ngoaïi tieáp , ñöôøng troøn noäi tieáp , ñöôøng troøn baøng tieáp ta coù theå tính ñoä daøi caùc caïnh , ñöôøng cao cuûa tam giaùc , chöùng minh caùc ñieåm thaúng haøng , chöùng minh sö[r]
(1)CHUÛ đề : Ngày sọan: 06/9/2010 Các dạng tốn CAấN BẬC HAI
I/ Mơc tiªu:
+ HS nắm đợc kiến thức thức bậc hai cách có hệ thống
`+ Biết tổng hợp kỷ có tính tốn, biến đổi biểu thức số, phân tích đa thức thành nhân tử, giải phơng trình
II/ Thêi l ỵng:
buổi
III/ Tiến trình dạy Hoc:
1- K iÕn thøc cÇn nhí:: a Căn bậc hai.
Căn bậc hai số a không âm số x cho x2 = a Khi ta kí hiệu: x = √a
Ví dụ 1: - √9 = 3, 32 = 9; √ 25=
2 5vì
2
2 5=
4 25 ; …
Số a > có hai bậc hai √a>0và -√a< Ta nói √a căn bậc hai
số học số không âm a Số a < bậc hai
Số a = có bậc hai
Nếu 0≤ a ≤bthì√a ≤√b , dấu đẳng thức xảy Đảo lại, √a ≤√bthì 0≤ a ≤b
b Căn thức bậc hai đẳng thức √A2=|A| .
Dưới dấu chứa số, chứa dấu khác, với phép toán số học, ta nói căn thức Ví dụ √ax+2b
√2 Khi
ta nói ax+2b
√2 biểu thức dấu căn
Ta có √A2
=|A| , điều với số thực A, với biểu thức A, miễn biểu thức có nghĩa Như :
√A2=Anếu A≥0 √A2=− Anếu A <
c Các tính chất.
Tính chất1: Nếu a b √a.√b=√a.b
Chứng minh:
Đặt M = √a.√b ; N=√a.b , ta có:
M2 = (√a.√b)(√a.√b)=√a.√a.√b.√b.=ab
N2 =
√a.b.√a.b=a.b
Neân suy M2 = N2 Mà M N số không âm nên ta có M = N, suy ra
điều phải chứng minh
Tính chất 2: √ab=√a
√b ; a 0, b >
(2)-Chứng minh: Tương tự Chú ý:
a) Nói chung ta không có: √a+b=√a+√b ;√a −b=√a −√b
Ví dụ: √4+9=√13,nh ưng √4+√9=2+3=5
√16−9=√7 nh ưng √16−√9=4−3=1
b) Trong tính chất hai nói trên, giả sử a b < Lúc ta viết: √a
b=
√− a
√− b
Tính chất 3: ( Đưa thừa số ngồi dấu ) √A2.B=|A|.√B ( B 0)
Tính chất 4: ( Đưa thừa số vào dấu căn) A √B=√A2B (A 0, B )
A √B=−√A2B ( A < 0, B 0)
Tính chất 5: ( Trục thức mẫu) √ABB2 =√
AB
|B| (A 0, B > 0) A
√B= A√B
B
1 √A ±√B=
√A∓√B A − B
( B > 0)
Chú ý: √A −√B(√A+√B) gọi lương liên hiệp √A+√B(√A −√B) ,
vì ta có
B
√A∓√¿ ¿
(√A ±√B)¿
Tổng quát: X gọi lượng liên hiệp biểu thức Y có chứa thức, XY khơng cịn dấu
Thông thường, việc nhân chia tử mẫu phân thức cho lượng liên hiệp khiến cho biểu thức gọn gàng Chính vậy, kinh nghiệm cho thấy rằng, gặp tốn địi hỏi phải đơn giản hoặc tính biểu thức chứa thức mẫu, việc đầu tiên, ta nghĩ đến lượng liên hiệp
Chú ý: Trong thực hành tính tốn, ta cần rút gọn biểu thức chứa thức phức tạp, cần phải chứng minh đẳng thức biến đổi Khi ta cần biết khơn kh vận dụng tổnghợp tính chất để biến đổi Điều có kinh nghiệm kỷ tính tốn, ta quen dần tóan từ đơn giản đến phức tạp
2
B µi tËp:
B
µi : Trong số sau số bậc hai số học 9:
−3¿2 ¿
−3¿2 ¿ ¿ ¿
√¿
(3)Căn bậc hai số học là: −3¿
2
¿ ¿
Bài 2: Trong số sau, số có bậc hai? 3; 5 ; 1,2; √6 ; -4; 0; −1
4
G iải:
Những số có bậc hai lµ:
3; √5 ; 1,2; √6 ; -4;
Bµi 3:
Tìm khẳng định câu khẳng định sau: a Căn bc hai ca 0,36 l 0,6
b Căn bậc hai cđa 0,36 lµ 0,06 c √0,36 =0,6
d Căn bậc hai 0,36 0,6 -0,6
e √0,36 = ± 0,6
Gi¶i:
a b sai c d e
Bµi 4:
a x2 = 2( Hớng dẫn: x2=2 => x bậc hai cña 2) b x2 = c x2 = 3,5
d x2 = 4,12
Gi¶i:
a x2 = =>x1,2 ± 1,414 b x2 = =>x1,2 ± 1732 c x2 = 3,5=>x1,2 ± 1,871 d x2 = 4,12=>x1,2 ± 2,030
Bµi 5:
Giải
Diện tích Hình chữ nhật là: 3,5 x 14 = 49 (m2) Gọi cạnh hình vuông x (m)
ĐK:x>0
ta cú: x2=49 x= ± x>0 nên x=7 nhận đợc Vậy cạnh hình vng 7m
Bµi 6: So sánh √47
Giải Ta có 7=√49>√47,do 7>√47
Bµi 7:TÝnh
a 0,1¿
2
¿
√¿ =
|(0,1)| = 0,1 b −0,3¿
2
¿
√¿ =
|−0,3| = 0,3 c - −1,3¿
2
¿
√¿ = -
|−1,3| = -1,3 d -0,4 −0,4¿
2
¿
√¿ = -0,4
|−0,4| = -0,4.0,4=0,16
(4)e 1−√3¿
2
Bài 8: Với giá trị a thức sau có nghÜa:
a a3 b √−5a c √4− a d √3a+7
Gi¶i: a a
3 cã nghÜa
a
3 a
b √−5a cã nghÜa -5a a c √4− a cã nghÜa 4-a a d √3a+7 cã nghĩa 3a +7 a 73
Bài 9: Tìm x để thức sau có nghĩa:
a) √−3x+4; b) √
−2+x ; c) √a
+x2 d) √
−1+x e) √1+x
2 g)
√(x −1)(x −3)
h) √x −x +3
Giải a) Ta phải có: -3x + hay x 43 b) Căn thức √−21
+x có nghóa
1
−2+x>0⇔−2+x>0⇔x>2
c) Căn thức √a2+x2 ln có nghĩa biểu thức dấu ln khơng
âm
d) √
−1+x cã nghÜa
−1+x>0
Cã 1>0 =>-1+x >0=> x>1
e) √1+x2 cã nghÜa víi mäi x v× x2 víi mäi x=> x2 + 1 1 víi mäi x g) √(x −1)(x −3) cã nghÜa (x-1)(x-3)
x-1 hc x-1 x-3 x-3
* x-1 x x x-3 x
* x-1 x x x-3 x
VËy √(x −1)(x −3) cã nghÜa x hc x
h) √x −2 cã nghÜa x −2
(5)
x-2 hc x-2 x+3>0 x+3<0
* x-2 x x x+3 < x <-
* x-2 x x<-3 x+3<0 x<-3
VËy √x −2
x+3 cã nghÜa x hc x<-3 Bµi 10: Giải phương trình
a) −2x+1¿
2
¿ ¿
√¿
b) x2- 5=0
c) x2−2√11x+11=0
Gi¶i:
a) Ta coù: −2x+1¿
2
¿ ¿
√¿
suy x = -1
Lời giải sót nghiệm, lời giải sau:
Ta coù:
−2x+1¿2 ¿
−2x+1 khix≤1
2 2x −1 x>1
2
¿
√¿
Với x 12 , ta có -2x + = 3, suy x = -1 Với x > 12 , ta có 2x – = 3, suy x =
b) x2- 5=0 (x- √5 0(x+√5)=0 x- √5=0 hc x=- √5 x= √5 hc x=-5
Phơng trình có nghịêm x1,2= 5
c) x2−2√11x+11=0 ( x −√11 =0) x= 11 Phơng trình có nghịêm x= 11
Bài 11: Rút gọn biểu thức sau a √a2
−5a víi a<0 b √25a2
+3a víi a
c √9a4
+3a2
d √4a6−3a3 víi a<0
Gi¶i:
(6)-b -b √25a2
+3a víi a = 5a¿
2
+3a
¿
√¿
= |5a|+3a=5a+3a (v×5a )=8a
c √9a4
+3a2 = 3a2+ 3a2 =6a2
d √4a6
−3a3 víi a<0 =
2a3¿2 ¿ ¿
√¿
= 5|2a3|3a3
=10a33a3 (vì 2a3<0)=-13a3 Bài 12: : Tính: √20.√50;√3a.√27a ;√36 100 0,25;√81a2
Giải
√20.√50=√20 50=√100 10=10√10
√3a.√27a=√3a 27a=√81a2=9|a|
√36 100 0,25=√36 √100 √0,25=6 10 0,5=30
√81a2
=√81.√a2
=9|a|
Bµi 13: TÝnh √25
9 =√ 25 √9 =
5 3;√
121 225=√
121 √225=
11 25 ;√
16a2
81 =√ 16a2
√81 = 4|a|
9
a2b¿2 ¿
28¿
√28a4b2=√¿
- 0,05
0,05¿2 28800 ¿ ¿
√28800=−√¿
Bµi 14: Trục thức mẫu A = √2+√13−√6
Giaû i
6 √2+√3−√¿
¿
√6¿2 ¿ ¿√2+√3+√6
2√6−1 √2+√3¿2−¿
¿
(√2+√3−√6)¿ ¿
A=
√2+√3−√6.=
√2+√3+√6
¿
Bµi 15: Tính M = 10a2 - √10a + với a = √2
5+√
Giaûi
M = ( √10a -2)2 Thay giá trị a vào biểu thứcnày M =
√4+√25−2¿2=25 [√10(√2
5+√ 2)−2]
2
=(√20
5 +√ 50
2 −2)
=¿
Bµi 16: Cho bểu thức B=5+√5
5−√5+ 5−√5
(7)Giaûi
Ta coù:
5−√5¿2−(5−√5)(5+√5).√10
¿
¿(5−√5)(5+√5)
5+√5¿2+¿ ¿ ¿
B=5+√5
5−√5+ 5−√5
5+√5 −√10=¿
Vì < √10 nên - √10 < Vaäy B <
Kiểm tra chủ đề 2
-Bài tốn 1: Tìm giá trị a để bậc hai sau có nghĩa: a) 5a a f)
2
2 5 a a >
2
b)
a
a g) a22 a R
c) 8a a h) a2 2a1 = ( 1)a 2 a R
d) 1 a a I) a2 4a7 = (a 2) 32 a R
e) 4 a a
3
Bài tốn 2: Thực phép tính:
1 18 - 50 + = 9.2 - 25.2 + 4.2 = 15 2 - 5 2 + 2 = (5 – 15 + 2) 2 = 12
2 (2 6 + 5)(2 6 - 5) = (2 6)2 – ( 5)2 = 4.6 – = 19
3 ( 20 - 3 10 + 5) 5 + 15 2 = 100 - 3 50 + + 15
= 10 – 3.5 2 + + 15 = 15 - 15 2 + 15 2 = 15
7
7
=
7 7
5 27
4 +
15 10 - 3
16 =
5.3
2 + -
3.4 3=
15
(8)CHUÛ đề : Ngày sọan: 30/9/2009 Các dạng tốn CAấN BẬC HAI
A.
