DEDA hsg Hoang hoa 1112

[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - NĂM HỌC 2011 – 2012

HUYỆN HOẰNG HỐ MƠN TỐN - LỚP

Thời gian làm 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Bài (4.0 điểm) : Tính giá trị biểu thức

a/ A   2 11 2012 

b/ 1 1 1 1 1

2 2011 2012

B                 

         

Bài (4.0 điểm) :

a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 b/ Chứng minh : 2 2

1 1 1

4 6 8  (2 )n 4

Bài (3.0 điểm ) : Cho biểu thức : 5

3 3

n n n

A

n n n

  

  

  

a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên b/ Tìm n để A phân số tối giản

Bài (3.0 điểm) : Tìm số nguyên tố ab ( a > b > ), cho ab ba số phương Bài (4.0 điểm) : Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA OB

a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA góc ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC góc (a + 10)o

và với tia OB góc (a + 20)o

Tính ao

b/ Tính góc xOy, biết góc AOx 22o góc BOy 48o

c/ Gọi OE tia đối tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD góc AOC ao

Bài (3.0 điểm) : Cho A1020121020111020101020098

a/ Chứng minh A chia hết cho 24

b/ Chứng minh A số phương

-GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN : HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM 2011-2012

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

Câu 1

a/ A   2 11 2012 

 

(2 2012) (2012 2) : : 675697

A     2.0

b/ 1 1 1 1 1

2 2011 2012

B                 

         

2 2011 2012

2 3 4 2011 2011 2012 2012

B                 

         

1 2010 2011 2011 2012

B 2012 B 2.0 Câu 2

a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 =>(3y – 1)(2x + 1) = -55

=> 55

x

y

  

 (1)

Để x nguyên 3y –  Ư(-55) = 1;5;11;55; 1; 5; 11; 55     +) 3y – = => 3y = => y = 1, thay vào (1) => x = 28 +) 3y – = => 3y = => y =7

3 (Loại) +) 3y – = 11 => 3y = 13 => y =13

3 (Loại)

+) 3y – = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1 +) 3y – = - => 3y = => y =1

3 (Loại)

+) 3y – = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = +) 3y – = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = +) 3y – = -55 => 3y = -53 => y = 53

3 

(Loại) Vậy ta có cặp số x, y nguyên thoả mãn (x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3)

2.0

b/ Chứng minh : 2 2

1 1 1

4 6 8  2n 4 Ta có

2 2

1 1

(2 )

A

n

    

2 2

1 1

(2.2) (2.3) (2.4) (2 )

A

n

    

2 2

1 1 1 1 1

4 4 1.2 2.3 3.4 ( 1)

A

n n n

 

 

           



   

1 1 1 1 1

4 2 3 ( 1)

A n n                

1 1

1 4 A n      

  (ĐPCM)

Câu 3

Cho biểu thức : 5

3 3

n n n

A

n n n

  

  

  

a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên : Đ/k n 

Ta có :

2 5 (2 1) (3 5) (4 5) 5

3 3 3

n n n n n n n n n n

A

n n n n n n

             

     

     

3 4

1

3

n A

n n

 

  

  (2)

A nguyên n – Ư(4) = 1;2; 4; 1; 2; 4    => n 4;5;7; 2;1; 1  (Thoả mãn)

1.0

b/ Tìm n để A phân số tối giản Ta có :

3

n A

n

 

 (Theo câu a) ( n  3)

TH : n số lẻ => n + n – số chẵn =>

3

n A

n

 

 không tối giản

TH : n số chẵn => n + không chia hết cho

Gọi d ước chung (n + 1) (n – 3) => d không chia hết cho => (n + 1)  d (n – 3)  d

=> (n + 1) - (n – 3) chia hết cho d

=> chia hết cho dƯ(4) ={1 ; 2; 4; -1 ; -2; -4)

Vì d không chia hết cho => d = ; - => ƯCLN(n + 1; n – 3) = =>

n A

n

 

 phân số tối giản Kết luận : Với n số chẵn A phân số tối giản

1.0

Câu 4

Tìm số nguyên tố ab ( a > b > ), cho ab ba số phương

Ta có : ab ba (10a b) (10b a) 10a b 10b a 9a 9b 9(a b) (2 a b)

              

Vì => a,b 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 =>  a- b 

Để ab ba số phương a – b = 1;

+) a – b = (mà a > b) ta có số ab : 98 ; 87 ; 76; 65; 54 ; 43; 32; 21

Vì ab số nguyên tố nên có số 43 thoả mãn

+) a – b = (mà a > b) ta có số ab : 95 ; 84 ; 73; 62; 51

Vì ab số nguyên tố nên có số 73 thoả mãn

Kết luận : Vậy có hai số thoả mãn điều kiện toán 43 73

3.0

E

y

x

48o 22o

D C

(a+20)o (a+10)o

ao

O B

A

Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA OB

a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA góc ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC

góc (a + 10)o với tia OB góc (a + 20)o.Tính ao

Do OC, OD nằm nửa mặt phẳng bờ AB

  ( 10 )

COD COA a  a Nên tia OC nằm hai tia OA v OD

=> AOC COD DOB  AOB

=> ao + (a + 10)o + (a + 20)o = 180o

=> 3.ao + 30o = 180o => ao = 50o

b/ Tính góc xOy, biết góc AOx 22o góc BOy 48o

Tia Oy nằm hai tia OA v OB

Ta có : AOy 180o BOy 180o 48o 132o AOx 22o

      

Nên tia Ox nằm hai tia OA Oy

=> AOx xOy  AOy 22o xOy 132o xOy 132o 22o 110o

        

1.0

c/ Gọi OE tia đối tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD góc AOC ao

V ì tia OC nằm hai tia OA OD nên

    o  10o 2 o 10o 2.50o 10o 110o

AOC COD AODAOD a  a  a     Vì AOx AOD(22o 110 )o

  nên tia Ox nằm hai tia OA OD => AOx xOD AOD 22o xOD 110o xOD 110o 22o 88o

        

Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo : 180o – 88o = 92o

1.0

Câu 6 Cho A 102012 102011 102010 102009 8

    

a/ Chứng minh A chia hết cho 24 Ta có :

   

3 2009 2008 2007 2006 2009 2008 2007 2006

10 10 10 10 10 8.125 10 10 10 10

A         

 2009 2008 2007 2006

8 125 10 10 10 10

A      

  (1)

Ta lại có số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có tổng tổng chữ số 1,

nên số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 chia cho có số dư 1

8 chia cho dư

Vậy A chia cho có số dư dư phép chia (1 + + + + 2) chia cho Hay dư phép chia chia cho (có số dư 0)

Vậy A chia hết cho

Vì hai số nguyên tố nên A chia hết cho 8.3 = 24 b/ Chứng minh A khơng phải số phương

Ta có số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có chữ số tận 0

Nên A 102012 102011 102010 102009 8

     có chữ số tận

Vậy A số chỉnh phương số phương số có chữ số tận ; 4; ; ;

1.5