Mối quan hệ giữa các p i nữa nguyên tố và điều kiện ore và goldie về sự tồn tại vành các thương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Vũ Thị Tuyết Mai MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC P.I NỬA NGUYÊN TỐ VÀ ĐIỀU KIỆN CỦA ORE VÀ GOLDIE VỀ SỰ TỒN TẠI VÀNH CÁC THƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin gởi lời tri ân PGS.TS Bùi Tường Trí tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực luận văn Tơi xin trân trọng cám ơn tất quý thầy cô trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM trường Đại học Khoa Tự Nhiên TP.HCM, Phòng Nghiên cứu Khoa học Sau đại học trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành khố học Tôi xin cám ơn quý thầy cô hội đồng khoa học đọc, nhận xét đóng góp ý kiến quý báu luận văn Cảm ơn tất bạn học viên Cao học Đại số Lý thuyết số khóa 18 tơi trao đổi hồn thiện kiến thức q trình học tập Cảm ơn tất bạn bè đồng nghiệp quan tâm, động viên suốt trình học tập Cuối tơi xin dành tất tâm tình sâu lắng đến gia đình, đặc biệt mẹ thời gian điều trị bệnh nan y – bệnh ung thư – người khơng ngừng động viên tơi hồn thành luận văn Có thể luận văn tơi khơng hồn thiện tim mẹ tơi đẹp nhất, hay nhất, đáng trân trọng Cảm ơn bố mẹ cho đến trường, có đời tươi đẹp, trải nghiệm hạnh phúc đời người làm thực muốn chăm sóc mẹ Do trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi sai sót, kính mong thơng cảm góp ý xây dựng quý thầy cô bạn TP HCM năm 2010 Vũ Thị Tuyết Mai MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong lĩnh vực lý thuyết vành khơng giao hốn, ta biết để xây dựng vành thương vành khơng giao hốn nhà toán học xây dựng theo hai cách Cách cổ điển cịn gọi “Địa phương hóa theo tâm” mở rộng tự nhiên việc xây dựng trường thương miền nguyên, với cách làm ta thu vành thương cổ điển bên trái (hoặc phải) vành R khơng giao hốn Đối với cách xây dựng nhà toán học nhận thấy khơng phải tất vành khơng giao hốn xây dựng vành thương Do hai nhà tốn học Ore Goldie tìm cách mới, đại để làm điều này, ta tạm gọi xây dựng vành thương theo nghĩa Ore Goldie Chúng ta biết, P.I vành ngun tố ln ln xây dựng thương theo nghĩa cổ điển P.I vành nguyên tố xây dựng theo nghĩa Ore Goldie Vấn đề tương tự đặt cho P.I nửa nguyên tố Liệu P.I vành nửa ngun tố ln ln xây dựng vành thương theo nghĩa Ore Goldie ? Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn muốn giải phận câu hỏi Luận văn mong muốn làm sáng tỏ mối quan hệ P.I nửa nguyên tố điều kiện Ore Goldie tồn vành thương Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn lớp vành khơng giao hốn Phạm vi nghiên cứu vành đặc biệt Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, phân tích so sánh Cấu trúc luận văn Luận văn gồm ba chương Chương Những vấn đề lý thuyết vành khơng giao hốn Trong chương luận văn trình bày lại số kiến thức lý thuyết vành khơng giao hốn có liên quan đến chương sau Luận văn phát biểu lại định lý, bổ đề, hệ không sâu vào chứng minh chúng Các kết nhắc lại dùng làm lý thuyết phục vụ đề tài Chương Các phương pháp xây dựng vành thương vành khơng giao hốn Trong chương nêu rõ hai phương pháp xây dựng vành thương, theo