Bo De Cuong On Tap Hoc Ki III Toan 11

Gỉai: a. Vì chọn đúng 1 học sinh nữ nên cần phải chọn thêm 3 học sinh nam. Số lẻ với 4 chữ số khác nhau. Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.. Tìm[r]

ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ I MƠN TOÁN– Khối 11 Năm học :2010-2011

- -A ĐẠI SỐ:

I - LƯỢNG GIÁC:

Dạng : Phương trình lượng giác bản.

Ví dụ:Giải phương trình sau:

3 a sin x

2 

1 b sin x

4 

 

o

c sin x 60 d sin 2x

  

a

3

sin x sin x sin

2

  

    

  

x k2 x k2

3 3

, k

x k2 x k2

3                                      

b Phương trình

1 sin x

4 

có nghiệm là:

1

x arcsin k2 , x arcsin k2 k

4



       



 

c    

o o o

sin x 60 sin x 60 sin 30

    

o o o o o

o o o o o o

x 60 30 k360 x 90 k360

k x 60 180 30 k360 x 210 k360

      

    

     

 



d Ta có: sin2x = -1 Phương trình có nghiệm là:

3

2x k2 x k2 k

2

 

        

Bài 1) Giải phương trình lượng giác sau: a) 2sin x



 

  

 

  b)

3

cos sin

4

x   x

   

   

   

   

c)    

0

sin 2x50  cos x+120 0

d) cos3x  sin4x = e)

2cos sin

3

x  x 

       

    

   

   

   

    f) sinx(3sinx +4) = Bài 2)Giải phương trình sau:

a) cot x 

 

  

 

  b) tan 2x1 0

sinu=sinv ⇔

u=v+k2π ¿ u=π − v+k2π

¿ ¿ ¿ ¿

cosu=cosv ⇔

u=v+k2π ¿ u=− v+k2π

¿ ¿ ¿ ¿

(k z¿ cosx = -1 ⇔ x = (2k+1) π ,k∈z

cosx = ⇔ x = π2+kπ , k∈z cosx = ⇔ x = k2 π ,k∈z

tanu=tanv ⇔u=v+kπ (k z¿

tanx = ⇔ x = k π ,k∈z tanx = -1 ⇔ x = - π4+kπ , k∈z

tanx = ⇔ x = π

c) tan3x.tanx = d) cot2x.cot x 

 

 

 

 

e) 3tan2x.cot3x + tan 2 x 3cot 3x 0 g) tan sinx+ sinx - tan 2x  x 3 0 Bài 3) Giải phương trình sau tập ra:

a) 2sin 0, 0;  x

x 



 

   

 

  b)  

sin sinx

sin os2x, x 0; 1-cos2x

x

x c 



  

c) tan3x  2tan4x + tan5x = , x (0; 2) d)

2

1

tan 3cot 3, ;

os 2

x x x

c x

 



   

       

   

Dạng : Phương trình bậc nhất, bậc hai. At+b=0,t hàm số sinx,cosx,tanx,cotx

Cách giải :đưa Phương trình lượng giác bản Asin2x+bsinx+c=0 ,đặt t=sinx,  1 t

Tương tự cosx,tanx,cotx

Ví dụ : Giải phương trình sau:  

2

a cot 3x cot 3x b 4cos x 1     cos x 0

 

   

2

2

3 x k

cot 3x 3x k 4 3

a cot 3x cot 3x k Z

cot 3x

3x arc cot k x arc cot k

3

b 2cos 2x 2cos x 2 2cos x cos x 4cos x 2cos x 2

cos x

2

2 cos x cos x cos x

2

1

cos x

2

 



  

 

   

 

        



 

      





            





 



      

 

 



k2 

  

(phương trình

1

cos x

2  

vô nghiệm

1

1



  

) Bài tập:

Bài Giải phương trình sau:

a) 2cosx - = b) 3tanx – = c) 3cot2x + = d) 2sin3x – = Bài Giải phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + = 0 b) cos2x + sinx + = 0 c) 2cos2x + 2cosx – = d) cos2x – 5sinx + = 0 e) cos2x + 3cosx + = f) 4cos2x - 4 3cosx + = 0 Bài Giải phương trình:

a) 2sin2x - cos2x - 4sinx + = 0 b) 9cos2x - 5sin2x - 5cosx + = 0 c) 5sinx(sinx - 1) - cos2x = 3 d) cos2x + sin2x + 2cosx + = 0 Dạng : Phương trình bậc theo sinx, cosx.

