Hình học Elliptic đã được phát triển sau đó vào thế kỉ 19 bởi nhà toán học người Đức Bernhard Riemann; ở đây không thể tìm thấy đường thẳng song song và tổng các góc của một tam giác có[r]
(1)Toán học châu Âu Trung cổ (khoảng 300-1400) Mối quan tâm đến toán học châu Âu Trung cổ nhiều lý khác so với nhà toán học đại Một lý niềm tin tốn học chìa khóa để hiểu thứ bậc tự nhiên, thường đánh giá đối thoại Timaeus Plato chuyến lớn mà Chúa "sắp xếp tất thứ theo kích thước, số lượng, cân nặng" (Wisdom 11:21)
Thời kì Trung cổ sơ khai (khoảng 300-1100)
Boethius học trò
Boethius (480–524) dành nơi cho tốn học mơn học ông đưa khái niệm "quadrivium" (tiếng Latinh: bốn đường) để mơn số học, hình học, thiên văn học, âm nhạc Ông viết De institutione arithmetica, dịch thoáng nghĩa từ tiếng Hy Lạp tiêu đề Introduction to Arithmetic Nicomachus; De institutione musica, phát triển từ gốc Hy Lạp; loạt đoạn lấy từ Cơ sở Euclid Cơng trình ơng mang tính lý thuyết thực hành, cơng trình tảng tốn học cơng trình tốn học Hy Lạp A Rập phục hồi.[22][23]
Sự hồi sinh toán học châu Âu (1100-1400)
(2)Vào kỉ 12, nhà học giả Châu Âu chu du đến Tây Ban Nha Sicily để tìm văn tiếng A Rập, số chúng Jabr wa-al-Muqabilah
Al-Khwarizmi, dịch thành tiếng Latinh Robert of Chester văn đầy đủ Cơ sở Euclid, dịch thành nhiều phiên Adelard of Bath, Herman of Carinthia, Gerard of Cremona.[24][25]
Những nguồn lóe lên thời kì hồi sinh toán học Fibonacci, vào đầu kỉ 13, đưa cơng trình tốn học quan trọng châu Âu kể từ thời Eratosthenes, khoảng thời gian nghìn năm Thế kỉ mười bốn chứng kiến phát triển khái niệm toán học để giải loạt toán.[26] Một lĩnh vực quan
trọng cống hiến cho phát triển tốn học phân tích chuyển động địa phương
Thomas Bradwardine đưa vận tốc (V) tăng theo tỉ lệ số học tỉ số lực (F) với lực cản (R) tăng theo số mũ Bradwardine diễn tả điều loạt ví dụ cụ thể, lơgarít thời chưa xuất hiện, ta biểu diễn kết luận ông dạng V = log (F/R).[27] Phân tích Bradwardine ví dụ việc chuyển đổi
kĩ thuật toán học sử dụng al-Kindi Arnald of Villanova để định tính chất thuốc trộn thành toán vật lý khác.[28]
Là người nhóm Oxford Calculators vào kỉ 14, William Heytesbury, thiếu giải tích vi phân khái niệm giới hạn, đưa việc đo vận tốc tức thời "bằng đường mà có thể mơ tả vật thể nếu dịch chuyển theo tốc độ mà với điều di chuyển thời khắc cho" [29]
Heytesbury người khác xác định toán học khoảng cách vật thể chuyển động có gia tốc khơng đổi (mà ta giải dễ dàng Tích phân), nói "một vật thể chuyển động mà nhận vận tốc giảm tăng không đổi thời gian cho trước khoảng cách hồn tồn với khoảng cách mà chuyển động liên tục thời gian với tốc độ trung bình".[30]
(3)Nicole Oresme Đại học Paris Giovanni di Casali người Italia độc lập với đưa biểu diễn đồ thị quan hệ này, thêm vào diện tích đường thẳng biểu thị gia tốc không đổi, thể tổng quãng đường [31] Trong buổi thảo luận sau
