De cuong luyen thi vao 10

a) Tø gi¸c CPKB néi tiÕp. H y x¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm C sao cho diÖn tÝch h×nh thang vu«ng ABKI lín nhÊt. b) Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c AHCE. D lµ ®iÓm thu[r]

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 Môn toán

Biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn Phần I

tổng hợp kiến thức

I Cỏc phộp bin i v cn thức 1 Hằng đẳng thức đáng nhớ

a b2 a2 2ab b2

    a b 2 a2 2ab b

    2

a b a b  a  b a b 3 a33a b 3ab2  2b3

 3 2

a b a  3a b 3ab  b a3b3 a b a  2 ab b 2

  

3 2

a  b  a b a ab b  2 2

a b c  a b c 2ab 2bc 2ca  2 Một số phép biến đổi thức bậc hai

- Đều kiện để thức có nghĩa A có nghĩa A  - Các cơng thức biến đổi thức



A A AB A B (A0;B0)

  

A A

(A 0;B 0)

B B A B2 A B (B0)

  

A B A B (A 0;B 0) A B A B (A2 0;B0)

  

A

AB (AB 0;B 0)

B B  

A A B

(B 0)

B B

  

 



2

C C( A B)

(A 0;A B )

A B

A B

C C( A B)

(A 0;B 0;A B)

A B

A B     

3 Các dạng tập bản

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức

Phng pháp: Bớc 1: Trục thức mẫu (nếu có) Bớc 2: Qui đồng mẫu thức (nếu có) Bớc 3: Đa biểu thức dấu Bớc 4: Rút gọn biểu thức

Bíc 5: TÝnh sè trÞ (nếu tham số) Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện xác định biểu thức Bớc 2: Trục thức mẫu có (nếu có) Bớc 3: Qui đồng mẫu thức (nếu có)

Bíc 4: §a mét biĨu thøc dấu Bớc 5: Rút gọn biểu thức

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức

Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện xác định biểu thức

Bớc 2: Biến đổi vế trái vế phải vế phải vế trái Cũng có phải biến đổi hai vế biểu thức trung gian

II Phơng trình bậc hai

1 Định nghĩa: Phơng trình bậc hai phơng trình có dạng ax2bx c (a 0)

2 Công thøc nghiÖm: Ta cã  b2 4ac - NÕu  < phơng trình vô nghiệm

- Nếu = phơng trình có nghiệm kép 1,2

b x

2a 

- NÕu  > phơng trình có hai nghiệm phân biệt

b x

2a    

;

b x

2a  

3 Hệ thức Viet: Nếu phơng trình cã nghiƯm x1; x2 th× S =

1

b

x x

a   

; P =

c x x

a

Giả sử x1; x2 hai nghiệm phơng trình

2

ax bx c 0 (a  0) Ta sử dụng định lí Viet để tính

S1 =

 

2

2

1 2 2

b 2ac

x x x x 2x x

a 

    

S2 =

   

3

3

1 2 2

3abc b

x x x x 3x x x x

a 

     

S3 =

   

2

2

1 2 2

b 4ac

x x x x x x 4x x

a 

      

4 øng dơng hƯ thøc Viet

a) NhÈm nghiƯm: Cho phơng trình ax2bx c (a 0)

- NÕu a + b + c =  x1 = 1;

2

c x

a 

- NÕu a - b + c =  x1 = -1;

2

c x

a 

b) T×m hai sè biÕt tỉng vµ tÝch: Cho hai sè x, y biÕt x + y = S; x.y = P x, y hai nghiệm ph ơng trình bậc hai X2 - SX + P = 0

c) Phân tích thành nhân tử: Nếu phơng trình ax2bx c (a 0) cã hai nghiƯm x1; x2 th×

   

2

1

ax bx c a x x x x

d) Xác định dấu nghiệm số: Cho phơng trình ax2bx c 0 (a  0)

- NÕu

c

a phơng trình có hai nghiệm trái dấu

- NÕu c a   

phơng trình cã hai nghiÖm cïng dÊu

- NÕu c a b a            

 phơng trình có hai nghiệm dơng Nếu c a b a            

 phơng trình có hai nghiệm âm

5 Các dạng toán bản:

Dng 1: Tỡm iu kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm

Phơng pháp: Điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm  b2 4ac 

c

a

Trong trờng hợp cần chứng minh có hai phơng trình ax2bx c 0; a' x2b' x c ' 0 cã nghiÖm ngêi ta thờng làm theo hai cách sau:

C¸ch 1: Chøng minh    1 Cách 2:

Dạng 2: Tìm hai số biết tổng tích

Phơng ph¸p: Bíc 1: Cho hai sè x, y biÕt x + y = S; x.y = P th× x, y hai nghiệm ph ơng trình bậc hai X2

-SX + P =

Bớc 2: Giải phơng trình X2 - SX + P = 0

Bớc 3: Kết luận Dạng 3: Biểu thức đối xứng hai nghiệm

Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm Bớc 2: Tính S =

b

x x

a   

; P =

c x x

a 

, theo m Bớc 3: Biểu diễn hệ thức đề theo S, P với ý

2 2

x x S  2P;

 

3

1

x x S S  3P

;

1 S

x x P;

2

2 2

1

1 S 2P

x x P

  

Bíc 2: TÝnh S =

b

x x

a   

; P =

c x x

a 

, theo m

Bớc 3: Khử m để lập hệ thức S P, từ suy hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc tham số m

Dạng 5: Điều kiện để hai nghiệm liên hệ với hệ thức cho trớc Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm

Bíc 2: TÝnh S =

b

x x

a   

; P =

c x x

a 

, theo m Bớc 3: Giải phơng trình với ẩn số m, so sánh điều kiện Bớc 4: Kết luận

III Hệ phơng trình

1 H phng trình bậc hai ẩn số: Cách 1: Sử dụng phơng pháp cộng đại số:

- Nhân vế hai phơng trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai phơng trình hệ đối

- Sử dụng quy tắc cộng đại số để thực phơng trình mới, có phơng trình mà hệ số hai ẩn (tức phơng trình ẩn số)

- Giải phơng trình ẩn vừa thu đợc suy nghiệm hệ phơng trình đ choã

Cách 2: Sử dụng phơng pháp

- Dựng quy tắc biến đổi hệ phơng trình đ cho để đã ợc hệ phơng trình mới, có phơng trình ẩn

- Giải phơng trình ẩn vừa có, suy nghiệm hệ đ choã 2 Hệ phơng trình đối xứng

a) Hệ đối xứng loại I: Nếu ta thay đổi vai trị x, y phơng trình khơng thay i

Phơng pháp: Đa hệ phơng trình theo hai biÕn míi lµ: S = x + y vµ P = xy víi ®iỊu kiƯn S2 4P

b) Hệ đối xứng loại II: Nếu ta thay đổi vai trị x, y phơng trình chuyển thành phơng trình

Phơng pháp: Trừ hai phơng trình với để nhận dợc phơng trình có dạng tích số Chú ý hệ ph-ơng trình có nghiệm (x0; x0) (tức x = y) Nếu hệ phơng trình có nghiệm (x, y) phơng trình có nghim (y, x)

IV Phơng trình quy phơng trình bậc (bậc hai)

1 Phơng trình chứa Èn ë mÉu sè:

Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa

Bớc 2: Qui đồng mẫu số để đa phơng trình bậc (bậc hai) Bớc 3: Giải phơng trình bậc (bậc hai)

Bớc 4: So sánh với điều kiện kết luận nghiệm Phơng trình chứa dấu trị tuyệt đối:

Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa

Bớc 2: Khử dấu giá trị tuyệt đối, biến đổi đa phơng trình bậc (bậc hai) Bớc 3: Giải phơng trình bậc (bậc hai)

Bíc 4: So s¸nh với điều kiện kết luận nghiệm Phơng trình trïng ph¬ng: ax4bx2 c (a  0)

Ph¬ng pháp: Bớc 1: Đặt x2 = t 0

Bớc 2: Biến đổi đa phơng trình bậc hai ẩn t Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai

Bớc 4: So sánh với điều kiện kết luận nghiệm Phơng trình có dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e víi a + d = b + c

Phơng pháp: Bớc 1: Đặt t = x2 + (a + d)x + k = x2 + (b + c)x + k víi k =  

1

ad bc

2 

Bớc 2: Biến đổi đa phơng trình bậc hai ẩn t Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai

Bíc 4: So s¸nh víi điều kiện tìm nghiệm x Phơng trình hồi qui

a) Dạng 1: Phơng trình có dạng ax4bx3cx2bx a (a 0) Phơng pháp: Bớc 1: Chia hai vế phơng trình cho x2 0

Bớc 2: Đặt

1

t x

x

với điều kiện t đa phơng trình bậc hai ẩn t Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai

Bớc 4: So sánh với điều kiện tìm nghiệm x b) Dạng 2: Phơng trình có dạng ax4 bx3cx2 bx a (a 0)

Phơng pháp: Bớc 1: Chia hai vế phơng trình cho x2 0

Bớc 2: Đặt

1

t x

x  

Bớc 4: So sánh với điều kiện tìm nghiệm x

6 Phơng trình có dạng ax4bx3cx2dx e 0 víi

2

e d

a b

   

  ; e 0

Phơng pháp: Bớc 1: Đặt

2

2

d d d d

t x t x x

bx bx b bx

   

         

    

2

2 d d

x t

bx b

     

 

Bớc 2: Đa phơng trình bậc hai ẩn t Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai

Bớc 4: So sánh với điều kiện kết luận nghiệm Phơng trình có dạng

4

x a  x b c

Phơng pháp: Bớc 1: Đặt t =

a b a b a b

x x a t ;x b t

2 2

  

       

Bớc 2: Đa phơng trình trùng phơng ẩn t Bớc 3: Giải phơng trình trùng phơng

Bớc 4: So sánh với điều kiện kết luận nghiệm

V Hµm sè

1 Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b (a  0)

- Hàm số bậc hàm số đợc cho cơng thức y = ax + b a 

- Hàm số bậc xác với giá trị x  R có tính chất đồng biến a > 0; nghịch biến a <

- Đồ thị hàm số bậc đờng thẳng Cắt trục tung điểm B(0; b) Cắt trục hoành điểm

b

A ;0

a  

  

  (trong a gọi hệ số góc, b gọi tung độ góc)

- Các đờng thẳng có hệ số góc a tạo với trục Ox góc Nếu gọi  góc hợp bới đờng thẳng tia Ox a = tg

- Nếu đờng thẳng (d): y = ax + b (a  0) đờng thẳng (d’): y = a’x + b’ (a’  0) thì:

(d) c¾t (d’)  a  a’ (d) song song (d’) 

a a'

b b'

  

 

(d) trïng (d’) 

a a'

b b'

  



 (d)  (d’)  a.a’ = -1

2 Hµm sè y = ax2 (a  0)

- Hàm số có tính chất: Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > Nếu a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x >

- Đồ thị hàm số Parabol với đỉnh góc toạ độ nhận trục Oy làm trục đối xứng + Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh, O điểm thấp đồ thị

+ Nếu a < đồ thị nằm phía dới trục hồnh, O im cao nht ca th

3 Các dạng to¸n

Dạng 1: Xác định hàm số bậc (phơng trình đờng thẳng)

Phơng pháp: Dựa vào điểm sau: Nếu điểm A(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b ax0 + b = y0

Các kết đ nêu phần lý thuyÕt trªn·

Dạng 2: Xác định hàm số y = ax2 (a  0)

Phơng pháp: Dựa vào điểm sau: Nếu điểm A(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = ax2 ax02 = y0

Dạng 3: Tìm giao điểm hai đồ thị

Phơng pháp: Lập phơng trình hồnh độ giao điểm

Giải phơng trình, từ tìm toạ độ giao điểm Dạng 4: Tơng giao đờng thẳng Parabol

Phơng pháp: Cho đờng thẳng có phơng trình y = ax + b (a  0) Parabol y = Ax2 (A  0) Xét phơng trình

hoành độ giao điểm Ax2 = ax + b (1) Ta có số giao điểm hai đồ thị phụ thuộc vào số nghiệm phơng trình

nµy

- Đờng thẳng cắt Parabol phơng trình (1) có nghiệm - Đờng thẳng không cắt Parabol phơng trình (1) vô nghiệm - Đờng thẳng tiếp xúc Parabol phơng trình (1) có nghiệm kép

VI Giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình 1 Phơng ph¸p chung

- Chọn ẩn số xác định điều kiện ẩn số (đơn vị tính) ẩn số thờng đại lợng cha biết toán.

