[r]
(1)Chuyên đề bất đẳng thức Dạng I : Chứng bất đẳng thức định nghĩa
Chøng minh r»ng 1)
4
a + b2 + c2 ab - ac + 2bc
2) 4a4 + 5a2 8a3 + 2a - 1
3) a2 + b2 + c2 + d2 +e2 a( b + c + d + e ) 4) a2( + b2) +b2( + c2) + c2( + a2) 6abc 5) a4 + 4a
6) a4 + b4 a3b + ab3
7) a4 + b4 + c4 + d4 4abcd 8) x4 + y4
2 6
x y y x
, ( Víi x,y ) 9) Cho a , b CMR ab
b a
ab
10) Cho a, b, c ba số thoả mÃn a 0, b vµ c ab
CMR : 2 2 2 2
b c
b c a c
a c
11) Cho ab , CMR
ab b
a
2
1
1
2
12) Chøng minh r»ng víi x ta cã
2 2
x x
13) CM víi a 0, b vµ x, y R th× ( ax + by)( bx + ay) a b2xy
14) CM víi ab th×
(a5 + b5)(a + b) (a4 + b4)(a2 + b2) 15) Cho z y x Chøng minh
z x z x z x y z x
y 1 1
16) Cho a 2, b Chøng minh ab a + b 17) CMR víi a 0, b ta cã
b a b a a b
2
18) Cho a b CMR :
b b a ab b a a
b a
8
8
2
19) CMR víi a 0, b 0, c 0, d ta cã
d b c a a c b
a
1
1
1 1
1
Dạng II : Phơng pháp phản chøng
(2)c2 a ; d2 b
2) CMR: ba bất đẳng thức sau có bất đẳng thức 2(a2 + b2) (b + c)2
2(b2 + c2) (c + a)2 2(c2 + a2) (a + b)2
3) CMR nÕu a1a2 2(b1+b2) th× Ýt nhÊt hai phơng trình x2 + a
1x + b1= (1) x2 + a
2x + b2= (2)cã nghiÖm
4) Cho a, b, c Chøng minh cã Ýt nhÊt mét bất đăng thức sau sai :
4 1
; 1
;
1 b b c c a
a
5) Cho ba sè a, b, c tháa m·n : a + b + c (1) ab + bc + ca (2) abc (3)
Chøng minh : a 0, b 0, c
6) Chứng minh hai phơng trình sau có phơng trình có nghiệm :
x2 - 2ax + - 2b = 0 x2 - 2bx + - 2a = 7) Cho ba bất đẳng thức
a(2 - b) > ; b(2 - c) > ; c(2 - a) > Với a, b, c (0 ; 2) Chứng minh có ba bất đẳng thức sai
8) Cho a, b, c (0 ; 1) Chứng minh có bất đẳng sau sai
4 1 b
a ;
4 1 c
b ;
4 1 a
c
9) Chứng minh không tồn tam giác mà độ dài đờng cao ; ; 1
10) Chứng minh có bất đẳng thức sau a3b5(c - a)7(c - b)9 ; bc5(a - b)9(a - c)13 ; c9a7(b - c)5(b - a)3 0 Dạng III : Vận dụng bất đẳng thức toán bản
NÕu a < b th×
c b
c a b a
NÕu a b th×
c b
c a b a
NÕu x, y, z > th× +)
2
y x xy +) x y x y
1
+) x y z x y z
1
(3)1) Cho a, b, c > CMR b a d d a d c c d c b b c b a a
2) Cho x, y, z > CMR
2 x z z z y y y x x
3) Cho a, b, c ba cạnh mét tam gi¸c CMR
2 b a c a c b c b a 4) CMR :
1 9 9 121 123 123 125
5) Cho a, b > CMR
2 2 4 b a ab b
a
6) Cho a, b, c > CMR
c b a c b a c b a c b a 4 1
7) Cho a, b, c ba cạnh tam giác CMR
c b a c b a c b a c b a 1 1 1
8) Cho a, b, c, d > CMR
4 a d b d d c a c c b d b b a c a
9) Cho a, b, c > CMR
c b a a c c b b
a
3 2
10) Cho a, b, c > CMR
a b c c b a c b a c b
a 4
9 2
11) Cho x tho¶ m·n
2 13
2
x CMR
7 13 10
x x
x
12) Cho a, b, c > tháa m·n a + b + c = CMR
9 2 2 2
bc b ac c ab
a
13) Cho a, b, c > CMR
a c c b b a c b a 2 1
14) Cho a, b, c > CMR
2
a b
c a c b c b a
15) Cho a, b, c > CMR
2
3 2 2 2 c b a a c a b c a c b b c b
(4)16) Cho a, b, c, d > CMR
a db c a b c d d
b d
c b a
c a
17) Cho a, b, c, d > CMR
a cb d a b c d
b a d
c b
a
12
3
18) Cho a, b, c lµ ba cạnh tam giác CMR
a b c c
b a
a c c b a
c b c b a
b a
4
2
19) Cho hai sè d¬ng a, b tháa m·n a + b = CMR
6 1
2
b a ab
20) Cho a, b > tháa m·n a + b Chøng tá r»ng
14
2
2
b a ab
Dạng IV Chứng minh bất đẳng thức dẫy
A) kiÕn thøc cÇn nhí
Để chứng minh A B ta phải chứng minh A C với C biểu thức lớn b»ng B
Từ ta có A B, ta chứng minh D B với D biểu thức nhỏ hay A từ ta có A B
Giải toán dạng dãy, ngời ta thờng phát đặc điểm số hạng tổng qt, từ rút gọn phép tính trung gian
Ngời ta hay sử dụng phơng pháp quy nạp toán học trờng hợp thuận lợi
B) Bµi tËp
1) CMR:
2 1
n n
n Víi n N, n >
2) CMR: 1
1 1
2
n n
n Víi n N
3) CMR: n
n
2 1
Víi n N, n >
4) CMR:
3 1 1
2 n
n
n Víi n N
5) CMR:
1
1
1
n
n Víi n N, n
6) CMR:
3
1
1 2 2 2
n Víi n N, n > 7) CMR:
1
13
2
2
n
n Víi n N, n
8) CMR:
1
1 25
1
2
n Víi n N, n
9) Cho a, b, c ba cạnh tam gi¸c CMR
(5)10) CMR:
10 100
99 15
1
11) CMR víi mäi sè tù nhiªn n 8, ta cã
3
1
1
2
2
n
12) CMR víi mäi sè tù nhiªn n khác 0, ta có:
1
2
n
n
13) CMR víi n N, n 1, ta cã a)
4
1 1
n n
n
b)
1
1 1
1
n n
n
c)
4
1
1
1 3 3 3
n Dạng V:Bất đẳng thức cosi A) kiến thức cần thiết
Trung bình cộng n số khơng âm lớn trung bình nhân n số
*) Cho a1 , a2 , , an ta lu«n cã
n
n
n aa a
n a a
a
2
1