Định lý krasnosel’skii về ánh xạ nén và giãn mặt nón và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Bùi Nguyễn Khánh Bình ĐỊNH LÍ KRASNOSEL’SKII VỀ ÁNH XẠ NÉN VÀ GIÃN MẶT NÓN VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh- 2010 LỜI CẢM ƠN Tơi vơ biết ơn PGS.TS Nguyễn Bích Huy, Khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Thầy giảng dạy, hướng dẫn tận tình giúp đỡ tơi mặt học tập, nghiên cứu khoa học q trình thực luận văn Tơi xin phép bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thành viên Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ cấp Bộ môn cấp Trường cho nhận xét, đánh giá bình luận quý báu với lời bảo, đề nghị quan trọng tạo điều kiện để tơi hồn thiện luận văn cách tốt Tơi kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn, mơn Tốn giải tích Phịng Khoa học Cơng nghệ- Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, giúp đỡ tơi nhiều q trình học tập bảo vệ luận văn, lời cảm ơn chân thành trân trọng Tơi kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chấp hành Cơng Đồn Trường tổ Tốn Trường Trung học Phổ thông Nguyễn Hữu Thọ huyện Bến Lức, tỉnh Long An nơi giảng dạy tạo nhiều điều kiện thuận lợi vật chất tinh thần để tơi hồn thành tốt khóa học, lời cảm ơn sâu sắc Tôi thành thật cảm ơn Anh, Chị đồng nghiệp lớp Cao học khóa 18 Chun ngành Tốn giải tích (niên khóa 2007-2010) giúp đỡ tơi q trình học tập Người thân gia đình tơi cho tơi nguồn động viên to lớn Tơi kính trọng xin ghi ơn tất người Người thực luận văn Bùi Nguyễn Khánh Bình MỞ ĐẦU Lý thuyết phương trình khơng gian có thứ tự ứng dụng để nghiên cứu tồn nghiệm, xấp xỉ nghiệm tính ổn định nghiệm cho nhiều lớp phương trình vi phân tích phân xuất phát từ Tốn học, Khoa học tự nhiên, Kinh tế học,… Trong lí thuyết phương trình khơng gian có thứ tự định lí Krasnosel’skii điểm bất động ánh xạ nén giãn mặt nón đóng vai trị quan trọng Vai trị định lí so sánh với định lí Banach điểm bất động ánh xạ co định lí Schauder điểm bất động ánh xạ compắc Vì tầm quan trọng nên định lí Krasnosel’skii nhà Tốn học quan tâm nghiên cứu ngày theo hướng mở rộng tìm ứng dụng ngày đa dạng định lí cho lớp phương trình cụ thể Từ kết phong phú định lí Krasnosel’skii, mở rộng ứng dụng trình bày báo tạp chí Khoa học tài liệu Giải tích phi tuyến, luận văn cố gắng trình bày cách hệ thống với chứng minh chi tiết cho kết để có cách nhìn hồn chỉnh định lí Krasnosel’skii vấn đề liên quan Luận văn gồm có hai chương: Chương kiến thức chuẩn bị, bao gồm khái niệm nón khơng gian Banach có thứ tự, số điểm bất động ánh xạ dương, định lí điểm bất động ánh xạ nén giãn mặt nón Krasnosel’skii định lí nhiều điểm bất động Ở chương trình bày ứng dụng định lí