Mục tiêu :
* Sau học xong chủ đề Hs có khả :
- Biết tìm điều kiện xác định thức bậc hai - Biết cộng trừ bậc hai đồng dạng
- Biết biết biến đổi đơn giản, rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai - Biết chứng minh đẳng thức, giải phương trình có chứa thức số dạng toán liên quan
II/ Thêi l ỵng :
tiÕt III/ Tiến trình dạy học:
1- K iến thức cÇn nhí::
a Căn bậc ba.
Căn bậc ba số a số x cho x3 = a, ký hiệu x =
√a Ta
thừa nhận kết quả: Mọi số thực có bậc ba tương ứng Ví dụ:
√27=3;√3−27=−3
Ta công nhận tính chất sau: 4.1 Nếu a < b
√a<√3b 4.2 Với a, b ta có:
√a.√3b=√3a.b 4.3 Với a, b b 0, ta có: √33a
√b=
3
√a b 2, Bµi tËp
Bµi 1: Chứng minh:
a −b=(√3a −3
√b)(√3a2+√3a.b+√3 b)
a+b=(√3 a+√3b)(√3a2−√3a.b+√3b)
Hướng dẫn: Sử dụng đẳng thức A3 – B3 = (A –B)( A2 + AB +B2)
A3 + B3 = (A + B)( A2 – AB + B2)
Và tính chất 2, A =
√a vaø B = √3b
Theo chuự yự ụỷ (chủ đề 2)trẽn, X ủửụùc gói laứ lửụùng liẽn hieọp cuỷa bieồu thửực Y coự
chứa thức, XY khơng cịn dấu Từ đó, theo ví dụ trên, lượng liên nhiệp
√x −√3a laø ( √3 x2+√3ax+√3a2¿
Bµi 2: Trục thức mẫu cho biểu thức x
2
+2
3
(9)Giải Ta có: 3x2+2
√x+1 =
(x2+2)(√3x2−√3x+1)
x+1
Bµi 3:: Tính A=(√32−1+√33−2+153−√3).√31+5
Giải
Trục thức mẫu phân thức ta có: A=( 2(√3+1)
(√3−1)(√3+1)+
3(√3+2) (√3+2)(√3−2)+
15(3+√3)
(3−√3)(3+√3))
1 √3+5
3 3+√¿
¿
15(¿
6¿) 5+√3 2(√3+1)
2 +
3(√3+2)
−1 +¿=(√3+1−3√3−6+ 15
2 + 5√3
2 ) 5+√3
¿ ¿ ¿ ¿
Bài 4: Cho biết trước 4225, 3249, 15876 bình phương số tự nhiên ( Những số gọi số phương ) Em tính thật nhanh số
√4225;√3249;√15876 mà không dùng máy tính
Gi¶i
Ta có 602 = 3600 < 4225 < 4900 = 702.
Như 60 < √4225 < 70 Mặt khác, số từ đến 9, có số
làcó bình phương tận Do đó, có số 65 Thử lại thấy Vậy √4225 = 65
Tương tự: 552 = 3025 < 3249 < 3600 = 602 Chỉ có số có tận bằng
9 bình phương Vaäy
√3249 = 57
Bài 5: Chứng minh với a > 0, a 1, ta có: (11− a− √a
√a +√a)(
1−√a
1−a )
2
=1
Gi¶i
với a > 0, a 1, ta có:
(10)
1−√a¿2 ¿
1− a¿2 ¿
a
1−√¿ ¿
1− a¿2 ¿ ¿ ¿
1− a¿2 ¿
1− a¿2 ¿ ¿ ¿
(1−a√a+√a− a)¿ ¿
¿ ¿
(1− a√a
1−√a +√a)(
1−√a
1−a )
2
=1− a√a+√a(1−√a)
1−√a ¿
Bài 6: Cho biểu thức N=
√x −√y:(
√x
√x3+√x2y
+ √y
√xy2−√yx2)
Với x > 0; y x y Rút gọn biểu thức N
Gi¶i
Với x > 0; y x y biểu thức N xác định
N=
√x −√y:(
√x
√x3+√x2y
+ √y
√xy2−√yx2)= √x −√y:(
√x
√x(√x2+√xy)
+ √y
√y(√xy−√x2))
=¿
√x −√y:(
1
√x(√x+√y)+
1
√x(√y −√x))=
1 √x −√y:(
√y −√x+√x+√y
√x(√x+√y)(√y −√x))=
√x+√y
2
Bài 7: Thực phép tính:
(3+2√3 √3 +
2+√2 √2+1)−(1 :
1 √2+√3)
Gi¶i
Ta có: (3+2√3
√3 + 2+√2 √2+1)−(1 :
1 √2+√3)=[
√3(√3+2)
√3 +
√2(√2+1)
(√2+1) ]−(√3+√2)= =2
Bài 8: Tính giá trị biểu thức sau với x = 8:
A=√x
+4x+4 x2−16 (x
2−8x +16)
Gi¶i
Với x = x2 - 16 khác nên biểu thức cho xác định x = 8.Ta có:
x+2¿2 ¿
x −4¿2=|x+2|(x −4)
x+4 = =3
1
¿
√¿
A=√x
2
+4x+4
x2−16 (x 2−8x
(11)Bài 9: Cho biểu thức P=( 2√x
√x+3+
√x
√x −3− 3x+3
x −9 ):(
2√x −2
√x −3 −1) Với x
x
a) Rút gọn P
b) Tính x để P < 13
c) Tìm giá trị bé P
Gi¶i
a) Rút gọn ta : P= −3
√x+3
b) P<−1
3⇔
−3 √x+3<−
1
3⇔9>√x+3⇔√x<6⇔0≤ x ≤39 vaø x≠9
c) Do P < nên P nhỏ
√x+3 lớn
Vaäy Min P = -1 Khi x = Bài 10: So sánh:
√6 √35
Gi¶i
Ta có: 53
√6=√353.6=√330 25 63
√5=√363 5=√330 36 Do 63
√5>5√3 Bài 11:Chứng minh đẳng thức :
a
2 3 +
2
7 3 = 28 Biến đổi vế trái ta có:
VT =
2(7 2(7 3) (7 3)(7 3)
=
14 14 28 49 48
= VP
Vậy đẳng thức chứng minh b 3 5 =
5
C1 : Bình phương vế C2 : Biến đổi vế trái ta có:
VT = 3 5 =
6
=
2
( 1) = VP Vậy đẳng thức chứng minh
c 2 3 + 2 3 C1 : Bình phương vế C2 : Biến đổi vế trái ta có:
VT =
4
+
4
=
2
( 1)
+
2
( 1) = + =
2 = 6 = VP
Vậy đẳng thức chứng minh
(12)-d)
x x y y x y x y
+ y
x y -
xy x y
, x y x y
Biến đổi vế trái ta có:
VT =
2
x x y y y x y xy x y x y x y
=
2
x x y y x y y y x y y x x y x y
=
( )
( )( )
x x y x y y y
x y x y
=
( ) ( )
( )( )
x x y y x y
x y x y
=
( )( )
1
( )( )
x y x y
x y x y
= VP
Vậy đẳng thức chứng minh Bài 12: Giải phương trình
a) x1 = (ñk: x 1) ( x1)2 = 22
x – =
x = ( Thoả đk)
Vậy, nghiệm phương trình là: x = b) 4x = x9 (ñk: 4x x 0) ( 4x)2 = ( x9)2
x = x + 3x =
x = ( Thoả đk)
Vậy, nghiệm phương trình là: x = c) (4x2 4x1)2 = 3
(2x1)2 = 2x1 =
2 3
x x 2 x x x x
Vậy, nghiệm phương trình là: x x
d) x + = x2
(ñk: x + x - 1) x = x +
1 x x x x x x
x =
1
( thoả đk) Vậy, nghiệm phương trình là: x =
1
(13)e)
3 x
x
Bài 13: Tính giá trị biểu thức:
A = 15a2 8a 15 16 Với a =
3
5 Giải:
Ta có: a =
3
5 3 => a 15 = + = 8
A = (a 15 4) = a 15 4 Thay a 15 =8 vào A ta được: A = 4 = 4
Bài14: Cho A =
17
x x
a) Tìm điều kiện x để A có nghĩa b) Rút gọn A, tìm giá trị lớn A c) Tính A x = 27 - 10
Giải: a) A có nghóa <=>
8 x
x
<=>
8 17 x x
( vì: x - = <=> x = <=> x – = <=> x = 17
b) A =
(17 )( 3) ( 3)( 3)
x x
x x
= 2
(17 )( 3) ( 8)
x x
x
=
(17 )( 3)
x x
x
= x 3
Vì: x 0 Nên A = x 3 -3
A = - x – = <=> x = Vaäy AMax = - <=> x =
c) Khi x = 27 - 10 thì:
A = 27 10 3 = 19 10 3 = (10 3)
= 10 3 = - ( 10- 3) – (Vì : 10 > 3) = - 10
3 Cho a = 19 3 ; b = 19 3 CMR a + b số nguyên:
Giải:
(14)-Vì a + b > Nên a + b = số nguyên Bài15: Rút gọn
a
1 3 5 -
1
3 5 =
3 (3 5)
(3 5)(3 5)
= 2
2 ( 5) =
5 b 7 + 7 = 2
( 3) ( 3)
( 3)( 3)
=
7 21 21 c
2 10 15
1
=
2(1 5) 3(1 5)
1
=
( 3)(1 5)
1
= 2
d
3
2
1
=
3( 1) 3( 1)
2
1
= (2 3)(2 3) = 2 ( 3) 12 2
e
6
2
+
6