cách cổ điển đại Các định lý hầu hết chứng minh cách tường minh Chương Nghiên cứu việc xây dựng vành thương Ore Goldie cho lớp P.I nửa nguyên tố Chúng ví dụ khơng tồn vành thương theo nghĩa Ore Goldie cho vành P.I nửa nguyên tố CHƯƠNG 1: NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH KHƠNG GIAO HỐN 1.1 Tóm tắt kiến thức sở Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành có đơn vị Nếu phần tử khác R khả đảo (đối với phép nhân) R gọi thể (hay vành chia) Định nghĩa 1.1.2 * M gọi R -modul tồn ánh xạ f : M  R  M  m, r   mr thỏa: i ) m  a  b   ma  mb ii )  m  n  a  ma  na với m, n  M ; a, b,1 R iii )  ma  b  m  ab  * M gọi R -modul trung thành M r    r  Định nghĩa 1.1.3 Cho M R -mođun, ta định nghĩa A  M  tập hợp tất phần tử R linh hóa tồn M A  M   r  R M r    Bổ đề 1.1.4 A  M   r  R M r    ideal hai phía R M R A M  -modul trung thành M R -mođun trung thành  A  M   (0) Định nghĩa 1.1.5 M gọi R -modul bất khả quy M    M có hai modul tầm thường   M Bổ đề 1.1.6 Nếu M R -modul bất khả quy M  R  với  ideal tối đại R Hơn a  R : x  ax   , x  R  gọi ideal phải quy Ngược lại,  ideal phải quy R  R -modul bất khả quy Định nghĩa 1.1.7 (Định nghĩa tâm tập) Cho M R -modul, ta gọi tâm tập M R tập hợp: C  M     E  M  :   Tr  Tr   , r  R với Tr : M  M m  mTr  mr Bổ đề 1.1.8 Nếu M R -modul bất khả quy C  M  thể (vành chia) Chứng minh Hiển nhiên, C  M  vành E  M  Do C  M  vành Ta cần chứng minh   C  M    phần tử khả nghịch C  M  Thật vậy,   nên M   M  mođun M Theo giả thiết M R -modul bất khả quy nên ta có M   M , suy  toàn cấu Hơn  đơn cấu, ker   Thật vậy, giả sử ker   M R -modul bất khả quy nên ker   M ,   (mâu thuẫn) Tóm lại ta có  đẳng cấu Suy tồn đẳng cấu ngược  1  E  M  Khi ta có:   C  M   Tr  Tr , r  R   1Tr   1Tr , r  R  Tr   1Tr , r  R  Tr 1   1Tr , r  R   1  C  M  Định nghĩa 1.1.9 A gọi vành Artin phải tập khác rỗng ideal phải A có phần tử nhỏ Hay tập khác rỗng ideal phải A thỏa mãn chuỗi điều kiện giảm 1.2 Radical vành đại số Định nghĩa 1.2.1 Radical vành R , ký hiệu J  R  , tập phần tử R mà linh hóa tất modul bất khả quy R Khi J  R    A  M  với M R - modul bất khả quy J  R  gọi ideal hai phía R Nếu R khơng có modul bất khả quy J  R   R Khi R gọi radical Jacbson Định nghĩa 1.2.2 Một ideal phải  R gọi quy có phần tử a  R : x  ax   , x  R Định nghĩa 1.2.3 Nếu  ideal phải R   : R  =  x  R Rx    Bổ đề 1.2.4 Nếu  ideal phải quy R   : R  ideal hai phía lớn R nằm  Nếu  ideal phải tối đại quy R A  M     : R  với M  R  Định lý 1.2.5 J  R      : R  với  ideal phải tối đại quy R Bổ đề 1.2.6 Nếu  ideal phải quy R    R   nằm ideal phải quy tối đại Định lý 1.2.7 J  R     với  ideal phải tối đại quy R Định nghĩa 1.2.8 * a  R gọi tựa quy phải a '  R : a  a ' aa '  * a ' gọi tựa nghịch đảo phải a * Tương tự ta có tựa quy trái, tựa nghịch đảo trái * Một ideal gọi tựa quy phải phần tử tựa quy phải * J  R  ideal tựa quy phải Định lý 1.2.9 J  R  ideal tựa quy phải chứa ideal tựa quy phải, tức J  R  ideal tựa quy phải tối đại R Định nghĩa 1.2.10 * Phần tử a  R gọi lũy linh n  N : a n  * Ideal phải (trái) R gọi nil-ideal phải (trái) phần tử lũy linh * Ideal phải (trái)  