điểm bất động ánh xạ nén giãn mặt nón Krasnosel’skii vào việc giải tốn phương trình tích phân tốn phương trình vi phân Chương 1: ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ NÉN VÀ GIÃN MẶT NÓN 1.1.Khơng gian Banach có thứ tự 1.1.1 Nón thứ tự sinh nón Định nghĩa 1.1.1 a) Tập K khơng gian Banach thực E gọi nón nếu: i) K tập đóng ii) K + K Ì K , lK Ì K , "l ³ iii) K Ç (-K ) = {q} b) Nếu K nón thứ tự E sinh K định bởi: x £y  y -x ỴK x Î K \ {q} gọi dương Mệnh đề 1.1.1 Giả sử ''  '' thứ tự sinh nón Khi đó: a) x £ y  x + z £ y + z, lx £ ly, "z Ỵ E , "l ³ b) (x n £ yn (n Ỵ * ), lim x n = x , lim yn = y )  x £ y c) Nếu {x n } dãy tăng, hội tụ x x n £ x , "n Ỵ * Chứng minh mệnh đề 1.1.1 b) Suy từ tính chất đóng K c) Cho m  ¥ bất đẳng thức x n £ x n +m ta điều phải chứng minh 1.1.2 Nón chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Nón K gọi nón chuẩn nếu: $N > : q £ x £ y  x £ N y Mệnh đề 1.1.2 Giả sử ''  '' thứ tự sinh nón chuẩn Khi đó: a) Nếu u £ v đoạn u, v = {x Ỵ E : u £ x £ v} bị chặn theo chuẩn b) Nếu x n £ yn £ z n (n Ỵ * ) lim x n = a, lim z n = a lim yn = a c) Nếu {x n } đơn điệu có dãy hội tụ a lim x n = a Chứng minh mệnh đề 1.1.2 a) "x Î u, v  q £ x - u £ v - u  x -u £ N u -v  x £ u + N u -v b) q £ yn - x n £ z n - x n  yn - x n £ N z n - x n c) Coi {x n } tăng lim x n = a k ¥ k x n £ x n ( n cố định, k đủ lớn) nên x n £ a, "n Ỵ * k Cho e > , chọn k0 để x n - a < k0 e ta có N "n ³ nk  a - x n £ a - x n  a - x n £ N a - x n k0 k0 < e  1.1.3 Nón qui Định nghĩa 1.1.3 Nón K gọi nón qui dãy tăng bị chặn hội tụ Mệnh đề 1.1.3 Nón qui nón chuẩn Chứng minh mệnh đề 1.1.3 Giả sử K nón qui khơng nón chuẩn Khi đó, " n Ỵ  * $x n , y n : q £ x n £ y n , x n > n y n Đặt un = ¥ Vì å n =1 xn xn , = yn xn q £ un £ , un = 1, < n2 ¥ < ¥ nên tồn v = å n =1 Dãy sn = u1 + u2 + + un tăng bị chặn ( v ) nên hội tụ Suy lim un = q Ta gặp mâu thuẫn  Ví dụ 1.1.1 Nón hàm khơng âm Lp (1 £ p < ¥) nón qui 1.1.4 Nón sinh Định nghĩa 1.1.4 K gọi nón sinh E = K - K hay "x Ỵ E $u, v Ỵ K : x = u - v Ví dụ 1.1.2 1) Nón hàm khơng âm C (K ), Lp nón sinh 2) Nếu nón K có điểm u ta có $r > : -r x u £ x £ r x u 0, "x Ỵ E K nón sinh Chứng minh 2) $r > : u + B(q, r) Ì K Số r = cần tìm r Ta có x = (x + r x u ) - r x u Mệnh đề 1.1.4 Nếu K nón sinh tồn số M>0 cho "x Ỵ E , $u, v Ỵ K : x = u - v, u £ M x , v £ M x Chứng minh mệnh đề 1.1.4 Ta cần chứng minh ba điều sau: Thứ nhất, Đặt C = K Ç B(q,1) - K Ç B(q,1) , ta chứng minh $r > : C É B(q, r ) Thật vậy, E = ¥  nC (do K nón sinh) n =1  $n 0, $G mở : n 0C É G (do định lí Baire) 1 1 GG (mở chứa q ) Vì C lồi, đối xứng nên C É C - C  C É 2 2n 2n Thứ hai, ta chứng minh Lấy a Ỵ r B Ì C (B = B(q,1)) r B  Ta xây