Việc chọn ẩn số hay hai ẩn số tuỳ thuộc vào số đại lợng cha biết toán - Biểu diễn mối tơng quan đại lợng đ biết đại lã ợng cha biết

- Lập phơng trình (hay hệ phơng trình) - Giải phơng trình (hay hệ phơng trình) - Nhận định kết trả lời

Dạng 1: Các toán chuyển động

- Dựa vào quan hệ ba đại lợng S: qu ng đã ờng; t: thời gian; v: vận tốc vật chuyển động công thức S = v.t

- Dựa vào nguyên lí cộng vận tốc: Ví dụ giải tốn chuyển động thuyền sơng ta có: v1 = v0 + v3; v2

= v0 – v3 v1 vận tốc thuyền xi dịng, v2 vận tốc thuyền ngợc dòng, v0 vận tc riờng ca thuyn,

v3 vận tốc dòng ch¶y

Dạng 2: Các tốn suất lao động

Dựa vào quan hệ ba đại lợng: N: suất lao động (khối lợng cơng việc hồn thành đơn vị thời gian); t: thời gian để hồn thành cơng việc; s: lợng cơng việc đ làm N = ã

s t

Dạng 3: Các toán làm chung làm riêng, vòi nớc chảy chung chảy riêng Dựa vào kết sau

- Nu x gi (hoc ngày) làm xong cơng việc (hoặc ngày) làm đợc

1

x cơng việc đó

- Nếu giờ: Đối tợng A làm đợc

1

x công việc, đối tợng B lm c

y công việc lợng công việc mà

c hai lm c

1 x +

1

y c«ng viƯc

- Nếu làm đợc

1

x cơng việc a làm đợc a

x c«ng viƯc

Dạng 4: Các toán xếp, chia sản phẩm (hàng hóa )

Nh dạng 2: Chẳng hạn với ba đại lợng: N: số lợng hàng hoá phân phối cho xe; t: số xe chở hàng; s: tổng số lợng hàng hố kho N =

s t

Dạng 5: Các toán t×m sè

Dựa vào mối liên hệ hàng số Chú ý: ab 10a b  ; abc100a 10b c  Dạng 6: Các toán liên quan đến tỉ số %

Chó ý c¸c kết sau: m% A nghĩa

m A 100

Sè A b»ng m% sè B nghÜa lµ

A m

B 100 hay

m

A B

100 

Số A sau tăng lên m% đợc số có giá trị A +

m A 100

Dạng 7: Các toán có nội dung hình học

Chú ý đến hệ thức lợng tam giác, cơng thức tính chu vi, diện tích ca cỏc hỡnh

VII Các toán hình học phẳng 1 Hệ thức lợng tam giác vuông

a) Một số hệ thức cạnh đờng cao tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH ta có b2 = a b’ c2 = a c’

b2 + c2 = a2 h2 = b’ c’

a h = b c 2

1 1

h b c

b) Tỉ số lợng giác góc nhän

- Các tỉ số lợng giác góc nhọn  đợc định nghĩa nh sau:

sin =

cạnh đối

c¹nh hun cos =

c¹nh kỊ c¹nh hun

tg =

cạnh đối

c¹nh kỊ cotg =

cạnh kề cạnh đối

- Víi hai gãc  vµ  phơ ta cã sin = cos cos = sin

tg = cotg cotg = tg

- Một số góc đặc biệt

0

sin30 cos60

2

  sin450 cos450

2

 

A

B C

H

c b

a

c ' b' h

cạnh kề

cạ

nh

đ

èi

0

cos30 sin60

2

  0

tg45 cot g45 1

0

t g30 cot g60

3

  0

co t g30 t g60 

c) Một số hệ thức cạnh góc tam giác vuông

Trong mt tam giỏc vuụng, mi cnh góc vng cạnh huyền nhân với sin góc đối nhân với cơsin góc kề Mỗi cạnh góc vng cạnh góc vng nhân tang góc đối nhân với cơtang góc kề

d) Mét sè c«ng thøc tÝnh diƯn tÝch tam gi¸c S =

a.h

2 (h đờng cao ứng với cạnh a) S =

a.b.sinC b.c.sin A c.a.sinB

2  

S = p.r (p nửa chu vi, r bán kính đờng trịn nội tiếp tam giác) S =

a.b.c

4R (R bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác)

S = p p a p b p c         (p nửa chu vi tam giác)

2 Đờng trßn:

a) Sự xác định đờng trịn Tính chất đối xứng đờng tròn

- Đờng tròn tâm O bán kính R (với R > 0) hình gồm điểm cách điểm O khoảng R - Tuỳ theo OM = R; OM < R; OM > R mà ta có điểm M nằm trên, nằm bên trong, nằm bên ngồi đờng trịn - Qua ba điểm không thẳng hàng, vẽ đợc đờng tròn

- Đờng tròn có tâm đối xứng, tâm đờng trịn Đờng trịn có vơ số trục đối xứng, đờng kính

b) Đờng kính dây cung đờng tròn Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây - Trong đờng trịn, dây lớn đờng kính

- Đờng kính vuông góc với dây qua trung điểm dây

- Đờng kính qua trung điểm dây không qua tâm vuông góc với dây

- Trong mt đờng tròn: Hai dây chúng cách tâm Trong hai dây không nhau, dây lớn gần tâm

c) Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng tròn Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đờng tròn

Căn vào số điểm chung 0, 1, đờng thẳng đờng tròn mà ta định nghĩa vị trí: đờng thẳng đ-ờng trịn không giao nhau; tiếp xúc nhau; cắt ứng với vị trí trên, khoảng cách d từ tâm đờng trịn đến đờng

thẳng bán kính R đờng trịn có liên hệ: d > R; d = R; d < R Ta có định lí

- Nếu đờng thẳng tiếp tuyến đờng trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm

- Nếu đờng thẳng qua điểm đờng trịn vng góc với bán kính qua điểm đờng thẳng tiếp tuyến đờng tròn

d) TÝnh chÊt cđa hai tiÕp tun c¾t nhau:

Nếu hai tiếp tuyến đờng tròn cắt điểm thì: - Điểm cách hai tiếp điểm

- Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính i qua cỏc tip im

e) Đờng tròn nội tiếp tam giác, ngoại tiếp tam giác, bàng tiếp tam gi¸c

- Đờng trịn tiếp xúc với ba cạnh tam giác gọi đờng tròn nội tiếp tam giác, tam giác gọi ngoại tiếp đờng tròn Tâm đờng tròn nội tiếp tam giác giao điểm đờng phân giác góc tam giác

- Đờng tròn qua ba đỉnh tam giác gọi đờng tròn ngoại tiếp tam giác, tam giác gọi nội tiếp đờng tròn Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác giao điểm đờng trung trực tam giác

- Đờng tròn tiếp xúc với cạnh tam giác tiếp xúc với phần kéo dài hai cạnh đ ờng tròn bàng tiếp tam giác Tâm đờng tròn bàng tiếp tam giác giao điểm hai đờng phân giác hai góc ngồi tam giác giao điểm tia phân giác góc hai đ ờng phân giác góc ngồi khơng kề với

f) Vị trí tơng đối hai đờng trịn

Căn vào số điểm chung 0, 1, hai đờng tròn mà ta định nghĩa vị trí: Hai đờng trịn khơng giao nhau, tiếp xúc nhau, cắt

Do tính chất đối xứng đờng trịn, hai đờng trịn cắt giao điểm đối xứng với qua đờng nối tâm, hai đờng trịn tiếp xúc giao điểm nằm đờng nối tâm

g) Góc với đờng trịn:

+ Góc tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm đờng trịn đợc gọi góc tâm Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung Số đo cung lớn hiệu 3600 số đo cung nhỏ Số đo nửa đờng trịn 1800.

+ Góc nội tiếp: Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đờng trịn hai cạnh chứa dây cung đờng trịn Cung bên góc gọi cung bị chắn Trong đờng trịn số đo góc nội tiếp số đo cung bị chắn

+ Góc có đỉnh bên đờng trịn: Mỗi góc có đỉnh bên đờng trịn chắn hai cung: cung nằm bên góc cung nằm bên góc đối đỉnh cung Số đo có đỉnh bên đ ờng trịn nửa tổng số đo hai cung bị chắn

+ Góc có đỉnh bên ngồi đờng trịn: Số đo góc có đỉnh bên ngồi đờng trịn nửa hiệu hai cung bị chắn

 Chú ý: Trong đờng trịn

- C¸c gãc néi tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung

- Góc nội tiếp nhỏ 900 có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung.

- Góc nội tiếp chắn nửa đờng trịn góc vng ngợc lại góc vng nội tiếp chắn nửa đờng trịn - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung

h) Độ dài đờng trịn - Độ dài cung tròn

- Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d

- Độ dài cung tròn n0 bán kính R :

Rn l

180  

I) DiÖn tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn - Diện tích hình tròn: S = R2

- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n0:

2

R n lR

S

360

3 Các dạng toán bản

Dạng 1: Chứng minh hai góc b»ng

 C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba

- Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng kh¸c

- Hai góc tổng hiệu hai góc theo thứ tự đơi - Hai góc phụ (hoặc bù) với góc thứ ba

- Hai góc nhọn tù có cạnh đơi song song vng góc - Hai góc so le trong, so le ngồi đồng vị

- Hai góc vị trí đối đỉnh

- Hai góc mộ tam giác cân

- Hai góc tơng ứng hai tam giác đồng dạng - Hai góc nội tiếp chắn cung chắn hai cung Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng

 Cách chứng minh: - Chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thứ ba - Hai cạnh tam giác cân tam giác - Hai cạnh tơng ứng hai tam giác

- Hai cạnh đối hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vng) - Hai cạnh bên hình thang cân

- Hai dây trơng ứng hai cung đờng trịn hai đờng Tính chất tiếp tuyến cắt

Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng song song

 Cách chứng minh: - Chứng minh hai đờng thẳng song song với đờng thẳng thứ ba - Chứng minh hai đờng thẳng vng góc với đờng thẳng thứ ba

- Chứng minh chúng tạo với cát tuyến hai góc nhau: vị trí so le trong; vị trí so le ngồi; vị trí đồng vị

- Là hai dây chắn chúng hai cung đờng tròn - Chúng hai cạnh đối hình bình hành, chữ nhật, hình vuông, Dạng 4: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc

 Cách chứng minh: - Chúng song song với hai đờng thẳng vng góc khác - Chứng minh chúng chân đờng cao tam giác - Đờng kính qua trung điểm dây dây không qua tâm - Chúng phân giác hai góc kề bù

- Tính chất đờng chéo hình thoi, hình vng Dạng 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đờng thẳng đồng quy

 C¸ch chøng minh: - Dùa vµo tỉng hai gãc kỊ bï cã tỉng b»ng 1800

- Dựa vào hai góc đối đỉnh

- Dựa vào hai đờng thẳng qua điểm song song với đờng thẳng khác - Dựa vào hai góc có cạnh trùng

- Chứng minh chúng ba đờng cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giác (hoặc phân giác phân giác ngồi hai góc kia)

- Vận dụng định lí đảo định lí Talet Dạng 6: Chứng minh hai tam giác

* Hai tam gi¸c thêng: - Trờng hợp góc - cạnh - góc (g-c-g) - Trờng hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c) - Trờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c) * Hai tam giác vuông: - Có cạnh góc nhọn

- Cạnh góc vng đơi Dạng 7: Chứng minh hai tam giác đồng dạng

* Hai tam giác thờng: - Có hai góc đơi (g-g)

- Có góc xen hai cạnh tơng ứng tỷ lệ (c-g-c) - Có ba cạnh tơng ứng tỷ lệ (c-c-c)

* Hai tam giác vuông: - Cã mét gãc nhän b»ng

- Cã hai cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lệ

- Có cạnh huyền cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lệ Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp

 Cách chứng minh: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800

- Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dới góc  - Dựa vào phơng tích ca ng trũn

VIII Các toán hình học kh«ng gian

1 Hình lăng trụ: Hình lăng trụ hình đa diện có hai mặt song song gọi đáy cạnh không thuộc hai đáy song song với Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác

Sxq = p l (p chu vi thiết diện thẳng, l độ dài cạnh bên)

Lăng trụ đứng: Sxq = p h (p chu vi đáy, h chiều cao)

V = B h (B diện tích ỏy, h l chiu cao)

Hình hộp chữ nhật: Stp = 2(ab + bc + ca) (a, b, c kích thớc hình hộp chữ nhật)

V = a b c

Các đờng chéo hình hộp chữ nhật d = a2b2c2 Hình lập phơng: V = a3 (a cạnh)

2 Hình chóp: Hình chóp hình đa diện có mặt đa giác, mặt khác tam giác có chung đỉnh Hình chóp hình chóp có đáy đa giác mặt bên Hình chóp cụt phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy Hình chóp cụt từ hình chóp gọi hình chóp cụt

Hình chóp đều: Sxq =

1

2 n a d (n số cạnh đáy; a độ dài cạnh đáy; d độ dài trung đoạn)

Stp = Sxq + B (B diện tích đáy)

V =

1 3 B h

Hình chóp cụt đều: Sxq =

 

1

n.a n.a' d

2  (n số cạnh đáy; a, a’ cạnh đáy; d trung đoạn chiều cao mặt bên)

V = V1 + V2 (V1 thĨ tÝch h×nh chãp cơt; V2 thĨ tÝch h×nh chãp trªn)

V =  

1

.h B B' B.B'

3   (B, B’ diện tích đáy, h chiều cao)

3 Hình trụ: Hình trụ hình sinh bới hình chữ nhật quay xung quanh cạnh - Diện tích xung quanh: Sxq = 2 R h (R bán kính đáy; h chiều cao)

- Diện tích toàn phần: Stp = R h + 2 R2

- Thể tích hình trụ: V = S h =  R2 h (S diện tích đáy)

4 Hình nón: Hình nón hình sinh tam giác vuông quay xung quanh cạnh góc vng Hình nón cụt phần hình nón đáy thiết diện vng góc với trục

Hình nón: - Diện tích xung quanh: Sxq =  R l (R bán kính đáy; l l ng sinh)

- Diện tích toàn phần: Stp =  R l +  R2

- ThÓ tÝch: V =

2

1 .R h

3  (h lµ chiỊu cao)

Hình nón cụt: - Diện tích xung quanh: Sxq = (R1 + R2) l (R1; R2 bán kính hai đáy; l l ng sinh)

- Diện tích toàn phần: Stp = (R1 + R2) l + (R12 + R22)

- ThÓ tÝch: V =

2 2

1

.h.(R R R R )

3   (h lµ chiỊu cao)

5 Hình cầu: - Diện tích mặt cầu: S = R2 (R bán kính)

- Thể tích hình cầu: V =

3

4 R

3

IX Bất đẳng thức toán tỡm cc tr

1 Định nghĩa: a > b  a – b >  b – a < a  b  a – b   b – a 

2 Mét sè tÝnh chÊt:

1/

A B

A C

B C

 

  



3/

AC BC,C

A B

AC BC,C

         4/ A B

A C B C

C D          5/

A B

AC BD

C D

  

  

 

 6/ A > B > 0, n  N* An > Bn

7/ AB0,n N,n  2 nA nB 8/

1

víi AB

A B

A B

1

víi AB

A B            9/ * n,m N n m       n m n m

A A ,A

A A ,0 A

          10/

2n 2n

2n 2n

a b

a b

n N a b

               

3 Một số BĐT bản:

a b 24ab a a

a b  a b a  b  a b

1

ab a b (víi a, b > 0)

1 1

abc a b c  (víi a, b, c > 0)

2

1 n n

1 1 n

a a  a a a  a (Víi a

1, a2, …, an > 0)

a b

2

ba  (víi ab > 0)

a) Bất đẳng thức CauChy: Dạng tổng quát: Giả sử a1, a2, …, an số thực khơng âm, ta có:

D¹ng 1:

1 n n

1 n

a a a

a a a n

   

D¹ng 2:

n

1 n

1 n

a a a

a a a n          

Đẳng thức xảy a1 = a2 = … = an

HƯ qu¶: * NÕu a1 + a2 + + an = S (const) th×

 

n

1 n

S Max a a a

n    

  x¶y  a

1 = a2 = … = an =

S n

* NÕu a1a2 an = P (const) th×  

n

1 n

Min a a  a n P

x¶y  a1 = a2 = … = an =

nP

Bất đẳng thức CauChy suy rộng: Cho n số dơng a1, a2, …, an (n  2) n số dơng 1, 2, … n cho

