ON TAP DAI SO 9 HOC KY II

Baøi 1:Moät ngöôøi ñi xe ñaïp töø A ñeán B caùch nhau 36 km. Khi ñi töø B trôû veà A, ngöôøi ñoù taêng vaän toác theâm 3 km/h, vì vaäy thôøi gian veà ít hôn thôøi gian ñi laø 36 phuùt..[r]

MỘT SỐ NỘI DUNG CƠ BẢN ÔN TẬP ĐẠI SỐ 9 N

i ộ Dung 1: Căn thức bậc hai A xác định  A 0 ;

Với A 0 tồn A có : A 0 ( A )2 = A

2 A0, B0  A B. = A B; Đặc biệt: ( A)2= A2 =A (A0)

3.Với A0 ; B>0 ta có: A

B = A B

4.Hằng đẳng thức A2 = A ; A = A A0 A = - A A <

5.Các phép tính: a A + b A = (a +b) A ; a A - b A = (a - b) A ; A B= A B ; A

B = A

B (Trong trường hợp thức xác định)

6.Các phép biến đổi đơn giản

- Đưa thừa số dấu căn: Với biểu thức B0 ta có A B2 A B - Đưa thừa số vào dấu căn: Với A0; B0, ta có:A B = A B2

Với A<0 , B0, ta có A B = - A B2

- Khử mẫu biểu thức láy căn: A AB

B  B ( B > )

- Trục thức mẫu: A A B

B

B  ( B > );

C A B

A B

A B  

A0; B0; AB Bài tập:

Bài 1: Cho biểu thức: A =

1 1      x x x x x

a)Tìm ĐKXĐ rút gọn A b) Tính giá trị biểu thức A x =

4

c) Tìm tất giá trị x để A < HD: a) ĐKXĐ là:

     x x

, rút gọn biểu thức ta có: A =

1 

x x

b) x =

A = c) 0x1

Bài 2: Cho biểu thức: C = 

                   2 : 1 a a a a a a

a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức C Tìm giá trị a để C dương HD: a) Điều kiện:

        a a a

, rút gọn biểu thức ta có: C =

a a

3 

; b) C dương a >

Bài 3: Cho biểu thức D =

x x x x x x 4 2            

a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức D b) Tính giá trị D x = 6 HD: a) Điều kiện:

     x x

, rút gọn biểu thức ta có: D = x b) D = 5

Bài 4: Cho biểu thức E =

1 1       x x x x x x

HD: a) Điều kiện:   

 

1

x x

,rút gọn biểu thức ta có: E =

x

 

3

b) x =

Baøi 5: C= 

  

 

      

  

  

 x x x

x x

1 :

5

5

2

a)Rút gọn C N

ộ i Dung 2: Hàm số :

1 Đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x Thì y gọi hàm số x với giá trị x tương ứng nhận giá trị y

2 Hàm số đồng biến, nghịch biến:Với x1,x2 R

- Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) hàm số y = f(x) đồng biến R - Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) hàm số y = f(x) nghịch biến R

3 Hàm số bậc hàm số cho công thức y = ax + b, a, b số cho trước a0 Hàm số bậc y = ax + b xác định với x thuộc R; đồng biến R a>0, nghịch biến R a<0

5 Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax +b:

- Cách 1:Cho hai điểm thuộc đồ thị , vẽ đường thẳng qua hai điểm - Cách 2: Vẽ đường thẳng qua hai điểm 0;b b;0

a

 



 

 

6 Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (d’): y = a’x + b’

* Nếu aa’  (d) (d’) cắt nhau; (ngược lại (d) (d’) cắt aa’)

* Nếu a = a’; b b’ (d) (d’) song song với nhau; (ngược lại (d) (d’) song song a= a’và b b’) * Nếu a = a’; b = b’  (d) (d’) trùng (ngược lại (d) (d’) trùng a= a’và b = b’)

7 Hàm số bậc y = ax2 xác định với x thuộc R

Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > Nếu a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x > Các bước vẽ đồ thị hàm số y=ax2 (a0):

- Lập bảng giá trị tương ứng:

- Biểu diễn điểm có tọa độ (x;y) vừa xác định lên mặt phẳng tọa độ

- Vẽ (P) qua điểm Ví dụ : Vẽ đồ thị hàm số y = -0,5x2

x -2 -1 y -2 -1 -1 -2

9 Bài tập: Quan hệ Parabol y = ax2 (a 0) đường thẳng y = mx + n (m 0)

* Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) đường thẳng (d): y = mx + n Khi đó - Tọa độ giao điểm (P) (d) nghiệm hệ phương trình