cuốn Hình học Euclid, Oresme đưa phân tích chi tiết tổng qt ơng nói vật thể nhận số gia thời gian số gia tính chất mà tăng số lẻ Do Euclid chứng minh tổng số lẻ số phương, tổng tính chất đạt vật thể tăng theo bình phương thời gian.[32]
Toán học đại sơ khai châu Âu
Isaac Newton
Ở châu Âu vào buổi bình minh thời kì Phục Hưng, tốn học cịn bị hạn chế kí hiệu cồng kềnh sử dụng hệ ghi số La Mã diễn đạt quan hệ từ ngữ, kí hiệu: khơng có dấu cộng, khơng có dấu bằng, không sử dụng x thay cho đại lượng chưa biết
(4)Cuốn sách Georg von Peuerbach
Từ thời điểm này, toán học phát triển nhanh chóng, bổ trợ cho lấy lợi ích từ tiến thời vật lý học Quá trình thúc đẩy tiến ngành in Cuốn sách toán học sớm in Theoricae nova planetarum Peurbach vào 1472, theo sau sách số học thương mại Treviso Arithmetic năm 1478 sách toán học thực Euclid, Cơ sở in xuất Ratdolt 1482
Do nhu cầu cấp thiết định hướng vẽ đồ xác cho khu vực rộng lớn, lượng giác phát triển thành ngành lớn toán học Bartholomaeus Pitiscus người sử dụng từ Trigonometria (lượng giác) sách tên ông vào năm 1595 Bảng sin cosin Regiomontanus xuất vo 1533.[33]
Regiomontanus,
c Franỗois Viốte, Phỏp
n cui th k, nh cú Regiomontanus (1436-1476) v Franỗois Vieta (1540-1603), với người khác, mà toán học viết hệ ghi số Hindu-Arabic theo dạng mà không khác xa so với kí hiệu sử dụng ngày
Thế kỉ 17
Thế kỉ 17 chứng kiến bùng nổ chưa thấy ý tưởng toán học khoa học toàn Châu Âu
Galileo, người Italia, quan sát mặt trăng Sao Mộc quĩ đạo quanh hành tinh đó, sử dụng kính viễn vọng dựa đồ chơi nhập từ Hà Lan
(5)Tychoo Brahe, vương quốc Đan Mạch, thu thập lượng lớn liệu tốn học mơ tả vị trí hành tinh bầu trời Học trị ơng, nhà toán học người Đức Johannes Kepler, bắt đầu làm việc với liệu Một phần muốn giúp Kepler việc tính tốn, John Napier, Scotland, người nghiên cứu logarit tự nhiên Kepler thành cơng việc lập cơng thức tốn học định luật chuyển động hành tinh Hình học giải tích phát triển René Descartes (1596-1650), nhà toán học triết học người Pháp, cho phép quĩ đạo vẽ đồ thị, hệ toạ độ Descartes Xây dựng dựa cơng trình trước nhiều nhà tốn học, Isaac Newton, người Anh, khám phá định luật vật lý để giải thích định luật Kepler, đưa đến khái niệm ta gọi giải tích Một cách độc lập, Gottfried Wilhelm Leibniz, Đức, phát triển giải tích nhiều kí hiệu giải tích cịn sử dụng ngày Khoa học toán học trở thành nỗ lực quốc tế, nhanh chóng lan tồn giới.[34]
Thêm vào ứng dụng toán học ngành thần học, toán học ứng dụng bắt đầu mở rộng lĩnh vực khác, với thư Pierre de Fermat Blaise Pascal Pascal Fermat đặt móng cho việc nghiên cứu lý thuyết xác suất định luật tổ hợp tương ứng thảo luận họ trò đánh bạc Pascal, với Pascal's Wager, cố gắng sử dụng lý thuyết xác suất để tranh luận sống theo tôn giáo, thực tế dù xác suất thành cơng có nhỏ nữa, phần lợi vơ Trong hồn cảnh này, điều dự báo trước phát triển lý thuyết thỏa dụng nửa sau kỉ 18-19
