm sốy=x3−3x2+ (m−6)x+m−2(mlà tham số) 1 Khảo sát vẽ đồ thị khim=9
2 Tìmmđể đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khoảng cách từ điểmA
3
2; 11
4
đến đường thẳng qua hai điểm cực trị lớn
Câu II. (2 điểm)
1 Giải phương trình sin2x+tanx+√2(1+tanx)sin 3x=1 2 Giải hệ phương trình
(
2px+y2+y+3−3√y =√x+2
y3+y2−3y−5 =3x−3√3x+2
Câu III. (1 điểm)
Tính tích phân I= Z
1
ln(3+x2)
p
x(4−x)−2 dx Câu IV. (1 điểm)
Cho hình chópS.ABCcóSA=SB=SC,ASBd=ASCd =BSCd =α nội tiếp mặt cầu bán kính bằngR, biết thể
tích khối chópS.ABCbằng
√
3
27 R
3.Tính
α
Câu V. (1 điểm)
Cho số thứca,b,cthỏa mãn0<a≤b≤cvàa 2−1
a + b2−1
b + c2−1
c =0
Tìm giá trị nhỏ biểu thức P=a+b2011+c2012
PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh làm hai phần A B
Phần A theo chương trình chuẩn
Câu VIa. (2 điểm)
1 Trong hệ tọa độ Oxy cho đường tròn(C):(x−1)2+ (y−2)2=4và hai đường thẳngd1:mx+y−m−1=0,
d2:x−my+m−1=0 Tìmmđể đường thẳngd1,d2cắt(C)tại hai điểm phân biệt cho bốn giao điểm
tạo thành tứ giác có diện tích lớn
2 Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt cầu(S):(x+1)2+ (y−1)2+ (z+1)2=16
9 điểmA
0; 0;1
Viết phương trình đường thẳng∆đi quaAvng góc với đường thẳng chứa trụcOzvà tiếp xúc với mặt cầu(S) Câu VIIa. (1 điểm)
Cho số phứczthỏa mãn|z|2−2(z+z)−2(z−z)i−9=0Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ của|z|
Phần B theo chương trình nâng cao
Câu VIb. (2 điểm)
1 Trong hệ tọa độOxycho hai đường tròn(C1):x2+y2−2x−4y+3=0,(C2):x2+y2−6x−8y+20=0 vàA(2; 2) Viết phương trình đường thẳng∆đi quaAvà cắt đường trịn(C1),(C2)tại hai điểm phân biệt
q
2−d2 1+
q
5−d2 2=
√
13 (d1,d2là khoảng cách từ tâm đường trịn(C1),(C2)đến∆)
2 Trong khơng gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt cầu(S):(x−1)2+ (y−1)2+z2=1 GọiAlà điểm tùy ý đường thẳng∆:x−1
1 =
y−1
−2 =
z−1
1 TừAvẽ tiếp tuyếnAT1,AT2,AT3đến mặt cầu(S) Tìm tọa độ điểm
Abiếtmp(T1T2T3)tạo với∆một góc30o
Câu VIIb. (1 điểm)
Cho số phứcz6=0thỏa
z3
+
z3
+ |z|3+
!2
=6Tìm giá trị lớn củaP=
z+1
(10)http://www.math.vn PHẦN CHUNG (7 điểm) Cho tất thí sinh
Câu I. (2 điểm)
Cho hàm sốy=x4−2(m+1)x2+2m+1, (Cm)(mlà tham số) 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số khim=1
2 Xác địnhm để đồ thị hàm số cho cắt trục hoành điểm phân biệt A,B,C,D có hồnh độ
x1,x2,x3,x4,(x1<x2<x3<x4)sao cho tam giácACKcó diện tích bằng4, vớiK(3;−2) Câu II. (2 điểm)
1 Giải phương trình:
2−
sinx
sinπ −2x
=4 sinx−1−
2 sinx
2 Giải hệ phương trình:
(
(x−2)(2y−1) =x3+20y−28
2(√x+2y+y) =x2+x
Câu III. (1 điểm)
Tính tích phân I= Z π
2
0
5 cosx−4 sinx
(sinx+cosx)7 dx Câu IV. (1 điểm)
Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0cạnha Trên đoạnAD0,BDlần lượt lấy điểmM,Nsao cho
AM=DN=x, (0<x<a√2) TìmxđểMNlà đoạn vng góc chung củaAD0vàBD Câu V. (1 điểm)
Cho sốa,b,c∈[0; 2]thoả mãn:a+b+c=3 Tìm giá trị lớn củaM= a
2+b2+c2
ab+bc+ca
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần A B
Phần A theo chương trình chuẩn
Câu VIa. (2 điểm)