1+ 2 + … + n = th×:

1 1

1 1 1 2 n n

a a a   a a a      

DÊu b»ng x¶y  a1 = a2 = … = an

b) Bất đẳng thức: CauChy – Bunhiakowski – Schwarz (CBS)

Dạng tổng quát: Cho 2n số thực tuỳ ý a1, a2, , an; b1, b2, , bn đó:

 2 2  2 2  2

1 n n 1 2 n n

a a  a b b  b  a b a b  a b

Dấu đẳng thức xảy 

1 n

1 n

a a a

b b  b

HƯ qu¶: * NÕu a1x1 + a2x2 + + anxn = c (const) th×

 2 2

1 n 2

1 n

c

Min x x x

a a a

   

   x¶y 

1 n

1 n

x x x

a a  a

* NÕu

2 2

1 n

x x  x c (const) th×

  2

1 2 n n n

Max a x a x  a x c a a   a 

1 n

1 n

x x x

a a  a 

  2

1 2 n n n

Min a x a x  a x  c a a  a 

1 n

1 n

x x x

a a  a 

Dạng khác CBS:

2

2 2

1 n

1 n

1 n n

a a a

a a a

b b b b b b

      

PhÇn II

Một số dạng tập tự luyện

Bµi tËp vỊ biĨu thøc

Bµi 1: Cho biÓu thøc :

a

P

a a a



  

  

1

2 a

a) Rút gọn P b) Tìm giá trị a để P <

Bµi 2: Cho biÓu thøc: P =

x x x x

1 :

x x x x x

      

  

   

        

   

a) Rút gọn P b)Tìm giá trị a để P <

Bµi 3: Cho biĨu thøc: P =

x 1 x x

: 9x

3 x x x

     

  

   

       

   

a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P =

6

Bµi 4: Cho biĨu thøc P =

a a

1 :

a a a a a a

   

 

   

        

   

a) Rút gọn P b) Tìm giá trị a để P < c) Tìm giá trị P a 19 3 

Bµi 5: Cho biĨu thøc: P =

2 3

a(1 a) a a

: a a

1 a a a

   

  

     

   

      

a) Rót gän P b) XÐt dÊu cđa biĨu thøc M =

a.(P-1 2)

Bµi 6: Cho biĨu thøc: P =

x 2x x x 2x x

1 :

2x 2x 2x 2x

       

   

   

       

   

a) Rót gän P b) TÝnh giá trị P x

1

2

 

Bµi 7: Cho biĨu thøc: P =

2 x x

: x

x x x x x

   

 

   

        

   

a) Rút gọn P b) Tìm x để P

Bµi 8: Cho biĨu thøc: P =

3

3

2a a a

a

a a 1 a

a

 

   

 

 

 

       

   

a) Rót gän P b) XÐt dÊu cđa biĨu thøc P a

Bµi 9: Cho biĨu thøc P =

x x x

1:

x

x x x x

    

 

 

     

 

a) Rót gän P b) So s¸nh P víi

Bµi 10: Cho biĨu thøc : P =

1 a a a a

a a

1 a a

     

 

   

     

   

a) Rút gọn P b) Tìm a để P < 3

Bµi 11: Cho biÓu thøc: P =

2 x x 3x x

:

x

x x x

     

  

   

       

   

a) Rút gọn P b) Tìm x để P <

c) Tìm giá trị nhỏ P

Bµi 12: Cho biĨu thøc: P =

x x x x x

1 :

x x x x x

       

  

   

        

   

a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P <

Bµi 13: Cho biĨu thøc : P =

15 x 11 x 2 x

x x x x

  

 

   

a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P=

1

c) Chøng minh P

2 

Bµi 14: Cho biÓu thøc: P=

2

2 x x m

4x 4m

xm x m  víi m > 0

a) Rút gọn P b) Tính x theo m để P = c) Xác định giá trị m để x tìm đợc câu b thoả m n điều kiện x > 1ã

Bµi 15: Cho biĨu thøc P =

2

a a 2a a

1

a a a

 

 

 

a) Rút gọn P b) Biết a > H y so sánh ã P với P c) Tìm a để P = d) Tìm giá trị nhỏ P

Bµi 16: Cho biÓu thøc P =

a ab a a ab a

1 :

ab ab ab ab

       

   

   

       

   

a) Rút gọn P b) Tính giá trị P a =2 b = 13+31 c) Tìm giá trị nhỏ P a b

Bµi 17: Cho biĨu thøc : P =

a a a a 1 a a

a

a a a a a a a

 

 

   

      

      

a) Với giá trị a P = b) Với giá trị a P >

Bài 18: Cho biểu thức: P =

2

a a a

2 a a a

     

 

   

     

   

a) Tìm giá trị a để P < b) Tìm giá trị a để P = -2

Bµi 19: Cho biĨu thøc P =

 a b2 4 ab a b b a

a b ab

  



a) Rút gọn P b) Tính giá trị P a =2 vµ b =

Bµi 20: Cho biÓu thøc : P =

x x x

:

x x x x 1 x

   

 

 

     

 

a) Rót gän P b) Chøng minh r»ng P > ∀ x 1

Bµi 21: Cho biĨu thøc : P =

2 x x x

:

x x x x x

     

 

   

       

   

a) Rót gän P b) TÝnh √P x= 5+2√3

Bµi 22: Cho biĨu thøc P =

3x

1 2

1: :

4 x

2 x x x

 

 

 

 



  

 

 

Bµi 23: Cho biÓu thøc : P =

 2

3 x y xy

x y

x y

: y x

x y x y

 

   

  

    

 

a) Rót gän P b) Chøng minh P 0

Bµi 24: Cho biĨu thøc P =

1 ab ab a b

:

a b a a b b a b a a b b a ab b

 

    

   

   

         

 

    

a) Rót gän P b) TÝnh P a =16 vµ b =

Bµi 25: Cho biĨu thøc: P =

2a a 2a a a a a a

1

1 a a a a

      

  

  

 

a) Cho P=

6

1 tìm giá trị a b) Chứng minh P >

Bµi 26: Cho biĨu thøc: P =

x x 25 x x x

1 :

x 25 x x 15 x x

       

  

   

        

   

a) Rút gọn P b) Với giá trị x P <

Bài 27: Cho biÓu thøc P =

a   a b

3 a 3a

:

a ab b a a b b a b 2a ab 2b

 

 

 

 

       

 

a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P có giá trị ngun

Bµi 28: Cho biĨu thøc P =

1 a a

:

a a a a

 

   

   

   

  

   

a) Rút gọn P b) Tìm giá trị a để P >

1

Bµi 29: Cho biĨu thøc: P =

3

3

x y x x y y

1 1

:

x y

x y x y x y xy

     

  

  



   

 

a) Rút gọn P b) Cho x.y = 16 Xác định x, y để P có giá trị nhỏ

Bµi 30: Cho biĨu thøc : P =

3

x 2x x

xy 2y x x xy y x

 

    

a) Rút gọn P b) Tìm tất số nguyên dơng x để y = 625 P < 0,2

Bµi 31 : Cho biĨu thøc : Q =

x x x

x

x x x

    



 

    

 

a) Tìm x để Q Q b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên Bài 32 : Cho biểu thức P =

1 x

x 1  x x

a) Rót gän biĨu thức sau P b) Tính giá trị biểu thức P x =

1

Bµi 33 : Cho biÓu thøc : A =

x x x

x x

  

 

a) Rót gän biĨu thức b) Tính giá trị biểu thức A x =

1

c) Tìm x để A < d) Tìm x để A A

Bµi 34 : Cho biĨu thøc : A =

1

1

a a a

   

 

   

 

a) Rút gọn biểu thức sau A b) Xác định a để biểu thức A >

1 2

Bµi 35 : Cho biĨu thøc: A =

2

x x x 4x x 2010

x x x x

        

 

  

  .

a) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa b) Tìm x  Z để A  Z

Bµi 36 : Cho biÓu thøc: A =

 

2 x x x x x x

:

x

x x x x

 

   



 

    

  .

a) Tìm x để A < b) Tìm x ngun để A có giá trị ngun

Bµi 37 : Cho biĨu thøc: A =

x x x

:

x x x x 1 x

   

 

 

     

 

a) Rót gän biĨu thøc A b) Chøng minh r»ng: < A <

Bµi 38 : Cho biÓu thøc: P =

a a a

4 a

a a

  

 



  (a  0; a  4)

a) Rút gọn P b) Tính giá trị P víi a =

Bµi 39 : Cho biÓu thøc: N =

a a a a

1

a a

     

 

   

     

   

a) Rút gọn biểu thức N b) Tìm giá trị a để N = -2010

Bµi 40 : Cho biĨu thøc

x x 26 x 19 x x

P

x x x x

  

  

   

a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x 7 c) Với giá trị x P đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ

Bµi 41 : Cho biĨu thøc

2 x x 3x x

P :

x

x x x

     

        

  

   

a) Tìm x để

1 P

2  

b) Tìm giá trị nhỏ P

Bµi 42: Cho A=

a a 1

4 a a

a a a

     

  

   

     

  víi x > ,x  1

a) Rót gän A b) TÝnh A víi a =      

4 15 10 4 15

Bµi 43: Cho A=

x x x x x

1 :

x x x x x

       

  

   

        

    víi x0 , x  9, x 

a) Tìm x để A < b) Tìm xZđể A  Z

Bµi 44: Cho A =

15 x 11 x 2 x

x x x x

  

 

    víi x0 , x  1.

a) Rút gọn A b) Tìm GTLN A c) Tìm x để A =

1

2 d) CMR : A

2 

Bµi 45: Cho A =

x x 1

x x x x 1 x

 

 

    víi x0 , x  1.

a) Rót gän A b) T×m GTLN cđa A Bµi 46: Cho A =

1

x x x 1   x x 1 víi x0 , x  1.

Bµi 47: Cho A =

x x 25 x x x

1 :

x 25 x x 15 x x

       

  

   

        

   

a) Rút gọn A b) Tìm xZđể A  Z

Bµi 48: Cho A =

2 a a a

a a a a

  

 

    víi a 0 , a  , a 

a) Tìm a để A < b) Tìm xZđể A  Z

Bµi 49: Cho A =

x x x x 2 x

:

x x x x x

       

  

   

        

    víi x > , x 

a) Rót gän A b) So sánh A với

1 A

Bài 50: Cho A =

 2

3

x y xy

x y

x y

: y x

x y x y

     

  

    

  víi x0 , y0, x  y

a) Rót gän A b) CMR : A 0

Bµi 51 : Cho A =

x x x x 1 x x

x

x x x x x x x

 

     

      

        Víi x > , x  1

a) Rút gọn A b) Tìm x để A =

Bµi 52 : Cho A =  

x x x

:

x x x

x x

                    

  víi x > , x  4.

a) Rót gän A b) TÝnh A víi x = 5

Bµi 53 : Cho A=

1 1 1

:

1 x x x x x

   

  

   

   

    víi x > , x  1.

a) Rót gän A b) TÝnh A víi x = 5

Bµi 54 : Cho A =

3

2x 1 x

:

x x x

x                    

  víi x0 , x  1.

a) Rút gọn A b) Tìm x nguyên để A nguyên

Bµi 55: Cho A=

1 x 2

:

x

x x x x x x

    

 

   

         

  víi x0 , x  1.

a) Rút gọn A b) Tìm x để A đạt GTNN

Bµi 56 : Cho A =

2 x x 3x x

:

x

x x x

     

  

   

       

    víi x0 , x  9

a) Rút gọn A b) Tìm x để A <

-1

Bµi 57 : Cho A =

x x x x x

:

x x

x x x

       

  

   

        

    víi x0 , x  1.

a) TÝnh A víi x = 5 b) CMR : A 

Bµi 58 : Cho A =

1 x

:

x x x x x



 



 

   

  víi x > , x  1.

a) Rót gän A b) So sánh A với

Bài 59 : Cho A =

x 1 x x

: 9x

3 x x x

     

  

   

       

    Víi

1

x 0,x

a) Tìm x để A =

6

5 b) Tìm x để A < 1.

Bµi 60 : Cho A =

2

x x x 2x

x x x

     



 

    

  víi x0 , x1.

a) Rót gän A b) CMR nÕu < x < th× A > c) TÝnh A x = + 2 d) Tìm GTLN A

Bài tập phơng trình bậc hai

Bài 1: Cho phơng trình :  

2

2

m 2x x m

a) Giải phơng tr×nh m 1

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x 3 c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng Bài 2: Cho phơng trình :  

2

m x  2mx m 2  0

(x ẩn ) a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x Tìm nghiệm cịn lại b) Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt

c) TÝnh

2 2

x x theo m

Bài 3: Cho phơng trình :  

2

x  m x m 4   0

(x ẩn ) a) Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu

b) Chøng minh r»ng phơng trình có nghiệm phân biệt với m c) Chøng minh biÓu thøc M =x x1 2x x2 1 không phụ thuộc vào m.