dựng dãy {x n } thỏa: x n Ỵ Thật vậy, "y Ỵ Ta có: a Ỵ n r C , a x < å k 2n 2n +1 k =1 r B Ì C nên 2n 2n r B , x C : y -x < e " e > $ Ỵ 2n 2n r r B  $x Ỵ C : a - x < 2 2 a - x1 Ỵ r r B  $ x Ỵ C : a x x < ,… 2 22 22 23  Vì x n Ỵ 1 C nên $ u , v Ỵ K : x = u v , u , v £ n n n n n n n 2n 2n ¥ ¥ n =1 n =1 Đặt u = å un , v = å ta có a = u - v, u , v £ Vậy a Ỵ C Thứ ba, "x ¹ q ta có: rx = u '- v ' với u ', v ' Ỵ K , u ' , v ' £ 2x  x = u - v, u, v Î K , u , v £ M x (M = )  r 1.1.5 Nón liên hợp Nếu K nón ta định nghĩa nón liên hợp K là: K * = {f Ỵ E * : f (x ) ³ "x Ỵ K } K* có tính chất i), ii) định nghĩa nón Có thể chứng minh K * Ç (-K * ) = {qE * }  K - K = E Mệnh đề 1.1.5 x Ỵ K  f (x ) ³ 0, "f Ỵ K * Chứng minh mệnh đề 1.1.5 Giả sử trái lại f (x ) ³ 0, "f Ỵ K * cho x Ï K Do định lí tách tập lồi $g Ỵ E * : g(x ) < g(y ), "y Ỵ K Cố định x Î K , ta có g(x ) < g(tx ), "t > Cho t   ta có g(x ) ³ Vậy g Ỵ K * , g(x ) < Ta gặp mâu thuẫn Vậy định lí chứng minh  1.2 Chỉ số điểm bất động ánh xạ dương Cho E không gian Banach thực Một tập X Ì E gọi co rút E tồn ánh xạ liên tục r : E  X cho r (x ) = x , x Ỵ X Theo định lí Dugundji, tập hợp khác rỗng, lồi, đóng E co rút E Đặc biệt, nón E co rút E Định lí 1.2.1 Cho X co rút khơng gian Banach thực E Khi với tập mở, bị chặn tương đối U X tốn tử hồn tồn liên tục A : U  X mà khơng có điểm bất động ¶U , tồn số nguyên i(A,U , X ) thỏa mãn điều kiện sau: (i) Tính chuẩn tắc: i(A,U , X ) = Ax º y Ỵ U với x Ỵ U (ii) Tính cộng tính: i(A,U , X ) = i(A,U 1, X ) + i(A,U , X ) với U1 U2 hai tập mở, rời U cho A khơng có điểm bất động U \ (U È U ) (iii) Tính bất biến đồng luân: i(H (t,),U , X ) độc lập với t (0 £ t £ 1) với H : [0,1] ´U  X hoàn toàn liên tục H (t, x ) ¹ x với (t, x ) Ỵ [0,1] ´ ¶U (iv) Tính khơng đổi: i(A,U , X ) = i(A,U Ç Y ,Y ) Y co rút X A(U ) Ì Y Hơn nữa, đặt M = {(A,U , X ) | X co rút E, U mở, bị chặn X, A : U  X hoàn toàn liên tc v Ax x trờn ảU } v t  tập số nguyên Khi tồn hàm d : M  Z thỏa mãn điều kiện từ (i) đến (iv) Nói cách khác, i(A,U , X ) xác định nhất, i(A,U , X ) gọi số điểm bất động A U X Chứng minh định lí 1.2.1 Trước hết ta chứng minh tính số điểm bất động Cho {i(A,U , X )} tập hợp thỏa mãn điều kiện từ (i) đến (iv) Ta định nghĩa d ( f ,U , p) = i(A + p,U , E ) (1.2.1) f = I - A , U tập mở, bị chặn E, f (x ) p trờn ảU , ngha A + p khơng có điểm bất động ¶W Từ điều kiện (i)-(iv) (1.2.1) dễ dàng thấy hàm d ( f ,U , p) có bốn tính chất tiêu biểu bậc Leray-Schauder Do đó, theo tính bậc Leray-Schauder, ta có d ( f ,U , p) = deg(I - A,U , p) (1.2.2) Lấy p = q (1.2.1) (1.2.2), ta i(A,U , E ) = deg(I - A,U , q) (1.2.3) Bây giờ, ta giả sử X co rút tùy ý E biểu thị r : E  X co rút tùy