2 2sin 2cos 2

a b c

x x

a b  a b  a b  2 sin cos cos sinx x c

a b  

  sin(x+) = 2 c a b ( với cos= 2

a

a b ,sin= 2

b a b )

Ví dụ: Giải phương trình sau: a cos x sin x 2 b sin 5x cos5x 1

 2        

a cos x sin x 2 1 sin x  2 2sin x  2 sin x  1

Với cos 3 sin                 

1 sin x x k2 x k2

3

   

 

            

 

     

2 2

b sin 5x cos5x 1 sin 5x sin 5x

2            Với cos sin              

  2 sin 5x sin

                  5x k2

4 k

5x k2 4                        x k

10 k

2 x k 5                 Bài tập:

Giải phương trình lượng giác sau :

a 3sinx cosx 0 b 3sinx 1 4sin3x 3cos3x c

4

sin cos 1

4

x x 

  d 2 cos 4xsin4x  3sin 4x2 e 2sin 2x 2 sin 4x0 f 3sin 2x2cos2x3

Dạng : Phương trình đẳng cấp a.sin2 x b .sin cosx x c .cos2x d Cách giải

 Xét cosx = có thỏa mãn phương trình hay khơng.

 Xét cosx 0, chia vế cho cos2x để phương trình bậc theo tanx. Ví dụ: Giải phương trình:  

2

4sin x 5sin x cos x 6cos x 3  

Khi cosx = sin x1 nên dễ thấy giá trị x mà cosx = nghiệm (3) Vậy chia hai vế (3) cho cos2x 0, ta phương trình tương đương

 

2

2

x arctan k tan x

sin x sinx

4 tan x tan x x arctan k k Z

cos x cosx tan x

4                                 Bài tập:

a 2sin2xsin cosx x 3cos2 x0 b 2sin 2x 3cos2x5sin cosx x 2 0 c sin2xsin 2x 2cos2x 0,5 d sin 2x 2sin2x2cos2x

e 2sin2x + 3sinx.cosx - 3cos2x = 1 f

2

sin 2 sin

4

x  x

 

 

 

 

II – TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT:

1/ Số hoán vị pn n!n n(  1) 2.1

2/Số chỉnh hợp chập k n phần tử : Ank=  

!

( k n) !

n

n k  

3/Số tổ hợp chập k n phần tử :Ckn=  

!

( k n)

! !

n

k n k  

*Chú ý



  

k n k

n n

C C 0 k n



     

k k k

n n n

C C C 1 k n

4/CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIUTƠN:

 n n n k n k k n n

n n n n

a b C a C a b C a  b C b

      

5/Xác suất

( )

( )

( )

n A P A

n 

 Ví dụ:

Bài 1. Trong lớp có 18 bạn nam, 12 bạn nữ Hỏi có cách chọn bạn phụ trách quỹ lớp?

Giaỉ: Số cách chọn bạn nam là: 18 cách; Số cách chọn bạn nữ là: 12 cách

Theo quy tắc cộng, ta có: 18 + 12 = 30 cách chọn bạn phụ trách quỹ lớp (hoặc nam nữ)

Bài2. Nam đến cửa hàng văn phòng phẩm để mua quà tặng bạn Trong cửa hàng có ba mặt hàng: bút, thước, có loại bút, loại loại thước Hỏi có cách chọn quà gồm bút, vở, thước.’

Giaỉ: Số cách chọn bút: cách;Số cách chọn vở: cách;Số cách chọn thước: cách Theo quy tắc nhân, có: 5.4.3 = 60 cách chọn

Bài 4. Từ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau?

