DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN... Tính góc B?.[r]
(1)Bài tập Chương DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN
Dạng Chứng minh quy nạp
-PP: Chứng minh mệnh đề A(n) với n∈,n≥ p +(Bước sở) *Kiểm tra A(p)
+(Bước quy nạp) *Giả sử A(k) (với k≥ p) Ta chứng minh A(k+1) Từđó suy mệnh đềđúng với mọin∈,n≥ p./
-Một số toán
Bài Chứng minh quy nạp
a) 1.2 2.5 + + +n.(3n− =1) n n2( + ∀ ∈1), n *;
b) 1 1 1 1 2 , *;
4 16 ( 1) 2( 1)
n
n
n n
+
− − − − = ∀ ∈
+ +
c) 33n+3−26n−27 169, ∀ ∈n *; d)
5
5 30
n n n n
+ + − số nguyên với ∀ ∈n *;
e) 1 , *;
1.4 4.7 7.10 (3 2)(3 1)
n n
n n n
+ + + + = ∀ ∈
− + +
f)
1
2 2 ( 1) ( 1) *
1 ( 1) , ;
2
n
n n n
n n
−
− − +
− + − + − = ∀ ∈
g) sin sin2 sin sin sin( 1) , *;
3 3 6
n n n
n
π + π + + π = π + π ∀ ∈
h) (2 )!2 , , 1;
1 ( !)
n
n
n n
n+ < n ∀ ∈ > i)
2 2 *
1,
x + x + + x < + ∀ ∈x n (n dấu căn);
j)
1
*
2 2
1 2
, , 1;
1 1 n 1 n
n n
n x
x x x x x +
+
+ + + = + ∀ ∈ ≠
+ + + − −
Bài Cho n số dương x ii, =1, , (n n≥2) Chứng minh rằng:
1 2
(1+x)(1+x ) (1+xn)> + + + +1 x x xn
Bài Gọi a nghiệm phương trình: x2− + =3x Chứng minh xn an 1n a
= + số nguyên với ∀ ∈n
HD + a2 3a a a
+ = ⇔ + = xk+1 =x x1 k −xk−1
Bài Giả sử cosθ số hữu tỉ Chứng minh với ∀ ∈n *, cosnθ số hữu tỉ HD + cos(n+1)θ =cosnθcosθ −sinnθ.sinθ
Dạng Toán dãy số
*Tìm số hạng của dãy số
1 Cho dãy số (un) xác định bởi: 2
2
1
n
n u
n
+ =
+
a) Viết số hạng đầu dãy b) Tìm n cho
n
u = (ĐS b) n=12 )
2 Cho dãy số (un) xác định bởi:
n chan
1
n le
n
n n u
n n
−
= −
+
(2)3 Cho dãy số (un) xác định bởi: cos
n
n u = π
a) Viết số hạng đầu dãy b) Chứng minh dãy số nhận hữu hạn giá trị Cho dãy số (un) xác định sau: un số dư chia n cho
a) Xác định số hạng đầu dãy; b) Nếu um = un, chứng minh : m n− 6
*Tìm cơng thức tổng qt của dãy số
1 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=5 un+1=3.un ,∀ ∈n * Chứng minh rằng: un=5.3n-1 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=1 un+1=3.un + 2n,∀ ∈n *
Chứng minh rằng: 5.3
2
n n
u = − − +n −
3 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=1 un+1=3.un +
*
,
n n
− ∈
Chứng minh rằng: un= ( )
1
n
n − +
*Xét tính đơn điệu của dãy số
1 Xét tính tăng, giảm dãy số sau: a) un 2011 n
n
−
= ; b) 2011
2011
n
n n
u = −
+ ; c)
!