ý Với tập mở U X , ta chọn cầu BR = {x Ỵ E | x < R} cho BR É U Thế thì, theo tính khơng đổi (iv) (1.2.3), ta có i(A,U , X ) = i(A ⋅ r , BR Ç r -1(U ), E ) = deg(I - A ⋅ r , BR Ç r -1(U ), q) (1.2.4) Do đó, từ (1.2.4) tính bậc Leray-Schauder suy tính số điểm bất động Theo chứng minh tính đưa đến định nghĩa i(A,U , X ) = deg(I - A ⋅ r, BR Ç r -1(U ), q) (1.2.5) r : E  X co rút tùy ý BR = {x Ỵ E | x < R} É U Hiển nhiên, BR Ç r -1(U ) tập mở bị chặn E BR Ç r -1(U ) Ì r -1(U ) Ì r -1(U ) (1.2.6) Dễ dàng thấy x Ỵ r -1(U ), A ⋅ r (x ) = x  x Ỵ U , Ax = x (1.2.7) Bây giờ, ta chứng minh i(A,U , X ) định nghĩa theo (1.2.5) không phụ thuộc vào việc chọn R r Đặt R1 > R Vì U Ì BR Ç r -1(U ) Ì BR Ç r -1(U ) Theo (1.2.7) ta biết A ⋅ r khơng có điểm bất động BR Ç r -1(U ) \ (BR Çr -1(U )) vậy, theo tính chất cắt bậc Leray-Schauder deg(I - A ⋅ r , BR Ç r -1(U ), q) = deg(I - A ⋅ r , BR Ç r (U ), q) nghĩa là, i(A,U , X ) không phụ thuộc vào việc chọn R Kế đến , đặt r1 : E  X co rút khác E đặt V = BR Ç r -1(U ) Ç r1-1(U ) Khi V tập mở bị chặn E V É U Theo (1.2.7) ta biết A ⋅ r khơng có điểm bất động BR Ç r -1(U ) \V A ⋅ r1 khơng có điểm bất động BR Ç r1-1(U ) \V Do deg(I - A ⋅ r , BR Ç r -1(U ), q) = deg(I - A ⋅ r ,V , q) (1.2.8) deg(I - A ⋅ r1, BR Ç r -1(U ), q) = deg(I - A ⋅ r1,V , q) (1.2.9) Và Đặt h(t, x ) = x - H (t, x ) , H (t, x ) = r [tA ⋅ r (x ) + (1 - t )A ⋅ r1(x )] Rõ ràng, H : [0,1]´V  E hoàn toàn liên tục Bây ta chứng minh q ẽ h(t, ảV ) vi bt kỡ t ẻ [0,1] Thật vậy, tồn t0 Ỵ [0,1] x ẻ ảV cho h(t0, x ) = q , x = r [t0A ⋅ r (x ) + (1 - t0 )A ⋅ r1(x )] Ỵ X Kết là, r (x ) = x 0, r1(x ) = x x = Ax Và theo (1.2.7), x Ỵ U Ì V Mõu thun vi x ẻ ảV Nh vy, sử dụng tính bất biến đồng luân bậc Leray-Schauder để ý H (0, x ) = r [A ⋅ r1(x )] = A ⋅ r1(x ) H (1, x ) = r [A ⋅ r (x )] = A ⋅ r (x ) , Ta có deg(I - A ⋅ r1,V , q) = deg(I - A ⋅ r,V , q) (1.2.10) Từ (1.2.8), (1.2.9) (1.2.10) suy deg(I - A ⋅ r , BR Ç r -1(U ), q) = deg(I - A ⋅ r1, BR Ç r1-1(U ), q) (1.2.11) điều i(A,U , X ) không phụ thuộc việc chọn r Cuối cùng, theo tính chất bậc Leray-Schauder ta kiểm tra số điểm bất động định nghĩa (1.2.5) có tính chất từ (i) đến (iv) (i = 1,2) Nếu ta đặt Ai (j, y)(x ) = ò k (x, y )f (y, j(y ), y(y ))dy, 1 i = 1,2 , G Và A(j, y) = (A1(j, y), A2 (j, y)) (2.1.15) tương đương với điểm bất động toán tử A Cho toán tử K i xác định (K ij)(x ) = ò k (x, y )j(y )dy i (x Ỵ G ), i = 1,2 G với bán kính phổ r (K i ) > (i = 1,2) fi (x , u, v ) : G ´  + ´  +   + hàm ki hàm liên tục khơng âm suy tốn tử K i tuyến tính, hồn tồn liên tục (i=1,2) Hiển nhiên, tốn tử Ai hồn tồn liên tục (i=1,2) Khi đó, theo định lí Krein-Rutman tồn hàm liên tục gi (x ) ³ 0, gi (x ) º