Giaỉ:Gọi số tự nhiên có ba chữ số là: abc;Vì abc chẵn nên c  {0, 2, 4, 6}

Trường hợp c = 0:Có cách chọn c;Có cách chọn a;Có cách chọn b; Theo quy tắc nhân, có: 6.5.1 = 30 số

Trường hợp c  0:Có cách chọn c;Có cách chọn a;Có cách chọn b Theo quy tắc nhân, có: 3.5.5 = 75 số

Vậy theo quy tắc cộng có: 30 + 75 = 105 số chẵn có ba chữ số khác

Bài Có cặp vợ chơng dự tiệc Tính số cách chọn người đàn ông người đàn bà bữa tiệc để phát biểu ý kiến cho:

a Hai người vợ chồng b Hai người khơng vọ chồng

Giaỉ:a Có 10 cách chọn người đàn ông

Ứng với cách chọn người đàn ơng có cách chọn người đàn bà (là vợ người đàn ơng đó) Vậy theo quy tắc nhân có:10.1 = 10 cách chọn

b.Có 10 cách chọn người đàn ông

Bài 6. Một tổ học sinh gồm học sinh nam học sinh nữ Giáo viên chọn học sinh để trực thư viện Có cách chọn nếu:

a Chọn học sinh được?

b Trong học sinh chọn, có học sinh nữ chọn? c Trong học sinh chọn, có học sinh nữ chọn?

Gỉai: a Mỗi cách chọn tùy ý học sinh số 12 học sinh tổ hợp chập 12 học sinh: Vậy ta có:

4 12

12! 12.11.10.9.8!

C 495

4!.8! 4.3.2.8!

  

(cách chọn)

b Vì chọn học sinh nữ nên cần phải chọn thêm học sinh nam Số cách chọn học sinh nữ là: C13;Số cách chọn học sinh nam là:

3 C Vậy có: C C13 39 252 (cách chọn)

c Trường hợp 1: (1 nữ + nam) có 252 cách chọn

Trường hợp 2: (2 nữ + nam) Số cách chọn nữ: C32;Số cách chọn nam: C Vậy có: C C23 92 3.36 108 (cách chọn)

Trường hợp 3: (3 nữ + nam) Số cách chọn nữ:C33;Số cách chọn nam: C Vây có: C C33 19 1.9 9

Vậy số cách chọn học sinh có học sinh nữ là: 252 + 108 + = 369 (cách chọn)

Bài 7. Với số 0, 1, 3, 6, lập số tự nhiên: a Có chữ số khác

b Số lẻ với chữ số khác c Số chẵn có chữ số khác

d Có chữ số khác chia hết cho

Giaỉ:a Có A45 120 số có chữ số khác từ tập chữ số {0, 1, 3, 6, 9} (có thể bắt đầu với chữ số );Có A34 24 số có chữ số bắt đầu số 0;Vậy có 120 – 24 = 96 số có chữ số khác b Gọi số có chữ số abcd Vì số lẻ nên:Chữ số d có cách chọn (1, 3, 9)

Chữ số a có cách chọn;Chữ số b có cách chọn’Chữ số c có cách chọn Vậy có = 54 số lẻ; c Có 96 – 54 = 42 số chẵn

d Một số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho Trong tập hợp {0, 1, 3, 6, 9} có số khơng chia hết cho

Vậy số đo chia hết cho chữ số thuộc tập {0, 3, 6, 9} Có 4! số có chữ số khác từ {0, 3, 6, 9} (có thể bắt đầu với chữ số 0) Có 3! số có chữ số khác từ {0, 3, 6, 9} bắt đầu với chữ số

Vậy kết là: 4! – 3! = 24 – = 18 số

Bài 8. Có cách xếp chỗ cho người khách ngồi quanh bàn tròn? (Hai cách xếp xem cách nhận từ cách cách xoay bàn góc đó)

Giaỉ: Có 5! = 120 cách

Có (n – 1)! Cách xếp n (n  2) người quanh bàn tròn Để xếp n + người quanh bàn tròn ta xếp n người xếp người cuối vào n khoảng trống n người