2
=
6
2 (2 2)
+
6
2 (2 2)
=
6 2 2
+
6 2 2
= (2 2) 2(2 2) + (2 2) 2(2 2) = 2 + 2
= 2
Kiểm tra chủ đề 3
Bài 1: Tính: √4 25 0,36 ; √49a2 ; √
16 ; √80
√5 ;
√75a
√3a (a>0) ; √4a2
121
Bài 2: Tìm hai số a, b cho: √a+b=√a+√b ;√a −b=√a −√b Bài 3: Tính:
√2+1¿2 ¿
A=(
√5−√2−
√5+√2+1)
¿
Bài 4: Tính: √7+2√10−√7−2√10
Bài 5: Tính: A = (1+√2+√3)(1+√2−√3) ; B=a b
b :
b a+b Đáp ¸n
Bµi 1: 6; a ;
3
4; 4; 5;
(15)Bài 3: Ta có:
√2+1¿2 ¿
A=√5+√2−(√5−√2)+(√5+√2)(√5−√2) (√5+√2)(√5−√2)
1
¿
= …=
=
√2+1¿2 ¿
√2+1¿2 ¿
√2+1¿2 ¿ ¿ ¿ ¿
3+2√2
3
1
¿
Bài 4: Ta có:
√5+√2¿2 ¿
√5−√2¿2 ¿ ¿ ¿
√7+2√10−√7−2√10=√¿
Ngy 22/10/2009 Ch 4:
Các dạng toán
về hệ thức lợng tam giác vuông
I Mơc tiªu.
- Củng cố hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông.- Củng cố hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông
- Biết vận dụng hệ thức để làm tập, ứng dụng hệ thức vào thực tế để tính tốn
- Rèn cho học sinh có kỹ tính toán xác II/ Thời l ợng :
tiÕt
(16)-III TiÕn trình dạy - học.
1- K iến thức cÇn nhí::
* Hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông:
+ b2 = ab’ c2 = ac’, + h2 = b’c’ + a.h = b.c
+ 2
1 1
h a b
* HÖ thức cạnh góc tam giác vuông: b = a.SinB = a.CosC
c = a.SinC = a.CosB b= c.TgB= c.CotgC c = b.TgC = b.CotgB
- Nếu biết góc nhọn góc lại lµ 900 - α
- Nếu biết cạnh tìm tỉ số LG góc ⇒ Tìm góc cách tra bảng
- Dùng hệ thức cạnh góc tam giác vu«n - Tõ hƯ thøc :
b = a.SinB = a CosC ⇒ a = b
SinB =
b
CosC C = a SinC = a CosB
⇒ a = C SinC =
C
CosB 2.Bµi tËp
Bµi 1: TÝnh x y hình vẽ
Giải.
Trong tam giác vuông ABC ta có:
AH2 = BH.HC ( Theo định lý ) 22 = 1.x x = 4.
AC2 = AH2 + HC2 ( Theo định lý Pytago) AC2 = 22 + 42
AC2 = 20
y = 20 2
Bài 2: Trong tam giác vng với cạnh góc vng có độ dài là3 4, kẻ đờng cao tơng ứng với cạnh huyền Hãy tính đờng cao bvà độ dài đoạn thẳng mà định cạnh huyền
Gi¶i * TÝnh h.
Ta cã 2
1 1
h 3 4 ( ®/l1)
c' b' a
c b
h
h
b c
A
1
x y
H
B C
A
a
x y
(17)
2 2
2 2 2
1
h 4
3.4
h 2,
ta l¹i cã 32 = x.a ( ®/l )
2
3
x 1,8
a
y = a – x = – 1,8 = 3,2
Bµi :
TÝnh x, y ?
Gi¶i:
2
y ( Định lý Pytago) y 130
mµ
x.y = 7.9 (Theo hÖ thøc a.h= b.c) 63 63
x
y 130
Baứi 4: Đờng cao tam giác vuông chia cạnh huyền thàmh đoạn thẳng có độ dài Hãy tính cạnh góc vng tam giác
Giải Giả sử tam giác
Vuông có hai cạnh
Góc vng x y cạnh huyền a = 1+ = Theo hệ thức lượng tam giác vng ta có x2 = a.1 = ⇒ x = √3
y2 = a = 3.2 = ⇒ y =
√6
Bài 5: C1 : Theo cách dựng ABC có
trung tuyến AO ứng với BC nửa BC
nên ABC vuông A Vì : AH2 = BH.CH hay x2 = a.b
C2 : Theo cách dựng DEF có
trung tuyến DO ứng với cạnh huyền EF
và nửa cạnh nên DEF vuông D
17 -y
9 x
b x
a
H B
O A
C
b x
a D
H
E O
(18)Vì DE2 = EI.EF hay x2 = a.b Bµi 6
Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AC, E chân đờng phân giác góc M tam giác ABM D chân đờng phân giác góc M tam giác MBC
a, Chøng minh ED // AC
b, KỴ MH ED Chøng minh MH2 = HE.HD
c, BiÕt
DC
DB 4vµ AC = 9cm, MH = 2cm TÝnh chu vi cña tam giác MED
Giải.
a, Chứng minh ED //AC
Trong tam giác ABM có EM đờng phân giác ( gt) BE BM
EA AM
( T/c đờng pg tam giác ) Trong tam giác BMC có DM đờng phân giác ( gt)
BD BM DC CM
( T/c đờng pg tam giác )
BE BD EA CD
ED //AC (áp dụng định lý Talet đảo tam giác ABC )
b, Chøng minh MH2 = HE.HD
Ta cã ME vµ MD lµ tia phân giác góc kề bù
EM MD ( T/c pg 2gãc kÒ bï )
tam giác MDE tam giác vuông M. MH2 = HE.HD
c, TÝnh chu vi cđa tam gi¸c MED
Trong tam gi¸c ABC cã ED //AC ( cmt )
suy
ED DB
AC BC (theo h q ®/l Ta let )
Ta l¹i cã
DC DB 4
DB
DBDC 7
DB BC 7
ED 36
ED AC 7 … c/m đợc
ME2 + MD2 = MH2 =
2
36
2ME.MD = 2.MH2 =
2
36
suy ( ME + MD)2=
2
48 nªn ME + MD + ED =12
(19)Bµi 7:Tìm x, y z hình sau (lấy chữ số thập phân)
Bµi 8:Cho tam giác DEF có EF = cm, ^D = 400, ^F = 580
Kẻ đường cao EI tam giác Hãy tính (lấy chữ số thập phân) : a/ Đường cao EI
b/ Caïnh EF
Baứi Cho hình vng ABCD Gọi I diiểm nằm A B Tia DI tia CB cắt K Kẻ đờng thẳng qua D, Vng góc vi DI
Đờng thẳng cắt BC tài L Chứng minh rằng: a) Tam giác DIL tam giác vuông
b) Tổng DI12 +
DK2 khoõng ủoồi thay đổi cạnh AB
Hv ABCD, I AB
Gt DI cắt CB K DL DI ( L BC)
Kl a) DIL caân
b) DI12 +
DK2 khơng đổi
Giải
a) Xét hai tam giác vuông DAI DLC có Â = Ĉ = 900
DA = DC (cạnh hình vng ) D1 = D ( Cùng phụ với D2 )
⇒ DAI = DLC ( g.c.g ) ⇒ DI = DL Nên DIL cân D
b) Ta có DI12 + DK2 =
1 DL2 +
1
DK2 (1) 19
-L K
I
B C
D A
(20)DKL vuông D có DC đường cao tương ứng với cạnh huyền KL nên
1 DL2 +
1 DK2 =
1
DC2 (2)
Mặt khác DC không đổi ( DC cạnh hình vng ) ⇒ DC2 khơng đổi Nên từ (1)
và (2)
⇒
DL2 + DK2 =
1
DC2 không đổi
⇒
DI2 + DK2 =
1
DC2 không đổi I thay đổi cạnh AB
Bµi 10
Ta gọi ba số nguyên dơng tơng ứng với độ dài ba cạnh tam giác vuông số Pytago Tìm số Pytago số dới
a, ( 3; 4; ) b, ( 9; 12; 15 )
c, ( 3n, 4n, 5n ) ( n nguyên dơng ) d, Cả ba trªn
Bài 11 Tam giác vng có độ dài hai cạnh góc vng 5cm cm Nghịch đảo độ dài đờng cao ứng với cạnh huyền tam giác :
a, 74
35 b, 74 1225
c, 74
35 d, 74 35
Bài 12 :Cho tam giác ABC có H chân đờng cao kẻ từ A, M trung điểm AC Tìm kết luận sai kết luận sau
a, AB2 + AC2 = BC2 suy tam gi¸c ABC vuông B. b, AB2 = BC.BH suy tam giác ABC vuông A. c, AC2 = BC.CH suy tam giác ABC vuông A.
d, BM = AC
2 suy tam gi¸c ABC vuông B.