n
n u
n
=
+ ; d)
( 1) 2011
n n
u n
− =
+
2 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=3 un+1= 3.u1 ,
* n
∀ ∈
a) Chứng minh dãy (un) tăng; b) Tìm n để un > 10000 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=1và un+1=
2
3
n
u +
,∀ ∈n *
a) Chứng minh (un) bị chặn 3; b) Chứng minh (un) dãy tăng Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 3, un+1 =
2
*
,
n n
u u
+ ∀∈
Chứng minh dãy (un) giảm
*Xét tính bị chặn của dãy số
1 Xét tính bị chặn dãy số sau đây: a)
1 ( 1)
2
n n
n u
n +
+ − =
+ ; b)
2
2
n
n u
n
+ =
+ ; c) n 2
n u
n n
=
+ + − ; d)
2011
2
n
u = n + ; e) un =2 sin(n+ −1) 3cos ;n f) 1
1
n
u
n n n n
= + + +
+ + + ;
g)
( ) ( ) ( )
1
n
u
n n n n n n n
= + + +
+ + + ; i)
2 2
sin sin sin
1.2 2.3 ( 1)
n
n u
n n
= + + +
+
2* Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1, u2 = un+1 = un + 12
,
1
n n
u n u
− −
≥
+
a) Bằng quy nạp chứng minh rằng: n 1 n
n
u u
u
+ = + Từđó suy dãy (un) tăng b) Đặt n
n
u v
n
= Chứng minh dãy số (vn) bị chặn
(3)1 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=1, u2=2 un+2= n
n
u +
+
Chứng minh rằng: un+5 = un, với n (tức dãy un tuần hoàn)
2 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=1 um+n = um +un +mn,∀m n, ∈* a) Chứng minh rằng: un+1= un + n + 1; b) Chứng minh rằng:
( 1)
n
n n u = + Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=
1
2007 n.un+1=(n+1).un +1 ,
* n
∀ ∈
a) Chứng minh rằng: un= 2007
n n
+ − ; b) Tính tổng
n i i
u =
∑
4 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=1, u2=-7 un+2=5.un+1 + 6un ,∀ ∈n * Chứng minh rằng: un=
1 13
.6 ( 1)
7
n n
− − −
Dạng Cấp số cộng
*Xác định yếu tố của cấp số cộng
1 Cho cấp số cộng: 2, 5, 8, 11,… Tìm a1, d, un, Sn ?
2 Xác định số hạng đầu, công sai số hạng thứ n cấp số cộng biết rằng: a)
15 27
59 u u
=
=
; b)
9
13
2
u u
u u
=
= +
; c)
12
18 34 45 S S
=
=
; d) Sn = 3n + n
2 ; e)
10 10
5 u S
=
=
; f)
20 10
5
S = S = S
; g) S20 = 2.S10 , S15 = 3.S5
3 Tổng ba số hạng liên tiếp cấp số cộng tổng bình phương ba sốđó 14/9 Xác định ba sốđó cơng sai? (ĐS: (1;2/3;1/3) (1/3;2/3;1))
4 Cho cấp số cộng (un) thoả : u4 + u8 + u12 + u16 =16 Tính 19
1
i i
u =
∑ ? (ĐS: 76) Cho cấp số cộng thoả:
2
2 ( )
n m
S n
m n
S = m ≠ Tính tỉ số 2007 1945 u
u ?(HD d=2u1 nên tỉ số= 4013 3889) Tìm n∈, biết:
a) (2n+1)+(2n+2)+…+(2n+n) = 2265 (ĐS: n=30) b) n n 2007
n n n
− + − + + =
(ĐS: n=4015)
*Chứng minh một dãy cấp số cộng
1 Cho dãy số (un) xác định bởi: un+1=3.un – un-1 + ,∀ ≥n
Chứng minh dãy =2.un – un-1 cấp số cộng Xác định v1 d (vn)? Cho dãy số (un) thoả mãn: un – un+1 + 3=
1 ( 1) n n+ ,
* n
∀ ∈
a) Chứng minh dãy = un - n,
* n
∀ ∈ lập thành cấp số cộng? b) Từđó, tìm số hạng tổng qt dãy (un) biết u1 = 2?
3 Chứng minh ∆ABC: cotA, cotB, cotC thứ tự lập thành cấp số cộng a2, b2, c2 thứ tự lập thành cấp số cộng
*Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số cộng
(4)a) 1( ), ;
n n k n k
u = u − +u + ∀ >n k b) 4 2 6
3
n n n
S −S = S ; c) (q-r)ap + (r-p)uq + (p-q)ur = 0; d) u1 + un = uk + un-k+1 ; e) Sn+3 + 3Sn+1 = 3Sn+2 + Sn; f) 2(S3n – Sn) = S4n; g)
1 2 1
1 1
n n n
n a a a a a−a a a
−
+ + + = ;
h)
1 3 2
1 1 1 1
,
2 i
n n n
a
a a a a a − a + a a a
+ + + = + + + >
+ + + ;
i)
1 2 1
1 1
, i
n n n
n
a
a a a a a − a a a
−
+ + + = >
+ + + + ;
2 Cho a, b, c lập thành cấp số cộng Chứng minh rằng: (i) a2 + 2bc = c2 + 2ab; (ii) 8b3 – a3 – c3 = 6abc Cho số a, b a+b khác cho 1, ,1
a a b b+ theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tính tỉ số 2 a b ?
