Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Phòng Giáo dục - Đào tạo Kú thi chän häc sinh giái thÞ líp giải toán Hồng lĩnh máy tính casio năm học 2009 2010.
Thời gian làm : 90 phút Đề THI Và ĐáP áN
-
Câu 1: a) Tính tæng S = 1+2x+3x2+4x3+ + nxn-1 (x >1, n >1; nN ) b) TÝnh S x = 2; n = 16 (Tính xác S)
Sơ lợc cách giải: điểm
2 1 1 ) 1 n n n
n n n
x
nx
x x
a S xS x x x nx nx S
x x Ta cã: 2,0
b) Khi x = 2; n = 16 Khi S = 983 041 1,0
Đáp số: a)
1 1 n n x nx x S x
b) S = 983 041
Câu 2: a) Tìm số có chữ sè abcd tháa m·n: 329(abcd +ab +ad +cd +1) = 1051(bcd +b+ d)
b)Xác định a, b, c để: f(x) = x4+ax2+bx+c chia hết cho g(x) = (x + 1)(x 1)(x 2)
Sơ lợc cách giải: điểm
a) Từ giả thiết ta suy ra:
1 1 1 a b c d
3; 5; 7;
a b c d
tho· mÃn chữ số
1,
0,5
b) V× f(x) = x4+ax2+bx+c chia hÕt cho g(x) = (x + 1)(x – 1)(x – 2)
f(x) =(x + 1)(x – 1)(x – 2)h(x) 0,5
Cho x= - 1; ; ta đợc hệ :
1
4 16
a b c a b c
a b c 0,5
Giải hệ ta đợc a = - 5; b = 0; c = 0,5
Đáp số: a)abcd = 3579 b) a = -5 ; b =0 ; c = Câu 3: a) Tìm x để: P =
4
2
4 16 56 80 356
2
x x x x
x x
đạt giá trị nhỏ nhất.
b ) Cho : x6 + y6 = 10,1012 x12 + y12 = 200,2023 Hãy tính gần giỏ tr biu thc x18 + y18
Sơ lợc cách giải: điểm
a) Ta có
2
2
256
4( 5) 4.256 64
2
P x x
x x
VËy Pmin = 64
x¶y x =1 hc x = -
0,5 0,5 b) Đặt 2 10,1012 200, 2023
a b m
x a
a b n
y b
x18y18 a3b3 (a b )3 (ab a b )
2 2
3 ( ) ( )
( ) 3( )
2
a b a b m n
a b a b m m
= 2518,091069
1,0 0,5
Thay số ta đợc: S = 2518,091069 0,5
Đáp số: a) x = x = - , Khi P = 64 b) S = x18 + y18 = 2518,09107
C©u 4: a/ Tìm số có chữ số cho
2
( )
ab a b
b/ Tìm số bbcc cho bbcc số phương
S¬ lợc cách giải: điểm
(2)a) Ta cã 10ab99 4 a b 0,5
4 a b
0,5
Thử máy tính ta đợc giá trị 92 81 (8 1) 0,5
b) Ta cã bbcc k 1100k2 9999 34 k 99 0,5
Mặt khác dể thấy bbcc11 nờn k211 k11 k = 44, 55, 66, 77, 88, 99 0,5
Thử máy tính ta đợc số 882 7744 0,5
Đáp số: a) ab81 b)bbcc7744
Câu Tính giá trị biểu thức:
3 3 3
2000 2002 2004 2006 2008 2010
A (Kt qu chớnh xỏc).
Sơ lợc cách giải: ®iĨm
Tính số máy tính ta đợc: Sau cộng giấy ta đợc kết 0,5
A = 40 369 321 800 0,5
Đáp số: A = 48 361 321 800
Câu 6: Tìm số tự nhiên n nhỏ cho lập phương số ta số tự nhiên có chữ số cuối
chữ số chữ số đầu chữ số 8: n3 88 88 Nêu sơ lược cách giải.
