Ứng dụng của quan hệ thứ tự trong giải tích

THƯ VIỆN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HƠ CHÍ MINH KOULAVONG SOUKANH ỨNG DỤNG CỦA QUAN HỆ THỨ TỰ TRONG GIẢI TÍCH Chuyên nghàn: Tốn Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh- 2010 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn tập thể quý thầy cô tham gia giảng dạy lớp cao học Tốn Giải Tích Khố 18 Thầy mang đến cho tơi kiến thức Tốn học bổ ích thú vị Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Bích Huy Thầy tạo ý thức tham học hỏi long say mê nghiên cứu khoa học Thầy tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình thực luận văn TP.HCM, tháng năm 2010 Học viên KOULAVONG Soukanh MỞ ĐẦU Quan hệ thứ tự có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Toán học Lý thuyết tập hợp, Đại số, Giải tích Ngay vấn đề nghiên cứu khơng liên quan đến thứ tự việc đưa vào thứ tự thích hợp làm cho việc trình bày trở nên rõ ràng, ngắn gọn (như việc chứng minh định lý Tychonoff, Hahn-Banach, Caristi, nguyên lý biến phân Ekeland ) cho phép làm nhẹ giả thiết (như giả thiết dự liên tục ánh xạ xét tốn điểm bất động khơng gian có thứ tự ) Trong luận văn chúng tơi trình bày định lý tập hợp có thứ tự, bổ đề Zorn dạng tương đương nguyên lý Entropy trừu tượng Trình bày ứng dụng khác hai định lý Giải tích ứng dụng vào toán so sánh lực lượng tập hợp, vào Tơ pơ Giải tích hàm, vào lý thuyết Độ đo, vào toán điểm bất động Luận văn gồm chương: Chương 1:Chúng nêu số định nghĩa, định lý tập hợp có thứ tự Chương 2: Các ứng dụng vào toán so sánh lực lượng tập hợp Chương 3: Ứng dụng vào Tô pơ, Giải tích hàm Chương 4: Ứng dụng Lý thuyết độ đo Chương 5:Ứng dụng Giải tích phi tuyến số toán điểm bất động Chương CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ TẬP CÓ THỨ TỰ 1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA:  Định nghĩa Ta nói tập X phần số cặp phần tử x, y  X có định nghĩa quan hệ “ x  y ” cho: i) x  x x  X ii ) ( x  y, y  x)  x  y iii ) ( x  y, y  z )  x  z  Định nghĩa Cho tập X Ta nói: 1) A  X xích (tập thẳng, tập hoàn toàn) : x  y x, y  A   y  x 2) a X cận A  X x  a x  A 3) a  X phần tử tối đại Xnếu: ( x  X , a  x)  x  a Khái niệm cận dưới,phần tử tối tiểu định nghĩa tương tự Ghi chú: Trong số tài liệu người ta định nghĩa: 1) Tập X gọi xếp quan hệ “  ” có tính chất iii) 2) Khi A gọi xích nếu: i) ( x, y  A, x  y, y  x)  x  y ii) x  y x, y  A   y  x x  a 3) Phần tử a gọi tối đại X x  X   a  x  Định nghĩa Một dãy phần tử Xn (n  )của (X,  ) gọi dãy tăng (tăng ngặt ) nếu: x n  x m (x n < x m ) mà n