Bài 4: Tìm m để phơng trình

a) x2 x+2(m1)=0 có hai nghiệm dơng phân biệt

b) 4x22x m 0   cã hai nghiƯm ©m ph©n biƯt

c)    

2

m 1 x  m x 2m 0   

có hai nghiệm trái dấu Bài 5: Cho phơng trình :

2

x  a x a   a 20

a) Chứng minh phơng trình có nghiệm tráI dấu với a b) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2 Tìm giá trị a để

2 2

x x

đạt giá trị nhỏ Bài 6: Cho b c hai số thoả m n hệ thức:ã

1 1

bc 2 Chøng minh hai phơng trình sau phải

cã nghiÖm x2 + bx + c = vµ x2 + cx + b = 0

Bµi 7: Với giá trị m hai phơng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiƯm sè chung: 2x2 – (3m + 2)x + 12 = vµ 4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0

Bài 8: Cho phơng trình : 2x2 2mx m 20

a) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt

b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dơng lớn phơng trình Bài 9: Cho phơng trình bậc hai tham số m : x24x m 0  

a) Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm

b) T×m m cho phơng trình có hai nghiệm x1và x2 thoả m n ®iỊu kiƯn ·

2 2

x x

= 10 Bµi 10: Cho phơng trình

2

x m x 2m 5   0

a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm với mäi m

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu Khi hai nghiệm mang dấu ? Bài 11: Cho phơng trình  

2

x  m x 2m 10   0

(víi m lµ tham số ) a) Giải biện luận số nghiệm phơng trình

b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 h y tìm hệ thức liên hệ xà 1; x2 mµ

khơng phụ thuộc vào m c) Tìm giá trị m để

2 2

10x x x x

Bài 12: Cho phơng trình

2

m x  2mx m 0  

với m tham số a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt m

b) Xác định giá trị m dể phơng trình có tích hai nghiệm 5, từ h y tính tổng hai nghiêm phã -ơng trình

c) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m

d) Tỡm m phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả m n hệ thức: ã

1 2

x x

0

x x 2 

Bµi 13: Cho phơng trình: x2 mx m  (m lµ tham sè)

a) Chøng tá r»ng phơnh trình có nghiệm x1; x2 với m; tính nghiệm kép ( có) phơng trình giá trị

của m tơng ứng b) Đặt

2

1 2

Ax x  6x x Chøng minh

Am  8m 8

c) Tìm m để A = tìm giá trị nhỏ A giá trị m tơng ứng d) Tìm m cho phơng trình có nghiệm hai lần nghiệm Bài 14: Giả sử phơng trình a.x2bx c 0 có nghiệm phân biệt x1; x2 Đặt

n n n

S x x (n nguyên dơng)

a) Chứng minh: a.Sn bSn cSn

b) áp dụng Tính giá trị cña : A=

5

1 5

2

      

   

   

   

Bµi 15: Cho f(x) = x2 - (m + 2).x + 6m +

a) CMR phơng trình f(x) = 0cã nghiƯm víi mäi m

b) Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ tìm điều kiện m để phơng trình f(x) = 0có nghiệm lớn

Bµi 16: Cho phơng trình:

2

x m x m   4m 5 0

a) Xác định giá trị m để phơng trình có nghiệm

b) Xác định giá trị m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dơng

c) Xác định giá trị m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối trái dấu d) Gọi x1; x2 hai nghiệm có phơng trình Tính

2 2

x x theo m

Bài 17: Cho phơng trình x2 4x có hai nghiệm x1; x2 Không giải phơng trình, h y tính giá trị biểuÃ

thøc :

2

1 2

3

1 2

6x 10x x 6x

M

5x x 5x x

 





Bµi 18: Cho phơng trình

2

x  m x m 0  

a) Giải phơng trình m =

1

b) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c) Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình Tìm m để :

2

1 2

x (1 2x ) x (1 2x )  m

Bài 19: Cho phơng trình x2mx n 3  0 (1) (n , m lµ tham sè) a) Cho n = CMR ph¬ng trình có nghiệm với m

b) Tỡm m n để hai nghiệm x1; x2 phơng trình (1) thoả m n hệ : ã

1 2 2

x x

x x

  



Bài 20: Cho phơng trình: 

2

x  k x 2k 5   0

( k lµ tham số) a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị k b) Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình Tìm giá trÞ cđa k cho

2 2

x x 18

Bài 21: Cho phơng trình  

2

2m x  4mx

(1) a) Giải phơng trình (1) m =

b) Giải phơng trình (1) m bÊt k×

c) Tìm giá trị m để phơng trình (1) có nghiệm m Bài 22: Cho phơng trình:  

2

x  2m x m   3m0

a) CMR phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt víi mäi m

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả m n ã x 1x26

a) Chứng tỏ phơng trình có nghiệm x1; x2 với m

b) Đặt A =

2

1 2

2(x x ) 5x x

CMR A = 8m2 18m 9 T×m m cho A = 27 c) T×m m cho phơng trình có nghiệm hai nghiệm

Bài 24: Giải biện luận phơng trình : x2 – 2(m + 1) + 2m + 10 = 0

Bài 25: Giải biện luận phơng tr×nh: (m - 3) x2 – 2mx + m – = 0

Bài 26: Giải phơng trình sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt

a) 2x2 + 2007x – 2009 = b) 17x2 + 221x + 204 = 0

c) x2 + ( 3 5)x - 15 = d) x2 –(3 - 2 7)x - 6 7 = 0

Bµi 27: Giải phơng trình sau cánh nhẩm nhanh nhÊt (m lµ tham sè)

a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = 0 b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = 0

Bµi 28: Gäi x1 , x2 lµ nghịêm phơng trình : x2 3x =

a) TÝnh: A = x12 + x22 B = x1 x2



C=

1

x 1x  1 D = (3x

1 + x2)(3x2 + x1)

b) Lập phơng trình bậc có nghiệm

1

x 1 vµ 2

x 1

Bµi 29: Cho phơng trình: x2 ( k 1)x - k2 + k – = (1) (k lµ tham sè)

a) Chứng minh phơng trình (1 ) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị k b) Tìm giá trị k để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt trái dấu c) Gọi x1, x2 nghệm phơng trình (1) Tìm k để : x13 + x23 >

Bài 30: Cho phơng trình: x2 2( m + 1) x + m – = (1) (m tham số)

a) Giải phơng trình (1) víi m = -5

b) Chøng minh r»ng ph¬ng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 phân biƯt víi mäi m

c) Tìm m để x1 x2 đạt giá trị nhỏ (x

1 , x2 ha1 nghiệm phơng trình (1) nói phần b)

Bài 31: Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – = (m tham số)

a) Giải phơng trình m = -

9

b) Chứng minh phơng trình đ cho có nghiệm với mÃ

c) Tìm tất giá trị m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp ba lần nghiệm

Bài 32: Cho phơng trình : mx2 2(m-2)x + m – = (1) víi m lµ tham sè

a) Biện luận theo m có nghiệm phơng trình (1) b) Tìm m để (1) có nghiệm trái dấu

c) Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm thứ hai Bài 33: Cho phơng trình : x2 + 2kx + – 5k = (1) với k tham số

a) Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép

b) Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả m n điều kiện : xã 12 + x22 = 10

Bài 34: Cho phơng trình : x2 6x + = 0, gäi x

1 vµ x2 lµ hai nghiệm phơng trình Không giải phơng trình, h y·

tÝnh: a) x12 + x22 b) 1 2

x x x x

c)

 

   

2

1 x

2 2

1 2

x x x x x x

x x x x

  

  

Bài 35: Cho phơng trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + = 0

a) Tìm giá trị m để phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm giá trị m thoả m n xã 12 + x22 = 12 (trong x1, x2 hai nghim ca phng trỡnh)

Bài 36: Cho phơng tr×nh: x2 – 2mx + 2m – = 0.

a) Chứng minh phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

c) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2, tìm giá trị m để: x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8

Bµi 37: Cho phơng trình: x2 2(m + 1)x + 2m 15 = 0.

a) Giải phơng trình víi m =

b) Gäi hai nghiƯm cđa phơng trình x1 x2 Tìm giá trị cđa m tho¶ m n 5x· + x2 =

Bài 38: Cho phơng trình: x2 + 4x + = (1)

a) Giải phơng trình (1)

b) Gäi x1, x2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình (1) Tính B = x13 + x23

Bài 39: Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + = (m lµ tham sè).

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả m n xã 13 + x23 

Bài 40: Cho phơng trình: (m 1)x2 + 2mx + m – = (*)

a) Giải phơng trình m =

Bài 41: Cho phơng trình (2m - 1)x2 - 2mx + = Xác định m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng (-1, 0)

Bài 42: Với giá trị m hai phơng trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x – = 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0.

b) 2x2 + mx – = vµ mx2 – x + = 0.

c) x2 – mx + 2m + = vµ mx2 – (2m + 1)x – = 0.

Bµi 43: Xét phơng trình sau: ax2 + bx + c = (1) vµ cx2 + bx + a = (2)

Tìm hệ thức a, b, c điều kiện cần đủ để hai phơng trình có nghiệm chung Bài 44: Cho hai phơng trình: x2 – 2mx + 4m = (1) x2 – mx + 10m = (2)

Tìm giá trị tham số m để phơng trình (2) có nghiệm hai lần nghiệm phơng trình (1) Bài 45: Cho hai phơng trình: x2 + x + a = x2 + ax + = 0

a) Tìm giá trị a hai phơng trình có nghiệm chung b) Với giá trị a hai phơng trình tng ng

Bài 46: Cho hai phơng trình: x2 + mx + = (1) vµ x2 + 2x + m = (2)

a) Định m để hai phơng trình có nghiệm chung b) Định m để hai phơng trình tơng đơng

c) Xác định m để phơng trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = có nghim phõn bit

Bài 47: Cho phơng trình: x2 – 5x + k = (1) vµ x2 – 7x + 2k = (2)

Xác định k để nghiệm phơng trình (2) lớn gấp lần nghiệm phơng trình (1)

Bµi tËp vỊ hµm sè bËc nhÊt

Bài 1: a) Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm (1 ; 2) (-1 ; -4) b) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng với trục tung trục hoành Bài Cho hàm số y = (m – 2)x + m +

a) Tìm điều kiện m để hàm số ln nghịch biến

b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ

c) Tìm m để đồ thị hàm số đồ thị hàm số y = -x + ; y = 2x – đồng quy Bài 3: Cho hàm số y = (m – 1)x + m +

a) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + b) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1; -4)

c) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với m Bài : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1)

a) Viết phơng trình đờng thẳng AB

b) Tìm giá trị m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đờng thẳng AB đồng

thêi ®i qua ®iĨm C(0 ; 2)

Bµi 5: Cho hµm sè y = (2m – 1)x + m –

a) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm (2; 5)

b) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với m Tìm điểm cố định c) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x = 1

Bài : Tìm giá trị k để đờng thẳng sau : y =

6 x 

; y =

4x



y = kx + k + cắt điểm Bài : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b Xác định a, b để (d) qua hai điểm A(1; 3) B(-3; -1) Bài : Cho hàm số : y = x + m (D) Tìm giá trị m để đờng thẳng (D) :

a) §i qua ®iĨm A(1; 2010)

b) Song song với đờng thẳng x – y + = Bài 9: Cho hàm số y = (m - 2)x + n (d)

Tìm giá trị m n để đồ thị (d) hàm số : a) Đi qua hai điểm A(-1;2) B(3;-4)

b) Cắt trục tung điểm cótung độ 1- 2và cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 2+ c) Cắt đờng thẳng -2y + x – =

d) Song song vối đờng thẳng 3x + 2y = Bài 10: Cho hàm số : y2x2 (P)

a) Vẽ đồ thị (P)

b) Tìm đồ thị điểm cách hai trục toạ độ

c) Xét số giao điểm (P) với đờng thẳng (d) ymx 1 theo m

d) Viết phơng trình đờng thẳng (d') qua điểm M(0; -2) tiếp xúc với (P) Bài 11 : Cho (P) yx2 đờng thẳng (d) y2x m

1) Xác định m để hai đờng :

a) Tiếp xúc Tìm toạ độ tiếp điểm

b) Cắt hai điểm phân biệt A B , điểm có hồnh độ x= -1 Tìm hồnh độ điểm cịn lại Tìm toạ độ A B

Bài 12: Cho đờng thẳng (d) 2(m 1)x (m 2)y   2

a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) yx2 hai điểm phân biệt A B b) Tìm toạ độ trung điểm I đoạn AB theo m

c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ khoảng Max d) Tìm điểm cố định mà (d) qua m thay đổi Bài 13: Cho (P) yx2

a) Tìm tập hợp điểm M cho từ kẻ đợc hai đờng thẳng vng góc với tiếp xúc với (P)

b) Tìm (P) điểm cho khoảng cách tới gốc toạ độ

Bài 14: Cho đờng thẳng (d)

3

y x

4  

a) Vẽ (d) Tính diện tích tam giác đợc tạo thành (d) hai trục toạ độ b) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d)

Bµi 15: Cho hµm sè y x (d)

a) Nhận xét dạng đồ thị Vẽ đồ thị (d)

b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm phơng trình x 1 m

Bài 16: Với giá trị m hai đờng thẳng : (d) y(m 1)x 2  (d') y 3x 1

a) Song song với b) Cắt c) Vng góc với Bài 17: Tìm giá trị a để ba đờng thẳng : (d1): y = 2x – 5; (d2): y = x + 2; (d3): ax - 12 đồng quy điểm

mặt phẳng toạ độ

Bài 18: CMR m thay đổi (d) 2x + (m - 1)y = qua điểm cố định Bài 20: Cho (P)

2

1

y x

2 

đờng thẳng (d) y=ax + b Xác định a b để đờng thẳng (d) đI qua điểm A(-1; 0) tiếp xúc với (P)

Bài 21: Cho hàm số y x 1 x 2 a) Vẽ đồ thị hàn số

b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm phơng trình x 1  x 2 m Bài 22: Cho (P) yx2 đờng thẳng (d) y = 2x + m

a) Vẽ (P) b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) Bài 23: Cho (P)

2

x y

4 

vµ (d) y = x + m

a) Vẽ (P) b) Xác định m để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B c) Xác định đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) cắt (P) điẻm có tung độ -4 d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vng góc với (d') qua giao điểm (d') (P) Bài 24: Cho hàm số yx2 (P) hàm số y = x + m (d)

a) Tìm m cho (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B

b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vng góc với (d) tiếp xúc với (P)

c) Thiết lập công thức tính khoảng cách hai điểm áp dụng Tìm m cho khoảng cách hai điểm A B

Bài 25: Cho điểm A(-2; 2) đờng thẳng (d1) y = -2(x + 1)

a) Tìm a để hàm số ya.x2 (P) qua A

b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d2) qua A vng góc với (d1)

c) Gọi A B giao điểm (P) (d2) ; C giao điểm (d1) với trục tung Tìm toạ độ B C Tính

diƯn tÝch tam giác ABC Bài 26: Cho (P)

2

1

y x

4 

đờng thẳng (d) qua hai điểm A B (P) có hồnh độ lầm lợt -2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số

b) Viết phơng trình đờng thẳng (d)

c) Tìm điểm M cung AB (P) tơng ứng hoành độ x  2;4 cho tam giác MAB có diện tích lớn Bài 27: Cho (P)

2

x y

4

điểm M (1; -2)

c) Gọi xA;xB lần lợt hoành độ A B Xác định m để x2AxB+xAx2B đạt giá trị nhỏ

d) Gọi A' B' lần lợt hình chiếu A B trục hồnh S diện tích tứ giác AA'B'B *Tính S theo m; *Xác định m để S=4(8 m m2m 2)

Bµi 28: Cho hµm sè yx2 (P) a) VÏ (P)

b) Gọi A,B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ lần lợt -1 Viết phơng trình đờng thẳng AB c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P)

Bài 29: Trong hệ toạ độ xOy cho Parabol (P)

2

1

y x

4 

đờng thẳng (d) ymx 2m 1  a) Tìm m cho (P) (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm

b) Chứng tỏ (d) qua điểm cố định Bài 30: Cho (P)

2

1

y x

4 

điểm I(0; -2) Gọi (d) đờng thẳng qua I có hệ số góc m a) Vẽ (P) CMR (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B  m R

b) Tìm giá trị m để đoạn AB ngắn Bài 31: Cho (P)

2

x y

4 

đờng thẳng (d) qua điểm I(

3 ;1

2 ) cã hệ số góc m

a) Tìm m cho (d) tiÕp xóc (P)

b) T×m m cho (d) (P) có hai điểm chung phân biệt Bµi 32: Cho (P)

2

x y

4 

đờng thẳng (d)

x

y

2  

a) Tìm toạ độ giao điểm (P) (d)

b) Tìm toạ độ điểm thuộc (P) cho đờng tiếp tuyến (P) song song với (d) Bài 33: Cho (P) yx2

a) Gọi A B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ lần lợt -1 Viết phơng trình đờng thẳng AB b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P)

Bµi 34: Cho (P)

2

y2x Trên (P) lấy điểm A có hồnh độ x=1 điểm B có hoành độ x=2 Xác định giá trị của

m n để đờng thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) song song với AB

Bài 35: Xác định giá trị m để hai đờng thẳng có phơng trình

1

2

(d )x y m

(d )mx y

cắt điểm (P)

2

y2x

Phơng trình bất phơng trình bậc ần Hệ phơng trình bậc ẩn

Bài 1: Giải phơng trình sau đây: a)

x x

2

x - 1x 2  b)

3

2x -

x + x +1 =

Bài 2: Giải biện luận phơng trình theo m: (m 2)x + m2 – =

Bài 3: Tìm m  Z để phơng trình sau có nghiệm nguyên: (2m – 3)x + 2m2 + m - = 0.

Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: 7x + 4y = 23 Bài 4: Giải hệ phơng trình:

a)

2x 3y

3x 4y

  



  

 b)

x 4y

4x 3y

  



 

 c)

2x y

5 y 4x

       d)

x y

x y

  



 

 e)

2x

4x 2y

  



 

 f)

2

2

x x y

3

1,7

x x y

            

Bài 5: Cho hệ phơng trình :

mx y

x my

  

a) Giải hệ phơng trình theo tham số m

Bài 6: Cho hệ phơng trình:

x 2y m

2x y 3(m 2)

   



   

a) Gi¶i hệ phơng trình thay m = -1

b) Gọi nghiệm hệ phơng trình (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 7: Cho hệ phơng trình:

(a 1)x y a

x (a 1)y

   



  

 có nghiệm (x; y). a) Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuc vo a

b) Tìm giá trị a tho¶ m n 6x· 2 – 17y = 5.

c) Tìm giá trị nguyên a để biểu thức

2x 5y x y



nhận giá trị nguyên.

Bài 8: Cho hệ phơng trình:

x ay

(1)

ax y

  



  

a) Gi¶i hƯ (1) a =

b) Với giá trị a th× hƯ cã nghiƯm nhÊt

Bài 9: Xác định hệ số m n, biết hệ phơng trình

mx y n

nx my

  



 

 cã nghiƯm lµ 1; 3 .

Bµi 10: Cho hệ phơng trình

a x y

ax y 2a

    



  

 (a tham số).

a) Giải hệ a =

b) Chøng minh r»ng víi mäi a hệ có nghiệm (x ; y) thoả m n x + y ·  2.

Bµi 11: Cho hệ phơng trình :

x - (m 3)y

(m - 2)x 4y m -

  



 

(m tham số).

a) Giải hệ m = -1

b) Giải biện luận phơng trình theo m

Bài 12: Cho hệ phơng tr×nh:

x - m y

mx 4y m

 



  

 (m lµ tham sè).

a) Gi¶i hƯ m = -1

b) Tìm giá trị nguyên m để hệ có hai nghiệm nguyên c) Xác định hệ có nghiệm x > 0, y >

Bài 13: Tìm m để hệ phơng trình

 

 

m x y m

x m y

     



   

 Cã nghiÖm thoả m n điều kiện x + y nhá nhÊt·

Bài 14: Giải hệ phơnh trình minh hoạ bằmg đồ thị

a)

x y

2y x

   



  

 b)

x y

x y 4        

 c)

y x

y 3x 12

         

Bài 15: Cho hệ phơng trình :

2x by

bx ay

  



  

a) Gi¶i hƯ phơng trình ab

b) Xỏc nh a b để hệ phơng trình có nghiệm (x; y) = (1; -2)

Bài 16: Giải biện luận hệ phơng trình theo tham số m:

mx y 2m

4x my m

  



   

Bµi 17: Với giá trị a hệ phơng tr×nh :

x ay

ax y

  



  

a) Cã mét nghiƯm nhÊt b) V« nghiƯm

Bài 18: Giải hệ phơng trình sau:

2

x xy y 19

x xy y

    

Bài 19*: Tìm m cho hệ phơng trình sau cã nghiÖm:    

2

x y

x y m x y x y

     



    

Bài 20: GiảI hệ phơng trình:

2

2

2x xy 3y 13

x 4xy 2y

    

   

Bài 21*: Cho a b thoả m n hệ phà ơng trình

3

2 2

a 2b 4b

a a b 2b

     

  

 TÝnh a2b2

Bµi 21: Cho hệ phơng trình

(a 1)x y

a.x y a

   

a) Giải hệ phơng r×nh a= -

b) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thoả m n điều kiện x + y > 0ã

Giải tốn cách lập phơng trình, hệ phơng trình 1 Toán chuyển động

Bài 1: Hai tỉnh A B cách 180 km Cùng lúc, ôtô từ A đến B xe máy từ B A Hai xe gặp thị trấn C Từ C đến B ôtô hết , từ C A xe máy hết 30 phút Tính vận tốc xe biết đờng AB hai xe chạy với vận tốc không đổi

Bài 2: Một ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B lại ngợc dòng từ bến B bến A tất Tính vận tốc ca nô nớc yên lặng, biết qu ng sông AB dài 30 km vận tốc dòng nã ớc km/h

Bài 3: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h, sau lại ngựơc từ B trở A Thời gian xi thời gian ngợc 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nớc km/h

Bài 4: Một ngời chuyển động qu ng đã ờng gồm đoạn đờng đoạn đờng dốc Vận tốc đoạn đờng đoạn đờng dốc tơng ứng 40 km/h 20 km/h Biết đoạn đờng dốc ngắn đoạn đờng 110km thời gian để ngời qu ng đã ờng 30 phút Tính chiều dài qu ng đã ờng ngời đ đi.ã

Bài 5: Một xe tải xe khởi hành từ A đến B Xe tảI với vận tốc 30 km/h, xe với vận tốc 45 km/h Sau đợc

3

4 qu ng ®· êng AB, xe tăng vận tốc thêm km/h qu ng đà ờng lại Tính qu ng đà ờng

AB biết xe đến B sớm xe tải 2giờ 20 phút

Bài 6: Một ngời xe đạp từ A đến B cách 33 km với vận tốc xác định Khi từ B A ng ời đ-ờng khác dài trớc 29 km nhng với vận tốc lớn vận tốc lúc km/h Tính vận tốc lúc đi, biết thời gian nhiều thời gian 30 phút

Bµi 7: Hai ca nô khởi hành từ hai bến A, B cách 85 Km ng ợc chiều Sau 1h40 gặp Tính vận tốc riêng ca nô, biết vận tốc ca nô xuôi lớn vận tốc ca nô ng ợc 9Km/h vận tốc dòng n-ớc Km/h

Bài 8: Hai địa điểm A,B cách 56 Km Lúc 6h45phút ngời xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h Sau ngời xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h Hỏi đến họ gặp chỗ gặp cách A Km ?

Bài 9: Một ngời xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 km/h Sau thời gian, ngời xe máy xuất phát từ A với vận tốc 30 km/h khơng có thay đổi đuổi kịp ngời xe máy B Nhng sau đợc nửa qu ng đã ờng AB, ngời xe đạp giảm bớt vận tốc km/h nên hai ngòi gặp C cách B 10 km Tính qu ng đã ờng AB

Bài 10: Một ngời xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30 km/h Khi đến B ng ời nghỉ 20 phút quay trở A với vận tốc trung bình 24 km/h Tính qu ng đã ờng AB biết thời gian lẫn 50 phút

Bài 11: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h, sau ng ợc từ B A Thời gian xi thời gian ngợc 40 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng n ớc Km/h vận tốc riêng ca nô không đổi

Bài 12: Một ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình 40 km/h Lúc đầu tơ với vận tốc đó, cịn 60 km đợc nửa qu ng đã ờng AB, ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 km/h qu ng đã ờng cịn lại Do tơ đến tỉnh B sớm so với dự định Tính qu ng đã ờng AB

Bài 13: Hai ca nô khởi hành lúc chạy từ bến A đến bến B Ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h, ca nô II chạy với vận tốc 24 km/h Trên đờng ca nô II dừng lại 40 phút, sau tiếp tục chạy Tính chiều dài qu ng đã ờng sông AB biết hai ca nô đến B lúc

Bài 14: Một ngời xe đạp từ A đến B cách 50 km Sau 30 phút, ngời xe máy từ A đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp

Bài 16: Một tầu thuỷ chạy khúc sông dài 80 km, giê 20 TÝnh vËn tèc cđa tÇu n ớc yên lặng, biết vận tốc dòng nớc km/h

Bài 17: Một thuyền khởi hành từ bến sơng A Sau 20 phút ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo gặp thuyền điểm cách bến A 20 km Hỏi vận tốc thuyền, biết ca nô chạy nhanh thuyền 12 km/h

Bài 18: Một ôtô chuyển động với vận tốc đ định để hết qu ng đã ã ờng dài 120 km thời gian đ định.ã

Đi đợc nửa qu ng đã ờng xe nghỉ phút nên để đến nơi giờ, xe phải tăng vận tốc thêm km/h nửa qu ng đã ờng cịn lại Tính thời gian xe lăn bánh đờng

Bài 19: Một ôtô dự định từ A đén B cách 120 km thời gian quy định Sau đ ợc ôtô bị chắn đờng xe hoả 10 phút Do đó, để đến B hạn, xe phải tăng vận tốc thêm km/h Tính vận tốc lúc đầu ôtô

Bài 20: Một ngời xe đạp từ A đến B thời gian đ định Khi cịn cách B 30 km, ngã ời nhận thấy đến B chậm nửa giữ nguyên vận tốc đi, nhng tăng vận tốc thêm km/h tới đích sớm nửa giờ.Tính vận tốc xe đạp tren qu ng đã ờng đ lúc đầu ã

Bài 21: Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B cách 300 km Ơ tơ thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc xe tơ

Bài 22: Một ô tô dự định từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau đợc

2

3 qu ng đã ờng với vận tốc đó, đờng khó

đi nên ngời lái xe phải giảm vận tốc 10 km qu ng đã ờng lại Do tơ đến B chậm 30 phút so với dự định Tính qu ng đã ờng AB

Bài 23: Một ô tô dự định từ A đền B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm

mất Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính qu ng đã ờng AB thời gian dự định lỳc

đầu

Bi 24: Qu ng ó ờng AB dài 180 km Cùng lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B Do vận tốc ôtô thứ vận tốc ôtô thứ hai 15 km/h nên ôtô thứ đến sớm ơtơ thứ hai 2h Tính vận tốc ôtô?

Bài 25: Khoảng cách hai thành phố A B 180 km Một ô tô từ A đến B, nghỉ 90 phút B trở lại từ B A Thời gian từ lúc đến lúc trở 10 Biết vận tốc lúc vận tốc lúc km/h Tính vận tốc lúc tơ

Bài 25: Một ca nơ xi dịng từ bến sơng A đến bến sông B cách 24 km, lúc từ A bè nứa trơi với vận tốc dòng nớc km/h Khi đến B ca nô quay lại gặp bè nứa trôi địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực ca nô

Bài 26: Khoảng cách hai tỉnh A B 108 km Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B, xe thứ chạy nhanh xe thứ hai km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút Tính vận tốc xe

Bài 27: Hai địa điểm A, B cách 56km Lúc 6h45' ng ời từ A với vận tốc 10km/h Sau 2h, ngời xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h Hỏi đến họ gặp nhau, chỗ gặp cách A km

Bài 28: Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau ngợc từ B trở A Thời gian xi thời gian ngợc 40' Tính khoảng cách A B Biết vận tốc ca nơ khơng đổi, vận tốc dịng nớc 3km/h

Bài 29: Một ngời xe đạp từ A đến B cách 50km Sau 1h30' ngời xe máy từ A đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần xe đạp

2 Toán suất

Bi 1: Hai i cụng nhân làm cơng việc làm xong Nếu đội làm để làm xong cơng việc ấy, đội thứ cần thời gian so với đội thứ hai Hỏi đội làm xong cơng việc bao lâu?

Bài 2: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hồn thành kế hoạch 26 ngày Nh ng cải tiến kỹ thuật nên ngày đ vã ợt mức 6000 đôi giầy đ hồn thành kế hoạch đ định 24 ngày mà vã ã ợt mức 104 000 đơi giầy Tính số đơi giầy phải làm theo kế hoạch

Bài 3: Một sở đánh cá dự định trung bình tuần đánh bắt đợc 20 cá, nhng đ vã ợt mức đợc tuần nên đ hoàn thành kế hoạch sớm tuần mà vã ợt mức kế hoạch 10 Tính mức kế hoạch đ địnhã

Bài 4: Một đội xe cần chuyên chở 36 hàng Trớc làm việc đội xe đợc bổ sung thêm xe nên xe chở so với dự định Hỏi đội xe lúc đầu có xe ? Biết số hàng chở tất xe có khối lợng

Bài 5: Hai tổ sản xuất nhận chung mức khoán Nếu làm chung tổ tổ hồn thành đợc

2

3 mức khoán Nếu để tổ làm riêng tổ làm xong mức khốn tổ phải làm bao

l©u ?