2

y ax y mx n   

 



- Hoành độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình ax2= mx + n (*) - Số giao điểm (P) (d) số nghiệm phương trình (*)

+ Nếu (*) vơ nghiệm (P) (d) khơng có điểm chung (ngược lại (P) (d) khơng có điểm chung (*) vơ nghiệm)

+ Nếu (*) có nghiệm kép (P) (d) tiếp xúc (ngược lại (P) (d) tiếp xúc (*) có nghiệm kép)

+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt (P) (d) cắt hai điểm phân biệt (ngược lại (P) (d) cắt (*) có 2â nghiệm phân biệt)

Bài 1: Cho hàm số: y = (m + 4)x – m + (d)

x x1 x2 x4 x5

y=ax2 y1 y2 0 y4 y5

2

-2

-4

-5

O -1 -2

a Tìm giá trị m để hàm số đồng biến, nghịch biến

b Tìm giá trị m, biết đường thẳng (d) qua điểm A(-1; 2) Vẽ đồ thị hàm số với giá trị tìm m

c Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ d Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ

e Chứng minh m thay đổi đường thẳng (d) luôn qua điểm cố định Bài 2: Cho hai đường thẳng: y = (k – 3)x – 3k + (d1) y = (2k + 1)x + k + (d2)

Tìm giá trị k để: a (d1) (d2) cắt

b (d1) (d2) cắt điểm trục tung c (d1) (d2) song song với

d (d1) (d2) vuông góc với e (d1) (d2) trùng

Bài 4: cho (p) y = 2x2 đường thẳng (d) y = (2m-1)x – m2-9 Tìm m để : a Đường thẳng(d) cắt (P) hai điểm phân biệt

b (d) tiếp xúc với (P)

c (d) (P) không giao N

ộ i Dung 3: Phương trình bậc hai ẩn- Hệ phương trình bậc hai ẩn

1.Phương trình bậc hai ẩn có dạng: ax + by = c (a, b, c số biết, a,b không đồng thời 0) Phương trình bậc có vơ số nghiệm

x c ax y b          

2 Hệ phương trình bậc hai ẩn có dạng: ax

' ' '

by c a x b y c

 

 

 

 3.Cách giải hệ phương trình

a) Phương pháp thế:

- Bước 1: Rút x theo y (hoặc y theo x) từ phương trình hệ thay vào phương trình cịn lại - Bước 2: Giải phương trình ẩn x (hoặc y)

- Bước 3: Thay giá trị x (hoặc y) vừa tìm vào phương trình cịn lại để suy giá trị ẩn lại - Bước 4: Kết luận

Ví dụ: xét hpt 2 x y y x       

 (2 ) 2 3

2 2

x x x x x

y x y x y x

                         x y        1 x y      b) Phương pháp cộng đại số:

Chú ý: Hệ số ẩn bằng trừ PT, đối cộng PT, khác nhân. b) Phương pháp cộng: Ví dụ: xét hpt

2 x y x y       



3 x y x        x x y        2.1 x y        1 x y      4 tập

Bài 1: Giải hệ phương trình.

a) 3x y 2x y   



 

 b)

2x 5y 2x 3y

 

 

 

 c)

4x 3y 2x y

 

 

 

 d)

2x 3y 3x 2y   



 

 e)

2 x y x y

         g) 1 x y

2 x y

               N

ộ i Dung 4: Phương trình bậc hai ẩn số: Dạng tổng quát: ax2 + bx + c = (a 0)≠

Cách giải phương trình bậc hai ẩn số:

ax2 + bx = x.(ax+b)=0 

0

0

x x

b

ax b x

a

  

 



 

  



 2 Dạng khuyết b (b=0) – Dạng ax2 + c = 0:

* Trường hợp c>0: phương trình vơ nghiệm (vì ax2 + c > x )

* Trường hợp c<0, ta có: ax2 + c =  ax2

c x

c a

c x

a c

x

a

    

   



  

 3 Dạng đầy đủ – Dạng ax2 + bx + c = (với a, b, c0 :

- Bước 1: Xác định hệ số a,b (hoặc b’=b/2),c

- Bước 2: Lập  = b2 - 4ac (hoặc ' = b'2 – ac) so sánh với

(Trong trường hợp >0 (hoặc '>0) ta tính (hoặc tính ') - Bước 3: Xác định kết luận nghiệm theo bảng sau:

Công thức nghiệm tổng quát Công thức nghiệm thu gọn  = b2 - 4ac

-Neáu  > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

a b x

2

1

  

 ;

a b x

2

2

   

- Neáu  = : Phương trình có nghiệm kép :

a b x x

2

2

  

- Neáu  < : Phương trình vô nghiệm

' = b'2 - ac (với b’ =

b

)

- Nếu ' > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

a b

x1 ' ' ;

a b x2  ' '

- Neáu ' = : Phương trình có nghiệm kép:

a b x

x

'

1

  

- Neáu ' < : Phương trình vô nghiệm

* Chú ý: Nếu a.c < phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt (a c trái dấu) Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a



0) theo vi_ét: */ Nếu a + b + c = PT có nghiệm: x1 = ; x2 =

c a

*/ Nếu a - b + c = PT có nghiệm: x1 = -1 ; x2 = c

a



Định lí Vi-ét:

1/ Vi-ét thuận: Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0)

1

1

b

S x x

a c P x x

a

 

  

  

  

 

2/ Vi-ét đạo: Hai soẩ u v thỏa mãn u + v = S; u.v = P u,v nghim cụa phương trình: x2 - Sx + P = 0 (đieău kin đeơ có u vaø v laø: S2 - 4P

 0)

* Chúø ý: Nếu x1, x2 nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) thì: ax2 + bx + c = a(x-x

1)(x-x2)

Giải phương trình quy phương trình bậc hai:

1/ Phương trình tích: ( ) ( ) ( ) ( )

A x A x B x

B x

 

    

- Bước 1: Tìm ĐKXĐ phương trình (là ĐK ẩn để tất mẫu khác 0) - Bước 2: Qui đồng khử mẫu hai vế

- Bước 3: Giải phương trình nhận bước 2

- Bước 4: Đối chiếu giá trị ẩn vừa tìm với ĐKXĐ kết luận nghiệm 3/ Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = ( a 0 )

+ Đặt : x2 = t  , PT cho trở thành PT: at2 + bt + c = (*) + Giải phương trình (*)

+ Chọn giá trị t thỏa mãn t0 thay vào: x2 = t  x= t  x1 t x; 2  t + Kết luận số nghiệm nghiệm phương trình ban đầu

4/ Phương trình sau đặt ẩn phụ quy phương trình bậc hai: + Đặt ẩn phụ, đặt điều kiện ẩn phụ có

+ Giải phương trình ẩn phụ

+ Chọn giá trị ẩn phụ thỏa mãn điều kiện thay vào chỗ đặt để suy giá trị ẩn ban đầu + Kết luận nghiệm phương trình ban đầu

BÀI TẬP

Bài 1: Giải phương trình: a) 2x2 + 5x = 0 b) x - 6x2 = 0 c) 2x2 + = 0 d) 4x2 -1 = 0 e) 2x2 + 5x + = 0 f) 6x2 + x + = 0 g) 2x2 + 5x + = 0 h) 25x2 20x 0

  

Baøi 2: Giải phương trình: a) 3x4 + 2x2 – = 0 b) 2x4 - 5x2 – = 0 c) 3x4 5x2 2 0

  

d) 16 x3 – 5x2 – x = 0 e)

x2 3x 5 2 2x 12 2 0

     f)   

 

3x 6x

x x

g)    

x 3x

x x x

 

 

  h) 7

16 2

  

 x

x

Bài 3: Giải phương trình: a) x – 7 x 0  b) x 5 x 0    c) 2x2x2 13 2x 2x 12 0 

Baøi : Cho phương trình: x2 3x 15 0

   , không giải phương trình tính: a) x1x2 b) x x1

Bài 5: Cho phương trình: x2 8x 15 0

   , không giải phương trình tính: a) x1x2 b) x x1 c)

2

1

x x d) x1x22 e)

1

1

x x f)

1

2

x x

x  x

Bài 6: a) Cho phương trình: x2 2mx 0

   có nghiệm 2, tìm m tính nghiệm lại.

b)Cho phương trình: x2 5x q 0

   có nghiệm 5, tìm q tính nghiệm lại. Bài 7: Tìm hai số u v biết:

a) u+v=3 u.v=2 b) u+v= -3 vaø u.v=6 c) u-v=5 u.v=36 d) u2+v2=61 u.v=30

Dạng: Tìm điều kiện tham số để thỏa mãn có nghiệm phương trình bậc hai:

Bài 1: (Bài tốn tổng qt)

Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = (a

 0) có: Có nghiệm 

Vô nghiệm  <

Nghiệm (nghiệm kép, hai nghiệm nhau)  = Có hai nghiệm phân biệt  >

Hai nghiệm dấu  vaø P >

Hai nghiệm trái dấu  > P <  a.c < Hai nghiệm dương(lớn 0)  0; S > P > Hai nghiệm âm (nhỏ 0)  0; S < P > Hai nghiệm đối  S =

10.Hai nghiệm nghịch đảo  P =

(ở đó: S = x1+ x2 =

a b



; P = x1.x2 =

a c

)

(Chú ý làm trường hơp hệ số a phương trình khơng có chứa tham số Nếu hệ số a cúa chứa tham số ta cần xét trường hợp a = a≠0)

Bài 2: Cho phương trình: x2 2x m 0

    , tìm m để phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có nghiệm kép c) Vô nghiệm d) Có hai nghiệm trái dấu e) Có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn 2

1

x x  Bài Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = ( aån x)

a) Định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm

Bài Cho phương trình : x2 – 4x + m + = a) Định m để phương trình có nghiệm. b) Tìm m cho phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10

Bài Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0

a) C/m , phương trình ln ln có hai nghiệm m thay đổi

b) Định m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: < x1 < x2 <6 Bài Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x2 – 2mx + 2m – = 0

a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1, x2 với m b) Đặt A = 2(x12 + x22) – 5x1x2 C/m A= 8m2 – 18m + 9

giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình

A Các bước giải tốn cách lập hệ phương trình (phương trình):

Bước 1 : Lập hệ phương trình(phương trình)

1) Chọn ẩn tìm điều kiện ẩn (thơng thường ẩn đại lượng mà toán yêu cầu tìm) 2) Biểu thị đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết

3) Lập hệ phương trình, (phương trình)biểu thị mối quan hệ lượng

Bước 2 : Giải hệ phương trình, (phương trình)

Bước 3 : Kết luận tốn

B DẠNG TỐN CHUYỂN ĐỘNG.

Lưu ý:+ Qđường = Vtốc Tgian; Tgian = Qđường : Vtốc; Vtốc = Qđường : Tgian + v(xuôi)= v(riêng)+v(nước); v(ngược)= v(riêng)-v(nước) + v(riêng)= [v(xuôi) + v(ngược)]:2; v(nước)= [v(xuôi) - v(ngược)]:2 * Chú ý: - Vận tốc dòng nước vận tốc đám bèo trôi, bè trôi

- Vận tốc thực canơ cịn gọi vận tốc riêng (hay vận tốc canô nước yên lặng) Lập bảng

Các đại lượng Lần (lúc đi, xi dịng) Lần (lúc về, ngược dịng Vận tốc

Quảng đường Thời gian

Bài 1:Một người xe đạp từ A đến B cách 36 km Khi từ B trở A, người tăng vận tốc thêm km/h, thời gian thời gian 36 phút Tính vận tốc người xe đạp từ A đến B

Gọi x (km/h ) vận tốc người xe đạp từ A đến B (ĐK: x > 0) có phương trình: 36 36

3

Bài 2: Hai thành phố A B cách 50km Một người xe đạp từ A đến B Sau 1giờ 30 phút, người xe máy từ A đến B sớm người xe đạp 1giờ Tính vận tốc người biết vận tốc người xe máy lớn vận tốc người xe đạp 18km/h

Gọi x(km/h) vận tốc người xe đạp, ta có phương trình: 50x - x5018=25 +

Bài 3: Một ca nô chạy xuôi dịng từ bến A đến bến B, sau chạy ngược dòng từ B A hết tổng thời gian Biết quãng đường sông từ A đến B dài 60 km vận tốc dòng nước km/h Tính vận tốc thực ca nô. Gọi x(km/h) vận tốc ca nô, ta có PT: 60

5

x + 60

5

x = 5

Bài 4: Một xe máy từ A đến B thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 14km/giờ đến sớm giờ, giảm vận tốc 4km/giờ đến muộn giờ.Tính vận tốc dự định thời gian dự định

Giải: Gọi thời gian dự định x(h) vận tốc dự định y(km/h) (ĐK: x > 0, y > 0)

Theo đề ta có hệ phương trình: 14x 2y 284x y 4   14x 2y 288x 2y 8   y = 28x =

   

   (TMÑK)

Bài 5: Một người từ tỉnh A đến tỉnh B cách 78 km Sau người thứ hai từ tỉnh B đến tỉnh A hai người gặp địa điểm C cách B 36 km Tính thời gian người từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau, biết vận tốc người thứ hai lớn vận tốc người thứ km/h

Gọi x (h) thời gian người từ A đến C (ĐK: x> 0), ta có phương trỡnh: 36

1

x - x 42

=4

C DẠNG TỐN LÀM CHUNG – LÀM RIÊNG.