Bi 13 Hóy khoanh trũn ch đứng trớc kết
a, Độ dài đờng cao AH : A 6,5 ; ; C
b, Độ dài cạnh AC b»ng A 13; B 13 ; .3 13
Bài 14:Tính S hình thang cân Biết cạnh đáy 12 Cm 18cm góc ỏy bng 750
Giải:
Kẻ AH ; BK CD
Ta cã : AB = KH = 12 (cm)
⇒ DH + KC = DC – HK = 18 – 12 =
C H
B A
4
B
(21)DH =
2 = (cm)
AH = DH.tgD = 3,732 = 11,196 SABCD = (AB+DC) AH
2 =
(12+18) 11,196
2 = 167,94 (cm)
Bài 15: Δ ABC có góc A = 200 ; B^ = 300 ; AB = 60cm Đờng kẻ từ C đến AB cắt AB P ( hình vẽ) Hãy tìm
a) AP ? ; BP ? b) CP ?
Giải:
a)
Kẻ AH BC ; AHB t¹i H ⇒ AH = AB SinB
= 60.Sin300 = 60.
2 = 30
Δ AHC ( ^H = 1v)
AH = AC Cos400 ⇒ AC = AH
Cos 400 = 30
0,7660 = 39,164 Δ APC cã ( ^P = 1v)
AP = AC.Cos 200
= 39,164 0,9397 = 36,802 PB = AB – AP
= 60 – 36,802 = 23, 198 b) Δ APC ( ^P = 1v)
CP = AC Sin200
= 39,164 0,342 = 13, 394
Kiểm tra chủ đề 4
C©u 1: TÝnh x , y hình
10 30 y
y
8 x 32
x
Câu 2: Giải tam giác vng ABC Biết góc A = 900 ; AB = : BC = ( kết góc làm trịn đến phút , cạnh làm tròn đến chữ số thập phân th ba)
Đáp án:
Câu1: a) x= 4,5; y= 7,5 b ) x= 18; y=40
C©u 2:
Ta cã : SinC = AB BC
5
7 ⇒ C^ = 45035’ ; B^ = 900 - C^ = 44025’ AC = BC SinB = 7.Sin44025’ 4,899
21
-A
P
(22)CHỦ ĐỀ 5: Ngµy 15/11/2009
HÀM SỐ BẬC NHẤT – ĐỒ THỊ HAØM SỐ y = ax + b ( a 0)
I Mơc tiªu.
- Cđng cè kiến thức hàm số bậc nhất- Đồ thị hµm sè y = ax + b ( a 0)
- Biết vận dụng kiến thức để làm tập, ứng dụng kiến thức vào thực tế để tính tốn
- Rèn cho học sinh có kỹ tính tốn xác, kĩ vẽ đồ thị II/ Thời l ợng :
tiÕt
III TiÕn trình dạy - học.
A- K iến thức cÇn nhí:: 1 Hàm số bậc nhất.
Hàm số bậc hàm số cho bỡi công thức y = ax + b, a, b hệ số, a 0
Trong trường hợp b = ta hàm số y = ax học lớp Rõ ràng hàm số bậc xác định với giá trị thực x
Từ tính chất trên, thường xuất dạng toán sau: Cho hàm số bậc y = ax + b mà a phụ thuộc vào tham số m( hay chữ số đó) Vấn đề xác định m để hàm số đồng biến hay nghịch biến. Với dạng ta cần nhớ rằng: a > hàm số đồng biến; a < hàm số nghịch biến
Ví dụ 1: Cho hàm số y = (m-2)x + Với giá trị m hàm số đồng biến R? Nghịch biến R?
Giaûi
+ Hàm số đồng biến a > m -2 > ⇒ m >
+ Hàm số nghịch biến a < ⇔ m -2 < ⇒ m < 2 2 Đồ thị hàm số bậc nhất.
Đồ thị hàm số bậc y = ax + b đường thẳng qua hai điểm Để vẽ đồ thị hàm số này, ta cần xác định hai điểm qua Có thể sử dụng hai cách sau đây:
Cách 1: Xét y = ax + b
Cho x = y = b A(0; b)
Cho y = x = −b
a B( −
(23)Cách 2: Cho x hai giá trị tùy ý ( phải thích hợp) để tìm hai giá trị y tương ứng Chú ý giá trị x mà ta cho phải khôn khéo( hợp lý) để giá trị y tính thật nhanh, đồng thời số tính phải số biểu diễn dễ dàng đồ thị
3 Phương trình hồnh độ để xác định giao điểm.
Cho hai đường thẳng y = ax + b y = cx + d Hai đường thẳng trùng nhau, song song cắt điểm
Trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau, gọi M( x0; y0) giao điểm Khi
đó, M nằm đường thẳng y = ax + b nên ta phải có y0 = ax0 + b Mặt khác, M
cũng nằm đường thẳng y = cx + d nên ta có y0 = ax0 + d Như vậy:
ax0 + b = cx0 + d
Nói cách khác, x0 nghiệm phương trình bậc
ax + b = cx + d ⇔ (a – c)x + (b – d) = 0 (1)
Vì vậy, ta thường nói (1) phương trình hoành độ giao điểm hai đường thẳng cho
4 Hệ số góc đường thẳng, đường thẳng song song, đường cắt nhau.
Cho đường thẳng y = ax + b Khi đó, ta gọi a hệ số góc đường thẳng
Xét hai đường thẳng y = ax + b y = a'x + b':
Nếu a a' hai đường thẳng cắt điểm
Nếu a = a'( Hệ số góc hai đường thẳng nhau): Khi b = b' hai đường thẳng trùng Khi b b' hai đường thẳng song song
Nếu a a' = -1 hai đường thẳng vng góc
5 Tìm phương trình đường thẳng qua hai điểm.
Giả sử đường thẳng cần tìm có dạng y = ax + b Ta biết, đường thẳng qua điểm tọa độ thõa mãn phương trình cho Nếu biết trước đồ thị đường thẳng qua hai điểm ta xác lập hai phương trình cho phép giải a b
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(x1; y1) B( x2; y2)
Giải
Phương trình đường thẳng qua hai điểm có dạng y = ax + b Ta cần xác định a, b biết đường thẳng qua A, B
Vì đường thẳng qua A nên nta có: y1 = ax1 + b (1)
Vì đường thẳng qua nên nta có: y2 = ax2 + b (2)
Lấy (2) – (1) vế theo vế ta được: y2 - y1 = a(x2 – x1 ) ⇒ a =
1
x x
y y
(3)
Thay a (3) vào (1) ta được:
(24)-y1 =
1
1
x x
y y
x1 + b ⇒ b = y1 - (
y2− y1
x2− x1) x1 = 1 2
x x
x y x y
Vậy phương trình đường thẳng là: y = y2− y x2− x1 x +
y1x2− y2x1 x2− x1 B Bµi tËp:
Bài 1: Tìm phương trình đường thẳng qua M( 2; 3) N(6; 5)
Gi¶i:
Phương trình đường thẳng qua M( 2; 3) N(6; 5). Phương trình đường thẳng qua hai điểm có dạng: y = y2− y
x2− x1 x +
y1x2− y2x1 x2− x1
y=5−3
6−2x+
3 6−5 6−2 =
2 x+
8 4=
1 2x+2
Bài 2: Tìm Phương trình đường thẳng qua M( 2; 3) song song với đường thẳng y = 2x +
Gi¶i:
Phương trình đường thẳng qua M( 2; 3) song song với đường thẳng y = 2x + 3.
Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b Vì song song với đ/t y = 2x + nên a =
Phương trình đường thẳng trở thành: y = 2x + b Vì đường thẳng cần tìm qua M(2; 3) nên: = 2.2 + b Suy b = -1
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm y = 2x –
Bài 3: Tìm phương trình đường thẳng qua N( 5; 2) vng góc với đường thẳng y = 2x +
Gi¶i:
Phương trình đường thẳng qua N( 5; 2) vng góc với đường thẳng y = 2x + 1.
Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b
Vì vng góc với đ/t y = 2x + nên a.2 = -1 ⇒ a = −1
2
Phương trình đường thẳng trở thành: y = −1
2 x + b
Vì đường thẳng cần tìm qua N(5; 2) nên: = −1
2 + b
Suy b = 92
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm y = −1
2 x –
Bài 4: Xác định phương trình đường thẳng cắt trục hồnh điểm có hồnh độ α ≠0 cắt trục tung điểm có tung độ β ≠0
(25)Xác định phương trình đường thẳng cắt trục hồnh điểm có hồnh độ
α ≠0 và cắt trục tung điểm có tung độ β ≠0 .
Đây trường hợp đặc biệt với hai điểm A( α ; 0) B( 0; β )
Tương tự tập 1: Đáp số: y = - βα x+β
(Đây xem công thức tổng quát để viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm với hai điểm nằm hai trục tọa độ)
Bài 5: Lập phương trình đường thẳng (d) qua M(2; 0) vng góc với đường thẳng (k) có phương trình y = 2x –
Gi¶i:
Lập phương trình đường thẳng (d) qua M(2; 0) vng góc với đường thẳng (k) có phương trình y = 2x – 3.
Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b
Vì vng góc với đ/t y = 2x – nên a.2 = -1 ⇒ a = −1
2
Vì đường thẳng cần tìm qua M(2; 0) nên: = −1
2 + b
Suy b =
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm y = −1
2 x +
Bài 6: Tìm phương trình đường thẳng qua giao điểm hai đường thẳng y = 2x + ; y = 3x – song song với đường thẳng y = √2 x + 15
Gi¶i:
Tìm phương trình đường thẳng qua giao điểm hai đường thẳng y = 2x + ; y = 3x – song song với đường thẳng y = √2 x + 15
Hoành độ giao điểm hai đưởng thẳng y = 2x + ; y = 3x – là nghiệm phương trình 2x + = 3x – 4, hay x = Suy tung độ giao điểm y = 2.5 +1 = 11 ta có giao điểm M(5; 11)
Đường thẳng song song với đường thẳng y = √2 x + 15 có phương trình y = √2 x + b đường qua M nên 11 = √2 + b, suy b = 11 - √2
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = √2 x + 11 - √2
Bài 7: a) Xác định a để đường thẳng sau đồng qui: 2x – y + = ; x + y + = 0; ax – y – =
b) Xác định m để hai đường thẳng sau cắt điểm trục hoành
(m – 1)x + my – = 0; mx + (2m – 1)y + = c) Xác định điểm trục hồnh nói câu
Gi¶i:
a) Xác định a để đường thẳng sau đồng qui:
2x – y + = ; x + y + = 0; ax – y – = 0.
Viết lại phương trình hai đường thẳng 2x – y + = ; x + y + = 0
như sau: y = 2x + 3; y = -x – Giao điểm hai đường thẳng có hoành
(26)-độ nghiệm phương trình 2x + = -x -3 Từ đó, giao điểm M(-2; -1 ) Để ba đường thẳng đồng qui, tọa độ M phải thõa mãn phương trình đường thẳng thứ ba, tức phải có: a(-2) +1 -1 = ⇔ a =
b) Xác định m để hai đường thẳng sau cắt điểm trục hoành.
(m – 1)x + my – = 0; mx + (2m – 1)y + = 0
Điểm nằm trục hồnh có tung độ Do đó, muốn hai đường thẳng (m – 1)x + my – 5=0 mx + (2m – 1)y + = cógiao điểm nằm trục hồnh ta có:
(m – 1)x + m.0 -5 = vaø mx +(2m – 1).0 + = hay: (m – 1)x – = vaø mx + =
Theo định nghĩa hàm số bậc nhất, ta phải có m – m Từ mx + = ta có x=−7
m Thay vào phương trình (m – 1)x – =
⇔ mx – x – = ⇔ m −7
m - −7
m - = ⇔ m =
7 12 c)Xác định điểm trục hồnh nói câu trên.
Thay m = 127 vào phương trình thứ` hai ta 127 x+7=0
Từ ta có x = -12 Dễ dàng kiểm tra x = -12 thõa mãn phưuơng trình (m – 1)x + my – = 0
Vậy hai đường thẳng cho cắt trục hồnh điểm có tọa độ (0; -12) Bài 8: Lập phương trình đường thẳng (d) qua B(2; 0) vng góc với đường thẳng MN, với M(0; -3), N(1; -1)
Gi¶i:
Lập phương trình đường thẳng (d) qua B(2; 0) vng góc với đường thẳng MN, với M(0; -3), N(1; -1).
Lập phương trình đường thẳng MN: y = y2− y
x2− x1 x +
y1x2− y2x1 x2− x1 =
−1−(−3)
1−0 x+
−3 1−(−1)
1−0 =2x −3
Tiếp theo tương tự BT ta y = −1
2x+1
Bài 9: Cho tam giác với ba cạnh có ba phương trình: x + 2y – = 0; 2x + y–13 = 0; x – 2y + = Hãy vẽ tam giác này, xác định tọa độ đỉnh chứng minh tam giác vng
Gi¶i:
Cho tam giác với ba cạnh có ba phương trình: x + 2y – = 0; 2x + y – 13 = 0; x – 2y + = Hãy vẽ tam giác này, xác định tọa độ đỉnh chứng minh tam giác vng.
Viết lại ba phương trình đường thẳng: y=−1
(27)Hệ số góc ba đường thẳng khác nên chúng cắt đơi Ngịai ra, rõ ràng hai đường thẳng y = -2x + 13 ; y=1
2x+3 có tích hệ
số góc -1 nên chúng vng góc Tiếp tục vẽ ba đường thẳng mp tọa độ xác định ba giao điểm
Kiểm tra chủ đề 5
Bài 1: Xác định phưong trình đường thẵng qua hai điểm M(1; 2); N(2; 3). Bài 2: Cho hai đường thẳng 3x – 5y + = 0; 5x – 2y + = Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm hai đường thẳng
a) song song với đường thẳng 2x – y + = b) qua thêm điểm M(1; 4)
Đáp án:
Bi 1: Xỏc nh phong trỡnh đường thẵng qua hai điểm M(1; 2); N(2; 3). α
Đáp số: y = x +
Bài : HD: Đưa phương trình đường thẳng dạng y = ax + b 3x – 5y + = ⇔ y =
5 x+
5x – 2y + = ⇔ y = 2x+2
2x – y + = ⇔ y = 2x +4
a) Đáp số: y = 2x + 3019 b) Đáp số: y = 7835 x+62
35
(28)-Chủ đề 6: Ngày 08/12/2009 Một số toán Đờng trịn
I Mơc tiªu.
- Củng cố kiến thức đờng tròn
- Biết vận dụng kiến thức để làm tập, ứng dụng kiến thức vào thực tế để tính toỏn
- Rèn cho học sinh có kỹ tính toán xác, kĩ vẽ hình II/ Thời l ỵng :
tiÕt
III Tiến trình dạy - học.
A- K iÕn thøc cÇn nhí::
1- S
ự xác định đờng tròn:
1.1Định nghĩa: Đường trịn tâm O bán kính R (R > 0). Kí hiệu (O,R) hình gồm điểm cách điểm O khoảng R
Vị trí tương đối điểm (O,R) - A (O) ⇔ OA = R
(H1)
- B (O) ⇔ OB < R
- C (O) ⇔ OC > R
1.2- Sự xác định đường tròn
a/ Qua điểm xác định vô số đường tròn
Tâm chúng lấy tùy ý mặt phẳng (H2) b/ Qua điểm xác định vơ số đường trịn
Tâm chúng nằm trung trực nối điểm (H3) c/ Qua điểm không thẳng hàng xác định
1 đường tròn Tâm giao điểm đường trung trực tam giác đỉnh điểm (H4)
d/ Khơng thể xác định đường trịn qua điểm
thẳng hàng (H5)
A B C
1.3-Ph ơng pháp chung:
R O
C A B
A O1
O2
O3
B A
O
O' x
y
O A
B
(29)*Muốn chứng minh điểm thuộc đường tròn ta chứng minh điểm cách điểm cố định Khoảng cách bán kính đường trịn * Để dựng đường trịn ta cần biết tâm bán kính Tâm đường tròn qua điểm A B cho trước nằm đường trung trực AB
2 Tính chất đối xứng đ ờng trịn:
2.1: Chó ý:
a- Tâm đường trịn
tâm đối xứng đường trịn b- Bất kỳ đường kính trục đối xứng đường trịn c- Đường kính vng góc với dây cung chia dây cung thành hai phần d- Đường kính qua trung điểm dây cung khơng qua tâm vng góc với dây cung
e- Hai dây cung chúng cách tâm
g- Dây MN lớn dây PQ dây MN gần tâm dây PQ
MN > PQ ⇔ OH < OK
2.2 Ph ơng pháp chung:
Vận dụng tính chất đối xứng đường trịn , ta tính độ dài bán kính đường trịn , độ dài dây cung khoảng cách từ tâm đến dây cung
3 Vị trí t ơng đối đ ờng thẳng đ ờng trịn:
3.1- Các vị trí t ơng đối đ ờng thẳng đ ờng tròn:
Có vị trí tương đối
R d
B O
x A
H
y
R d O
x y
H
1- Có điểm chung :(cắt nhau) 2- Có điểm chung :(tiếp xúc nhau)
29
-O N
M
H
P
Q K
C I
O
D A
(30)R
H d O
x y
3- Khơng có điểm chung :(ngồi nhau) 3.2 Ph ơng pháp chung:
Mun xỏc nh v trớ tương đối đường thẳng đường trịn ta ý độ dài khoảng cách d từ tâm đến đường thẳng so với độ dài bán kính đường trịn R
4 TiÕp tun cđa ® êng trßn:
4.1) xy tiếp tuyến (O) ⇔ xy OA tại A
4.2) Nếu tiếp tuyến A B gặp M : * MA = MB
* MO : tia phân giác AMB * OM : Tia phân giác AOB
4.3- Ph ơng pháp chung: Vn dng tính chất tiếp tuyến với đường trịn để
chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường trịn , hai đường vng góc với , hai đoạn thẳng , tia phân giác góc , chứng minh đẳng thức độ dài đoạn thẳng , tính độ dài tiếp tuyến
Chú ý : Cách vẽ tiếp tuyến với đường trịn từ điểm ngồi đường trịn Ví dụ : Vẽ tiếp tuyến MA , MB với đường trịn (O) với M ngồi (O).