Bài 6: Hai tổ cơng nhân làm chung 12 hồn thành xong cơng việc đ định Họ làm chung với trongã

4 tổ thứ đợc điều làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ thứ hai làm sau hồn thành cơng việc

Bài 7: Hai ngời thợ làm công việc 16 xong Nếu ngời thứ làm ngời thứ hai làm họ làm đợc 25% cơngviệc Hỏi ngời làm cơng việc xong

Bài 8: Theo kế hoạch, tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm Đến làm việc, phải điều công nhân làm việc khác nên cơng nhân cịn lại phải làm nhiều dự định sản phẩm Hỏi lúc đầu tổ có công nhân ? Biết suất lao động công nhân nh

Bài 9: Hai ngời thợ làm công việc 16 xong Nếu ngời thứ làm ngời thứ làm họ làm đợc 25% công việc Hỏi ngời làm cơng việc giời xong ?

Bài 11: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất đợc bao nhiờu chi tit mỏy ?

Bài 12: Năm ngoái tổng số dân hai tỉnh A B triệu ngời Dân số tỉnh A năm tăng 1,2%, tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm 045 000 ngời Tính số dân tỉnh năm ngoái năm ?

3 Toán thể tích

Bài 1: Hai vòi nớc chảy vào bể không chứa nớc đ làm đầy bể 50 phút Nếu chảy riêng thìÃ

vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh vòi thứ Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể ?

Bài 2: Hai vòi nớc chảy vào bể nớc chảy đầy bể 48 phút Nếu chảy riêng, vòi thứ chảy đầy bể nhanh vßi thø hai giê 30 Hái nÕu chảy riêng vòi chảy đầy bể bao l©u ?

Bài 3: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào bể chứa thời gian quy định phải bơm đợc 10 m3 Sau bơm đợc

1

3 thể tích bể chứa, máy bơm hoạt động với cơng suất lớn hơn, bơm đ ợc 15 m3 Do

vậy so với quy định, bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút Tính thể tích bể chứa

Bài 4: Nếu hai vòi nớc chảy vào bể chứa nớc sau 30 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ 15 phút khoá lại mở vòi thứ hai chảy tiếp 20 phút đ ợc

1

5 bể Hỏi vòi chảy riêng thì

sau đầy bể ?

Bài 5: Hai vòi nớc chảy vào bể chứa nớc sau 55 phút đầy bể Nếu chảy riêng vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể ? Bài 6: Hai vòi nớc chảy vào bể sau 48 phút đầy Nu chảy thời gian nh lợng nớc vòi II

2

3 lợng nớc vòi I chảy đợc Hỏi vịi chảy riêng sau đầy b

Bài 7: Nếu mở hai vòi nớc chảy vào mệt bể cạn sau 55phút bể đầy bể Nếu mở riêng vòi vòi thứ làm đầy bể nhanh vòi thứ hai hai Hỏi mở riêng vòi vòi chảy đầy bể ?

4 Một số dạng khác

Bi 1: Trong mt buổi lao động trồng cây, tổ gồm 13 học sinh (cả nam nữ) đ trồng đã ợc tất 80 Biết số bạn nam trồng đợc số bạn nữ trồng đợc ; bạn nam trồng đợc nhiều bạn nữ Tính số học sinh nam số học sinh nữ tổ

Bài 2: Một hình chữ nhật có diện tích 300m2 Nếu giảm chiều rộng 3m, tăng chiều dài thêm 5m ta đợc hình chữ

nhËt míi cã diƯn tÝch diện tích hình chữ nhật ban đầu Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu

Bi 3: Ba bình tích tổng cộng 120 lít Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ đem rót vào hai bình bình thứ đầy nớc, bình thứ đợc

1

2 thể tích nó, bình thứ đầy nớc bình thứ đợc 3 th

tích Tìm thể tích b×nh

Bài 4: Một phịng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành hàng số ghế hàng Nếu số hàng tăng thêm số ghế hàng tăng thêm phịng có 400 ghế Hỏi có hàng, hàng có ghế ?

Bài 5: Hai vật chuyển động đờng trịn có đờng kính 20m, xuất phát lúc từ điểm Nếu chúng chuyển động ngợc chiều giây lại gặp Nếu chúng chuyển động chiều sau 10 giây lại gặp Tính vận tốc vật

Bài 6: Một khối lớp tổ chức tham quan ô tô Mỗi xe chở 22 học sinh cịn thừa học sinh Nếu bớt ơtơ xếp học sinh ơtơ cịn lại Hỏi lúc đầu có ơtơ, học sinh Mỗi xe chở không 32 học sinh

Bài 7: Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy thời gian đ định dự định sản xuất 300 chi tiết máyã

trong ngày Nhng thực tế ngày đ làm thêm đã ợc 100 chi tiết, nên đ sản xuất thêm đã ợc tất 600 chi tiết hoàn thành kế hoạch trớc ngày Tính số chi tiết máy dự định sản xuất

Bài 8: Một đội xe cần chun chở 120 hàng Hơm làm việc có xe phải điều nơi khác nên xe phải chở thêm 16 Hỏi đội có xe ?

Bài 9: Hai tổ học sinh trồng đợc số sân trờng Nếu lấy tổ chuyển cho tổ số trồng đợc hai tổ Nếu lấy 10 tổ chuyển cho tổ hai số trồng đ ợc tổ hai gấp đôi số tổ Hỏi tổ trồng đợc ?

Bµi 10: Hai hợp tác x đ bán cho nhà nà à ớc 860 thóc Tính số thóc mà hợp tác x đ bán cho nhà nà à ớc Biết lần số thóc hợp tác x thứ bán cho nhà nà ớc nhiều hai lần số thóc hợp tác x thứ hai bán 280 tấnÃ

Bài 11: Để chở số bao hàng ôtô, ngời ta nhận thấy xe chở 22 bao cịn thừa bao Nếu bớt ơtơ phân phối bao hàng cho ơtơ cịn lại Hỏi lúc đầu có ơtơ tất có bao hàng Biết ôtô chở đợc không 32 bao hàng (giả thiết bao hàng có khối lợng nh nhau) Bài 12: Mỗi ngời dán tất tem vào Nếu dán 20 tem tờ khơng đủ để dán hết số tem Còn tờ dán 23 tem tờ cịn bị bỏ trống Nếu giả sử mà tờ dán 21 tem tổng số tem dán với số tem thực có ng ời 500 tem Hỏi có tờ số tem ngời có ?

Bài 14: Một trăm trâu ăn trăm bó cỏ Trâu đứng ăn năm bó, trâu nằm ăn ba bó, trâu già ăn bó Tìm số trâu loại ?

Bài 15: Tìm số có chữ số biết đem số chia cho tổng chữ số đ ợc thơng d Còn đem số chia cho tích chữ số đợc thơng d

Bài 16: Hai đội cờ thi đấu với Mỗi đấu thủ đội phải đấu ván với đấu thủ đội Biết tổng số ván cờ đ đấu bình phã ơng số đấu thủ đội thứ cộng với số đấu thủ đội thứ hai Hỏi đội có đấu thủ ?

Bài 17: Hai đội bóng bàn hai trờng A, B thi đấu giao hữu để chuẩn bị tranh giải toàn tỉnh Biết đấu thủ đội trờng A phải lần lợt gặp đối thủ trờng B lần số trận đấu gấp lần tổng số đấu thủ đội Tìm số đấu thủ trờng

Bài 18: Trong gặp mặt học sinh giỏi có 35 bạn học sinh giỏi văn toán tham dự Các học sinh giỏi văn tính số ngời quen bạn học sinh giỏi toán nhận thấy : bạn thứ quen b¹n; B¹n thø quen b¹n; B¹n thø quen bạn ; bạn cuối quen tất bạn học sinh giỏi toán Tính số học sinh giỏi văn, giỏi toán Biết học sinh vừa giỏi văn vừa giỏi to¸n

Bài 19: Trong buổi liên hoan, lớp khách mời 15 khách đến dự Vì lớp đ có 40 học sinh nên phải kê thêmã

một d y ghế d y ghế phải ngồi thêm đủ chỗ ngồi Biết d y ghế có số ngã ã ã ời ngồi nh ngồi không năm ngời Hỏi lớp học lúc đầu có d y ghếã

Bài 20: Một đoàn gồm 50 học sinh qua sông lúc loại thuyền : Loại thứ nhất, thuyền chở đ ợc em loại thứ chở đợc em thuyền Hỏi số thuyền loại ?

Bài 21: Tìm số N gồm chữ số, biết tổng bình phơng hai chữ số số cộng thêm tích hai chữ số Nếu thêm 36 vào số đợc số có hai chữ số mà chữ số viết thứ tự ngợc lại

Bài 22: Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280 m Ngời ta làm lối xung quanh vờn (thuộc đất vờn) rộng m Tính kích thớc vờn, biết đất cịn lại vờn để trồng trọt 4256 m2.

Bµi 23: Cho hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m diện tích tăng 500 m2 Nếu

giảm chiều dài 15 m giảm chiều rộng m diện tích giảm 600 m2 Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu.

Bài 24: Cho tam giác vuông Nếu tăng cạnh góc vuông lên cm cm diện tích tam giác tăng 50 cm2.

Nếu giảm hai cạnh cm diện tích giảm 32 cm2 Tính hai cạnh góc vuông.

Bài 25: Nếu tử số phân số đợc tăng gấp đơi mẫu số thêm giá trị phân số

1

4 Nếu tử số thêm 7

và mẫu số tăng gấp giá trị phân số

5

24 Tìm phân số đó.

H×nh häc ph¼ng

Bài 1: Cho ABC (A 900), đờng cao AH Đờng trịn đờng kính AH cắt cạnh AB, AC lần lợt E F a) Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật b) Chứng minh t giỏc EFCB ni tip

c) Đờng thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC d) CMR: Nếu SABC = SAEHF tam giác ABC vuông cân

Bài 2: Cho tam giác ABC (AB > AC ) nội tiếp (O) Vẽ đờng phân giác góc A cắt (O) M Nối OM cắt BC I a) Chứng minh BMC cân b) BMA AMC ABC ACB BMC  

c) §êng cao AH BP tam giác ABC cắt Q Chứng minh OI // AH d) Trên AH lấy điểm D cho AD = MO Tứ giác OMDA hình ?

e) Chứng minh AM phân giác góc OAH

f) OM kéo dài cắt (O) N Vẽ OE vuông góc với NC Chứng minh

1

OE MB

2 

g) Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác OICE h) Chứng minh tứ giác ABHP QPCH nội tiếp

i) Tõ C vÏ tiÕp tuyÕn cña (O) cắt BM kéo dài K Chứng minh CM phân giác góc BCK k) So sánh gãc KMC vµ KCB víi gãc A

l) Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM S Chứng minh tam giác BMS cân M m) Chứng minh S EOI MOC   ; CBC NCM ; ABF AON

n) Tõ A kỴ AF // BC, F thuéc (O) Chøng minh BF = CA

Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đờng trịn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC theo thứ tự D, E Gọi I giao điểm BE CD

a) Chøng minh AI vu«ng gãc víi BC b) Chøng minh IDE IAE

Bài 4: Cho tam giác ABC nhän néi tiÕp (O) §êng cao AH cđa tam giác ABC cắt (O) D, AO kéo dài cắt (O) E a) Chứng minh tứ giác BDEC hình thang cân

b) Gọi M điểm chình cung DE, OM cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC c) Tính bán kÝnh cđa (O) biÕt BC = 24 cm vµ IM = cm

Bài 5: Trên nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB lấy hai điểm M N cho cung AM, MN, NB Gọi P giao điểm AM BN, H giao điểm AN với BM Chứng minh

a) Tứ giác AMNB hình thang cân b) PH  AB Từ suy P, H, O thẳng hàng c) ON tiếp tuyến đờng tròn đờng kính PH

Bµi 6: Cho (O, R) , dây cung AB < 2R Gọi M điểm cung nhỏ AB Kẻ hai dây MC, MD lần lợt cắt AB E F Chứng minh r»ng

a) Tam giác MAE đồng dạng tam giác MCA ME MC = MF MD

b) Tứ giác CEFD nội tiếp c) Khi AB R 3 tam giác OAM

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân A ( AB > AC ), đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm I đờng kính BH cắt AB E, đờng trịn tâm K đờng kính CH cắt AC F

a) Tứ giác AEHF hình ? b) Chứng minh tø gi¸c BEFC néi tiÕp

c) Chứng minh AE AB = AF AC d) Chứmg minh EF tiếp tuyến chung (O) (I) e) Gọi Ax tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh Ax // EF

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm D thuộc AB Qua B vẽ đờng thẳng vng góc với CD H, đờng thẳng BH cắt CA E

a) Chøng minh tø gi¸c AHBC néi tiÕp b) TÝnh gãc AHE

c) Chứng minh tam giác EAH EBC đồng dạng e) Chứng minh AD = AE f) Khi điểm D di chuyển cạnh AB điểm H di chuyển đờng ?

Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD ) Gọi E giao điểm AB CD, F giao điểm AD BC Chứng minh rằng:

a) EF  AC b) DA DF = DC DE c) Tø gi¸c BDFE néi tiÕp

Bài 10: Cho đờng trịn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O) Vẽ bán kính OK // BA ( K A nằm phía BC ) Tiếp tuyến với đờng tròn (O) C cắt OK I

a) Chøng minh IA lµ tiÕp tuyến (O) b) Chứng minh CK tia phân gi¸c cđa gãc ACI c) Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm TÝnh OI, CI

Bµi 11: Cho đoạn thẳng AB O trung điểm AB VÏ vỊ cïng phÝa víi AB c¸c tia Ax, By vuông góc với AB Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển Ax By cho MON = 900 Gọi I trung điểm MN Chøng

minh r»ng :

a) AB tiếp tuyến (I; IO) b) MO tia phân giác góc AMN c) MN tiếp tuyến ng trũn ng kớnh AB

d) Khi điểm M, N di chuyển Ax, By tích AM BN kh«ng dỉi

Bài 12: Cho (O;R) (O’; r)tiếp xúc A Gọi BC tiếp tuyến chung ngồi hai đờng trịn ( B thuộc (O); C thuộc (O’) ) Tiếp tuyến chung hai đờng tròn A cắt BC M

a) Chứng minh A, B, C thuộc đờng tròn tâm M

b) Đờng thẳng OO’ có vị trí tơng đối với (M) nói trên? c) Xác định tâm đờng tròn qua ba điểm O, O’ , M

d) Chứng minh BC tiếp tuyến đờng tròn qua ba điểm O, O’, M

Bài 13: Cho (O) (O’) tiếp xúcngoài A Đờng thẳng Ô’ cắt (O) (O’) theo thứ tự tạu B C ( khác A ) Gọi DE tiếp tuyến chung ngồi hai đờng trịn ( D thuộc (O); E thuộc (O’)) M giao điểm BD CE Chứng minh rằng:

a) Góc DME góc vng b) MA tiếp tuyến chung hai đờng tròn c) MD MB = ME MC

Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đờng cao BD, CE , M trung điểm BC

d) Chứng minh BAC = 600 tam giác DME tam giác đều.

