Lý thuyết nhiễu loạn và một số ứng dụng, chuyên ngành

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM THỊ THANH HUYỀN LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ Xuân Hòa, năm 2016 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tơi xin gửi lời cảm ơn lịng biết ơn sâu sắc tới TS - Trần Thái Hoa – Người thầy tận tình bảo, hướng dẫn, giúp đỡ tôi, cung cấp cho kiến thức tảng người trực tiếp hướng dẫn hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo phịng sau đại học, thầy giáo khoa Vật lí Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, giáo sư tiến sĩ trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho kiến thức quý báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học hai năm học tạo tiền đề cho tơi hồn thành luận văn Cuối tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình, bạn bè động viên giúp đỡ thời gian vừa qua Mặc dù có nhiều cố gắng để hồn thành, thời gian nghiên cứu có hạn nên luận văn tơi khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến bảo, ý kiến đóng góp thầy giáo, bạn học viên người quan tâm đến đề tài Hà Nội, tháng năm 2016 Học viên Phạm Thị Thanh Huyền LỜI CAM ĐOAN Tên là: Phạm Thị Thanh Huyền học viên lớp cao học K18-chuyên ngành Vật lí lý thuyết vật lí tốn, khoa Vật lí Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Tôi xin cam đoan đề tài: “ Lý thuyết nhiễu loạn số ứng dụng”, kết nghiên cứu riêng tôi, đề tài không trùng với kết tác giả khác Nếu có khơng trung thực tơi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học Hà Nội, tháng năm 2016 Học viên Phạm Thị Thanh Huyền MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Mở đầu Chương Lý thuyết nhiễu loạn dừng 1.1 Mở đầu 1.2 Nhiễu loạn dừng khơng có suy biến 1.2.1 Khi λ = 1.2.2 Khi λ nhỏ 1.3 Nhiễu loạn có suy biến 1.3.1 Sự giảm suy biến có nhiễu loạn 1.3.2 Việc khử suy biến 1.4 Các bổ cho lượng hàm sóng 1.4.1 Bổ bậc cho lượng hàm sóng 1.4.2 Bổ bậc cho lượng hàm sóng 11 1.4.3 Bổ bậc cho lượng 14 Chương Một số toán ứng dụng lý thuyết nhiễu loạn 15 2.1 Hiệu chỉnh cho lượng trạng thái dao động tử điều hòa 15 2.2 Năng lượng hàm sóng hạt phép gần bậc hạt chuyển động trường xuyên tâm 22 2.3 Năng lượng hiệu chỉnh đến bậc hạt có khối lượng giếng vng góc chiều 24 Chương Một số ứng dụng lý thuyết nhiễu loạn lý thuyết chất rắn 28 3.1 Gần liên kết yếu 3.1.1 28 Mở đầu 28 3.1.2 Trường hợp không suy biến 30 3.1.3 Trường hợp có suy biến 35 3.2 Lý thuyết BCS 38 3.2.1 Mở đầu 38 3.2.2 Khe lượng T = 00 K 45 3.3.3 Tính lượng bậc 47 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong học lượng việc giải phương trình Schodinger để tìm lượng hàm sóng ngun tắc ta hồn tồn tìm Tuy nhiên thực tế với nhiều trường hợp việc giải phương trình gặp nhiều khó khăn giải phức tạp Vì người ta tìm nghiệm phương trình Schodinger phương pháp gần Ta biết trạng thái dừng hệ mô tả nghiệm phương trình Schodinger dừng: ∧ H Ψ = EΨ (1) Đối với số trường hợp đơn giản ( trường colomb, trường đàn hồi, trường điện từ đều, .) tương ứng với hệ lý tưởng hóa phương trình (1) cho nghiệm xác Nhưng nghiên cứu hệ thực nói chung phương trình (1) khơng cho nghiệm xác Bởi phải đưa vào phương pháp tính gần hàm riêng trị riêng ∧ toán tử H phương trình (1) Một phương pháp tính gần dựa vào nghiệm xác hệ lý tưởng hóa, hiệu chỉnh nghiệm để nghiệm gần hệ thực, điều kiện mà hệ thực coi không khác nhiều so với hệ lý tưởng Phương pháp tính hiệu chỉnh thế, điều kiện đặt gọi lý thuyết nhiễu loạn Lý thuyết nhiễu