Thế kỉ 18
Leonhard Euler Emanuel Handmann vẽ
(6)Một cách để xem xét phát triển nhiều hệ toán học đại khác xem hệ nghiên cứu để trả lời câu hỏi số học hệ cũ Trong thời tiền sử, phân số trả lời câu hỏi: số nào, nhân với 3, kết Ở Ấn Độ Trung Quốc, lâu sau Đức, số âm phát triển đề trả lời câu hỏi: bạn nhận kết lấy số nhỏ trừ số lớn Việc phát minh số khơng để trả lời câu hỏi: bạn nhận kết trừ số cho Một câu hỏi tự nhiên khác là: bậc hai số hai kiểu số gì? Người Hy Lạp biết khơng phải phân số, câu hỏi đóng vai trị quan trọng việc phát triển liên phân số Nhưng câu trả lời tốt xuất với phát minh chữ số thập phân, phát triển John Napier (1550-1617) hồn chỉnh sau Simon Stevin Sử dụng chữ số thập phân, ý tưởng mà tiên đoán trước khái niệm giới hạn, Napier nghiên cứu số mới, mà Leonhard Euler (1707-1783) đặt tên số e
Euler có nhiều ảnh hưởng tới việc chuẩn hóa kí hiệu thuật ngữ tốn học Ơng đặt tên bậc hai âm kí hiệu i Ơng phổ biến việc sử dụng chữ Hy Lạp π để tỉ số chu vi đường trịn đường kính Sau ơng cịn phát triển thêm cơng thức đáng ý tốn học:
Xem thêm: Công thức Euler
Thế kỉ 19
Carl Friedrich Gauss
(7)Không kể đến nhiều cống hiến cho khoa học, toán học lý thuyết ơng làm nên cơng trình có tính cách mạng hàm số với biến phức hình học hội tụ chuỗi Ông đưa chứng minh định lý đại số luật tương hỗ bậc hai
Thế kỉ chứng kiến phát triển hai dạng hình học phi Euclid, tiên đề đường thẳng song song hình học Euclid khơng cịn Trong hình học Euclid, cho đường thẳng điểm không nằm đường thẳng đó, có đường thẳng song song với đường thẳng cho qua điểm mà thơi
LobachevskyJanos Bolyai Riemann
Nhà toán học Nga Nikolai Ivanovich Lobachevsky đối thủ ơng, nhà tốn học Hungary Janos Bolyai, độc lập với sáng lập hình học hyperbolic, đường thẳng song song khơng cịn nữa, mà qua điểm ngồi đường thẳng kẻ vơ số đường thẳng song song với đường thẳng cho Trong hình học tổng góc tam giác nhỏ 180°
Các hình học xuất kỷ 19: Hình học Hyperbolic Lobachevsky Hình học cổ điển Euclid
Hình học Elliptic
(8)Cũng kỉ 19 William Rowan Hamilton phát triển noncommutative algebra, móng lý thuyết vịng
Thêm vào hướng toán học, toán học cũ đưa vào tảng logic mạnh hơn, đặc biệt trường hợp giải tích với cơng trình Augustin Louis Cauchy Karl Weierstrass
William Rowan
Hamilton Cauchy Karl Weierstrass
Một dạng đại số phát triển vào kỉ 19 gọi Đại số Boole, phát minh nhà toán học người Anh George Boole Nó hệ gồm số 1, hệ mà ngày có ứng dụng quan trọng khoa học máy tính
Niels Henrik AbelÉvariste Galois