1 Vẽ đường nối tâm OM
2 Lấy OM làm đường kính đường trịn tâm I (I trung điểm OM)
3 Hai đường tròn (I) (O) cắt A B
4 MA MB hai tiếp tuyến vẽ từ M với đường tròn tâm (O).
1
1
B O O
A R
O x
A
(31)B A
M O
I
5 Đ ờng ngoại tiÕp, néi tiÕp, bµng tiÕp:
5.1- Đường trịn ngoại tiếp tam giác Hay tam giác nội tiếp đường tròn
O: Là giao điểm trung trực tam giác
5.2-Đường tròn nội tiếp tam giác hay Tam giác ngoại tiếp đường tròn O: Là giao điểm phân giác
5.3- Đường tròn bàng tiếp tam giác O: Là giao điểm phân giác góc A phân giác ngồi góc B C
(O) đường trịn bàng tiếp góc A (Tam giác có đường trũn bng tip )
5.4- Ph ơng pháp chung: Vận dụng tính chất đường trịn
ngoại tiếp , đường tròn nội tiếp , đường tròn bàng tiếp ta tính độ dài cạnh , đường cao tam giác , chứng minh điểm thẳng hàng , chứng minh song song chứng minh số hệ thức liên hệ diện tích tam giác với chu vi bán kính đường trịn ngoại tiếp , nội tiếp
6.Ba vị trí tương đối hai đường trịn
6 1- Có hai điểm chung (Hai đường tròn giao )
⇔
* A,B : Hai giao điểm
31
-O
B C
A
1
O
B C
A
K
O
A
B C
F E
d
R r
H
B A
(32)* A,B đối xứng qua OO’ (đường nối tâm)
* AB OO' HA = HB 6.2- Có điểm chung (Hai đường tròn tiếp xúc )
a) Tiếp xúc ngồi
⇔
b) Tiếp xúc
⇔
6.3- Khơng có điểm chung (Khơng giao ) a) Ngồi
⇔ ⇔
b) Trong
⇔
6.4- Đồng tâm
6.5- Ph ¬ng ph¸p chung: So sánh độ dài đường nối tâm OO’
= d với bán kính R r để biết vị trí tương đối hai đường tròn (O,R) (O’,r)
r d R
O A O '
r R d
O O ' A
d r
R
O O '
d r R
O O '
O O '
d = R + r
d = R - r
d > R + r
d < R- r
(33)B. Bµi tËp:
Bài : Cho hình thang ABCD , đáy nhỏ AB , đáy lớn CD , có C = D = 600 CD = 2AD
Chứng minh điểm A,B,C,D thuộc đường tròn H.dẫn: * I trung điểm CD (I cố định)
* ΔAID ΔBCI ⇒DI=IC=IA=IB
* A,B,C,D cách I ⇒A , B , C , D∈(I)
Bài : Cho ΔABC vng A có AB = 6cm , AC = cm Bán kính đường trịn
đi qua đỉnh tam giác :(Hãy chọn câu trả lời đúng) A- 9cm ; B- 10cm ; C- 5cm ; D- √2 cm
H.dẫn: Vận dụng định lý Pitago để tính AB2 + AC2 = BC2
=> 62 + 82 = BC2.=> 100 = BC2 ⇒ BC = 10cm
R= 1/2BC =10/2 = 5cm Vậy C
Bài : Cho hình thoi ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo ; M,N,R,S hình chiếu O AB , BC, CD DA Chứng minh điểm M,N,R,S
thuộc đường trịn B
H.dẫn M N
* Chứng minh tam giác vuông
baèng C ΔMBO=ΔNBO=ΔRDO=ΔSDO A O
(vì cạnh huyền
,góc nhọn nhau) S R D * Suy OM = ON = OR = OS
* Vaäy M,N,R,S (O)
Bài : Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm,BC= 9cm a-Chứng minh điểm A,B,C,D thuộc đường
trịn b- Tính bán kính đường trịn
H.dẫn a- Gọi O giao điểm đường chéo AC, BD Ta có : OA = OB = OC = OD
(tính chất đường chéo hình chữ nhật) - Do A,B,C,D (O)
b- Vận dụng định lý Pitago tính AC = 15cm
Suy bán kính (O) = 1/2AC = 15/2 = 7,5 cm
Bài 5: Cho đường tròn tâm O dây CD Từ O vẽ tia vng góc với CD M cắt đường tròn H Cho biết CD=16cm MH =
4cm
Tính bán kính R đường tròn tâm O
Hướng dẫn :
33
-60 60
D C
I
A B
1 A
C D
B O
H M
R C
D
(34)Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông OMC Ta có : OC2 =
OM2+CM2
Maø CM= 1/2CD =16/2 =8cm Vaø OH = OC = R
Do R2 = (R-4)2 + 82
=> R = 10cm
Bài : Cho(O,2cm) MN dây đường trịn có độ dài 2cm Hỏi khoảng cách từ tâm O đến MN giá trị sau :
A- 1; B- √3 ;
C- √32 ; D- √31
Hướng dẫn : Tam giác OMN cạnh cm Khoảng cách từ O đến MN đường cao tam giác
OH = √3 (OH=2√3
2 )
Bài 7:Cho (0,12cm) đường kính CD Vẽ dây MN qua trung điểm I OC cho
NID = 300 Tính độ dài dây MN
Hướng dẫn: Vẽ OH MN
Xét tam giác vuông HOI có HIO = 300
nên nửa tam giác Do OH = 12OI=6
2=3
Xét tam giác vuông HON coù HN2= ON2- OH2 = 62 – 32
Suy HN= 3√3 cm
Mà MN = 2HN (t/c đường kính dây cung )
Vậy MN = √3 cm
Bài : Hãy xác định vị trí tương đối đường thẳng đường tròn theo bảng sau :
R d Vị trí tương đối
4cm 3cm (cắt d<R )
5cm 5cm (Tiếp xúc d = R )
6cm 8cm (Ngồi d > R )
2 2
O M
N
H
I O
N
M
C D
(35)Bài : Cho tam giác ABC có B > C ; AB = x ,AC = y chiều cao AH = h Hỏi bán kính đường trịn tâm A có giá trị để (A,R) cắt BC theo thợp sau
1- Hai giao điểm nằm B C 2- B C nằm hai giao điểm Hướng dẫn :
* Giaû thiết B > C AH BC
Do y > x > h
R
h
x y
N A
M
H
B C
1- h < R < x 2- R > y > x
Bài 10 : Cho tam giác cân OAB có OA = OB = 5cm , AB = 6cm Hỏi bán kính R đường trịn (O,R) phải có giá trị để đường tròn tiếp xúc với AB?
Hướng dẫn :
- Vẽ đường cao OH AB => HA = 6/2 = 3cm
- Suy OH = R = 4cm
Bài 11 : Cho (O) , dây cung CD Qua O vẽ đường OH CD
tại H , cắt tiếp tuyến C đường tròn điểm M.Chứng minh MD tiếp tuyến đường tròn
Hướng dẫn :
- Nối OD Xét tam giác cân OCD coù OH CD
Suy HC = HD (Đường kính vng góc với dây qua trung điểm ) - OH phân giác nên O1 = O2
- ΔOCM=ΔOMD(c − g − c)⇒C=D=900
Vây MD tiếp tuyến với (O) D
Bài 12 : Cho (O) điểm M (O) Vẽ hai tiếp tuyến MA , MB (A,B tiếp điểm) Gọi H giao điểm OM với AB Chứng minh :
a) OM AB
b) HA = HB Hướng dẫn :
MA = MB (tính chất tiếp tuyến )
35
-R h y
N A
C
M H
B
O
H
A B
1 H
2
B O M
A
1 H
2
C O M
(36)=> ΔMAB caân M
M1 = M2 (tính chất tiếp tuyeán )
=> OM AB
HA = HB (Phân giác đường cao tam giác cân)
Bài 13 : Cho đường tròn tâm O , đường kính AB , vẽ Ax AB phía nửa đường tròn Gọi I điểm đường tròn Tiếp tuyến I gặp Ax C gặp By D Chứng minh :
a) CD = AC + BD
b) COD = 900
Hướng dẫn :
a) Ta coù CI = CA (1)
DI = DB (2) (tính chất tiếp tuyến )
Cộng (1) (2)
CI + DI = AC + BD Hay CD = AC + BD b) Ta có AOC = COI
(tính chất tiếp tuyến )
vàBOD = IOD
=> AOC +BOD = COI + IOD = 1800/2 =900
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp trong(O,R) Tính : a) Cạnh tam giác ABC theo R
b) Chieàu cao AH theo R
Gợi ý : Vận dụng tính chất tam giác vng có góc nhọn 600 hay 300 nửa tam giác
đều để tính BH => BC = 2BH Hướng dẫn :
Goùc B1 = 300 => OH = ½ OB = R/2
BH2 = OB2 – OH2 = R2 –(R/2)2 => BH = √3
2 R
Vaäy BC = 2BH = √3R
Vaø AH = AO = + OH = R + R/2 = 3R/2
Bài 15 : Cho tam giác ABC (A = 1v) có AC = b ; AC = c Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp r bán kính đường tròn nội tiếp
Chứng minh b+c =2(R +r)
Gợi ý : Vận dụng tính chất tiếp tuyến vẽ từ điểm đến đường tròn
B
R O
A
(37)Hướng dẫn :
Ta coù O’I BC
O’H AB (tính chất tiếp tuyến ) O’K AC
Do : AHO’K hình vng Suy AH = AK = r
Vaø CK = CI
BH = BI (tính chất tiếp tuyến )
Ta có : AB + AC = AH + AK +BH +BI +CK +CI = 2r + 2R = 2(R + r)
Vaäy b + c = 2(R+r)
Bài 16 : Nêu rõ vị trí tương đối (O,R) (O’,r) theo bảng sau T
T
R r d Vị trí tương đối
1 8cm 7c
m 9cm
2 15c
m
6c m
9cm
3 5cm 3c
m 10cm
4 12c
m 4cm 6cm
5 10c
m
8c m
18c m
Gợi yù : 1- Vì R-r < d < R+r <=> (O) (O’) giao 2- Vì d = R - r <=> (O) (O’) tiếp xúc
3- Vì d > R + r <=> (O) (O’) ngồi 4- Vì d < R – r <=> (O) đựng (O’)
5- Vì d = R + r <=> (O) (O’) tiếp xúc
Bài 17 : Cho (O) > (O’) cắt A B vẽ đường kính AOC AO’D Chứng minh điểm B,C,D thẳng hàng
Gợi ý : Nối B với C B với D Ta có : HA = HB AO = OC
Suy HO đường trung bình tam giác ABC Do BC // HO (1)
Tương tự BD//HO (2)
Từ B OO’ vẽ đường thẳng song
song với OO’ (Tiên đề Oclit) Vậy điểm B,C,D thẳng hàng
37
-O ' r
O
B C
A
I K H
H B
O ' O
A
(38)Bài 18 : Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Vẽ cát tuyến chung MAN cho MA = AN Đường vng góc với MN A cắt OO’ I
Chứng minh I trung điểm OO’
Gợi yù : * Vẽ OH AM ; OK AN
* Chứng minh hình thang HKOO’ có A trung điểm Cạnh HK
* Từ có AI đường trung bình Nên I trung điểm cạnh OO’
Bài 19 : Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Gọi M giao điểm hai tiếp tuyến chung BC tiếp tuyến chung Chứng minh BC tiếp tuyến đường trịn đường kính OO’ M