Các đại lượng Đội (vịi 1, người A) làm mình

Đội (vịi 2, người B)

Laøm minh

Cả đội (2 vòi, 2 người) làm Thời gian làm xong

công việc

Số phần việc làm được ngày (giờ, tháng .) Số phần việc làm được m ngày (giờ, tháng .)

Bài 1: Hai người thợ làm công việc 16 xong Nếu người thứ làm giờ, người thợ thứ hai làm họ làm 25% khối lượng cơng việc Hỏi người thợ làm cơng việc

Giải: Gọi x(giờ) thời gian để người thứ làm xong công việc.

Gọi y(giờ) thời gian để người thứ hai làm xong cơng việc (ĐK: x > 16; y > 16). Theo đề ta có hệ phương trình:

      

 

 

16 1

y x

y x

Bài2: Hai tổ niên tình nguyện sửa đường xong Nếu làm riêng tổ làm nhanh tổ Hỏi đội làm xong việc ?

Giải : Gọi x( ) thời gian tổ sửa xong đường ( ĐK: x >4 ) Thời gian tổ sửa xong đường x + ( ) ta có phương trình:

x

1

+

6 

Bài 3: Hai vòi nước chảy vào bể (ban đầu không chứa nước) thỡ sau đầy bể Nếu chảy cho đầy bể vịi I cần nhiều thời gian vòi II Hỏi chảy để đầy bể vòi cần thời gian ?

Gọi x( ) thời gian vòi II chảy đầy bể( ĐK: x >6 ) , phương trình :

x 5 + x =

1 D DẠNG TOÁN PHÂN CHIA ĐỀU

Các đại lượng Loại (lần 1, theo dự tính)

Loại (lần 2, thực tế)

Số chỗ, số lần, số cây

Bài 1: Một đoàn học sinh gồm có 180 học sinh điều tham gia diễu hành Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở lượt hết số học sinh phải điều động dùng loại xe nhỏ Biết xe lớn nhiều xe nhỏ 15 chỗ ngồi Tính số xe lớn ?

Giải: Gọi số xe lớn x (chiếc) (ĐK: x nguyên dương). Số xe nhỏ là: x + ( ) ta có phương trình:

x

180

-

2 180



x = 15

Bài 2: Trong buổi lao động trồng ,một tổ học sinh trao nhiệm vụ trồng 56 Vì có bạn tổ phân công làm việc khác nên để trồng đủ số giao ,mỗi bạn lại tổ trồng tăng thêm với dự định lúc đầu Hỏi tổ học có bạn biết số phân cho bạn Gọi x số học sinh tổ (x ngun x>1), ta có phương trình : 56 56

1

x  x 

Bài 3: Một phịng họp có 360 ghế ngồi xếp thành dãy số ghế dãy Nếu số dãy tăng thêm số ghế dãy tăng thêm 1, phịng có 400 ghế Hỏi phịng họp có dãy ghế, dãy có ghế

Gọi x(dãy) số dãy ghế ban đầu, phương trình: 400 360 1

x  x 

Bài 4: Một đội cơng nhân hồn thành cơng việc với mức 420 ngày cơng Hãy tính số cơng nhân đội, biết đội tăng thêm người số ngày để hồn thành cơng việc giảm ngày

Gọi x số cơng nhân đội (x ngun dương), phương trình:

x

420

-5 420



x =

E DẠNG TỐN CĨ NỘI DUNG HÌNH HỌC.

Bài 1: Một ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m Tính diện tích ruộng biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lần chu vi ruộng không đổi

Bài 2: Một hình chữ nhật có chu vi 160m diện tích 1500m2 Tính chiều dài chiều rộng hình chữ nhật

Bài 3: Tìm hai cạnh tam giác vuông biết cạn huyền 13 cm tổng hai cạnh góc vuông 17