1 Cho∆ABCcó phương trình trung tuyến xuất phát từAvà đường cao kẻ từBlần lượt là:2x−5y−1=0,
x+3y−4=0 Đường thẳngBCđi qua điểmK(4;−9) Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp∆ABC, biết
đỉnhCnằm đường thẳngd:x−y−6=0
2 Trong không gian với hệ trụcOxyz, cho(P):x+y−z+1=0, d:x−2
1 =
y−1
−1 =
z−1
−3 GọiIlà giao điểm củadvà(P)
Viết phương trình đường thẳng∆nằm trong(P), vng góc vớidvà cách điểmImột khoảng bằng3
√
2 Câu VIIa. (1 điểm)
Cho số phứczsao cho:
z+i z−3i
=1 Tìm số phứczthoả mãn điều kiện:|z+3i−2|=4 Phần B theo chương trình nâng cao
Câu VIb. (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy, cho tam giácABCbiết đường cao trung tuyến xuất phát từAlần lượt có phương trình:6x−5y−7=0;x−4y+2=0 Tính diện tích∆ABC, biết trọng tâm tam giác thuộc trục hoành đường cao xuất phát từ đỉnhBđi qua điểmE(1;−4)
2 Trong không gian toạ độOxyz, cho điểmM(2; 2; 1), đường thẳngd:x−2
2 =
y−2
1 =
z−1
2 mặt cầu (S):x2+y2+z2+4x−6y+m=0 Xác định giá trị củamđể đường thẳngdcắt mặt cầu(S)tại điểm phân biệtA,Bsao cho−→MA=5−→MB
Câu VIIb. (1 điểm)
Cho số phứczthoả mãn:
z−i z+3i
=1 Tìm số phứczsao choz+1có acgumen bằng−π
(11)http://www.math.vn PHẦN CHUNG (7 điểm) Cho tất thí sinh
Câu I. (2 điểm) Cho hàm sốy=x3+ (1−2m)x2+ (2−m)x+m+2 (1),mlà tham số 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) vớim=2
2 Tìm tham sốmđể đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳngd:x+y+7=0gócα,
biếtcosα=√1
26 Câu II. (2 điểm)
1 Giải hệ phương trình:
(
x3+7y= (x+y)2+x2y+7x+4
3x2+y2+8y+4=8x
2 Giải phương trình: 2cos
2x+2 cosx−3 sin2x
2
+4√3 sinx=0 Câu III. (1 điểm)
Tìm tích phân I=
π Z π dx
sin3x.cos5x Câu IV. (1 điểm)
Cho hình chópS.ABCcó đáyABClà tam giác vng cân đỉnhA,AB=a√2.GọiIlà trung điểm củaBC, hình chiếu vng gócHcủaSlên mặt đáy(ABC)thỏa mãn:−→IA=−2−IH→,góc giữaSCvà mặt đáy(ABC)bằng60o
Hãy tính thể tích khối chópS.ABCvà khoảng cách từ trung điểmKcủaSBtới(SAH)
Câu V. (1 điểm) Chox,y,zlà ba số thực dương thay đổi thỏa mãn: x2+y2+z2=3. Tìm giá trị lớn biểu thức: P=
√
xy
4−√xy+
√
yz
4−√yz+
√
zx
4−√zx
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần A B
Phần A theo chương trình chuẩn
Câu VIa. (2 điểm)
1 Trong hệ trục tọa độOxycho hình bình hànhABCDtâmI.BiếtA(0; 1)vàB(3; 4)thuộc Parabol (P):y=x2−2x+1,Inằm cungABcủa(P)sao cho tam giácIABcó diện tích lớn Tính toạ độ hai đỉnhCvàD
2 Trong hệ toạ độOxyzcho tam giácABCcóB(1; 4; 3), phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từAvà đường cao kẻ từClần lượt là:(d1):
x
1 =
y−1
1 =
z−7
−2 ; (d2):
x−1
−2 =
y−3
1 =
z−4
1
Tính chu vi tam giácABC
Câu VIIa. (1 điểm) Tìm phần thực phần ảo số phứczbiết rằng|z|2−12=2i(3−z) Phần B theo chương trình nâng cao
Câu VIb. (2 điểm)
1 Trong hệ trục tọa độOxycho tam giácABC BiếtA(−4; 6),C
4 3;
và tâm đường tròn nội tiếp tam giácABC
làK −2 3;
Tính toạ độ đỉnhBcủa tam giác
2 Trong hệ toạ độOxyz, cho tam giácABCbiết phương trình đường phân giácAD,trung tuyếnAMlà: (d1):
x+1
3 =
y−1
2 =
z−3
−2 ; (d2):
x
1=
y−1
1 =
z+3