Bµi 15: Cho (O) điểm A nằm bên (O) Vẽ tiếp tuyến AB AC, cát tuyến ADE Gọi H trung điểm DE

a) Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp b) Chứng minh HA tia phân giác góc BHA c) Gọi I giao điểm cđa BC vµ DE Chøng minh: AB2 = AI AH.

d) BH cắt (O) K Chứng minh AE // CK

Bài 16: Cho (O), đờng tròn AB Vẽ tiếp tuyến xBy Gọi C,D hai điểm di động hai nửa mặt phẳng bờ AB đối Tia AC cắt Bx M, tia AD cắt By N

a) Chứng minh tam giác ACD AMN đồng dạng b) Tứ giác MNDC nội tiếp c) Chứng minh AC AM = AD AN tích khơng đổi C, D di động

Bài 17: Xét nửa đờng trịn (O), đờng kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax dây AC Tia phân giác góc CAx cắt nửa đờng trịn D, tia AD BC cắt E

a) Chứng minh tam giác ABE cân B

b) Các dây AC BD cắt t¹i K Chøng minh EK  AB c) Tia BD cắt tia Ax F Chứng minh tứ giác AKEF hình thoi

Bi 18: Cho na lc giỏc ABCD nội tiếp nửa đờng tròn (O ; R) Hai tiếp tuyến B D cắt T a) Chứng minh OT // AB b) Chứng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng c) Tính chu vi diện tích tam giác TBD theo R

d) Tính diện tích hình giới hạn hai cạnh TB, TD cung BCD theo R

Bài 19: Hai đờngtrịn (O) (O’) có bán kính R R’ ( R > R’) tiếp xúc C Gọi AC BC hai đ ờng kính qua C (O) (O’) DE dây cung (O) vng góc với AB trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng DC với (O’) F

a) Tứ giác AEBD hình ? b) Chứng minh ba điểm B, E, F thẳng hàng c) Chøng minh tø gi¸c MDBF néi tiÕp

d) DB cắt (O’) G Chứng minh DF, EG, AB đồng qui

e) Chøng minh

1

MF DE

2 

vµ MF lµ tiÕp tuyÕn cđa (O’)

Bài 20: Cho đờng trịn tâm O, đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đờng trịn tâm O’ đờng kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ dây cung DE vng góc với AB, DC cắt (O’) I

a) Tứ giác ADBE hình ? T¹i ? b) Chøng minh BI // AD c) Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng MD = MI

d) Xác định giải thích vị trí tơng đối đờng thẳng MI với (O’)

Bài 21: Từ điểm A bên đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN đờng trịn Gọi I trung điểm dây MN

a) Chứng minh điểm A,B,I,O,C nằm đờng tròn

b) Nếu AB = OB tứ giác ABOC hình ? Tại ? Tính diện tích hình trịn độ dài đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo bán kính R (O)

Bài 22: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Tia phân giác góc A cắt BC D, cắt (O) E Tiếp tuyến đ ờng tròn A cắt đờng thẳng BC M

a) Chøng minh MA = MD

b) Gọi I điểm đối xứng với D qua M, gọi F giao điểm IA với (O) Chứng minh E, O, F thẳng hàng Bài 23: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đờng kính MC Đờng thẳng BM cắt (O) D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S

a) Chøng minh tø giác ABCD nội tiếp CA tia phân giác cña gãc SCB

b) Gọi E giao điểm BC với (O) Chứng minh đờng thẳng BA, EM, CD đồng qui c) Chứng minh DM phân giác góc ADE

d) Chứng minh M tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE Bài 24: Cho tam giác ABC vuông A

b) Hai đờng tròn (O) (O’) vị trí tơng đối ?

c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM tiếp tuyến chung (O) (O’) d) Cho AB = 36cm, AC = 48 cm Tính độ dài BC bán kính (O), (O’)

Bài 25: Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB, bán kính OC vng góc với AB Gọi M điểm di động cung BC ( M  B, M  C) AM cắt OC N

a) Chứng minh tích AM AN khơng đổi

b) Vẽ CD  AM Chứng minh tứ giác MNOB AODC nội tiếp c) Xác định vị trí điểm M cung BC để tam giác COD cân D

Bài 26: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), H trực tâm tam giác ABC, M điểm cung BC không chứa điểm A

a) Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành

b) Gọi N E lần lợt điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh ba điểm N H , E thẳng hàng c) Xác định vị trí M để NE có độ dài lớn

Bài 27: Cho (O, R) (O’, r) tiếp xúc M ( R > r ) Đờng thẳng OO’ cắt (O) C, cắt (O’) D Tiếp tuyến chung ngồi AB (A(O),B (O') ) cắt địng thẳng OO’ H Tiếp tuyến chung đờng tròn M cắt AB I

a) Chøng minh tam giác OIO AMB tam giác vu«ng Chøng minh AB2 R.r

b) Tia AM cắt (O) A, tia BM cắt (O) B Chứng minh ba điểm A, O, B A , O , B thẳng hàng CD2

= BB2 + AA’2.

c) Gọi N N’ lần lợt giao điểm AM với OI BM với O’I Tính độ dài đoạn thẳng MI, AB, OI, O’I, OH, O’H theo R r

Bài 28: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB, điểm C ( khác A, B ) nằm đờng tròn Tiếp tuyến Cx (O) cắt tia AB I Phân giác góc CIA cắt OC O’

a) Chứng minh (O’, O’C) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đờng thẳng AB

b) Gọi D, E theo thứ tự giao điểm thứ hai CA, CB với (O’) Chứng minh D, O’, E thẳng hàng c) Tìm vị trí C cho đờng tròn ngoại tiếp tam giác OCI tiếp xúc với AC

Bài 29: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn C D hai điểm di động nửa đờng tròn Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E F ( F nằm B E )

a) Chứng minh ABF BDF b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp c) Khi D C di động nửa đờng tròn, chứng tỏ AC AE = AD AF không đổi

Bài 30: Cho (O) Vẽ hai dây AB CD vng góc M bên (O) Từ A vẽ đ ờng thẳng vng góc với BC H, cắt CD E F điểm đối xứng C qua AB Tia AF cắt tia BD K Chứng minh rằng:

a) MAH MCB  b) Tam giác ADE cân c) Tứ giác AHBK nội tiếp

Bài 31 Cho đoạn thẳng AB C điểm nằm A B Ngời ta kẻ nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I Tia Cz vng góc với tia CI C cắt By K Đ ờng trịn đờng kính IC cắt IK P Chứng minh:

a) Tứ giác CPKB nội tiếp b) AI.BK = AC.CB c) APB vuông d) Giả sử A, B, I cố định H y xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất.ã

Bài 32: Cho (O) điểm A nằm (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với (O) (B, C, M, N thuộc (O); AM < AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đờng thẳng CE với (O)

a) Chứng minh bốn điểm A, O, E, C nằm đờng tròn

b) Chứng minh AOCBIC c) Chứng minh BI // MN c) Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn

Bài 33: Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD = HB Vẽ CE vng góc với AD (E  AD)

a) Chøng minh tø gi¸c AHCE néi tiÕp

b) Chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCE c) Chứng minh CH tia phân giác góc ACE

d) TÝnh diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA, CH cung nhỏ AH đ ờng tròn nói trªn biÕt AC = 6cm; ACB = 30o.

Bài 34: Cho (O) có đờng kính BC Gọi A điểm thuộc cung BC (AB AC ) D điểm thuộc bán kính OC Đờng vng góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F

a) Chøng minh tø gi¸c ADCF néi tiÕp

d) TÝnh diƯn tÝch h×nh giíi hạn đoạn thẳng BC, BA cung nhỏ AC cña (O) biÕt BC = 8cm; ABC = 60o

Bài 35: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R, điểm M di chuyển nửa đờng tròn Ngời ta vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với (O) M tiếp xúc với AB N Đờng tròn cắt MA, MB lần lợt điểm thứ hai C, D

a) Chøng minh CD // AB

b) Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đờng thẳng MN qua điểm K cố định c) Chứng minh tích KM.KN cố định

d) Gọi giao điểm tia CN, DN với KB, KA lần lợt C', D' Tìm vị trí M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ đợc

Bài 36: Cho đờng trịn đờng kính AB, điểm C, D đờng tròn cho C, D không nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC Gọi điểm cung AC, AD lần l ợt M, N Giao điểm MN với AC, AD lần lợt H, I Giao điểm MD với CN K

a) Chứng minh: NKD MAK cân

b) Chứng minh tứ giác MCKH nội tiếp đợc Suy KH // AD c) So sánh góc CAK với góc DAK

d) Tìm hệ thức số đo AC, số đo AD điều kiện cần đủ để AK // ND

Bµi 37: Cho (O1) (O2) tiếp xúc với điểm A tiếp tuyến chung Ax Một đ ờng thẳng d tiÕp xóc víi

(O1), (O2) lần lợt B, C cắt Ax điểm M Kẻ đờng kính BO1D, CO2E

a) Chøng minh M lµ trung điểm BC b) Chứng minh O1MO2 vuông

c) Chứng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng

d) Gi I l trung im ca DE Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với d

Bài 38: Cho hai đờng trịn tâm O O’ có R > R’ tiếp xúc ngồi C Kẻ đờng kính COA CO’B Qua trung

®iĨm M cđa AB, dùng DE AB

a) Tứ giác ADBE hình ? Tại ?

b) Ni D vi C cắt đờng tròn tâm O’ F CMR ba điểm B, F, E thẳng hàng

c) Nối D với B cắt đờng tròn tâm O’ G CMR EC qua G

d) *Xét vị trí MF đờng trịn tâm O’, vị trí AE với đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCFE

Bài 39: Cho nửa đờng trịn đờng kính COD = 2R Dựng Cx, Dy vng góc với CD Từ điểm E nửa đ ờng trịn, dựng tiếp tuyến với đờng tròn, cắt Cx P, cắt Dy Q

a) Chứng minh  POQ vuông; POQ đồng dạng với CED

b) TÝnh tÝch CP.DQ theo R c) Khi PC=

R

2 CMR

POQ 25

CED 16



 

d) Tính thể tích hình giới hạn nửa đờng trịn tâm O hình thang vng CPQD chúng quay theo chiều trọn vòng quanh CD

Bài 40: Cho đờng trịn tâm O bán kính R có hai đờng kính AOB, COD vng góc với Lấy điểm E OA, nối CE cắt đờng trịn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đờng trịn, qua E dựng Ey vng góc với OA Gọi I giao điểm Fx Ey

a) Chứng minh I,F,E,O nằm đờng tròn b) Tứ giác CEIO hình ? c) Khi E chuyển động AB I chuyển động đờng ?

Bài 41: Cho đờng tròn tâm O điểm A đờng tròn Qua A dựng tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy điểm Q bất kì, dựng tiếp tuyến QB

a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc

b) Gọi E trung điểm QO , tìm quỹ tích E Q chuyển động Ax

c) H¹ BK Ax, BK cắt QO H CMR tứ giác OBHA hình thoi suy quỹ tích ®iĨm H

Bài 42: Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng trịn tâm O Các đờng cao AD, BK cắt H, BK kéo dài cắt đờng F Vẽ đờng kính BOE

a) Tứ giác AFEC hình ? Tại ?

b) Gọi I trung điểm AC, chứng minh H, I, E thẳng hàng c) Chứng minh r»ng OI =

BH

2 H; F đối xứng qua AC

Bài 43: Cho (O,R) (O’,R’ ), (với R > R’ ) tiếp xúc A Đờng nối tâm cắt đờng tròn O’ đờng tròn O B và

C Qua trung điểm P BC dựng dây MN vuông góc với BC Nối A với M cắt đờng trịn O’ E.

a) So s¸nh AMO víi NMC b) Chứng minh N, B, E thẳng hàng O’P = R; OP = R’

c) Xét vị trí PE với đờng trịn tâm O’

Bài 44: Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB Lấy B làm tâm vẽ đờng trịn bán kính OB Đờng tròn cắt đờng tròn O C D

a) Tứ giác ODBC hình ? Tại ? b) Chứng minh OC  AD; OD  AC c) CMR trực tâm tam giác CDB nằm đờng tròn tâm B

Bài 45: Cho đờng tròn tâm O đờng thẳng d cắt đờng trịn hai điểm cố định A B Từ điểm M đờng thẳng d nằm đoạn AB ngời ta kẻ hai tiếp tuyến với đờng tròn MP MQ ( P, Q tiếp điểm )

a) TÝnh c¸c gãc cđa MPQ biÕt r»ng gãc gi÷a hai tiÕp tun MP vµ MQ lµ 45 ❑0

b) Gọi I trung điểm AB Chứng minh điểm M, P, Q, O, I nằm đờng trịn c) Tìm quỹ tích tâm đờng trịn ngoại tiếp MPQ M chạy d

Bài 46: Cho  ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, tia phân giác góc A cắt cạnh BC E cắt đờng tròn M Chứng minh:

a) OM  BC

c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài F Chứng minh FB EC = FC EB

Bµi 47: Cho  ABC ( AB = AC, A < 900 ), cung tròn BC nằm ABC tiếp xúc với AB, AC B C.