Cũng lần đầu tiên, giới hạn toán học khám phá Niels Henrik Abel, người Na Uy, Évariste Galois, người Pháp, chứng minh khơng có phương pháp đại số để giải phương trình đại số với bậc lớn bốn Các nhà toán học kỉ 19 khác áp dụng kết chứng minh họ thước kẻ compa không đủ để chia ba góc, để dựng cạnh hình lập phương mà thể tích gấp đơi thể tích hình lập phương cho trước, hay để dựng hình vng có diện tích diện tích hình trịn cho trước (cịn gọi phép cầu phương hình trịn) Các nhà tốn học tốn cơng vơ ích để giải tất toán từ thời Hy Lạp cổ đại
(9)Thế kỉ 19 chứng kiến thành lập hội toán học đầu tiên: Hội toán học London vào năm 1865, Hội toán học Pháp vào năm 1872, Hội toán học Palermo vào năm 1884, Hội toán học Edinburgh vào năm 1864 Hội toán học Mỹ vào năm 1888
Trước kỉ 20, có nhà toán học thật sáng tạo giới thời điểm Phần lớn nhà tốn học sinh gia đình giàu có, Napier, hậu thuẫn nhân vật giàu có, Gauss Có người cảm thấy sống nghèo nàn dạy học trường đại học, Fourier Niels Henrik Abel, nhận vị trí nào, chết với tài sản suy dinh dưỡng
Thế kỉ 20
David Hilbert
Tính chun nghiệp nhà tốn học ngày trở nên quan trọng vào kỉ 20 Mỗi năm, hàng trăm tiến sĩ toán học trao, ngành nghề có giảng dạy cơng nghiệp Phát triển tốn học tăng với tốc độ cực nhanh, với nhiều phát triển khảo sát để chí động chạm tới hầu hết lĩnh vực quan trọng
Vào 1900, David Hilbert đưa danh sách 23 toán chưa có lời giải tốn học Hội nghị nhà toán học quốc tế Các toán bao trùm nhiều lĩnh vực toán học tạo nên ý đặc biệt toán học kỉ 20 Hiện mười tốn có lời giải, bảy giải phần hai mở Bốn lại lỏng để nói liệu giải chưa Hilbert đặt móng cho việc tiên đề hóa hình học với sách "Grundlagen der Geometrie" (Nền tảng Hình học) bao gồm 21 tiên đề, thay cho tiên đề Euclid truyền thống Chúng tránh điểm yếu tiên đề Euclid, mà tác phẩm ơng (Euclid) lúc xem sách giáo khoa Ông mong muốn hệ thống hóa tốn học tảng logic vững đầy đủ, tin rằng:
1 Tất tốn học suy từ hệ thống hữu hạn tiên đề chọn cách đắn
(10)Cũng Hilbert đưa khái niệm không gian Hilbert, sở cho giải tích hàm
Kurt Gưdel
Những năm 1930, Kurt Gưdel đưa định lý bất tồn (en:Gưdel's incompleteness theorems) khẳng định hệ tiên đề hình thức độc lập đủ mạnh để miêu tả số học hàm chứa mệnh đề khẳng định mà phủ định; tính quán hệ thống tiên đề khơng thể chứng minh bên hệ thống Mở rộng ra, khơng thể tìm tính chân lý tốn học (và khoa học nói chung) bên cấu trúc lý thân toán học hay khoa học đó; tốn học phải tìm ngồi tốn học
Ramanujan
Trong năm 1900, Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887-1920) phát triển 3000 định lý, bao gồm lý thuyết tính chất siêu hợp số (highly composite number), hàm phần chia (partition function) tiệm cận nó, hàm theta Ramanujan Ông tạo nên đột phá phát lĩnh vực hàm gamma, dạng modular, chuỗi phân kì, chuỗi siêu hình học lý thuyết số nguyên tố
Năm 1947, tác phẩm "Cơ sở phân tích kinh tế" Paul Samuelson cơng bố xem khởi đầu toán kinh tế đương đại[35]
Năm 1952, John Anthony Pople (31/10/1925-15/3/2004) người Anh đại học
(11)đại học Santa Barbara (Mỹ) người nghiên cứu lý thuyết mật độ, đơn giản hóa mơ tả tốn học liên kết nguyên tử tạo nên phân tử
