TI LE THUC TC DAY TI SO BANG NHAU

Với một sự lao động nghiêm túc tôi xin trình bày một phần nhỏ kinh nghiệm soạn bài của mình nhằm giúp học sinh rèn kỹ năng giải dạng toán vận dụng tính chất của tỷ lệ thức và dãy tỷ số b[r]

HƯỚNG GIÚP HỌC SINH LỚP CHUYÊN SÂU VỀ KIẾN THỨC TỈ LỆ THỨC, TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU.

I./ MỞ ĐẦU

Thơng qua việc giải tốn phát triển tư độc lập, sáng tạo học sinh, rèn ý chí vượt qua khó khăn

Đứng trước tốn, học sinh phải có vốn kiến thức bản, vững mặt lý thuyết Có thủ pháp thuộc dạng tốn đó, từ tìm cho đường giải tốn nhanh

Để học sinh có điều trước hết phải xuất phát từ người thầy, người thầy phải đầu tư soạn theo chuyên đề dạng toán cách bản, sâu rộng, giúp học sinh :

- Nhìn nhận từ toán cụ thể thấy toán khái quát

- Từ phương pháp giải khái quát thấy cách giải tốn cụ thể - Nhìn thấy liên quan toán với

- Biết vận dụng linh hoạt lý thuyết vào giải toán

Với lao động nghiêm túc tơi xin trình bày phần nhỏ kinh nghiệm soạn nhằm giúp học sinh rèn kỹ giải dạng tốn vận dụng tính chất tỷ lệ thức dãy tỷ số đại số

II./ NỘI DUNG CHỌN ĐỀ TÀI 1 Lý thuyết

Tỷ lệ thức đẳng thức hai tỷ số * Tính chất tỷ lệ thức:

a c b d Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức

a c

b d suy a.d = b.c

Tính chất 2: Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ cho ta tỷ lệ thức: a c

b d , a b c d ,

d c b a,

d b c a Tính chất 3: Từ tỷ lệ thức

a c

b d suy tỷ lệ thức: a b c d ,

d c b a,

d b c a * Tính chất dãy tỷ lệ thức nhau:

Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức a c

b d suy tỷ lệ thức sau:

a a c a c b b d b d

 

 

Tính chất 2:

a c i

b d  j suy tỷ lệ thức sau: a c c i a c i

b b d j b d j

   

 

    , (b, d, j ≠ 0)

Tính chất 3: a, b,c tỷ lệ với 3, 5, tức ta có:

a b c

 

2 Thực tế năm trước chưa trọng việc rèn kỹ theo đề tài học sinh gặp nhiều sai sót q trình giải tốn Ví dụ em hay sai trình bày lời giải , nhầm lẫn dấu “=” với dấu “=>”

Ví dụ: 7( )d 5.3 7.3

x y x y

  

em lại dung dấu sai Hãy tìm x, y, z biết

x y z

 

x – z = Giải:

7

( )

5 S

x y z x z

    

 5 5.7

x

x

  

Ở em dùng dấu suy sai

Hay biến đổi tỷ lệ thức chậm chạp

Hiện sai sót gặp Các em giải dạng tốn tương đối thành thạo tơi phân chia thành dạng toán nhỏ

1 Toán chứng minh đẳng thức 2 Tốn tìm x, y, z,

3 Toán đố

4 Toán lập tỷ lệ thức

5 Áp dụng chứng minh bất đẳng thức

Qua việc giải tập đa dạng áp dụng tính chất tỷ lệ thức em nắm chắn tính chất tỷ lệ thức

Biến đổi từ tỷ lệ thức tỷ lệ thức linh hoạt III./ BÀI TẬP CỤ THỂ

A Loại toán chứng minh đẳng thức Bài Chứng minh : Nếu

a c

b d 

a b c d a b c d

 



  với a, b, c, d ≠ 0

Giải: Với a, b, c, d ≠ ta có: 1

a c a c a b c d

b d b d b d

 

      

a b b c d d



 

 (1)

a c a b c d a b b

b d b d c d d

  

    

 (2)

Từ (1) (2) =>

a b a b a b c d c d c d a b c d

   

  

    (ĐPCM)

Bài 2: Nếu a c b d thì: a,

5

5

a b c d

a b c d

 



 

b,

2

2 2

7

11 11

a ab c cd

a b c d

 



 

Giải: - Nhận xét điều phải chứng minh?

- Làm để xuất 5a, 5c, 3b, 3d? - Bài gợi ý cho giải 2?

a Từ

5 5 5

5 3 5

a c a b a b a c a b c d

b d c d c d b d a b c d

 

        

  (đpcm)

b

2 2 2

2 2 2

7 11

7 11

a c a b a b ab a b ab a

b d  c d  c d cd  c  d  cd  c

2 2

2 2

7 11

7 11

a ab a b

c cd c d

 



  (đpcm)

Bài 3: CMR: Nếu a2 bcthì

a b c a a b c a

 



  điều đảo lại có hay khơng?