Gợi ý :
* Goïi M’ trung điểm OO’
Chứng minh Δ OMO’ vuông M * Suy BC tiếp tuyến đường trịn đường kính OO’
I
B A
O O '
M
N
H
K
M A
O O '
B
(39)D-BAØI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho ABC , đường cao BH CK Chứng minh a) điểm B.K.C,H thuộc đường tròn
b) So sánh KH với BC
Bài : Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc Gọi M,N,R,S trung điểm cạnh AB,BC,CD DA Chứng minh điểm M,N,R,S nằm đường tròn
Tiết 14 : TÍNH CHẤT ĐỐI XNG CA NG TRềN
Ngày soạn: 23/11/2008 Ngày dạy: 03/12/2008 C-BAỉI TAP
C-BAỉI TP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho(O) , cung BC = 600 .Từ B vẽ dây BD vng góc với đường kính AC
từ D vẽ dây DF song song với AC Tính độ lớn cung DC , AB , FD
Bài 2: Một dây cung AB chia đường tròn (O,R) thành hai cung AmB = 2AnB a- Tính AmB AnB
b- Tính góc tam giác AOB
c- Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB theo bán kính R
Bài 3: Cho nửa đường trịn đường kính AB , AB lấy hai điểm M N đối xứng với qua tâm O Từ M,N vẽ đường song song cắt nửa đường tròn H K Chứng minh tứ giác MNKH hình vng
(40)-Tiết 15 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA NG THNG &NG TRềN
Ngày soạn: 30/11/2008 Ngày dạy: 10/12/2008 C- BAỉI TAP :
D- BAØI TẬP TỰ LUYỆN :
Bài : Cho đường tròn (O) điểm A bên đường trịn Chứng tỏ rằng đường thẳng qua điểm A cắt đường tròn (O) hai điểm
Hướng dẫn : Dựa vào d < R
Bài : Cho đường tròn (O) đường thẳng d1 d2 Đường thẳng d1 khơng cắt
(O) cịn đường thẳng d2 cắt (O) điểm A B
b) Xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1 d2
c) Giả sử d1 cắt d2 gọi l1 l2 khoảng cách từ tâm O (O) đến d1
vàd2 So sánh l1 vaø l2
Hướng dẫn :
a) d1 cắt d2 d1 // d2
(41)Tiết 16 : TIẾP TUYẾN CỦA NG TRềN
Ngày soạn: 07/12/2008 Ngày d¹y: 17/12/2008 C- BÀI TẬP :
D- BÀI TẬP TỰ LUYỆN :
Bài : Cho đường tròn (O,5cm) Từ điểm M ngồi đường trịn vẽ tiếp tuyến MA,MB (A;B tiếp điểm) cho MA MB M
a) Tính MA , MB
b) Qua trung điểm I cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến (I tiếp điểm ) cắt OA , OB C D Tính CD
Bài2 : Cho đường trịn (O) đường kính AB , vẽ dây cung AC Kéo dài AC đoạn CD = AC
a) Chúng minh ΔABD cân
b) Xác định vị trí C để BD tiếp tuyến đường trịn tâm O tính góc DAB
(42)
-Tiết 17 : ĐƯỜNG TRÒN
NGOẠI TIẾP - NI TIP BAỉNG TIP
Ngày soạn: 14/12/2008 Ngày dạy: 22/12/2008 C-BAỉI TAP
D- BAØI TẬP TỰ LUYỆN
Bài : Cho tam giác ABC ; D diểm cạnh BC Gọi O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC H tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD Chứng minh điểm B,H,O thẳng hàng
Gợi ý : Chứng minh điểm B,H,O thuộc đường phân giác góc B
Bài : Cho tam giác ABC ngoại tiếp (O,r) có AB = c ; AC = b ; BC = a Chứng minh : Diện tích tam giác ABC = (a+2b+c)r
(43)-Tiết 18: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN
Ngày soạn: 21/12/2008 Ngày dạy: 29/12/2008 C/BAỉI TÂP
D/ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Hai đường tròn (O1;R1) (O2;R2) tiếp xúc ngồi
M Đường trịn (O1) (O2) tiếp xúc với đường tròn
Lớn (O,R) E F Cho biết chu vi tam giác OO1O2 20cm Tính bán kính R
Trả lời : R = 10cm
Bài : Cho hai đường tròn đồng tâm Trong đường tròn lớn vẽ hai dây cung AB= CD tiếp xúc với đường tròn nhỏ (M,N hai tiếp điểm ) cho AB CD I Tính bán kính đường trịn nhỏ , biết IA = 3cm ; IB = 9cm
Trả lời : Bán kính đường tròn nhỏ 3cm
CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN LỚP 9
MƠN: TỐN
TÊN CHỦ ĐỀ: CĂN BẬC HAI LOẠI CHỦ ĐỀ: NÂNG CAO
THỜI LƯỢNG: TIẾT
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ ( tiết)
1 Căn bậc hai.
Căn bậc hai số a không âm số x cho x2 = a Khi ta kí hiệu: x = √a
Ví dụ 1: - √9 = 3, 32 = 9; √ 25=
2 5vì
2
2 5=
4 25 ; …
Số a > có hai bậc hai √a>0và -√a< Ta nói √a căn bậc
hai số học số không âm a
Ví dụ 2: Trong số sau số bậc hai số học 9:
−3¿2 ¿
−3¿2 ¿ ¿ ¿
√¿
Giải
Căn bậc hai số học laø: −3¿
2
¿ ¿
√¿
Số a < bậc hai
Số a = có bậc hai
(44)Nếu 0≤ a ≤bthì√a ≤√b , dấu đẳng thức xảy a = b Đảo lại, √a ≤√bthì 0≤ a ≤b
Ví dụ 3: So sánh √47
Giải
Ta có 7=√49>√47,do 7>√47
2 Căn thức bậc hai đẳng thức √A2
=|A| .
Dưới dấu chứa số, chứa dấu khác, với phép tốn số học, ta nói căn thức Ví dụ √ax+2b
√2 Khi
ta nói ax+√22b biểu thức dấu căn
Ta có √A2
=|A| , điều với số thực A, với biểu thức A, miễn biểu thức có nghĩa Như :
√A2=Anếu A≥0 √A2=− Anếu A <
Ví dụ 4: 1−√3¿
2
¿ ¿
√¿
Ví dụ 5: Tìm x để thức sau có nghĩa:
a) √−3x+4; b) √
−2+x ; c) √a
+x2
Giaûi
d) Ta phải có: -3x + hay x 43 e) Căn thức √−21
+x có nghóa
−2+x>0⇔−2+x>0⇔x>2
f) Căn thức √a2+x2 ln có nghĩa biểu thức dấu ln khơng
âm
Ví dụ 6: Giải phương trình −2x+1¿
2
¿ ¿
√¿
Moâït HS tiến hành giải sau: Ta có: −2x+1¿
2
¿ ¿
√¿
suy x = -1 Lời giải sót nghiệm, lời giải sau:
Ta coù:
−2x+1¿2 ¿
−2x+1 khix≤1
2 2x −1 x>1
2
¿
√¿
Với x 12 , ta có -2x + = 3, suy x = -1 Với x > 12 , ta có 2x – = 3, suy x =
(45) Tính chất1: Nếu a b √a.√b=√a.b
Chứng minh:
Đặt M = √a.√b ; N=√a.b , ta có:
M2 = (√a.√b)(√a.√b)=√a.√a.√b.√b.=ab
N2 =
√a.b.√a.b=a.b
Neân suy M2 = N2 Mà M N số không âm nên ta có M = N, suy ra
điều phải chứng minh
Ví dụ 7: Tính: √20.√50;√3a.√27a ;√36 100 0,25;√81a2 Giaûi
√20.√50=√20 50=√100 10=10√10 √3a.√27a=√3a 27a=√81a2=9|a|
√36 100 0,25=√36 √100 √0,25=6 10 0,5=30
√81a2=√81.√a2=9|a| Tính chất 2: √ab=√a
√b ; a 0, b >
Chứng minh: Tương tự Ví du 8ï: √259 =√25
√9 = 3;√
121 225=
√121 √225=
11 25;√
16a2 81 =√
16a2 √81 =
4|a|
9
Chuù ý:
c) Nói chung ta không có: √a+b=√a+√b ;√a −b=√a −√b
Ví dụ: √4+9=√13,nh ưng √4+√9=2+3=5
√16−9=√7 nh öng √16−√9=4−3=1
d) Trong tính chất hai nói trên, giả sử a b < Lúc ta viết: √a
b=
√− a
√− b
Tính chất 3: ( Đưa thừa số ngồi dấu ) √A2.B=|A|.√B ( B 0)
Ví dụ 9:
a2b¿2 ¿
28¿
√28a4b2=√¿
Tính chất 4: ( Đưa thừa số vào dấu căn) A √B=√A2B (A 0, B )
A √B=−√A2B ( A < 0, B 0)
Ví dụ 10: - 0,05
0,05¿2 28800 ¿ ¿
√28800=−√¿
Tính chất 5: ( Trục thức mẫu) √ABB2 =
√AB
|B| (A 0, B > 0)
(46)-A √B=
A√B B
√A ±√B=
√A∓√B A − B
( B > 0)
Chú ý: √A −√B(√A+√B) gọi lương liên hiệp
√A+√B(√A −√B) , ta có
B √A∓√¿
¿
(√A ±√B)¿
Tổng quát: X gọi lượng liên hiệp biểu thức Y có chứa thức, XY khơng cịn dấu
Thơng thường, việc nhân chia tử mẫu phân thức cho lượng liên hiệp khiến cho biểu thức gọn gàng Chính vậy, kinh nghiệm cho thấy rằng, gặp tốn địi hỏi phải đơn giản hoặc tính biểu thức chứa thức mẫu, việc đầu tiên, ta nghĩ đến lượng liên hiệp
Ví dụ 11: Trục thức mẫu A = √2+√31 −√6 Giải
6 √2+√3−√¿
¿
√6¿2 ¿ ¿√2+√3+√6
2√6−1 √2+√3¿2−¿
¿
(√2+√3−√6)¿ ¿
A=
√2+√3−√6.=
√2+√3+√6
¿
Chú ý: Trong thực hành tính tốn, đơi ta cần rút gọn biểu thức chứa thức phức tạp, cần phải chứng minh đẳng thức biến đổi Khi ta cần biết khơn kh vận dụng tổnghợp tính chất để biến đổi Điều có kinh nghiệm kỷ tính tốn, ta quen dần tóan từ đơn giản đến phức tạp
Ví dụ 12: Tính M = 10a2 - 4 √10a + với a =
√2 5+√
5 Giaûi
M = ( √10a -2)2 Thay giá trị a vào biểu thứcnày M =
√4+√25−2¿2=25 [√10(√2
5+√ 2)−2]
2
=(√20
5 +√ 50
2 −2)
=¿
Ví dụ 13: Cho bểu thức B=5+√5
5−√5+ 5−√5
5+√5 −√10 Rút gọn chứng minh B
(47)Giải
Ta có:
5−√5¿2−(5−√5)(5+√5).√10
¿
¿(5−√5)(5+√5)
5+√5¿2+¿ ¿ ¿
B=5+√5
5−√5+ 5−√5
5+√5 −√10=¿
Vì < √10 nên - √10 < Vậy B <
Ví dụ 14: Tính A=(
√3−1+ √3−2+
15 3−√3)
1 √3+5
Giaûi
Trục thức mẫu phân thức ta có: A=( 2(√3+1)
(√3−1)(√3+1)+
3(√3+2) (√3+2)(√3−2)+
15(3+√3)
(3−√3)(3+√3))
1 √3+5
3 3+√¿
¿
15(¿
6¿) 5+√3 2(√3+1)
2 +
3(√3+2)