cho ò k (y, x )g (y )dy = r(K )g (x ), i i i i "x Ỵ G, i = 1,2 (2.1.16) G Ta đặt giả định sau: (C1) tồn hàm liên tục không âm (x ) (i = 1,2) cho ki (x , y ) ³ (x )ki (t, y ), "x , y, t Ỵ G di = ị a (x )g (x )dx > i i (2.1.17) (2.1.18) G gi (x ) xác định (2.1.16) (C2) Nếu hai điều kiện lim+ u 0 f1(x , u, v ) > r -1(K ) với x Ỵ G, v Ỵ  + u (2.1.19) lim+ u 0 f2 (x , u, v ) > r -1(K ) u (2.1.20) x Ỵ G, u Ỵ  + thỏa mãn (C3) Cho f1(x , u, v ) > r -1(K ) với x Ỵ G, v ẻ + u +Ơ u lim (2.1.21) v f2 (x , u, v ) > r -1(K ) u +Ơ u lim (2.1.22) u vi x ẻ G, u Ỵ  + (C4) Tồn r1 > với < u + v < r1 cho fi (x , u, v ) £ lr1 ("x Ỵ G ) (2.1.23) < l £ ( h1 + h2 )-1 , hi (x ) = ò k (x, y)dy , i hi = max | hi (x ) |, i = 1,2 x ỴG G Định lí 2.1.3 Giả sử điều kiện từ (C1) đến (C4) Khi tốn (2.1.15) có hai nghiệm dương, liên tục (j1, y1 ) (j2, y2 ) thỏa mãn < j1 + y1 < r1 < j2 + y2 Chứng minh định lí 2.1.3 Đặt C (G ) = {j | j(x ) liên tục G } , X = C (G ) ´C (G ) Chuẩn X xác định j, y X = j + y rõ ràng X không gian Banach Đặt K i = {j Ỵ C (G ) | j(x ) ³ 0, ò g (x )j(x )dx ³ d i i j} G di xác định (2.1.18) (i=1,2) Dễ dàng thấy K = K1 ´ K nón X Đặt T (j, y) = (r -1(K1 )K 1j, r -1(K )K 2y) Trước hết ta thấy toán tử A ánh xạ từ K vào K Thật vậy, với (j, y) Ỵ K theo (2.1.17) ta ò g (x )A (j, y)(x )dx = ò g (x )dx ò k (x, y )f (y, j(y ), y(y ))dy G 1 G 1 G ³ ò g1(x )dx ò a1(x )k1(t, y )f1(y, j(y ), y(y ))dy G G ³ d1A1(j, y)(t ), "t Ỵ G Suy A1(j, y) Ỵ K1 Tương tự, A2 (j, y) Ỵ K A(j, y) Ỵ K , A(K ) Ì K Tương tự, T (K ) Ì K Ta lấy B(j, y) = ò g (x )j(x )dx G B ánh xạ từ K vào nón K1 = [0, +¥) khác khơng gian Banach thực E1 =  hiển nhiên B tốn tử bảo tồn thứ tự Đặt Wr = {(j, y) Ỵ X | j + y < r } q Ỵ Wr Điều kiện (2.1.19) suy ta tìm số r0 với < r0 < r1 cho f1(x , u, v ) ³ r -1(K1 )u, " < u £ r0 (2.1.24) Khơng tính tổng qt, ta giả sử (2.1.19) (C2) A khơng có điểm bất động ¶Wr Theo (2.1.16) v (2.1.24) vi mi (j, y) ẻ ảWr ầ K , ta 0 BA(j, y) - B(j, y) = ò g (x )A (j(x ), y(x ))dx - B(j, y) 1 G = ò g (x )dx ò k (x, y )f (y, j(y ), y(y ))dy - ò g (x )j(x )dx 1 G 1 G G = r1(K1 )ò g1(y )f1(y, j(y ), y(y ))dy - ò g1(x )j(x )dx ³0 G G Rõ ràng BA(j, y) - B(j, y) ¹ , BA(j, y) - B(j, y) > Do ú, vi mi (j, y) ẻ ảWr Ç K cho BA(j, y) £B(j, y) Từ định lí 1.3.8 suy số điểm bất động i(A, Wr Ç K , K ) = 0 (2.1.25) Từ (3.7) (C3) , tồn số dương e b1 cho f1(x , u, v ) ³ (r -1(K ) + e)u - b1, "x Ỵ G, u ³ 0, v ³ (2.1.26) ì 2b g (y )dy ï ü ï ï ï 1ò ï ï ï ï G Ta đặt R > max ír1,  ï er (K1 )d1 ï ï ï ï ï ï ỵ ï Và đặt WR = {(j, y) Ỵ X | j + y < R} Khơng tính tổng qt, ta giả sử A khơng có điểm bất động ảWR Vi bt kỡ (j, y) ẻ ảWR ầ K , ta có j + y = R Giả sử j ³ tương tự y ³ R , chứng minh R