Sơ lợc cách giải: 0,5 điểm
Hng đơn vị có 23 8 có chữ số cuối Với số a23 có 423 74088 ; 923778688
có chữ số cuối Ta có:
a 8800 88000 88 104
88 10 88 10 88 10 88 10
3a 20,xxx… 44,xxx… 95,xxx… 206,xxx… 444,xxx… 958,xxx… 2064,xxx…
Như vậy, để số lập phương có số đầu chữ số phải bắt đầu số: 20x; 44x; 95x; 206x; 444x; 958x; (x = 0, 1, 2, , 9)
Thử số: Các số ta 20692 Vậy số n nhỏ cần tìm là:
n = 20692 n3 = 8859463213888
0,25
0,25
Đáp số n = 20692
C©u 7: a) Cho biết chữ số cuối bên phải số 189473411viết hệ thập phân
b) Tìm số dư r1 phép chia
63
(298234) cho 793 số dư r
2 phép chia
2008
(19764) cho 793
Sơ lợc cách giải: 1,0 điểm
a) Ta có:
34
11 100
3411 3411
18947 947 (mod 1000) 947 947
0,25
34
10 10
10 10
947 947 947 (mod 1000) 403 049 (mod 1000)
=403.001(mod 1000) 403(mod 1000) = 403 (mod 1000) 0,25
b) Thực phép lấy đồng d ta đợc:
+
63 63
298234 66 mod 793 27 mod 793 430 mod 793 0,25
+Làm tơng tự
1000
2008 2008 1000
19764 732 mod 793 732 732 mod 793 549.549 mod 793
100
10 100
549 549 mod 793 549.549 mod 793 549.549 61 mod 793
0,25
Đáp số a) 403; b) r1 = 430 ; r2 = 61
(3)BiÕt diƯn tÝch c¸c tam gi¸c KPI = S1, diƯn tÝch tam gi¸c MIE = S2 diƯn tích tam giác NHI = S3 MN//AB; PE//BC; KH//AC (Hình vẽ) b) Tính diện tích tam giác ABC (hình bên),
biÕt
2 2
1 6, 45 ; 6,65 ; 13,78
S cm S cm S cm
(diện tích làm tròn đến chữ số thập phân sau dấu phẩy)
Sơ lợc cách giải: 4,0 điểm
a) Da vào tính chất tam giác đồng dạng: Tỷ số đồng dạng bậc
cña tû sè diện tích Nên ta gọi S diện tích tam gi¸c ABC 0,5
LËp luËn
3
1
1 S
S S PK AK BP
AB AB AB
S S S
2,0
32
S S S S
0,5
b) Thay số ta đợc S = 77,97926059 1,0
Đáp số: a)
2
1
S S S S
; b) S = 77,97926cm2
Cõu 9: Cho nửa hình trịn đờng kính AB, AC, BC tiếp xúc đơi một, AB = 6cm, AC = cm Vẽ hình trịn tiếp xúc với hình trịn trờn(hỡnh v)
Tính bán kính hình tròn vẽ thêm
Sơ lợc cách giải: 1, điểm
Gọi x bán kính đờng trịn cần tìm Hạ HI vuụng gúc vi AB
Đặt ; ' '' 2; ' ; ''
a a b b
AB a AC b OA OA O O OO OO
' ; ; ''
2 2
b a a b
O H x OH x O H x
¸p dơng hệ thức lợng tam giác vuông ta có:
2
' ' ' ' ' '
2 a b
O I OI O I OI O I OI O O O I OI O I OI
=
2 2 2
2( )
'
2
b a b a a b a b
x x a b x O I OI x
a b
(1)
0,25
Tơng tự ta tính đợc:
2( )
'' '
2
a b a b
O I O I x
a
(2)
0,25
Lấy (1) + (2) ta đợc
2( ) 2( )
'' ''
2
b a b a b b
O I OI OO x
a b a
0,25
2 b x
a b a b
a b a
Thay a = 6cm; b =2 cm ta đợc x =
7cm = 0,85714cm
0,25
Đáp số: 0,85714cm
Câu 10: TÝnh tæng S = 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 301.302.303.304
Sơ lợc cách giải: 0,5điểm
_O
''
_O
'
_O
_A
_B
_H
_G
_C
I x
x
x
x
B
1
S S2
A
C N
E P
H
K M
I
(4)Ta cã
2 3 ( 1)( 2)( 3) 3 1 ( 1)( 2)( 3) 3
k k k k k k k k k k k k k k
0,25
Cho k = 1, 2,… 1000 ta đợc S =
2 2 301.302.603 301.302
1 301 3(1 301)
6
= 272 004 0,25
Đáp số: S = 272 004
Ghi chú:+ Mọi cách giải khác cho thang điểm.