2 vàC(−2; 0; 1).Tính diện tích tam giácABC Câu VIIb. (1 điểm) Trong tất số phứcz6=6thỏa mãnw=z+8i
(12)http://www.math.vn PHẦN CHUNG (7 điểm) Cho tất thí sinh
Câu I. (2 điểm)
Cho hàm sốy=x3−2x2+ (m−1)x+2m (mlà tham số) 1 Khảo sát vẽ đồ thị khim=−3
2 Tìmmđể từ điểmM(1; 2)kẻ hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số(Cm) Câu II. (2 điểm)
1 Giải phương trình tanx+tan 2x+tan 3x+tan 4x=0 2 Giải hệ phương trình
(
2x+5y=xy+2
x2+4y+21=y2+10x
Câu III. (1 điểm)
Tính tích phân: I= Z e
1
x3(1−x2) (1+2x2lnx)3 dx Câu IV. (1 điểm)
Tính tỷ số thể tích hai phần khối chóp tứ giác đềuS.ABCDđược phân chia mặt phẳng qua tâmOcủa đáy đồng thời mặt phẳng song song với mặt phẳng(SAB)
Câu V. (1 điểm)
Chứng minh với số nguyên dươngnta có ln
2−
n+1
<
n+1+
n+2+ +
n+n<ln
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần A B
Phần A theo chương trình chuẩn
Câu VIa. (2 điểm)
1 Trong hệ tọa độOxy, tìm tọa độ đỉnh lại tam giácABCnếu biết đỉnhA(2; 1), trực tâmH(−6; 3), trung điểm cạnhBClàM(2; 2)
2 Trong khơng gian với hệ tọa độOxyz, lập phương trình đường thẳngd qua điểmA(−1; 0;−1)và cắt đường thẳngd0: x−1
2 =
y−2
1 =
z+2
−1 cho góc đường thẳngd đường thẳngd 00:x−3
−1 =
y−2
2 =
z+3
2 nhỏ
nhất
Câu VIIa. (1 điểm)
Tìm số phứczthỏa mãn (z2+z−3)2+ (2z+1)2=0 Phần B theo chương trình nâng cao
Câu VIb. (2 điểm)
1 Trong hệ tọa độOxy, cho Hypebol(H): x
4 −
y2
5 =1và điểmM(3;−2) Tìm hai điểmA,Bthuộc(H)sao cho
−→
MA+−→MB=−→0
2 Trong khơng gian với hệ tọa độOxyz, lập phương trình đường thẳngdđi qua điểmA(3;−2; 1)và cắt đường thẳng
d0:x−1
1 =
y+1
2 =
z−1
−1 cho khoảng cách đường thẳngdvà đường thẳngd 00:x−1
2 =
y−2
−1 =
z+1
2 lớn
nhất
Câu VIIb. (1 điểm)
Cho số phứcz=cos2π +i.sin
2π
3 Tính giá trị biểu thức
(13)http://www.math.vn PHẦN CHUNG (7 điểm) Cho tất thí sinh
Câu I. (2 điểm) Cho hàm sốy=2x−2
x+2
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị(C)của hàm số
2 GọiIlà giao điểm hai tiệm cận Hãy tìm hai điểmA,Btrên(C)sao choIA=IBvàAIBd=120◦
Câu II. (2 điểm)
1 Giải phương trình sinx+π
+tanx+cotx=4 cot 2xtrênR
2 Giải bất phương trình (x2+4)√2x+4≤3x2+6x−4trênR
Câu III. (1 điểm) Tính tích phân I= e Z
1
x+ (1−lnx)2+1 (x+lnx)2 dx
Câu IV. (1 điểm) Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình chữ nhật vớiAB=2BC=2a Mặt bên(SAD)vng góc với đáy đồng thời tam giácSADcân tạiSvà có trực tâmH Biết khoảng cách từHđến mặt phẳng(SBC) a
√
13
26 Tính thể tích khối chópS.ABCD
Câu V. (1 điểm) Choa,b,clà số thực khơng âm thỏa mãna2+b2+c2+ab+bc+ca=6.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P=3a+4b+5c
PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh làm hai phần A B
Phần A theo chương trình chuẩn
Câu VIa. (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng hệ tọa độOxycho tam giácABCvà đường thẳng(d1): 2x−y−3=0,(d2):x−2y+1=0, (d3):x+y−2=0lần lượt chứa đường caoAH, trung tuyếnBM, đường phân giác trongCK tam giácABC Tìm tọa độ đỉnh tam giácABC