−1 +¿=(√3+1−3√3−6+ 15
2 + 5√3
2 ) 5+√3
¿ ¿ ¿ ¿
4 Căn bậc ba.
Căn bậc ba số a số x cho x3 = a, ký hiệu x =
√a Ta
thừa nhận kết quả: Mọi số thực có bậc ba tương ứng Ví dụ:
√27=3;√3 −27=−3
Ta công nhận tính chất sau: 4.1 Nếu a < b
√a<√3b
4.2 Với a, b ta có:
√a.√3b=√3a.b 4.3 Với a, b b 0, ta có: √33a
√b=
3
√a b Ví dụ 15: Chứng minh: a −b=(√3a −√3b)(
3
√a2+√3a.b+√3b)
a+b=(√3a+√3b)(√3a2−√3a.b+√3b)
Hướng dẫn: Sử dụng đẳng thức A3 – B3 = (A –B)( A2 + AB +B2)
A3 + B3 = (A + B)( A2 – AB + B2)
Và tính chất 2, A =
√a vaø B = √3b
Ví dụ 16: Theo ý trên, X gọi lượng liên hiệp biểu thức Y có chứa thức, XY khơng cịn dấu Từ đó, theo ví dụ trên, lượng liên nhiệp
√x −√3a laø ( √3 x2
+√3ax+√3a2¿
Ví dụ 17: Trục thức mẫu cho biểu thức 3x2+2
√x+1 với x -1
(48)-Ta coù: 3x2+2 √x+1 =
(x2+2)(√3x2−√3x+1)
x+1
5 Kiến thức mở rộng. 5.1 Căn bậc n.
A gọi bậc n B An = B.
Một số A có hai bậc 2n, kí hiệu 2n
√A - 2n
√A Một số A có bậc hai bậc 2n + 1, ký hiệu 2n+1
√A
Như vậy, số thực, bậc hai lẻ tồn tại, trường hợp bậc ba học đặt biệt bậc lẻ Còn bậc chẵn ( bậc hai trường hợp đặt biệt) tồn cho số không âm Đối với số A , ta
cũng gọi 2n
√A bậc 2n số học A
5.2 Tính chất thức: Trong công thức sau đây, ta qui ước biểu thức dấu làm cho thức có nghĩa
n
√A¿n=A
n
√A.√nB=√n A.B ;
n
√A
n
√B=
n
√AB;¿
( tính chất cho số nguyên n
2 miễn A, B thích hợp để thức có nghĩa),
m
√Am=|A| ( m chẵn)
Qui tắc khai thức: k
√n
√A=nk√A
Qui tắc nâng thức lên lũy thừa: ( n
√A¿k=√n Ak (Hai công thức
trên cho n k )
Ví dụ 18: √4
√x=20√x ;
3
√a¿4=√3 a4
¿
Ví dụ 19: Tính giá trị biểu thức: C= √x −2√2
√x2−4x√2+8−
√x+2√2
√x2+4x√2+8 Khi x =3
Giải
Ta có:
x −2√2¿2 ¿
x+2√2¿2 ¿ ¿
√¿ ¿
√¿
C=√x −2√2
¿
Với x =3 > √2 , thức bậc hai có nghĩa mẫu thức
khác Do đó:
C=
√x −2√2− √x+2√2
(49)√2−1¿2 ¿
√2+1¿2 ¿ ¿
√¿ ¿
√¿
C=
√3−2√2− √3+2√2=
1
¿
Ví dụ 20: Với a < b < 0, rút gọn biểu thức:
a −b¿2
a4¿
A=
a − b.√¿
Giaûi
Với a < b < 0, ta có:
a −b¿2 ¿
a −b¿2 ¿ ¿
a4
¿
A=
a − b.√¿
Ví dụ 21: Chứng minh rằng: √|40√2−57|−√40√2+57 số nguyên
Giaûi
Ta có: 40√2<57 ( 3200 < 3249) nên:
A= √|40√2−57|−√40√2+57 = √57−40√2−√40√2+57
A2=57−40√2+57+40√2−2√(57−40√2)(57+40√2)=100
Vaäy A = 10 hay A = -10 Nhưng kết A = -10 Vì 57 - 40
√2<57+40√2
II BÀI TẬP ( tiết)
Bài 1: Tính: √4 25 0,36 ; √49a2 ; √
16 ; √80
√5 ;
√75a
√3a (a>0) ; √4a2
121
Bài 2: Tìm hai soá a, b cho: √a+b=√a+√b ;√a −b=√a −√b
Bài 3: Cho biết trước 4225, 3249, 15876 bình phương số tự nhiên ( Những số gọi số phương ) Em tính thật nhanh số
√4225;√3249;√15876 mà không dùng máy tính
Bài 4: Tính:
√2+1¿2 ¿
A=(
√5−√2−
√5+√2+1)
¿
Bài 5: Tính: √7+2√10−√7−2√10
Bài 6: Tính: A = (1+√2+√3)(1+√2−√3) ; B=a −√b
√b :
√b a+√b Bài 7: Chứng minh với a > 0, a 1, ta có:
(50)(11− a− √a
√a +√a)(
1−√a
1−a )
2
=1
Bài 8: Cho biểu thức N=
√x −√y.(
√x
√x3+√x2y
+ √y
√xy2−√yx2)
Với x > 0; y x y Rút gọn biểu thức N
Bài 9: Thực phép tính:
(3+2√3 √3 +
2+√2 √2+1)−(1 :
1 √2+√3)
Bài 10: Tính giá trị biểu thức sau với x = 8: A=√x
2
+4x+4
x2−16 (x
−8x+16)
Bài 11: Cho biểu thức P=( 2√x
√x+3+
√x
√x −3− 3x+3
x −9 ):(
2√x −2
√x −3 −1) Với x
x
d) Rút gọn P
e) Tính x để P < 13
f) Tìm giá trị bé P Bài 12: So sánh: 5
√6 √53
Bài 13: Trục thức mẫu: a) √334−√327
√11+√313 b) 14
3 √5−√36
Baøi 14: Nếu (-2 +x2 )5 = x bao nhieâu?
Bài 15: Cho biểu thức: Q=(
√1+x+√1− x):(
3
√1− x2+1) với -1 < x <
a) Rút gọn Q
b) Tính giá trị Q x = √2 -5
Bài 16: Cho biểu thức: P = 3xx++√√9x −x −23−√x+1
√x+2+
√x −2
1−√x , với x x a) Rút gọn P
b) Tìm gía trị ngun x cho P có giá trị nguyên Bài 17: Cho biểu thức: A=(− x2+x −1):√(x2+1
x2)
2
+2(x+1
x)
2
−3 , với x
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A có giá trị nhỏ Tính giá trị Bài 18: Cho: A=( x+2
x√x −1+ √x x+√x+1+
1 1−√x):(
√x −1
2 )
a) Rút gọn biểu thức A
b) Chứng minh A > với điều kiện x để A có nghĩa Bài 19: Cho biểu thức: Q=15√x −11
x+2√x −3+
3√x −2 1−√x −
2√x+3
√x+3
a) Rút gọn Q
(51)c) Tìm x để Q nhận giá trị lớn Tìm gía trị lớn Bài 20: Chứng minh rằng:
a) (a+√2a√+a2+1−√a −2 a −1 )√
a+1
√a =
2
a −1 , với a > 0, a
b) 2+√3
2+√4+2√3+
2−√3 2−√4−2√3=1
c) (1+x+√x
√x+1)(1−
x −√x
√x −1)=1− x , với x > 0, x
d) √x2+ x2+√y
2 +
y2+√z
+1 z2≥
3
2√17 , Với x, y, x > x + y + z
Bài 21: Rút gọn biểu thức: a) A=√√5−√3−√29−12√5
b) B=2√3+√5−√13+√48
√6−√2
III HƯỚNG DẪN GIẢI BAØI TẬP ( Xem tài liệu )
-******************************************************************* *********