Dạng Cấp số nhân
* Xác định yếu tố của một cấp số nhân
1 Cho cấp số nhân: 2, 6, 18, 54, … Tính u1, q, un, Sn ?
2 Xác định số hạng đầu công bội cấp số nhân (un) sau:
a) u7 = - u10 = 135; b) u10 = 32 u15 = 16.u7; c) u7 – u5 =11 S12= 80;
d)
3
91 30 u u u u u
+ + =
+ =
; e)
1
4 35 180 u u u
u u u
+ + =
+ + =
; f)
4
5 54 108 u u u u
− =
− =
3 Cho a, b > Hãy chen số hai số b ; a
a b để dãy tạo thành cấp số nhân?
4 a.Tìm x, y biết x, y, 12 lập thành cấp số nhân x, y, lập thành cấp số cộng theo thứ tự? (ĐS: (3;6) (27;18))
b Tìm x, y biết 1, x2, y2 lập thành cấp số cộng 2, x+2, y-3 lập thành cấp số nhân theo thứ tự?
5 Tìm x biết ba số cos , sin , cos
4
x π x x π
− +
theo thứ tự lập thành cấp số nhân? (ĐS:
,
x= ± +π kπ k∈)
6 Cho cấp số nhân x, y, z Tìm x, y, z biết: a) 3 364 3
584 xyz
x y z
=
+ + =
; b)
1 1
14 108 x y z
xy yz zx
+ + =
+ + = −
; c) 216
19 x y z xyz x y z
< <
=
+ + =
; 7.Tính tổng sau:
a) A = + 2011 + 20112 + … + 2011n; b) B = 1 ( 1)
2
n n
− + − + + − ; c) C = + 2.3 + 3.32 + …+ 2011.32010 (HD: 3C–C=2C)
d) D =
2 2
2
1 1
n , ( 1, 0)
n
x x x x
x x x
+ + + + + + ≠ ±
;
e) E = x + 2x2 + 3x3 + … + nxn;
(5)1
x2 – 4x + B = Tính A, B biết x1, x2, x3, x4 lập thành cấp số nhân tăng?
10 Cho cấp số cộng (un) cấp số nhân (vn) thoả mãn: u1 = v1 =2, u2 = v2, v3 = u3 + Xác định cấp số cộng cấp số nhân
*Chứng minh một dãy số cấp số nhân
1 Chứng minh dãy số (un) sau cấp số nhân: un =
7
n ;
2 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 2, un+1 = + 4un
a) Đặt = un + Chứng minh dãy số (vn) cấp số nhân? Tìm cơng thức ? b) Tìm cơng thức tổng qt un ?
3 Chứng minh rằng:
a) Nếu x, y, z lập thành cấp số nhân xy, y2, zy lập thành cấp số nhân
b) Nếu bốn số dương x, y, z, t lập thành cấp số nhân ba số xy, yz, zt lập thành cấp số nhân
4 Cho cấp số nhân a1, a2, …, an, … có cơng bội q≠1 Chứng minh rằng: a) Dãy số
1
1 1
, , , ,
n
a a a cấp số nhân tính cơng bội nó?
b) Dãy số
1
, , , n ,
n
a a a
a a a
+ một cấp số nhân tính cơng bội của nó?
*Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số nhân
1 Cho (un) cấp số nhân với công bội q Chứng minh rằng: a) u u1 n =u uk n k− +1,1≤ ≤k n; b) Sm + q
m
.Sn = Sn + qn.Sm , với m,n Cho x, y, z ba số hạng liên tiếp cấp số nhân Chứng minh:
a) (x+y+z)(x-y+z)=x2 + y2 + z2; b) x2 + 4z2 – 4xy + 8yz = (x – 2y – 2z)2; c) x y z xz 1 ,xyz 0;
x y z
+ + = + + ≠
d) ( x+ y+ z)( x+ z− y)= + +x y z;
3 Cho cấp số cộng dương (un) cấp số nhân dương (vn) thoả mãn: u1 = v1 u2 = v2 Chứng minh vn ≥un,∀ ∈n *