2 Trong không gian hệ tọa độOxyzcho hai mặt phẳng(P):x−2y−z=0,(Q):x+y+2z−3=0và đường thẳng (d): x
1 =
y−3
2 =
z+5
3 Lập phương trình mặt cầu(S)có tâm nằm đường thẳng(d), tiếp xúc mặt phẳng(P) cắt mặt phẳng(Q)theo giao tuyến đường trịn có bán kínhr=3
2
Câu VIIa. (1 điểm) Một học sinh A ước muốn đỗ vào đại học chưa đỗ năm năm sau thi tiếp (thi đỗ thơi) Biết xác suất để học sinh A đỗ đại học lần thi là0,2011 Hãy tìm xác suất để học sinh A thi đỗ lần thi thứ
Phần B theo chương trình nâng cao
Câu VIb. (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxycho tam giácABC có trực tâmHthuộc đường thẳng(d): 2x+y+1=0, đường trịn ngoại tiếp tam giácHBCcó phương trìnhx2+y2+4x−2y−20=0và trung điểmM(−3
2;
2)của cạnh
BC Tìm tọa độ đỉnh tam giácABC
2 Trong không gian với hệ tọa độOxyzcho đường thẳng(d):x−1
−1 =
y
−2 =
z+2
−2 hai mặt phẳng
(P):x−y+z=0,(Q):x+y+3z−10=0 Lập phương trình mặt cầu(S)bán kínhR=5, tiếp xúc với đường thẳng (d)đồng thời cắt hai mặt phẳng(P)và(Q)theo giao tuyến đường tròn lớn
(14)http://www.math.vn PHẦN CHUNG (7 điểm) Cho tất thí sinh
Câu I. (2 điểm)
Cho hàm sốy=3x−2
x+1 (C)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị(C)của hàm số cho
2 GọiIlà giao đường tiệm cận đồ thị Viết phương trình tiếp tuyếndcủa đồ thị hàm số biếtdcắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang tạiAvàBthỏa mãncosBAId=
5
√
26 Câu II. (2 điểm)
1 Giải bất phương trình: x−3 3√x+1+x+3 >
2√9−x x
2 Giải phương trình: √3(sin 2x−3 sinx) +3=2 cos2x+3 cosx−2 Câu III. (1 điểm)
Tính tích phân: I= Z π
4
0
cos 2x+2√2 sinx+π
2 sin2x+π
+2 cosx+π
4
+1 dx Câu IV. (1 điểm)
Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình chữ nhật tâmO,AB=a,BC=a√3, tam giácASOcân tạiSvà mặt phẳng(SAD)vng góc với mặt phẳng(ABCD) Biết góc giữaSDvà(ABCD)bằng60o Tính thể tích khối chóp
S.ABCDcùng khoảng cách giữaSBvàAC Câu V. (1 điểm)
Tìm số thựcmđể phương trình4x2−2mx+1=3√8x3+2xcó hai nghiệm thực phân biệt. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh làm hai phần A B
Phần A theo chương trình chuẩn
Câu VIa. (2 điểm)
1 Trên mặt phẳng tọa độOxycho điểmA(−1; 14)và đường trịn(S)tâmI(1;−5)bán kínhR=13 Viết phương trình đường thẳng∆đi quaAcắt(S)tạiM,Nmà khoảng cách từMđếnAIbằng nửa khoảng cách từNđếnAI
2 Trong không gian tọa độOxyzviết phương trình mặt cầu(S)tiếp xúc với(P): 2x+y−2z+8=0tạiA(−1;−2; 2) khoảng cách từ tâmIcủa mặt cầu đến điểmB(−2; 3; 0)bằng5
Câu VIIa. (1 điểm)
Chín học sinh gồm5nam và4nữ rủ vào rạp chiếu phim Tại đó, người soát vé yêu cầu học sinh phải xếp hàng cho khơng có bất kì2nữ đứng liền Hỏi xác suất kiện bao nhiêu?
Phần B theo chương trình nâng cao
Câu VIb. (2 điểm)
1 Trên mặt phẳngOxychod:x+2y−1=0;d0: 3x+y+7=0cắt tạiIvà điểmM(1; 2) Viết phương trình đường thẳng∆quaMcắtd,d0lần lượt tạiAvàBsao choAI=√2AB
2 Trong không gianOxyzcho (S):(x−1)2+ (y+2)2+ (z−3)2=25vàM(2;−4; 1) Trong tất đường thẳngdquaMcắt mặt cầu theo dây cungAB, viết phương trình tham số đường thẳng cắt trụcOxvà thỏa mãn độ dàiABnhỏ
Câu VIIb. (1 điểm)