Những năm 60-70 kỷ 20, việc giáo dục toán học bắt đầu sử dụng phương pháp mới, nghiên cứu tốn lĩnh vực sở lý thuyết tập hợp, logic sơ cấp, hệ thống số hệ thống đếm, số học đồng mô-đun (modular consistency arithmetic)[36]
Một đồ minh họa Định lý bốn màu
Các đoán tiếng khứ tạo nên kĩ thuật mạnh Wolfgang Haken Kenneth Appel sử dụng máy tính để chứng minh định lý bốn màu vào năm 1976
Andrew Wiles
Phương trình Fermat bậc lớn khơng có nghiệm ngun
Andrew Wiles, làm việc văn phịng nhiều năm trời, cuối chứng minh Định lý lớn Fermat vào năm 1995, kết thúc 300 năm tìm lời giải
(12)Nhóm Bourbaki Pháp cố gắng đưa tồn tốn học thành thể thống chung, xuất bút danh Nicolas Bourbaki Công trình khổng lồ họ gây nhiều tranh luận giáo dục toán học
Đến cuối kỉ, tốn học chí thâm nhập vào nghệ thuật, hình học fractal tạo nên hình thù đẹp đẽ chưa thấy
Thế kỉ 21
Vào buổi bình minh kỉ 21, nhiều nhà giáo dục bày tỏ quan ngại lớp người nghèo, không học hành tốn học khoa học[37][38] Trong tốn học,
khoa học, cơng trình sư cơng nghệ tạo nên tri thức, kết nối, tài sản mà triết gia cổ đại không dám mơ đến
Dương Quốc Việt, nhà toán học Việt Nam giải ba vấn đề mở lý thuyết vành nổ Cohen-Macanlay Gorenstein, hoàn thành việc quy bội trộn bội Hilbert Samuel, vấn đề bội vành nổ Fiber Cone, tính chất Cohen - Macanlay Fiber Cone
Năm 2005, Peter David Lax (1/5/1926, Viện Khoa học Toán Courant, Đại học New York) nghiên cứu thành công lý thuyết ứng dụng phương trình vi phân riêng phần tính tốn nghiệm chúng
Vào tháng năm 2007, đội nhà nghiên cứu khắp Bắc Mĩ Châu Âu sử dụng mạng máy tính để vẽ sơ đồ E8 thuộc nhóm Lie[39] Mặc dù ta chưa thể biết
xác việc có ứng dụng gì, khám phá đánh dấu mốc quan trọng tinh thần hợp tác cơng nghệ máy tính tốn học đại, xây dựng mơ hình vật thể phức tạp mà người biết đến với 248 chiều, với dung lượng thể lớn gen người[40]
Cấu trúc E8 hai chiều, thực Peter
McMullen E8 ba chiều E8
Những vấn đề tốn học cịn chờ đợi tương lai Bảy toán thiên niên kỷ
(13)2 Bài toán P=NP Giả thuyết Hodge
4 Phương trình Navier-Stokes Giả thuyết Riemann
Timaeus c Plato và Boethius (480–524) đã Nicomachus; uốn c Euclid Công .[22 ][23] Jabr wa-al-Muqabilah c Robert of Chester và Adelard of Bath , Hermanof Carinthia, và Gerard of Cremona .[24 ][25] Fibonacci, và Eratosthenes, n.[26] Thomas Bradwardine đưa dù lơgarít t R).[27] al-Kindi và Arnald of Villanova để .[28] Oxford Calculators và o kỉ 14 , William Heytesbury, t giải tích vi phân và giới hạn, đã vật thể ho" [29] ng Tích phân), khoảng cách hồ nh".[30] Nicole Oresme t Đại học Paris và Giovanni di Casali ngườ [31] n.[32] Isaac Newton thời kì Phục Hưng, t ử dụng hệ ghi số La Mã và phương trình bậc ba, t Scipione del Ferro và ng 1510, xuấ Johannes Petreius ở Nürnberg t Gerolamo Cardano, t phương trình bậc bốn t Lodovico Ferrari. vật lý học Q ngành in Cuốn s Theoricae nova planetarum c Peurbach và o 1472, t Treviso Arithmetic Ratdolt 1482. lượng giác đã Bartholomaeus Pitiscus l ng sin và cosin c 1533.