Vậy có (n – 1)!n = n! cách xếp n + người ngồi quanh bàn tròn

Bài 9. Viết số hạng theo lũy thừa tăng dần x đa thức sau:

 

10

8 x

a b 2x

2

 

 

 

 

Giaỉ:

2

8

45

a 5x x b C 2x C 4x

   

b Số hạng thứ khai triển

9 x

2

 



 

  Giaỉ:

7 7 5

12

1 a C x b C x

2

 

Bài 11.Lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp chứa 20 thẻ đánh số từ đến 20 Tìm xác suất để thẻ lấy ghi số:

a Chẵn; b Chia hết cho c Lẻ chia hết cho Giaỉ: Không gian mẫu  = {1, 2, …, 20}

Kí hiệu A, B, C biến cố tương ứng với câu a, b, c Ta có: a A = {2, 4, 6, …, 20}, n(A) = 10, n() = 20  

10 P A

20

  

b B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}, n(B) =  

6

P B

20 10

  

c C = {3, 9, 15), n(C) =   P C

20

 

Bài tập

Dạng 1: Nhị thức Niu tơn - Xác định hệ số, số hạng.

Bài 01: Tính hệ số x3 khia triển

6

2 x

x

 



 

 

Bài 02: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển

8 x

x

 



 

 

Bài 03: Biết hệ số x2 khai triển biểu thức (1 ) x n 90 Tìm n

Bài 04: Tìm hệ số số hạng thứ sáu khai triển biểu thức M = (a+b)n biết hệ số số hạng thứ ba khai triển 45 Bài 05: Trong khai triển (x2

+a x)

m

, hệ số số hạng thứ tư thứ mười ba Tìm số hạng khơng chứa x

Dạng 2: Đếm – chọn

Bài 01:Cho tập A có 20 phần tử

a)Có tập hợp A

b)Có tập hợp khác ∅ A mà phần tử số chẵn?

Bài 01:Cho chữ số 1,2,3,4,5,6.Có thể lập số gồm chữ số khác chọn từ chữ số

a) có số chẵn b) Có số lẻ

Bài 02:Từ tập thể gồm 14 người,có nam nữ,người ta muốn chọn tổ cơng tác gồm người.Hỏi

a)Có cách chọn

b) Có cách chọn,có nam ,2 nử Bài 03: Cho tâp hợp A = {1,2,3,4,5,6}

a)Có số tự nhiên gồm chữ số khác lấy từ tập A ? b)Có số tự nhiên bé 100 ?

Bài 04:Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 thiết lập tất số có chữ số khác nhau.Hỏi số thiết lập được,có số mà hai chữ số không đứng cạnh

Bài 05:Một lớp học có 10 học sinh nam 120 học sinh nữ.Cần chọn người lớp để làm cơng tác phong trào.Hỏi có cách chọn người phải có : a)02 học sinh nam 02 học sinh nữ b)01 học sinh nam 01 học sinh nữ

1/ Năm đoạn thẳng có độ dài 1cm, 3cm, 5cm, 7cm, 9cm Lấy ngẫu nhiễn đoạn thẳng đoạn thẳng trện Tìm xác suất để đoạn thẳng lấy lập thành tam giác

2/ Có kiểm tra trắc nghiệm câu với lựa chọn A,B,C,D (mỗi câu chọn đáp

án).Một bạn học sinh trả lời đại đáp án.Tính xác suất bạn chọn câu

3/ Rút quân tú lơ khơ gồm 52 Xác suất để rút quân át

4/ Gieo súc sắc cân đối đồng chất lần Xác suất để lần xuất mặt chấm

5/ Một hộp đựng 12 bóng đèn có bóng tốt Lấy ngẫu nhiên bóng Tính xác suất để lấy :

a/ Một bóng hỏng b/ bóng hỏng

6/ Gieo đồng thời hai xúc sắc cân đối, đồng chất Tính xác suất để tổng số chấm xuất hai xúc sắc

7/ Một khách sạn có phịng đơn Có 10 khách đến th phịng, có nam nữ Người quản lí chọn ngẫu nhiên người Tính xác suất để :

a) Cả người nam b) Có nam nữ c) Có hai nữ III – DÃY SỐ VÀ CẤP SỐ:

DÃY SỐ-CSC-CSN

I/CẤP SỐ CỘNG (un)là cấp số cộng ⇔ un1 = un + d

Số hạng tổng quát un u1+(n-1)d

Tổng n số hạng đầu

 



n

n[2u (n 1)d]

S

2



 n

n

n(u u ) S

2 II/CẤP SỐ NHÂN 1/ (un) cấp số nhân ⇔un+1=un.q

2 Số hạng tổng quát un=u1.qn −1 3/ Tổng n số hạng đầu Sn=u1(1− q

n)

1− q

Dạng 1: Chứng minh quy nạp.

1 CMR: n :1 (2    n1)n2 2 CMR:

( 1) :1

2 n n

n  n 

      

3 CMR:

1 1

:

2 2

n

n n

n  

      

4 CMR : n : 2n n

  

Dạng 2: Cấp số cộng.

1. Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng, biết: a

¿

u1+2u5=0

s4=14

¿{

¿

b

¿

u4=10

u7=19

¿{

¿

c

1

1

10 17

u u u

u u

   



 

 d.

2

4

10 26

u u u

u u

   



 



2. Cho Cấp số cộng có số hạng biết số hạng thứ số hạng thứ Hãy tìm số hạng cịn lại Cấp số cộng

3. Một Cấp số cộng có 7số hạng mà tổng số hạng thứ số hạng thứ 28 , tổng số hạng thứ số hạng cuối 140 tìm Cấp số cộng

4. Viết số xen số 24 để Cấp số cộng có số hạng Tính tổng số hạng Cấp số cộng

Dạng 3: Cấp số nhân.

1 5

u +u = 51 u +u = 102 

a Tìm số hạng đầu u1 cơng bội q cấp số nhân b Tính S10

2 Ba số dương lập cấp số cộng có tổng 21 Thêm 2, 3, vào số ta cấp số nhân Tìm số cấp số cộng

3 Cho hai số : 54 Điền vào hai số số cho số lập cấp số nhân Cho hai số : 48 Xen số để cấp số nhân

5 Tìm cấp số nhân có tổng số hạng đầu 15, tổng bình phương 85 A HÌNH HỌC:

I – PHÉP BIẾN HÌNH:

M’(x’,y’) ảnh M ¿

x '=x+a y '=y+b

¿{ ¿

Cho đường thẳng d:ax+by+c=0 ảnh d’:ax+by+c’=0 Tìm M d tìm ảnh M’ d’ ,ta có c’

Đối với đường trịn:Tâm I(a,b) tìm ảnh I’(a’,b’) có bán kính Tìm ảnh điểm sau qua phép tịnh tiến ⃗v = (2;-1 )

A(2; -3), B(–1; 4), C(0; 6), D(5; –3)

2 Tìm ảnh cácđường thẳng sau qua phép tịnh tiến ⃗v = (1;-3 ) a) -2x +5 y – = b) 2x -3 y – =

c) 3x – = d) x + y – =

3 Tìm ảnh đường trịn qua phép tịnh tiến ⃗v = (3;-1 ) a) (x - 2)2 + (y +1)2 = b) x2 + (y – 2)2 = 4

Dạng 2: Các tốn có sử dụng biểu thức tọa độ phép đối xứng trục

a)Biểu thức toạ độ trục Ox: ' '

x x

y y

  



 b) Biểu thức toạ độ trục Oy: ' '

x x

y y

  

 

Ví dụ 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C1) (C2) có phương trình:

  2

1

C : x y  4x 5y 0  

Viết phương trình ảnh đường trịn phép đối xứng có trục Oy

Gỉai: Ảnh điểm M(x ; y) qua phép đối xứng có trục Oy điểm M’(-x ; y) Ta có:

  2  2  

1

M C  x y  4x 5y 0    x y  x 5y 0  Bài tập:

4 Tìm ảnh điểm sau qua phép đối xứng trục Ox:

A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3)

5 Tìm ảnh điểm A(3; 2) qua phép đối xứng trục d với d: x – y =

6 Tìm ảnh đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Ox:

a) 2x + y – = b) x + y – =

7 Tìm ảnh đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Oy:

a) x – = b) x + y – =

8 Tìm ảnh đường tròn sau qua phép đối xứng trục Ox:

a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9 b) x2 + (y – 2)2 = 4

Dạng 3: Tìm ảnh Điểm, đường thẳng, đường tròn qua phép đối xứng tâm.

Hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M(x;y) ,ảnh M’(x’,y’) đối xứng với M qua gốc tọa độ O

¿ x '=− x y '=− y

¿{ ¿

Ví dụ:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho I(2 ; -3) d có phương trình 3x + 2y – = Tìm tọa độ điểm I phương trình đường thẳng d’ ảnh I đường thẳng d qua phếp đối xứng tâm

Giải Ta có I’ = (-2 ; 3)

Từ biểu thức tọa độ phép đối xứng qua gốc tọa độ ta có:

x x ' y y '

  



 Thay biểu thức x y vào phương trình d ta được:3(-x’) + 2(-y’) – = hay 3x ' 2y ' 0   Vậy d’: 3x + 2y + =

Bài tập:

1. Tìm ảnh điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép đối xứng tâm

a) Taâm O(0; 0) b) Taâm I(1; –2) c) Taâm H(–2; 3)

2. Tìm ảnh đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm O(0; 0):

a) 2x – y = b) x + y + =

3. Tìm ảnh đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):

a) 2x – y = b) x + y + =

4. Tìm ảnh đường trịn sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):

a) (x - 2)2 + (y +1)2 = 9 b) x2 + y2 – 6x – 2y +6 = 0

Dạng 4:Các toán sử dụng phép quay

Tìm ảnh điểm sau qua phép quay Q(O;90o);Q(O;-90 o) A(2; -3), B(–1; 4), C(0; 6), D(5; –3)

Tìm ảnh cácđường thẳng sau qua phép quay Q(O;90 o);Q(O;-90 o)

a) -2x +3 y – = b) 2x -5 y – =

Tìm ảnh đường tròn sau qua phép Q(O;90 o);Q(O;-90 o)

a) (x - 2)2 + (y +1)2 = 9 b) x2 + y2 – 6x – 2y +6 = 0

Dạng :Các toán sử dụng phép vị tự

- Cho điểm O tỉ số k0 Phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho

⃗OM'=k.⃗OM được gọi phép vị tự tâm O, tỉ số k -Biến đường thẳng thành đường thẳng song song

-Biến đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính kR.

Ví dụ:Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 3x + 2y – = Hãy viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = -2

Giaỉ: d’ : 3x + 2y + C =

Lấy M(0 ; 3) thuộc d Gọi M’(x’ ; y’) ảnh M qua phép vị tự tâm O, tỉ số k2. Ta thấy: OM0;3



, OM 'x '; y ' 2OM

⃗ ⃗

Ta có: x’ = 0, y’ = -2.3 = -6 ; Do M’ thuộc d’ nên: 2.(-6) + C =  C = 12 ;Vậy d’: 3x + 2y + 12 = Bài tập:

Tìm ảnh điểm sau qua phép vị tự V(I;k) ;I(-3;4);k=-3 A(2; -3), B(–1; 4), C(0; 6), D(5; –3)

Tìm ảnh cácđường thẳng sau qua phép vị tự V(I;k) ;I(1;-2);k=-5 a) -2x +3 y – = b) 2x -5 y – =

Tìm ảnh đường trịn sau qua phép vị tựV(I;k) ;I(3;-2);k=-3

a) (x - 2)2 + (y +1)2 = 9 b) x2 + y2 – 6x – 2y +6 = 0

1 Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng

Để tìm giao điểm đường thẳng a mặt phẳng (P) , ta tìm (P) đường thẳng c cắt a điểm M M giao điểm a (P)

Chú ý : Nếu c chưa có sẵn ta chọn mặt phẳng (Q) qua a lấy c giao tuyến (P) (Q)