Giải: + Ta có:

2 a b a b a b a b c a

a bc

c a c a c a a b c a

   

     

   

Ta có:

       

2

2

2

a b c a

a b c a a b c a a b c a

ac a bc ab ac a bc ab bc a

a bc

 

      

 

      

 

 

Bài 4: Cho a c

b d CMR

2

2

ac a c bd b d

 



Giải:

2 2 2

2 2 2

a c ac a c a c ac a c

b d bd b d b d bd b d

 

      

  (đpcm)

Bài 5: CMR: Nếu a c b d thì

4 4 4

4

a b a b

c d c d

 

 



 

 

 

Giải:

Ta có:  

4

4

a c a b a b a a b

b d c d c d c c d

   

      

   

Từ  

4 4

4 4

a b a b a b

c d c d c d



   



Từ (1) (2)

4 4 4

4

a b a b

c d c d

 

 

   

 

  (đpcm)

Bài 6: CMR Nếu a + c = 2b (1) 2bd = c(b+d) (2) đk: b; d≠0 a c b d Giải:

Ta có: a c 2b a c d  2bd 3 Từ (3) (2)

    c b d a c d cb cd ad cd

   

   

a c b d

 

(đpcm)

Bài 7: Cho a, b, c, d số khác nhau, khác không thỏa mãn điều kiện:

2 ;

b ac c bdvà b3 c3 d3 0

CM:

3 3

3 3

a b c a

b c d d

    

Giải: + Ta có  

2

1

a b b ac

b c

  

+ Ta có  

2 b c 2

c bd

c d

  

+ Từ (1) (2) ta có  

3 3 3

3 3 3 3

a b c a b c a b c

b c d b c d b c d

 

     

 

Mặt khác:  

3

3

a b c a a b c a b  c d  b b c d d Từ (3) (4)

3 3

3 3

a b c a

b c d d

 

 

 

Bài 8: CMR: Nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) (1)

Trong a ; b ; c số khác khác thì:       

y z z x x y

a b c b c a c a b

  

  

  

Giải: Vì a; b; c ≠0 nên chia các số (1) cho abc ta có:

     

 

a y+z y+z

2

b z x c x y z x x y

abc abc abc bc ac ab

   

    

? Nhìn vào (*) ta thấy mẫu thức cần có ab – ac ? Ta biến đổi nào?

Từ (2)

           

y+z x y z x y z x y z x y z

bc ab ac bc ab ac bc

        

   

  

     

y-z z-x x-y

a b c b c a c a b (đpcm)

Bài 9: Cho  

bz-cy cx-az ay-bx

a  b  c

CMR:

x y z

a b c

2 2 2

bz-cy abz-acy bcx-baz cay-cbx abz-acy+bcx-baz+cay-cbx

a  a  b  c  a b c 

 

x y

bz-cy = bz = cy =

c b

  

 

ay-bx = ay = bx x y

a b

   

Từ (2) (3)

x y z a b c

  

(đpcm)

Bài 10 Biết

' '

a

1 a

b b

 

và

' '

b

1

c b c  CMR: abc + a’b’c’ =

Giải: Từ  

' '

a

1 ' ' 1

a

b

ab a b b

    

Nhân hai vế (1) với c ta có: abc + a’b’c = a’bc (3) Ta có:

' '

b

1 ' ' ' (2)

c

bc b c b c b  c    

Nhân hai vế (2) với a’ ta có: a’bc + a’b’c’ = a’b’c (4)

Cộng hai vế (3) (4) ta có: abc + a’b’c + a’bc + a’b’c’ = a’bc +a’b’c => abc + a’b’c = (đpcm)

B Tốn tìm x, y, z

Bài 11 Tìm x, y, z biết: 15 20 28

x y z

 

và 2x3y 186

Giải: Giả thiết cho 2x3y 186

Làm để sử dụng hiệu giả thiết trên? Từ

2 3 186

3

15 20 28 30 60 28 30 60 28 62

x y z x y z x y z

       

 

Bài 12 Tìm x, y, z cho: 3

x y



và

y z



và 2x3y z 372

Giải: Nhận xét có giống nhau?

Đưa dạng cách nào? Đưa tử số có số chia Ta có: 15 20

x y x y

  

(chia hai vế cho 5)

5 20 28

y z y z

  

(chia hai vế cho 4)

15 20 28

x y z

  

Tương tự học sinh tự giải tiếp: x = 90; y = 120; z = 168 Bài 13 Tìm x, y, z biết 2

x y



và

y z



x + y + z = 98 Giải: Hãy nêu phương pháp giải (tìm GCNN (3;5)=?)