Theo (2.1.26) (2.1.16) ta BA(j, y) - B(j, y) = ò g (x )A (j(x ), y(x ))dx - B(j, y) 1 G = ò g (x )dx ò k (x, y )f (y, j(y ), y(y ))dy - ò g (x )j(x )dx 1 G 1 G G = r (K )ò g1(y )f1(y, j(y ), y(y ))dy - ò g1(x )j(x )dx G G ³ r (K )(r (K1 ) + e)ò g1(y )j(y )dy - b1 ò g1(y )dy - ò g1(x )j(x )dx -1 G = er (K1 )ò g1(y )j(y )dy - b1 ò g1(y )dy G G G G ³ er (K1 )d1 j - b1 ò g1(y )dy > G Do đó, với (j, y) ẻ ảWR ầ K cho BA(j, y) £B(j, y) Từ định lí 1.3.8 suy số điểm bất động i(A, WR Ç K , K ) = (2.1.27) Khơng tính tổng qt, ta giả sử A khơng có điểm bất động ¶Wr Với (j, y) ẻ ảWr ầ K , ú j + y = r1 Theo (2.1.23), ta Ai (j, y)(x ) £ lr1 ò ki (x , y )dy = lr1hi (x ), (i = 1,2) G Khi Ai (j, y) £ lr1 hi Do A(j, y) X £ lr1( h1 + h2 ) £ r1 = (j, y) Theo cách lấy Bx = x X , "x Ỵ K định lí 1.3.4, ta thấy số điểm bất động i(A, Wr Ç K , K ) = 1 X (2.1.28) Rõ ràng Wr0 Ì Wr , Wr1 Ì WR Ta thấy (2.1.25), (2.1.27), (2.1.28) suy theo tính chất cộng tính số điểm bất động Chỉ số điểm bất động i(A,(WR \ Wr ) Ç K , K ) = -i(A,(Wr \ Wr ) Ç K , K ) = 1 Do đó, theo tính chất nghiệm số điểm bất động suy A có hai nghiệm dương liên tục (j1, y1 ) (j2, y2 ) thỏa mãn < j1 + y1 < r1 < j2 + y2 Kết thúc chứng minh  2.2 Ứng dụng vào phương trình vi phân Ví dụ 2.2.1 Xét tốn giá trị biên hai điểm phương trình vi phân thường sau: ìïx ''+ f (x ) = 0, £ t £ 1; ï í ïïx (0) = x '(1) = ỵ (2.2.1) Kết luận : Cho f (x ) hàm không âm, liên tục x ³ f (x ) d > cho f (x ) < 2d với £ x £ d f (x ) ³ 4a với a £ x £ 2a Khi đó, tốn (2.2.1) có ba nghiệm khơng âm thuộc C 2[0,1] Chứng minh Bài toán (2.2.1) tương đương với phương trình tích phân x (t ) = ị G (t, s )f (x (s ))ds, ìït, G (t, s ) hàm Green G (t, s ) = min{t, s} = ï í ïïs, î Đặt Ax (t ) = ò (2.2.3) t £s t >s G (t, s )f (x (s ))ds E = C [0,1] K = {x (t ) Ỵ C [0,1] | x (t ) ³ 0, " £ t £ 1} (2.2.4) A : K  K rõ ràng hoàn toàn liên tục Đặt a(x ) = x (t ) Điều cho thấy rõ £t £1 a hàm lõm, liên tục, không âm K với a(x ) £ x với x (t ) Ỵ K , tồn < s < t > cho f (x ) < sx với x > t £ f (x ) £ sx + b, x ³ 0, (2.2.5) b = max f (x ) Bây , ta chọn 0£x £t ïì b ïü r > max ïí ;2a ï ïỵ ïï ï2 - s (2.2.6) Và chứng minh tất điều kiện định lí 1.4.4 thỏa mãn với b = 2a c = r Trước hết ta chứng minh A(K r ) Ì K r Thật vậy, x Ỵ K r theo (2.2.5) (2.2.6) ta tìm Ax = ị 1 sf (x (s ))ds £ ò s[sx (s ) + b ]ds 1 £ (s x + b ) £ (sr + b ) < r, 2 Do Ax Ỵ K r Rõ ràng, {x Ỵ K (a, a,2a ) | a(x ) > a } ặ vỡ chng hn x ẻ {x Ỵ K (a, a,2a ) | a(x ) > a } , 3a , £ t £ Hơn nữa, với x Ỵ K (a, a,2a ) , ta có x (t ) º a(Ax ) = ³ ỉ ư÷ ỉ ỗỗ , s ữf (x (s ))ds > G çç , s ÷÷ f (x (s ))ds G ũ0 ỗố ữữứ ũ21 ỗố ữữứ 1 1 4a ds = a ò2 Cho thấy điều kiện (i) định lí 1.4.4 thỏa mãn Việc