2 Chứng minh điểm thẳng hàng, chứng minh đường thẳng đồng quy

- Muốn chứng minh điểm thẳng hàng ta chứng minh điểm điểm chung hai mặt phẳng phân biệt.Khi chúng thẳng hàng giao tuyến hai mặt phẳng

- Muốn chúng minh đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm hai đường điểm chung hai mặt phẳng mà giao tuyến đường thẳng thứ ba

II.Đường thẳng song song

1 Chứng minh hai đường thẳng song song:

- Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng , áp dụng phương pháp chứng minh song song song hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo định lý Ta-lét ) - Chứng minh hai đường thẳng song song song với đường thẳng thứ

- Áp dụng định lý giao tuyến

2 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng

Thiết diện qua đường thẳng song song với đường thẳng cho trước : * Tìm điểm chung hai mặt phẳng

* Áp dụng định lý giao tuyến để tìm phương giao tuyến (tức chứng minh giao tuyến song song với đường thẳng có)

Giao tuyến sẽd đường thẳng qua điểm chung song song với đường thẳng -Ghi : Ta có cách để tìm giao tuyến :

Cách 1(2 điểm chung) cách (1 điểm chung + phương giao tuyến) ta thường sử dụng phối hợp cách xác định thiết diện hình chóp

Ví dụ:

Bài 1. Cho S điểm khơng thuộc mặt phẳng hình thàng ABCD (AB // CD AB > CD) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC)

Gọi I = AD  BC

Ta có S I hai điểm chung (SAD) (SBC) nên: (SAD)  (SBC) = SI

Vậy giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) đường thẳng SI

Gọi O giao điểm AC BD

Ta có: S O hai điểm chung (SAC) (SBD) nên: (SAC)  (SBD) = SO

Vậy giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD) đường thẳng SO Bài tập:

1. Cho tứ diện ABCD M N trung điểm AD BC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (MBC) (NAD)

2. Cho tứ diện SABC Gọi M,N điểm đoạn SB SC cho MN không song song với BC Tìm giao tuyến mặt phẳng (AMN) (ABC), mặt phẳng (ABN) (ACM) 3. Cho tứ diện SABC Gọi I, J, K ba điểm tuỳ ý SB, AB, BC cho JK không song song với AC SA không song song với IJ.Xác định giao tuyến (IJK) (SAC)

4. Cho hình thang ABCD ABEF có chung đáy lớn AB khơng đồng phẳng a) Xác định giao tuyến mặt phẳng (ACE) (BFD)

b) Xác định giao tuyến mặt phẳng (BCE) (ADF)

5. Cho tam giác ABC điểm S nằm mặt phẳng chứa tam giác ABC Gọi M, N trung điểm AB, BC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng:

a) (SMN) (ABC) b) (SAN) (SCM)

6. Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AC BC Gọi K điểm cạnh BD khơng phải trung điểm Tìm giao điểm của:

a) CD mặt phẳng (MNK); b) AD mặt phẳng (MNK)

7. Cho hình chóp SABCD Gọi I, J, K điểm cạnh SA, AB, BC Giả sử đường thẳng JK cắt đường thẳng AD, CD M, N Tìm giao điểm đường thẳng SD SC với mặt phẳng (IJK)

8. Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AB CD P điểm nằm cạnh AD khơng trung điểm Tìm thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng(MNP) 9. Cho tứ diện ABCD Trên đoạn AC, BC, BD lấy điểm M, N, P cho MN không song song với AB, NP không song song với CD Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (MNP) tứ diện ABCD

10. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang với cạnh đáy AB CD (AB > CD) Gọi M, N trung điểm SA SB

a) Chứng minh: MN // CD

b) Tìm giao điểm P SC mặt phẳng (ADN)

11.Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N theo thứ tự trung điểm cạnh AB, CD

a) Chứng minh MN // (SBC) MN // (SAD)

b) Gọi P trung điểm cạnh SA Chứng minh SB // (MNP) SC // (MNP) Chú ý :bài tập SGK- ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 , HÌNH HỌC 11