loạn có nhiều ứng dụng việc giải số toán học lượng tử, bên cạnh lý thuyết nhiễu loạn sử dụng số vấn đề chất rắn siêu dẫn Vậy cụ thể lý thuyết nhiễu loạn gì? Và ứng dụng cụ thể vấn đề nêu nào? Từ câu hỏi mà chọn đề tài: “ Lý thuyết nhiễu loạn số ứng dụng” làm luận văn tốt nghiệp Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Xây dựng lại lý thuyết nhiễu loạn - Tìm hiểu số ứng dụng lý thuyết nhiễu loạn học lượng tử lý thuyết chất rắn Đối tượng nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu lý thuyết nhiễu loạn số ứng dụng lý thuyết nhiễu loạn học lượng tử lý thuyết chất rắn Phương pháp nghiên cứu - Đọc tài liệu liên quan - Sử dụng phương pháp toán lý vật lý lý thuyết - Sử dụng giải tích tốn học Kết cấu đề tài - Đề tài: “ Lý thuyết nhiễu loạn số ứng dụng” có kết cấu gồm phần: Mở đầu, nội dung kết luận - Phần nội dung chia làm chương: + Chương 1: Lý thuyết nhiễu loạn dừng + Chương 2: Một số toán ứng dụng lý thuyết nhiễu loạn + Chương 3: Một số ứng dụng lý thuyết nhiễu loạn lý thuyết chất rắn Những đóng góp khoa học, thực tiễn đề tài - Xây dựng bổ cấp cách ngắn gọn dễ dàng - Ứng dụng vào thực tiễn việc giải toán học lượng tử Chương 1: Lý thuyết nhiễu loạn dừng 1.1 Mở đầu Ta đặt điều kiện hạn chế cho toán nhiễu loạn Trước hết ta xét lý thuyết nhiễu loạn cho tốn có phổ gián đoạn HΨl = EΨl (1.1) với l = 1, 2, Giả sử tốn tử H tách làm thành phần: H = H0 + V (1.2) Trong H0 tốn tử Hamilton tốn lý tưởng hóa Và V gọi tốn tử nhiễu loạn Gọi V nhỏ, để biểu diễn điều ta đặt: V = λW (1.3) Với λ thông số nhỏ, không thứ nguyên Mặt khác, giả sử biết nghiệm El0 ϕl (l=1,2,3 ) phương trình cho hàm riêng trị riêng toán tử H0 H0 ϕl = El ϕl (1.4) với l = 1, 2, 3, Và giả thuyết ϕl trực chuẩn: ϕl ∗ ϕl dq = δll (1.5) với l, l = 1, 2, Với điều kiện hạn chế đó, việc giải phương trình: Hϕ = Eϕ quy việc giải phương trình sau để tìm El Ψl H0 + λW Ψl = El Ψl (1.6) Nói khác hiệu chỉnh cho El ϕl (l=1,2,3, ) để sau hiệu chỉnh El ϕl cho (1.1), (1.4) hay (1.6) Khi ta xét tốn nhiễu loạn dừng có trường hợp xảy ra: + Trường hợp tốn lí tưởng khơng có suy biến + Trường hợp tốn lí tưởng có suy biến Để hiểu rõ ta vào trường hợp cụ thể: 1.2 Nhiễu loạn dừng khơng có suy biến Trường hợp mức lượng lí tưởng hệ khơng bị suy biến Chúng ta nghiên cứu trường hợp mức lượng E0l (l=1,2,3, ) hệ lý tưởng không bị suy biến, nghĩa với giá trị lượng E0l (l=1,2,3, ) có hàm riêng ϕl xem xét mức E0 l thay đổi có nhiễu loạn Giả sử sau hiệu chỉnh cho E0 l ϕl ta lượng El hàm sóng Ψl nghiệm (1.6) ∧ Lấy hệ hàm riêng {ϕ1 , ϕ2 , } H0 làm sở khai triển: Ψl = C n ϕn (1.7) n Như việc tìm Ψl đưa việc tìm Cn (n=1,2,3, ) tức hàm sóng E0 - biểu diễn Thay (1.7) vào (1.6) ta được: H0 + λW Cn ϕn = El n C n ϕl n ⇔ Cn H0 + λW ϕl = El n C n ϕn n với n=1,2,3, Nhân ϕ∗ m vào bên trái vế lấy tích phân theo biến số khơng gian ta có : ϕ∗m ⇔ n ⇔ n ∧ ∧ ϕ∗m El Cn H + λ W ϕn dq = n Cn E0n ϕ∗m ϕn dq + Cn E0n δmn + λ n ∧ ϕ∗m Wϕm dq = El n n λϕ∗m Wϕn dq = El Cn Cn C n ϕn ∧ Cn n ϕ∗m ϕn dq Cn δmn n Cn δmn = Cm Mà n ⇒ Cm E0m + λ ⇒ El − E0m ϕ∗m W ϕn dq = El Cm Cn n (1.8) Cm = λ Cn Wmn n Với ϕ∗m W ϕn dq Wmn = (1.9) Wmn phần tử ma trận (m, n) ma trận (W) toán tử nhiễu loạn W E0 -biểu diễn 1.2.1 Khi λ = Ta có λW = phương trình (1.6) trở phương trình (1.4) H = H0 , Ψl = Ψ0l = ϕl Từ (1.8) El − E0m Cm = (1.10) với m, l = 1, 2, 3, Nghiệm (1.10) là:   Cm = δml  E = E0 l l (1.11) 39 Hamiltonian electron lúc viết dạng: H= |εk | (1 − nkσ ) + HCoul + εk nkσ + k>kF + kkF |εk | bk b∗k k