R gọi ideal lũy linh phải (trái) m  N : a1.a2 am  ai   , tức m  N :  m  Nhận xét * Nếu  ideal lũy linh  nil-ideal * Mọi phần tử lũy linh tựa quy * J  R  chứa nil-ideal phía * Nếu R có ideal lũy linh khác R có ideal hai phía lũy linh khác Định nghĩa 1.2.11 A gọi đại số trường F A thỏa mãn điều kiện: * A vành * A không gian vecto trường F * a, b  A,   F :   ab    a  b   a  b Nếu A có đơn vị  nằm tâm A với   F Mệnh đề 1.2.12 Nếu A đại số trường F radical đại số A trùng với radical vành A Định nghĩa 1.2.13 Miền nguyên A (trong vành không giao hốn) vành khơng có ước khơng Định nghĩa 1.2.14 Đại số A gọi đại số chia A vành khơng giao hốn mà phần tử khác không khả nghịch 1.3 Một số vành đặc biệt 1.3.1 Vành nửa đơn Định nghĩa 1.3.1.1 Vành R gọi nửa đơn  J  R     Định lý 1.3.1.2 R J  R vành nửa đơn Bổ đề 1.3.1.3 Mọi ideal hai phía A vành nửa đơn R vành nửa đơn Định lý 1.3.1.4 Nếu A ideal hai phía vành R J  A   J  R   A Định lý 1.3.1.5 J  M n  R    M n  J  R   Với M n  R  vành ma trận vuông cấp n lấy hệ tử vành khơng giao hốn R 1.3.2 Vành Artin Định nghĩa 1.3.2.1 Vành R gọi vành Artin phải tập khác rỗng ideal phải R có phần tử tối tiểu (Vành R gọi vành Artin phải tập khác rỗng ideal phải R có phần tử tối tiểu) Ta định nghĩa vành Artin cách khác: Vành R gọi vành Artin phải dãy giảm ideal phải i R dừng sau hữu hạn bước, nghĩa đến điểm i (Vành R gọi vành Artin trái dãy giảm ideal trái i R dừng sau hữu hạn bước, nghĩa đến điểm i nhau) Nhận xét: * Trường, thể (vành chia) vành Artin * Tổng trực tiếp số hữu hạn vành Artin vành Artin * Mọi vành có hữu hạn ideal phải (trái) vành Artin * Vành ma trận vuông cấp n trường hay thể vành Artin * Ảnh đồng cấu vành Artin vành Artin Định lý 1.3.2.2 Nếu R vành Artin J  R  ideal lũy linh Hệ 1.3.2.3 Trong vành Artin, nil-ideal ideal lũy linh Nhận xét: Giả sử R vành tùy ý, R có ideal phải, lũy linh, khác   R có ideal phải hai phía, lũy linh, khác   Định nghĩa 1.3.2.4 Phần tử e  R, e  gọi lũy đẳng e  e Bổ đề 1.3.2.5 Giả sử R vành khơng có ideal lũy linh khác   , giả sử     ideal phải (trái) tối tiểu vành R Khi  ideal sinh phần tử lũy đẳng R :   eR Nhận xét: Trong vành khơng có ideal lũy linh khác   ideal phải (trái) khác   , tối tiểu ideal sinh phần tử lũy đẳng Bổ đề 1.3.2.6 Cho R vành tùy ý, a  R cho a  a lũy linh Khi đó, a lũy linh tồn đa thức q  x  với hệ số nguyên cho e  a.q  a  phần tử lũy đẳng khác Nếu định nghĩa M  r  R rb  Ra M ideal đủ lớn  M chứa phần tử c quy (theo bổ đề 2.2.2.9) Từ định nghĩa M ta chọn d  R : cb  da  R thỏa mãn điều kiện Ore Từ định lý Ore ta vành thương trái Q  R  tồn Chú ý Nếu I ideal trái Q I  Q  I  R  Nếu A1  A2   An tổng trực tiếp ideal trái R QA1  QA2   QAn tổng trực tiếp ideal trái Q Chứng minh Lấy x1 , x2 , , xk  Q  a  R quy, b1 , b2 , , bk  Q : xi  a 1bi  Điều phải chứng minh Định lý 2.2.2.14 (Định lý Goldie) Q vành nửa đơn thỏa mãn chuỗi điều kiện giảm ideal trái Chứng minh Giả sử I    ideal trái Q  K ideal trái R cho  I  R   K ideal đủ lớn R (Ta lấy K phần bù  I  R  tổng trực tiếp dài chứa  I  R  thành phần)   I  R   K có phần tử quy (theo bổ đề 2.2.2.12)  Q  Q  I  R   K  I  QK Nếu phần tử đơn vị