Học sinh nên tự giải (tương tự em gặp) ĐS: x = 20; y = 30; z = 42

Bài 14 Tìm x, y, z biết 2x = 3y = 5z (1) x + y –z = 95 (*) Cách 1: Từ 2x = 3y

x y

 

3y = 5z

y z

 

Đưa cách giải giống ba trên: cách dài dòng

Cách 2: + Nếu có tỷ lệ x, y, z tương ứng ta giải (*) + Làm để (1) cho ta (*)

+ chia hai vế (1) cho BCNN (2;3;5) = 30 2x = 3y = 5z

2 95

5

30 30 30 15 10 15 10 19

x y z x y z x y z 

        

 

=> x = 75, y = 50, z = 30 Bài 15 Tìm x, y, z biết:

 

1

1

2x3 y4z x – y = 15

Chia vế (1) cho ta có

15

12 12

x y z x y

    



=> x = 2.15 = 60; y = 5.9 = 45; z = 8.5 = 40 Bài 16 Tìm x, y, z biết:

a  

1

1

2

x y z

 

và 2x + 3y –z = 50

b  

2

2

3

x y z

 

và x + y +z = 49 Giải:

a Với giả thiết phần a ta co cách giải tương tự nào? (bài 11)

Từ (1) ta có:

   

 

2 3 2

4 4

2 50

5

9

x y z x y z

x y z

       

  

        

  

1

5 11

2

x

x



  

5 17

3

y

x



  

5 23

4

z

x



  

b ? Nêu cách giải phần b? (tương tự 15) Chia vế cho BCNN (2;3;4) = 12

2 4

3 3.12 4.12 5.12

49

18 10 15 18 16 15 49

x y z x y z

x y z x y z

    

 

     

 

=> x = 18; y = 16; z = 15 Bài 17 Tìm x; y; z biết rằng:

a

x y



xy = 54 (2) b

x y



và x2y2 4 (x, y > 0)

a

 

     

2

2 2

2

54

1

2 2 6

4.9 2.3 6

x y x x y x x xy

x x

      

      

Thay vào (2) ta có:

54

6

6

x  y  54

6

6

x  y  

b

2 2

2

4

5 25 25 16

25

4

x y x y x y

x x



     



   

2

4

y x

   

Bài 18 Tìm số a1, a2, …a9 biết:

1 a

a a

9



 

  

a1a2 a 90

Giải :

 9  

1 a a a

a 90 45

1

9 45

      

 

  

  

Từ dễ dàng suy a1; a2; …

Bài 19 Tìm x; y; z biết:

a  

1

1

y z x z x y

x y z x y z

     

  

 

Giải: Theo tính chất dãy tỷ số ta có từ (1)

 

2

1 x y z

y z y z x z x y

x x y z x y z

           

 

Nếu a + y + z ≠ :

1

2 0,5

1

2 2

1 1,5

2

2

5 2,5

6

2 3

5

3

2

x y z x y z

y z

y z x x y z x x

x

x x x z

x y z y

y

y y x y

x y z z

z

z z

     

   

          

   

 

     

   

 

          

b Tương tự em tự giải phần b Tìm x, y, z biết:

1

x y z

x y z y z  x z  x y    

Nếu x + y + z ≠ => x + y + z = 0,5 ĐS :

1 1

; ;

2 2

x y z

Nếu x + y + z = => x = y = z =

Bài 20 Tìm x biết rằng:

1

18 24

y y y

x

  

 

Giải:

   

1 8

24 18 18 24 18

1 24 24

24 18 18

18 24.2

6 6.4.2

3

y y y y y y

x x x

y y

x y x

x x

x x

      

   

  

 

    

  

  

  

    

2

x y z

 

và xyz = 810 Giải:

 

3

3

3 3

2 2 2 30

810

27 27

2 10

8.27 2.3

6

x y z x x x x y z xyz

x x

x x

          

      

 

   

 

mà

3.6

2

15

x y y z

   



Bài 22 Tìm số x1, x2, …xn-1, xn biết rằng:

1

1

n n

n n

x x

x x

a a a a

 

  

và x1x2 xn c

(a10, ,an 0;a1a2 an 0)

Giải:

1

1

1 1 2

1

n n n

n n n n

i i

n

x x x x x

x x c

a a a a a a a a a a

c a x

a a a

 

  

    

     



  

trong đó: i = 1, 2,…, n

Bài 23 Tìm số x; y; z ЄQ biết rằng: x y  : 5 z : y z  : 9y 3 :1: : Giải: Ta có:

       

5

(1)

3

5

3

x y z y z y

k

x y z y z y x y

   

   

        

   

4

4

4 2

x y k

k x y

x y k

k k k k

   

     

  

Từ (1)

5 5

9 5 10

3

5

z k z k

y k y k

x y k x k y

x y z

        