[33] ó Regiomontanus (1436-1476) v Franỗois Vieta (1540-1603), Galileo, m mặt trăng Sao Mộc t Tychoo Brahe, ở Johannes Kepler, bắ n, John Napier, ở ứu logarit tự nhiên K nh Hình học giải tích đượ René Descartes (1596-1650), m rong hệ toạ độ Descartes X h định luật Kepler, và giải tích M Gottfried Wilhelm Leibniz, ở .[34] , toán học ứng dụng bắ Pierre de Fermat và Blaise Pascal ứu lý thuyết xác suất và tổ hợp t rò đánh bạc P Pascal's Wager, lý thuyết thỏa dụng ở Leonhard Euler Emanuel Handmann vẽ liên phân số N Simon Stevin S giới hạn, N số e. u Ô : Carl Friedrich Gauss hàm số vớ biến phức t rong hình học và chuỗi Ơ định lý đại số và luật tương hỗ bậc hai. ng hình học phi Euclid, t rong tiên đề đường thẳng song song c hình học Euclid khơng c Nikolai Ivanovich Lobachevsky và ry Janos Bolyai, độc hình học hyperbolic, t Hình học Elliptic đã Bernhard Riemann; hình học Riemann, t đa tạp, t đường và mặt Cá Thuyết tương đối c Albert Einstein. 19 William Rowan Hamilton đã n noncommutative algebra, lý thuyết vòng. Augustin Louis Cauchy và Karl Weierstrass. Đại số Boole, đượ nh George Boole N khoa học máy tính. Niels Henrik Abel, m Évariste Galois, m phương pháp đại số để phương trình đại số vớ bậc l ng thước kẻ và chia ba góc, để p cầu phương hình trịn) Cá lý thuyết nhóm, và đại số trừu tượng T ứu symmetry. Hội toán học London và 1865, Hội toán học Pháp và 1872, Hội toán học Palermo và 1884, Hội toán học Edinburgh và Hội toán học Mỹ và , Fourier o 1900, David Hilbert đưa h 23 toán c Hội nghị nhà toán học quốc tế Cá tính quán không mâu thuẫn) c không gian Hilbert, m ho giải tích hàm. 1930, Kurt Gödel đã () khẳ hệ thống tiên đề không t chân lý tốn học (và khoa học nói 1900 , Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887-1920) đã siêu hợp số ( ), hàm phần chia ( tiệm cận c hàm theta Ramanujan Ô hàm gamma, dạng modular , chuỗi phân kì , chuỗi siêu hình học và lý thuyết số nguyên tố. Paul Samuelson c toán kinh tế đươ i[35] 1952, John Anthony Pople (31/ đại học Cambridge đã Walter Kohn ngườ đại học Santa Barbara (M lý thuyết mật độ, đã ô-đun ( )[36] Định lý bốn màu Wolfgang Haken và Kenneth Appel đã Andrew Wiles, l Định lý lớn Fermat và logic toán , topo học , lý thuyết độ phức tạp, và lý thuyết trò chơi đã Nhóm Bourbaki c bút danh fractal đã n hình thù đẹp đẽ c học[37 ][38] T Dương Quốc Việt, m vành nổ Cohe quy bội trộn về bội Hilbert Samuel, vấ Fiber Cone, t 2005, Peter David Lax (1/ Đại học New York) đã phương trình vi phân riêng phần c đồ E8 t nhóm Li e i[40] Giả thuyết Poincaré Bài toán P=NP Giả thuyết Hodge Phương trình Navier-Stokes Giả thuyết Riemann Giả thuyết Birch Swinnerton-Dyer Lý thuyết Yang-Mill