Q  i  k với i  I , k  QK Ta có: i  i  0, ik   QI  I I sinh lũy đẳng Trường hợp đặc biệt, ideal trái Q suy Q vành Goldie trái (thực tế vành Noether trái)  Mọi ideal trái Q sinh lũy đẳng  Q chứa ideal không lũy linh  Q nửa nguyên tố Với cách chọn I    ideal trái Q ta có I  Qe với e  e r  Qe   r  e   1  e  Q Ta có:  l  r  Qe    l  1  e  Q   Qe  I  Mọi ideal trái Q linh hóa tử trái Theo bổ đề 2.2.2.8, Q thỏa mãn chuỗi điều kiện giảm linh tử hóa trái  Q thỏa mãn chuỗi điều kiện giảm tất ideal trái  Q vành Artin nửa đơn Vậy Q vành nửa đơn thỏa mãn chuỗi điều kiện giảm ideal trái Định lý 2.2.2.15 (Định lý Goldie đảo) Giả sử R thứ tự trái (left order) S với S vành Artin nửa đơn R vành Goldie nửa nguyên tố Hơn nữa, S vành Artin đơn R vành Goldie nguyên tố Chứng minh * Chứng minh R vành Goldie Ta có S vành Artin nửa đơn với ideal trái S sinh lũy đẳng  S thỏa mãn chuỗi điều kiện tăng tất ideal trái  S thỏa mãn chuỗi điều kiện tăng linh tử hóa trái  R thỏa mãn chuỗi điều kiện tăng linh tử hóa trái (do R vành con) Giả sử 1 , 2 , , k tạo thành tổng trực tiếp ideal trái R  S 1 , S2 , , Sk tạo thành tổng trực tiếp ideal trái S Nếu s1a1 , s2 a2 , , sk ak  với si  S ,  i có phần tử d quy R , bi  R cho si  d 1bi  b1a1  b2 a2   bk ak  Do tính trực tiếp tổng R nên ta có bi   si  d 1bi   S 1 , S2 , , Sk tạo thành tổng trực tiếp  S không chứa tổng trực tiếp vô hạn  R không chứa tổng trực tiếp vô hạn Vậy R vành Goldie * Xét S vành Artin nửa đơn Giả sử N    ideal lũy linh R  N m      m1  N     SNS    ideal S  S có phần tử đơn vị Mặt khác, S vành Artin nửa đơn nên SNS  eS với e tâm lũy đẳng S Đặt e   uibi với ui  N , , bi  S Ta chọn a quy R, ci  R :  a 1ci  e  a 1  ciuibi  a 1  wibi với wi  ci ui  N Do e tâm S nên ta có: ae  ea  N m1ea  N m1ae  N m1ea  N m1  aa 1  wibi   N m1ea  N m1   wibi   N m1ea    N m1wi bi    (do N m1wi  N m    ) Do a quy R nên N m1e    Khi đó: N m 1 S   N m1SN m1S  N m1SNS  N m1eS    Do S nửa đơn nên S khơng có ideal lũy linh phải  N m1S     N m1     N  0 Điều mâu thuẫn với giả thiết N    Vậy R vành nửa nguyên tố * Xét S vành Artin đơn Giả sử A    ideal R  SAS ideal S  SAS  S Từ SAS  S S có phần tử đơn vị ta   bi ci với  A , bi , ci  S  b quy R cho bi  b 1di với di  R Nếu R có ideal B cho BA    BAS    Mặt khác:  b 1  di ci  b   di ci  AS  Bb  BAS  Bb     B  0 Vậy R vành nguyên tố CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU VỀ VIỆC XÂY DỰNG VÀNH CÁC THƯƠNG CỦA ORE VÀ GOLDIE CHO LỚP CÁC P.I VÀNH NỬA NGUYÊN TỐ 3.1 Đại số ma trận generic Cho K trường vô hạn Ta nghiên cứu đồng thức đại số hữu hạn chiều K Bổ đề 3.1.1 Cho f  K  X  đồng thức đại số hữu hạn chiều K L trường mở rộng K f đồng thức AL Ta có  a1 , a2 , , an   f  a1 , a2 , , an  k ánh xạ đa thức Nếu f :  A f :  AL Cho đại số đa thức F  K ij   tập đếm biến ij  ,  i, j  n, k  1,2,3, đại số ma trận M  F  Giả sử K   k    , k  1,2, Ta gọi K   đại số K sinh ma trận generic dạng     ij k k đại số ma trận generic bậc n K Cho L đại số giao hoán K A   aij   M n  L  Ta có đồng cấu  K - đại số thỏa k k  :F  L ij k   aij k  Đồng cấu  mở rộng đến đồng cấu  : M n  F   M n  L  eij  eij với eij ma trận đơn