       

        

    

  

Bài 24 Tổng luỹ thừa bậc ba số -1009 Biết tỷ số số thứ số

thứ

2

3; số thứ số thứ

9 Tìm số đó?

Giải: Ta có:

     

3 3

3 3

3 3 3 3

3

1009

3

1

9 9

4 , ,

4 64 216 729 1009 1009

1

1.4

1.6

1.9

x y z

x x y x y

y

x x z x y z

z

x k y k z k

x y z k k k k k k k

k k

x y z

  

    

     

   

         

   

  

  

  

C./ TỐN ĐỐ

(ngồi dạng đơn giản sgk giáo viên soạn bổ sung thêm)

Bài 25 Có đội A; B; C có tất 130 người trồng Biết số mỗi người đội A; B; C trồng theo thứ tự 2; 3; Biết số đội trồng Hỏi đội có người trồng cây?

Giải:

+ Theo ta có:

x.2 = y.3 = 4.z (1) x + y+ z =130 BCNN (2;3;4) = 12

.2 130

10

12 12 12 6 13

60; 10; 30

x y z x y z x y z

x y z

 

       

 

  

Trả lời: Đội A; B; C có số người trồng theo thứ tự 60; 40; 30 ĐS: 60; 40; 30

Bài 26 Trường có lớp 7, biết

2

3có số học sinh lớp 7A

4số học sinh 7B và

bằng

4

5số học sinh 7C Lớp 7C có số học sinh tổng số học sinh lớp kia

là 57 bạn Tính số học sinh lớp?

Giải: Gọi số học sinh 7A; 7B; 7C x; y; z (em), x; y; z ≠0 Theo ta có:

 

2

1

3x4 y5z và x + y + z = 57

Chia (1) cho BCNN (3;4;5) = 12

57 18 16 15 18 16 15 19

x y z x y z 

    

 

=> x = 54; y = 18; z =45

Trả lời: số học sinh lớp 7A; 7B; 7C là: 54; 18; 45 ĐS: 54; 18; 45

Bài 27 Tìm ba số nguyên dương biết BCNN chúng 3150 tỷ số số thứ

nhất với số thứ

5

9, số thứ với số thứ ba 10

7 .

2

5 10

; ;

9 10

10 18

10 2.5

18

x x x y x z

y z

x y z

k

x k k

y k k

z k

    

   

  

  

 

BCNN (x;y;z)=3150 = 2.32.5.7  k =

 x=50; y = 90; z = 35

Vậy số nguyên dương x = 50; y = 90; z = 35

E./ TÍNH CHẤT CỦA TỶ LỆ THỨC ÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Tính chất 1: (Bài 3/33 GK Đ7) Cho số hữu tỷ

a b

c

d với b> 0; d >0. CM:

a c

ad bc b d   Giải:

+ Có

db cd

bd db

0;

a c

ad bc b d

b d



 

   

 

  

+ Có:

ad bc

0; bd db

ad bc a c

b d b d

 

   



  

Tính chất 2: Nếu b > 0; d > từ

a c a a c c

b d b b d d



   



(Bài 5/33 GK Đ7) Giải:

+

(1)

0;

a c

ad bc b d

b d



 

 

 

   thêm vào vế (1) với ab ta có:

     2

ad ab bc ab

a a c a b d c b d

b b d

   



    



 

     

1

3

ad dc bc dc d a c c b d

a c c b d d

   

   



 



+ Từ (2) (3) ta có: Từ

a c a a c c

b d b b d d



   

 (đpcm)

Tính chất 3: a; b; c số dương nên a, Nếu

a

b  thì

a a c b b c

 



b, Nếu a

b  thì

a a c b b c

 



Bài 30 Cho a; b; c; d > 0.

CMR:

a b c d

a b c b c d c d a d a b

    

       

Giải:

+ Từ

a

a b c   theo tính chất (3) ta có:  1

a d a

a b c d a b c





     (do d>0)

Mặt khác:  2

a a

a b c  a b c d  

+ Từ (1) (2) ta có:  3

a a a d

a b c d a b c a b c d



 

       

Tương tự ta có:

 4

b b b a

a b c d b c d a b c d



 

       

 5

c c c b

a b c d c d a c d a b



 

       

 6 d+a+b+c

d d d c

d a b a b c d



 

    

Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo vế được:

1 a b c d

a b c b c d c d a d a b

    

Bài 31 Cho a c

b d và b d; 0CMR: 2

a ab cd c

b b d d



 



Giải: Ta có

a c

bd và b d; 0nên 2

d.d

a b c d ab cd b b   b d

Theo tính chất (2) ta có: 2 2 2 ab ab cd cd a ab cd c

b b d d b b d d

 

    

  (đpcm)

Email:info@123doc.org

http://huynhvumt.violet.vn