Trên cung BC lấy điểm M hạ đờng vng góc MI, MH, MK xuống cạnh tơng ứng BC, CA, AB Gọi P giao điểm MB, IK Q giao điểm MC, IH Chứng minh

a) Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc b) Tia đối tia MI phân giác góc HMK c) Tứ giác MPIQ nội tiếp đợc Suy PQ  BC

Bài 48: Cho ABC (AC > AB ; BAC > 900) I, K theo thứ tự trung điểm AB, AC Các đờng trịn đờng kính

AB, AC cắt điểm thứ hai D; tia BA cắt đờng tròn (K) điểm thứ hai E; tia CA cắt đờng tròn (I) điểm thứ hai F Chứng minh

a) Ba điểm B, C, D thẳng hàng b) Tứ giác BFEC nội tiếp đợc c) Chứng minh ba đờng thẳng AD, BF, CE đồng quy

Bài 49: Cho đờng tròn (O;R) điểm A với OA =R 2, đờng thẳng (d) quay quanh A cắt (O) M, N; gọi I trung điểm đoạn MN

a) Chứng minh OI  MN Suy I di chuyển cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B, C thuộc (O) b) Tính theo R độ dài AB, AC Suy A, O, B, C bốn đỉnh hình vng

c) TÝnh diện tích phần mặt phẳng giới hạn đoạn AB, AC vµ cung nhá BC cđa (O)

Bài 50: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R, C trung điểm cung AB Trên cung AC lấy điểm F Trên dây BF lấy điểm E cho BE = AF

a)  AFC vµ  BEC cã quan hƯ víi nh thÕ ? Tại ? b) Chứng minh FEC vuông c©n

c) Gọi D giao điểm đờng thẳng AC với tiếp tuyến B nửa đờng tròn CMR tứ giác BECD nội tiếp đợc

Bài 51: Cho đờng trịn (O;R) hai đờng kính AB, CD vng góc với E điểm cung nhỏ BD (

EB;ED) EC c¾t AB ë M, EA c¾t CD ë N Chøng minh

a) AMC đồng dạng ANC b) AM.CN = 2R2

c) Gi¶ sư AM = 3MB TÝnh tØ sè

CN ND

Bài 52: Một điểm M nằm đờng trịn tâm (O) đờng kính AB Gọi H, I lần lợt hai điểm cung AM, MB; gọi Q trung điểm dây MB, K giao điểm AM, HI

a) Tính độ lớn góc HKM

b) Vẽ IP  AM P Chứng minh IP tiếp xúc với đờng tròn (O)

c) Dựng hình bình hành APQR Tìm tập hợp điểm R M di động nửa đờng trịn (O) đờng kính AB Bài 53: Gọi O trung điểm cạnh BC  ABC Vẽ xOy = 600 cho tia Ox, Oy cắt cạnh AB, AC lần lợt tại

M, N Chøng minh r»ng:

a) OBM đồng dạng  NCO, từ suy BC2 = BM.CN

b) MO, NO theo thứ tự tia phân giác góc BMN, MNC

c) Đờng thẳng MN tiếp xúc với đờng trịn cố định, góc xOy quay xung quanh O cho tia Ox,Oy cắt cạnh AB, AC tam giác ABC

Bài 54: Cho M điểm nửa đờng trịn tâm (O) đờng kính AB = 2R (MA,B) Vẽ tiếp tuyến Ax, By, Mz nửa đờng trịn Đờng Mz cắt Ax, By lần lợt N P Đờng thẳng AM cắt By C đờng thẳng BM cắt Ax D Chứng minh

a) Tứ giác AOMN nội tiếp đờng tròn NP = AN + BP b) N P lần lợt trung điểm đoạn thẳng AD BC

c) AD.BC = 4R2 d) Xác định vị trí M để t giác ABCD có diện tích nhỏ

Bài 55: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tâm (O) I điểm cung AB (cung AB khơng chứa C D ) Dây ID, IC cắt AB lần lợt M N

a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp đờng trịn

b) IC vµ AD cắt E; ID BC cắt t¹i F Chøng minh EF // AB

Bài 56: Cho đờng trịn tâm (O) đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B (BC) vẽ đờng tròn tâm (O’) đờng kính

BC Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB, DC cắt đờng trịn (O’) I.

a) Tứ giác ADBE hình ? Tại ? b) Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng c) Chứng minh MI tiếp tuyến đờng tròn (O’) MI2 = MB.MC

Bài 57: Cho đờng trịn tâm (O) đờng kính AB = 2R điểm M di động nửa đờng tròn Ngời ta vẽ đ-ờng tròn tâm (E) tiếp xúc với đđ-ờng tròn (O) M tiếp xúc với đđ-ờng kính AB N Đđ-ờng trịn cắt MA, MB lần l-ợt điểm thứ hai C, D Chứng minh

a) CD // AB b) KM.KN không đổi

c) MN tia phân giác góc AMB đờng thẳng MN ln qua điểm K cố định

Bài 58: Cho đờng trịn đờng kính AB, điểm C, D đờng trịn cho C, D khơng nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC Gọi điểm cung AC, AD lần l ợt M, N; giao điểm MN với AC, AD lần lợt H, I; giao điểm MD với CN K

Bài 59: Cho ba điểm A, B, C đờng thẳng theo thứ tự đờng thẳng (d) vng góc với AC A Vẽ đờng trịn đờng kính BC lấy điểm M Tia CM cắt đờng thẳng d D; tia AM cắt đờng tròn điểm thứ hai N; tia DB cắt đờng tròn điểm thứ hai P

a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp đợc b) CMR: CM.CD khơng phụ thuộc vị trí M c) Tứ giác APND hình ? Tại ?

Bài 60: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn P điểm cung AB không chứa C D Hai dây PC PD lần lợt cắt dây AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I; dây BC PD kéo dài cắt K CMR:

a) CID CKD b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc

c) IK // AB c) §êng tròn (AFD) tiếp xúc với PA A

Bi 61: Cho (O; R) có dây AB = R cố định điểm M di động cung lớn AB cho tam giác MAB có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB; P, Q lần lợt giao điểm thứ hai đờng thẳng AH, BH với đờng tròn (O); S giao điểm đờng thẳng PB, QA

a) CMR: PQ đờng kính đờng trịn (O) b) Tứ giác AMBS hình ? Tại ? c) Chứng minh độ dài SH khơng đổi

Bài 62: Cho đờng trịn (O; R) đờng kính AB, kẻ tiếp tuyến Ax lấy điểm P cho AP > R Kẻ tiếp tuyến PM (M tiếp điểm )

a) CMR: BM // OP

b) Đờngthẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N Tứ giác OBNP hình ? Tại ?

c) Gọi K giao điểm AN với OP; I giao điểm ON với PM; J giao ®iĨm cđa PN víi OM CMR : K, I, J thẳng hàng

d) Xỏc nh v trớ ca P cho K nằm đờng tròn (O)

Bài 63: Cho đờng trịn (O; R), hai đờng kính AB CD vng góc Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O), đờng thẳng CM cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai N Đờng thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N với đờng tròn (O) điểm P Chứng minh

a) Tứ giác OMNP nội tiếp đợc b) Tứ giác CMPO hình ? Tại ? c) CM CN không đổi

d) Khi M di động đoạn AB P chạy mộtđờng thẳng cố định

Bài 64 : Cho hai đờng tròn (O), (O’) cắt hai điểm A B Các đờng thẳng AO, AO’ cắt đờng tròn (O) lần lợt điểm thứ hai C, D cắt đờng tròn (O’) lần lợt điểm thứ hai E, F

a) CMR: B, F, C thẳng hàng b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc c) Chứng minh A tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE

d) Tìm điều kiện để DE tiếp tuyến chung đờng tròn (O), (O’)

Bài 65: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R điểm M nửa đờng tròn (M khác A B) Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn M cắt đờng trung trực đoạn AB I Đờng tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đ-ờng thẳng d C D (D nằm góc BOM) Chứng minh

a) Các tia OC, OD tia phân gi¸c cđa c¸c gãc AOM, BOM

b) CA DB vng góc với AB c) AMB đồng dạng COD d) AC.BD = R2

Bài 66: Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB điểm M đờng trịn Gọi điểm cung AM , MB lần lợt H, I C c dây AM HI cắt K ã

a) Chứng minh góc HKM có độ lớn khơng đổi

b) H¹    Chøng minh IP lµ tiÕp tun cđa (O; R)

c) Gọi Q trung điểm dây MB Vẽ hình bình hành APQS Chứng minh S thuộc đờng trịn (O; R) d) CMR M di động thì đờng thẳng HI ln ln tiếp xúc với đờng trịn cố định

Bài 67: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB hai điểm C, D thuộc nửa đờng tròn cho cung AC < 900 COD

= 900 Gọi M điểm nửa đờng trịn cho C điểm chính cung AM Các dây AM, BM cắt OC,

OD lần lợt E F

a) T giỏc OEMF hình ? Tại ? b) CMR: D điểm cung MB c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn M cắt tia OC, OD lần lợt I, K CMR tứ giác OBKM; OAIM nội tiếp đợc

Bài 68: Cho ABC (AB = AC), cung tròn BC nằm bên tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC B, C cho A tâm cung BC nằm khác phía BC Trên cung BC lấy điểm M kẻ đ ờng vng góc MI, MH, MK xuống cạnh tơng ứng BC, CA, AB Gọi giao điểm BM, IK P; giao điểm CM, IH Q

a) CMR tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc b) CMR: MI2 = MH MK

c) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp đợc Suy PQ MI d) CMR KI = KB thỡ IH = IC

hình học không gian

Bµi 2: Cho tø diƯn ABCD Gọi G, H theo thứ tự trung điểm AD, CD LÊy ®iĨm E  AB, F  BC cho:

1

AE AB;CF CB

4

 

a) Chøng minh GH // (ABC); EF // (ACD); EF // GH

b) Gọi I giao điểm EG (BCD) CMR: F, H, I thẳng hàng

Bi 3: Chứng minh rằng: Nếu mặt phẳng song song với đờng thẳng a mp(Q) mà (P) (Q) cắt giao tuyến chúng song song với a

Bài 4: Cho hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến d Một mặt phẳng thứ ba (R) cắt (P) , (Q) theo thứ tự giao tuyến a b CMR:

a) Nu a cắt d M a, b, d đồng qui b) Nếu a // d a, b, d đơi song song

Bµi 5: Cho tø diƯn S.ABC, ®iĨm D  SA cho

1

SD SA,E AB

4

 

cho

1

BE BA

4 

Gọi M trung điểm SC, I giao điểm DM AC, N giao ®iĨm cđa IE vµ BC Chøng minh r»ng:

a) SB // (IDE) b) N trung điểm BC

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Một đờng thẳng d  (ABC) A Trên d lấy điểm S a) Chứng minh BC  SH

b) Kẻ AI đờng cao tam giác SAH Chứng minh AI  (SBC)

c) Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm , SA = 16 cm TÝnh BC, SH råi tÝnh Sxq, Stp, V cđa h×nh chãp S ABC

Bài 7: Cho tam giác ABC trung tuyến AM, điểm I  AM cho IA = 2.IM Qua I vẽ đờng thẳng d vng góc với mp(ABC), d lấy điểm S

a) Chøng minh SA = SB = SC

b) Gọi IH đờng cao tam giác SIM CMR: IH  (SBC)

c) TÝnh Sxq vµ V cđa h×nh chãp S ABC biÕt AB3 3cm; SA = cm

Bµi 8: Cho tø diƯn S ABC §iĨm E  SA, F  AB cho

1

SE SA;BF BA

3

 

Gäi G, H theo thø tự trung điểm SC, BC CMR:

a) EF // GH b) EG, FH, AC đồng qui

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A, AB = cm, AC = cm Một đờng thẳng d vng góc vói mp(ABC) B, d lấy điểm S cho SA = 10 cm

a) Chøng minh r»ng: SB  AC b) TÝnh SB, BC, SC c) Chứng minh tam giác SAC vuông d) Tính Stp, V

Bài 10: Cho hình vng ABCD cạnh cm Trên đờng thẳng d vng góc với mp(ABCD) A lấy điểm S cho SA = cm CMR:

a) (SAB)  (SAD) b) SC  BD

c) Các tam giác SBC SDC vuông d) TÝnh Sxq, V cđa h×nh chãp SABCD

Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy hình thoi Biét đờng cao AA’ = cm, đờng chéo AC’ = 15 cm , DB’ = cm

a) TÝnh AB ? b) TÝnh Sxq, V hình lăng trụ ABCD ABCD

c) Tính Sxq, V cđa h×nh chãp B’ ABCD

Bài 12: Cho lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có AA’ = cm , góc BAB’ = 450 Tớnh S xq v V

Bài 13: Hình hộp ch÷ nhËt ABCD A’B’C’D’ cã AD = cm, AB = cm, BD’ = 13 cm TÝnh Sxq V ?

Bài 14: Cho hình hộp chữ nhËt ABCD A’B’C’D’ cã AB = 12 cm, AD = 16 cm, AA’ = 25 cm a) CM: C¸c tứ giác ACCA, BDDB hình chữ nhật

b) CM: AC’2 = AB2 + AD2 + AA’2 TÝnh S , V ?

Bài 15: Cho hình hộp ch÷ nhËt ABCD A’B’C’D’cã AB = AA’ = a vµ gãc A’CA = 300 TÝnh S

tp vµ V ?

Bài 16: Cho hình lập phơng ABCD A’B’C’D’ có độ dài cạnh cm

a) Tính đờng chéo BD’ b) Tính Stp V hình chóp A’ ABD

Bài 17: Một thùng hình trụ có diện tích xung quanh tổng diện tích hai đáy, đờng cao hình trụ dm Hỏi thùng chứa đợc lít nớc ? ( biết dm3 = lít ).

Bài 18: Một mặt phẳng qua trục OO’ hình trụ, phần mặt phẳng bị giới hạn hình trụ ( cịn gọi thiết diện) hình chữ nhật có diện tích 72 cm2 Tính bán kính đáy, đờng cao hình trụ biết đờng kính đáy

b»ng mét nưa chiều cao

Bài 19: Một hình trụ có thiết diện qua trục hình chữ nhật có chiều dµi cm, chiỊu réng cm TÝnh Sxq vµ V cđa

hình trụ

Bài 20: Cho hình nón đỉnh A, đờng sinh AB = cm, bán kính đáy OB = cm

a) TÝnh Sxq cđa h×nh nãn b) TÝnh V cđa h×nh nãn

c) Gọi CD dây cung (O; OB)vuông gãc víi OB CMR: CD  (AOB)

Bài 21: Cho tam giác ABC vng A quay vịng quanh AB Tính bán kính đáy, đ ờng cao hình nón tạo thành Từ tính Sxq , V hình nón biết BC = cm, góc ACB = 600

Bài 22: Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh cm Tính Sxq V

Bài 23: Một hình nón cụt có đờng cao 12 cm, bán kính đáy 10 cm 15 cm

a) Tính Sxq hình nón cụt b) Tính V hình nón sinh hình nón cụt ú

Bài 24: Một hình thang ABCD có góc A vµ D = 900, AB = BC = a , C = 600 TÝnh S

tp cña hình tạo thành quay

hình thang vuông vòng xung quanh:

a) Cạnh AD b) Cạnh DC

B¶n qun thc vỊ