vị Sự thu hẹp từ đồng cấu  lên K   đồng cấu  : K    M n  L        k   ij k   A k   aij k    Xét P.I đại số phổ dụng K X  K X  In với I n T - ideal đơn vị    trường M n  K  Lấy f  I n f đồng thức M n    với   K ij thương F Do ta có: k  f    ,    , ,   m 0 Vì f chứa hạt nhân đồng cấu  : K  X   K   xk     k Nói cách khác, lấy g  ker  g    ,    , ,    ma trận M n  K  g A  , , A m m   lấy A  , , A  m m    g đồng thức M n  K   g  In  I n  ker  Định lý 3.1.2   Giả sử K X  K X In P.I đại số phổ dụng trường vô hạn K xác định T - ideal I n gồm đồng thức M n  K  ta có đẳng cấu    : K X  K     xk      ij k k   Ta chứng minh K X  K   miền nguyên Giả sử  trường thương miền nguyên F Để chứng minh định lý ta cần bổ đề sau: Bổ đề 3.1.3 K    không gian M n    sinh K   Khi K    M n    Chứng minh 1 Xét ma trận  , ,   k  n2 n  Ta xếp thứ tự eij e1 , , en2 ký hiệu lại biến   l el ,1  k  n , ta có n biến l  k k      Đặc biệt hóa      Xét det l    det l k  1 , ,  n  k k l k l ta nhận giá trị định thức Do ta viết el  - tổ hợp tuyến tính ma trận Suy K    M n    Định lý 3.1.4   P.I đại số phổ dụng K X  K X In miền nguyên Chứng minh   * Chứng minh K X  K   nguyên tố Cho  ,   K   thỏa  K       M n      (Bổ đề 3.1.3)    (do M n    nguyên tố)     K   nguyên tố    K  X  P.I đại số, đại số thương tâm D  K X nguyên tố   K X đơn hữu hạn chiều tâm Hơn ta chứng minh D đại số chia Giả sử D không đại số chia  D chứa phần tử lũy linh khác không    K X chứa phần tử lũy linh khác không   cho  Tồn đa thức f  x1 , , xm   K X f  x1 , , xm  không đồng thức M n  K  , f r đồng thức M n  K  với r  Mọi trường mở rộng L / K , f r đồng thức M n  L  f khơng Ta biết với trường K m có đại số cyclic  L, s,   , n chiều tâm C nó, với C trường mở rộng K Bởi  L, s,     L, s,   C L  M n  L  L trường mở rộng K suy L f r đồng thức  L, s,   , f khơng Vì  L, s,   đại số chia nên điều vơ lí Vậy K  X  miền nguyên Xét đại số thương tâm K  X  Do chứng minh ta đại số chia Ta gọi đại số chia phổ dụng bậc n K , ký hiệu UD  K , n  Tâm UD  K , n  trường thương tâm K  X  Giả sử f  x1 , , xm  đa thức tâm M n  K   f  x1 , , xm  không đồng thức M n  K   f , xm1  đồng thức M n  K     f x1 , , xm      f x1 , , xm , xm1          Vì ta có tự đồng cấu K X  K X với xi cố định,  i  m   xm1  f , f  K X     nên ta có f x1 , , xm nằm tâm K X  * Đảo lại, giả sử f  x1 , , xm   K  X  có tính chất f x1 , , xm   khơng thuộc tâm K X  f  x1 , , xm  đa thức tâm M n  K  Bổ đề 3.1.5  phần tử khác   bao gồm phần tử f  x , , x  với Tâm K X m f  x1 , , xm  đa thức tâm M n  K  Tâm UD  K , n  tập phần tử dạng g  x1 , , xq  f  x1 , , xm  1 với f  x1 , , xm  đa thức tâm M n  K  g đa thức khác Định lý 3.1.6 Cho K  X  P.I đại số phổ dụng K X  In A đại số đơn tâm n chiều trường mở rộng L K Cho dãy phần tử a1 , a2 ,  A tồn   đồng cấu K -đại số từ K X  A biến xk  ak , k  1, 2, Hơn nữa, với đồng cấu     hạn  f , , f  phần tử khác khơng K  X  tồn đồng cấu K  X  mà  f khả nghịch A với  j  r K -đại số K X  A , tâm C K X ánh xạ vào L , tập hữu r K -đại số  j Chứng minh Ta có đồng cấu K  X   A xi  Nếu f  I n f đơn vị M n  K  M n  E  với E trường chẻ A L  f đồng thức