kiểm tra điều kiện (ii) đơn giản, x Ỵ Kd suy Ax = ị 1 sf (x (s ))ds < ò s.2d ds = d Cuối cùng, với x Ỵ K (a, a, r ) với Ax > 2a , ta có ổ ửữ G ũ0 ỗỗỗố , s ữữữứ f (x (s))ds 1 =ò sf (x (s ))ds + ò f (x (s ))ds 2 ù 1 éê > ê ò sf (x (s ))ds + ò sf (x (s ))ds úú 2ê úû ë 1 = ò sf (x (s ))ds = Ax > a 2 a(Ax ) = Và điều kiện (iii) kiểm tra Vì theo định lí 1.4.4, A có ba điểm bất động K r  Ví dụ 2.2.2 Xét toán giá trị biên hai điểm phương trình vi phân thường: -x '' = f (x ), £ t £ 1; x (0) = x (1) = 0, (2.2.7) f (x ) liên tục không âm với x ³ f (0) = Rõ ràng, x (t ) º nghiệm tầm thường toán (2.2.7) Ta có khẳng định sau: f (x ) f (x ) < 24 < lim £ +¥ x +¥ x x +¥ x £ lim (2.2.8) tốn (2.2.7) có nghiệm tầm thường x (t ) thuộc C éêë0,1ùúû thỏa mãn x (t ) > 0, " < t < (2.2.9) Để chứng minh khẳng định trên, trước hết ta nhận xét toán (2.2.7) tương đương với phương trình tích phân x (t ) = ò k (t, s )f [x (s )]ds, Trong k (t, s ) hàm Green toán tử khả vi -x '' với điều kiện biên x (0) = x (1) = ; cho ì ït(1 - s ), t £ s; k (t, s ) = ï í ï s(1 - t ), t > s ï ỵ Đặt Ax (t ) = ò k (t, s )f [x (s )]ds (2.2.10) K = {x (t ) Ỵ C [0,1] | x (t ) ³ 0} K e = {x (t ) Ỵ K | x (t ) ³ ( - e) x } 1 -e £t £ -e < e < x kí hiệu chuẩn x (t ) không gian E = C [0,1] Hiển nhiên, K K e nón C [0,1], K e Ì K A : K  K hoàn toàn liên tục Cho x (t ) Ỵ K Vì k (t, s ) £ s(1 - s ) , Ax £ ò s(1 - s )f [x (s )]ds (2.2.11) 1 - e £ t £ + e , ta có 2 Ngồi ra, ìï ïït(1 - s ) ³ ( - e)(1 - s ) t £ s k (t, s ) = ïí ïï 1 ïïs(1 - t ) ³ s[1 - ( + e)] = ( - e) t > s 2 ỵ 1 - e £ t £ + e, £ s £ nên k (t, s ) ³ ( - e)s(1 - s ), " 2 Do 1 Ax (t ) ³ ( - e)ò s(1 - s )f [x (s )]ds 1 -e £t £ + e (2.2.12) Từ (2.2.11) (2.2.12) suy Ax (t ) ³ ( - e) Ax , 1 -e £t £ + e 2 nghĩa là, Ax (t ) Ì K e Vì A(K ) Ì K e nên A(K e ) Ì K e , " 0 h > cho f (x ) > tx với x ³ h -1 ỉ1 Bây giờ, ta cố định e (0 < e < ) v chng minh rng R = h ỗỗ - eữữữ ữứ ỗố 2 Vi r > R ta t Wr = {x (t ) Ỵ C [0,1] | x < r } Vì vậy, x (t ) ẻ K e ầ ảWr , ta cú ổ1 ổ1 x (t ) ỗỗ - eữữữ x r = ỗỗ - eữữữ r > h ỗố çè 1 ÷ø ÷ø -e £t £ + e 2 Do đó, 1 ỉ ư÷ ư÷ +e ỉ +e ỉ 2 ỗ ỗ Ax ỗ ữữ ũ k ç , s ÷÷ f [x (s )]ds ³ t ũ k ỗỗ , s ữữữ x (s )ds çè ø÷ -e -e èç ø÷ èç ữứ ổ1 t ỗỗ - eữữữ x çè ÷ø Vì ị +e -e ổ1 ổ1 k ỗỗ , s ữữữds = te(1 - e) ỗỗ - eữữữ r ỗố ữứ ỗố ữứ cn tỡm Ax inf x (t )ẻK e ầảWr ổ1 te (1 - e)ỗỗ - eữữữ r > ữứ ỗố 2 (2.2.21) T (2.2.21) v nh lí 1.3.10 suy tồn x (t ) Ỵ K e ầ ảWr v mr > cho Ax r (t ) = mr x r (t )  Ví dụ 2.2.4 Xét tốn biên hai điểm phương trình vi phân thường: ìïx '' + x a + x b = 0, ï í ïïx (0) = x '(1) = ỵ £t £1 (2.2.22) b > > a > Khi tốn (2.2.22) có hai nghiệm khơng tầm thường x 1(t ) x (t ) thuộc C 2[0,1] thỏa mãn x 1(t ) > 0, x (t ) > 0, " < t £ (2.2.23) r < max x 1(t ) < < max x (t ) < R (2.2.24) 0£t £1 0£t £1 é ù 2(1-a ) aa ê ú r= , R= ê (a + 2)a +2 ú ë û é (b + 2)b +2 ù 2(b -1) ê ú b ê ú b ë û (2.2.25) Chứng minh Bài toán (2.2.22) tương đương với phương trình tích phân x (t ) = ò G (t, s ){[x (s )]a + [x (s )]b }ds (2.2.26) G (t, s ) hàm Green toán tử khả vi -x '' với điều kiện biên x (0) = x ' (1) = , cho bởi: ìït, t £ s G (t, s ) = min{t, s} = ïí ïïs, t > s ỵ (2.2.27) Đặt E = C [0,1], K = {x (t ) Ỵ C [0,1] | x (t ) ³ 0, £ t £ 1} { K t = x (t ) Ỵ K | x (t ) ³ t x } , < t < Rõ ràng, K K t nón E K t Ì K Đặt Ax (t ) = ò G (t, s ){[x (s )]a + [x (s )]b }ds (2.2.28) Rõ ràng A : K  K hoàn toàn liên tục Bây với x (t ) Ỵ K < t < Ta có: ị G(t, s ){[x (s)] + [x (s )] }ds =ò s{[x (s )] + [x (s )] }ds + ò t{[x (s )] ³ t ò s{[x (s )] + [x (s )] }ds =t ò G (1, s ){[x (s )] + [x (s )] }ds Ax (t ) = t (1 - t22 )t2 b x 2 a b =r = x (2.2.33) =R= x (2.2.34) Cuối cùng, từ (2.2.29), (2.2.30), (2.2.31), (2.2.33) (2.2.34) ta biết theo định lí 1.3.2 A có hai điểm bất động x 1(t ) Ỵ K t x (t ) Ỵ K t cho r < x < < x < R KẾT LUẬN Từ nhiều kết định lí Krasnosel’skii vấn đề liên quan trình bày báo khoa học giáo trình, luận văn cho trình bày tương đối đầy đủ, có hệ thống đề tài với chứng minh chi tiết cho kết luận giới thiệu Luận văn sử dụng tài liệu tham khảo để làm quen với Lí thuyết phương trình khơng gian có thứ tự Luận văn mở rộng theo hướng nghiên cứu định lí Krasnosel’skii cho ánh xạ đa trị TÀI LIỆU THAM KHẢO D.Guo and V.Lakshmikantham, Nonlinear Problems in Abtract Cones , Academic Press, San Diego, 1988 K.Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer-Verlag, NewYork, 1985 M.A.Krasnosel’skii and P.P.Zabreiko, Geometrical Methods of Nonlinear Analysis, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg ,New York,1984 L.Gasinski, N.S.Papageorgiou, Nonlinear Analysis, Chapman & Hall/CRC, 2006 Feng Wang and Fang Zhang, An extension of fixed point theorems concerning cone expansion and compression and its application, K.Math Soc.24(2009), No.2, pp.281-290 ... tự định lí Krasnosel’skii điểm bất động ánh xạ nén giãn mặt nón đóng vai trị quan trọng Vai trị định lí so sánh với định lí Banach điểm bất động ánh xạ co định lí Schauder điểm bất động ánh xạ. .. lí điểm bất động ánh xạ nén giãn mặt nón Krasnosel’skii vào việc giải tốn phương trình tích phân tốn phương trình vi phân Chương 1: ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ NÉN VÀ GIÃN MẶT NĨN 1.1.Khơng... niệm nón khơng gian Banach có thứ tự, số điểm bất động ánh xạ dương, định lí điểm bất động ánh xạ nén giãn mặt nón Krasnosel’skii định lí nhiều điểm bất động Ở chương trình bày ứng dụng định