A f  qua đồng cấu K  X  biến xi    Do ta nhận đồng cấu cảm sinh K X  A xk  ak , k  1, 2, Tương tự ta thấy f  K  X  đa thức tâm M n  K  f tâm A  f  a1 , , am   L, ai  A  ai : f  a1 , , am     gồm có phần tử f  x , , x  với Vì tâm K X m f  x1 , , xm  đa thức tâm M n  K  suy phần thứ hai định lý hiển nhiên     Giả sử f1 , f , , f r phần tử khác K X Ta nhúng K X vào   UD  UD  K , n  đại số thương tâm K X Xét mi      n   1  n1    1  n  đa thức sinh tối tiểu f i phần tử n i i UD   Khi  's thuộc tâm F UD , trường thương tâm C K X Vì UD đại số chia fi  ,  n   N  fi   Ta nhân thêm vào mi    i phần tử không đổi  g  C thu đa thức g  n  g1  n1   g n   với g j   C i i i g n   i  gfi n  g1i  f i n1   g ni     i g n    g  i  i  Do tồn K -đồng cấu  : K X  A mà   g  g n     i    Ta có hệ thức liên   hệ:     g   fi    g1i    fi  n n 1      g n   i với     g  ,  g1i   L,   g   0,  g1i      fi  khả nghịch A 3.2 Xây dựng vành thương Ore Goldie cho lớp P.I vành nửa nguyên tố Ta vào mục đích chương tồn P.I vành nửa nguyên tố mà vành thương theo nghĩa Ore Goldie    2i  Cho F trường X i   1i  , i  ma trận generic vuông  có phần   4i   3i tử biến giao hoán F Mệnh đề Giả sử H  F   miền nguyên F sinh  i ,    , i  H ' trường thương bên trái H Tích trực tiếp đầy đủ  M  H ' số đếm H ' có đơn vị  1,1,1,  F -đại số theo cách tự nhiên Giả sử R F -đại số  M  H ' R sinh 1, x   X , X 2 , X ,  tổng trực tiếp vô hạn đếm  M  H ' R đại số thương tâm, nửa đơn thỏa điều kiện bên trái – bên phải Ore, phần tử quy x khơng khả nghịch R Điều dẫn đến R không đại số thương bên trái bên phải Chứng minh Hiển nhiên R nửa đơn tích trực tiếp M  H ' Do phần tử R biểu thị dạng p  x   r với p đa thức có hệ số F r  M  H ' nên p  x   r quy p  Do R  F    H '  nên R đại số thương tâm Bây giờ, ta kiểm tra điều kiện Ore bên trái Cho a  p1  x   r1 , b  p2  x   r2 , a quy Giả sử a ', b '  R, a ' quy cho a 'b  b ' a  Lấy phần tử r  R , ta có: r   r 1 , r   ,  I  i     r1  i      tập  r2  i    hữu hạn Với i  I ,  p2  x  a   i   p2  X i  p1  X i    bp1  x    i  Chọn r1 ', r2 '   M  H  : r1 '  i   r2 '  i   với i  I Với i  I , p1  X i   r1 '  i  quy M  H   p1  X i   r1 '  i   b   p2  X i   r2 '  i   a Hiển nhiên a '  p1  x   r1 ' quy với b '  p2  x   r2 ' ta có a ' b  b ' a  R thỏa điều kiện Ore bên trái (Chứng minh tương tự cho điều kiện Ore bên phải) Rõ ràng x quy X i generic Nếu x khả nghịch ta có  p  x   r  x  1, r   M  H '  r  i   0, p  X i  X i  (vô lý) Vậy x không khả nghịch Ví dụ Cho x, H mệnh đề R đại số  M  H  sinh 1, x, x '   X ,0, X ,0,   M  H  Khi R đại số nửa nguyên tố không thỏa đồng thời điều kiện bên trái bên phải Ore Chứng minh Do  M  H   R   M  H  , R tích trực tiếp đại số nguyên tố nửa nguyên tố Giả sử R không thỏa điều kiện bên trái Ore  a, b  R với a quy cho ax '  bx Lấy phần tử R mà dạng phần tử p  x   q  x, x '  r với p đa thức biến (hệ số F ), q đa thức hai biến cho biến số thứ hai có bậc dương đơn thức q , r   M  H  Cho a  p1  x   q1  x, x '  r1 b  p2  x   q2  x, x '  r2  p1  x  x ' q1  x, x '  x ' r1 x '  p2  x  x  q2  x, x ' x  r2 x Do r1 , r2   M  H  nên k  : r1  i   r2  i   với i  k Do x ' có giá trị thành phần chẵn, kí hiệu  2k  , nên với thành phần  2k  ta có  p2  X k  X k Do X k generic nên p2   p1  x  x ' q1  x, x '  x ' r1 x '  q2  x, x ' x  r2 x Ở thành phần  2k  1 ta có: p1  X k 1  X k   q1  X k 1 , X k   X k   q2  X k 1 , X k   X k 1 Đặc biệt hóa X k 1  e11 , X k 2 e12 ta được: p1   e11.e12  q1  e11 , e12  e12  q2  e11 , e21  e11 Do e12 có mặt số hạng q1 , q2 thế: q1  e11 , e12  e12  q2  e11 , e21  e11   p1     p1   a  q1  x, x '  r1 không phần tử quy với a  2k   R không thỏa điều kiện bên trái Ore (Chứng minh tương tự cho điều kiện bên phải Ore) KẾT LUẬN Trong chương I trình bày số vấn đề lí thuyết vành khơng giao hốn nhằm mục đích phục vụ cho luận văn Những định lý, tính chất chương I chúng tơi chủ yếu nêu lại, chứng minh Trong chương II chúng tơi trình bày hai phương pháp xây dựng vành thương vành khơng giao hốn cho lớp P.I ngun tố: phương pháp cổ điển (Địa phương hóa theo tâm), phương pháp Ore Goldie Chúng phát triển vấn đề: Liệu phương pháp Ore Goldie cho tất lớp P.I ngun tố có cho tất lớp P.I nửa nguyên tố? Trong chương III chúng tơi ví dụ chứng tỏ phương pháp Ore Goldie thực cho tất lớp P.I nửa ngun tố Trong q trình nghiên cứu khơng thể tránh khỏi hạn chế thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý chân thành quý thầy đồng nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2010 Người thực Vũ Thị Tuyết Mai TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Mỵ Vinh Quang (1999), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo Dục Trần Văn Đông (2004), Một số nghiên cứu P.I đại số nửa nguyên tố, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Nguyễn Thị Minh Nguyệt (2009), Một lớp P.I đại số nửa nguyên tố, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Trương Huy Hồng (2007), Về P.I đại số nguyên tố nửa nguyên tố thỏa mãn đồng thức đa thức, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh I N Herstein (1968), Noncommutative Rings, The Mathematical Association of America M F Atiyah & L.G.Macdonal (1969), Introduction to commutative Algebra, University of Oxford, Rerseus Books, Cambridge, Massachusetts Nathan Jacobson (1975), P.I – Algebras An Introduction, Springer – Verlag, Berlin C Frocesi (1973), Rings with Polynomial Identity, Marcel Dekker Monograph Louis Halle Rowen (1973), On Algebras with Polynomial Identity, Yale Dissertation 10 E Formanek (1972), Central polynomials for matrix rings, Journal of Algebra 23, 129 – 133 11 Louis Halle Rowen (1974), On Rings with Central Polynomials, Journal of Algebra 31, 393 – 426 ... khả nghịch A 3.2 Xây dựng vành thương Ore Goldie cho lớp P.I vành nửa nguyên tố Ta vào mục đích chương tồn P.I vành nửa nguyên tố mà khơng có vành thương theo nghĩa Ore Goldie    2i  Cho F... Vậy R vành vừa đơn vừa nửa đơn nên R vành nguyên thủy 1.3.5 Vành nguyên tố Định nghĩa 1.3.5.1 a  Vành R gọi vành nguyên tố với a, b  R aRb      b  Bổ đề 1.3.5.2 Vành R vành nguyên tố. .. trái (left order) S với S vành Artin nửa đơn R vành Goldie nửa nguyên tố Hơn nữa, S vành Artin đơn R vành Goldie nguyên tố Chứng minh * Chứng minh R vành Goldie Ta có S vành Artin nửa đơn với ideal