* Các phép biến đổi tương đương của phƣơng trình: Định lí : Cho phương trình fx = gx có tập xác định D.. * Chú ý: Nếu 2 vế phương trình luôn cùng dấu thì khi bình phương hai vế của nó, t[r]
(1)Page of 50 TOAN 10 – PT-HỆ PT-BĐT x x 3x x x x2 A x B x C x D x 2 x 2 x Câu Tìm điều kiện xác định phƣơng trình 3x A x B x C x D x x Câu Điều kiện xác định pt x là x 1 Câu Tìm điều kiện xác định phƣơng trình x x x A x x D x 1 C x B Câu Tập nghiệm phƣơng trình : 2x x là : A S 6,2 B S 2 C S 6 D S Câu Cho phƣơng trình 2x x x Hỏi số nào sau đây là nghiệm phƣơng trình: A B C.-1 D.-2 Câu Giải phƣơng trình x 8x A x 3, x B x 1, x C x 3, x D x 1 3, x Câu Giải phƣơng trình x A x 2, x B x 2, x C x 2, x Câu Giải phƣơng trình x 2x A 0;2 B 0; 2 C 0 D x 3, x Câu Giải phƣơng trình A 1; 2 B 2 2 x x C 1 D D 3x là : x 1 x 1 3 C S = D S= 2 Câu 10 Tập nghiệm phƣơng trình x 3 2 A S = 1; B S = 1 Câu 11 Cho phƣơng trình x A x D x B x x x Phƣơng trình nào sau đây tƣơng đƣơng với phƣơng trình đã cho x 2x 4 C x x Câu 12 Xét các khẳng định sau đây: 1) x x-2 = 2) x2 x x – x – = 3) ( x)2 2x x 2x 4) x2 2x x 2x Ta có số khẳng định đúng là : A B C.3 D.4 Câu 13 Cho phƣơng trình bậc ax bx c 0, a Phƣơng trình có nghiệm nào? 0 A B C D 0 Câu 14 Hai số và là các nghiệm phƣơng trình : A x2 x B x 2 x C x 2 x D x 2 x x12 x22 : Câu 15 Gọi x1, x2 là các nghiệm phƣơng trình : x2 –3x –1 = Ta có tổng A B C 10 D 11 Lop10.com (2) Page of 50 Câu 16 Phƣơng trình sau đây có bao nhiêu nghiệm : x A.2 Câu 17 B.3 C.4 2016 x D.1 Câu 18 Câu 19 Câu 20 Lop10.com 2017 (3) Page of 50 Câu 21 Câu 22 Lop10.com (4) Page of 50 Câu 23 Câu 24 Điều kiện xác định phƣơng trình Câu 25 Điều kiện xác định pt 4x C 3x 5x x 1 là : D D = R x x x là 2 B 2x D A S = {–1} 3 B S = 5 Tập nghiệm pt x3 5x 0 5x 4x 5x có tập nghiệm là: 3 C S = D S = 1; 5 Phƣơng trình: Câu 27 Câu 28 B x C x D x Số –1 là nghiệm phƣơng trình nào ? A x Câu 26 A x –5= x 1 C D R \ 1 B D R \ 1 A D R \ 1 2x x2 x x là: C 2 A 2 B 2 D Câu 29 Hai phƣơng trình đƣợc gọi là tƣơng đƣơng : A Có cùng dạng phƣơng trình B Có cùng tập xác định C Có cùng tập hợp nghiệm D Cả a, b, c đúng Câu 30 Trong các khẳng định sau, phép biến đổi nào là tƣơng đƣơng : A 3x x x 3x x x B x x x x C x x x x x x D Cả A , B , C sai m2 Câu 31 Với m bao nhiêu thì phƣơng trình sau vô nghiệm : A B C –1 D –2 Lop10.com x 3m (5) Page of 50 Khi phƣơng trình : x2 – 4x + m + = có nghiệm thì nghiệm còn lại : B C D Kết khác Câu 32 A Câu 33 A x2 Câu 34 Pt nào là pt hệ pt x là đƣờng thẳng nào sau đây: B x C x=2 D 2x=4 Phƣơng trình x = 3x tƣơng đƣơng với phƣơng trình : A x x 3x x B x 1 3x x3 x3 C x x 3x x D x x 3x x Câu 35 Phƣơng trình x + m = có nghiệm và : A m > B m< C m ≤ D m ≥ Câu 36 A Gọi x1, x2 là các nghiệm phƣơng trình : x2 –3x –1 = Ta có tổng B C 10 D 11 Câu 37 Tập nghiệm phƣơng trình x 3 2 A S = 1; Câu 38 B S = 1 x12 x22 3x là : x 1 x 1 3 C S = D Kết khác 2 Cho phƣơng trình ax4 + bx2 + c = (1) (a khác 0) b c , P Ta có (1) vô nghiệm và : a a B < S C d) S P P Đặt : = b2–4ac, S = A < Câu 39 Tập hợp nghiệm phƣơng trình x2 x là: A { 0, 2} B { 0} C { 2} D Câu 40 Tập nghiệm phƣơng trình : 2x x là : A S 6,2 B S 2 C S 6 D S Câu 41 Xét các khẳng định sau đây: 1) x x-2 = 2) x x x2 – x – = 3) ( x)2 2x x 2x 4) x2 2x x 2x Ta có số khẳng định đúng là : A B C.3 D.4 Câu 42 Cho phƣơng trình: x (x –2) = 3(x–2) (1) x(x 2) 3 x2 (2) Ta nói: A phƣơng trình(1) là hệ phƣơng trình (2) B phƣơng trình(1) và (2) là hai phƣơng trình tƣơng đƣơng C phƣơng trình(2) là hệ phƣơng trình(1) D Cả câu A,B,C sai Câu 43 Khi giải phƣơng trình : 3x x (1) , ta tiến hành theo các bƣớc sau : Bƣớc : Bình phƣơng hai vế ph.trình (1) ta đƣợc : 3x2 +1 = (2x+1)2 (2) Bƣớc : Khai triển và rút gọn (2) ta đƣợc : x2 + 4x = x = hay x= –4 Bƣớc : Khi x=0, ta có 3x2 + > Khi x = – , ta có : 3x2 + > Lop10.com (6) Page of 50 Vậy tập nghiệm phƣơng trình là : {0 –4} Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai bƣớc nào? a) Đúng b) Sai bƣớc c) Sai bƣớc d) Sai bƣớc Câu44 Cho phƣơng trình : ax+ b = Chọn mệnh đề đúng : a) Nếu phƣơng trình có nghiệm thì a khác b) Nếu phƣơng trình vô nghiệm thì a = c) Nếu phƣơng trình vô nghiệm thì b = d) Nếu phƣơng trình có nghiệm thì b khác Câu45 Phƣơng trình ax + b = có tập nghiệm là R và : a) a khác b) a = c) b = d) a = và b = Câu46 Tìm m để phƣơng trình: (m 9) x 3m(m 3) (1) có nghiệm : a) m = b) m = – c) m = d) m ≠ 2 Câu47 Phƣơng trình (m – 4m + 3)x = m – 3m + có nghiệm : a) m b) m c) m≠1 và m≠3 d) m=1 m=3 2 Câu48 Phƣơng trình (m – 2m)x = m – 3m + có nghiệm : a) m = b) m = c) m ≠ và m ≠ d) m ≠ Câu49 Cho phƣơng trình m2x + = 4x + 3m Phƣơng trình có nghiệm ? a) m b) m –2 c) m và m –2 d m 2 Câu50 Phƣơng trình (m – 5m + 6)x = m – 2m vô nghiệm khi: a) m =1 b) m = c) m = d) m = Câu51 .Phƣơng trình ax +bx +c = có nghiệm và : a a c) a = b = d) b Phƣơng trình x (2 3) x b) a) a= a Câu52 a) Có nghiệm trái dấu b) Có nghiệm âm phân biệt c) Có nghiệm dƣơng phân biệt d) Vô nghiệm Câu53 .Phƣơng trình x + m = có nghiệm và : a) m > b) m< c) m ≤ d) m ≥ Câu54 .Cho phƣơng trình (m –1)x + 3x – = Phƣơng trình có nghiệm ? a) m Câu55 phân biệt a) m ≤ Câu56 a) m< , m Với giá trị nào m thì phƣơng trình: mx 2(m 2) x m có b) m c) m d) m nghiệm b) m < c) m < và m ≠ d) m ≠ Cho phƣơng trình: mx 2(m 2) x m Phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt và tham số m thỏa điều kiện: b) m ≠ c) m d) m , m 0 Câu57 .Cho phƣơng trình ax2 bx c (1) Hãy chọn khẳng định sai các khẳng định sau : a) Nếu P < thì (1) có nghiệm trái dấu b) Nếu P > và S < thì (1) có nghiệm c) Nếu P > và S < và > thì (1) có nghiệm âm d) Nếu P > và S > và > thì (1) có nghiệm dƣơng Câu58 .Cho phƣơng trình ax2 + bx +c = (a khác 0) Mệnh đề sau đúng hay sai ? "Nếu phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt thì a và c trái dấu nhau." a) Đúng b) Sai Câu59 .Điều kiện cần và đủ để phƣơng trình ax2+bx+c = ( a khác 0) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu là : Lop10.com (7) Page of 50 P a) S P S c) b) d) .Cho phƣơng trình ax2+bx +c = (a khác 0) Phƣơng trình có hai nghiệm âm phân biệt và : a) > và P >0 b) >0 và P>0 và S>0 c) > và P >0 và S<0 d) >0 và S>0 Câu61 .Cho phƣơng trình x2 (2 5) x Hãy chọn khẳng định đúng Câu60 các khẳng định sau : a) Phƣơng trình vô nghiệm b) Phƣơng trình có nghiệm dƣơng c) Phƣơng trình có nghiệm trái dấu d) Phƣơng trình có nghiệm âm Câu62 .Với giá trị nào m thì phƣơng trình (m –1)x2 + 3x –1 = có nghiệm phân trái dấu : a) m > b) m < c)m d) Không tồn m Câu63 và là hai nghiệm phƣơng trình : a) x ( 3) x b) x ( 3) x c) x ( 3) x d) x ( 3) x Câu64 Cho phƣơng trình : x2 + x –260 = (1) Biết (1) có nghiệm x1 = 13 Hỏi x2 bao nhiêu? a) –27 b) –20 c) 20 d) Câu65 Tập nghiệm phƣơng trình : x 3x (1) là tập hợp nào sau đây ? a) ; 2 4 7 3 c) ; d) ; b) ; biệt 4 Câu66 Phƣơng trình x x có bao nhiêu nghiệm ? a) b) c) d) Vô số Câu67 .Cho phƣơng trình: |x – 2| = – x (1) Tập hợp các nghiệm phƣơng trình là tập hợp nào sau đây? a) {0, 1, 2} b) ( – ∞ , 2] c) [2, + ∞ ) d) N Câu68 .Phƣơng trình |5x + 2| = –|5x – 2| có bao nhiêu nghiệm? a) b) c) d) Vô số nghiệm Câu69 Tập nghiệm phƣơng trình a) S = 2 b) S = 1 x2 4x c) S = 0 ; 1 x2 = x là : d) Kết khác Câu70 Phƣơng trình sau có bao nhiêu nghiệm: x x a) b) c) d) Vô số Câu71 Trong các phƣơng trình sau, phƣơng trình nào có nghiệm? a) 3x + = –2 x b) x2 – x = + x c) x2 + = x + d) x2 + x + = Câu72 .Phƣơng trình x ( 65 3) x 2(8 63) có bao nhiêu nghiệm ? a) b) c) d) Câu73 .Phƣơng trình – x 2( 1) x (3 2) có bao nhiêu nghiệm ? a) b) c) d) Câu74 Phƣơng trình x có ngiệm là : a/ x = ; b/ x = 1; c/ x = ; x= -1; d/ x = Câu75 x x x Có ngiệm là : a/ Vô nghiệm ; b/ x = ; c/ x = ; d/ x= Câu76 Phƣơng trình x 2 có bao nhiêu nghiệm : a/ ; b/ ; c/ ; d/ Lop10.com (1) (8) Page of 50 Câu77 a/ ; Câu78 a/ x=1 ; Phƣơng trình x x 10 3x có bao nhiêu nghiệm : b/ ; c/ ; d/ Phƣơng trình x x có nghiệm là : b/ x = ; c/ x = ; d/ vô nghiệm Câu79 Phƣơng trình x x A Vô nghiệm; C Có nghiệm phân biệt; Câu80 Phƣơng trình A Vô nghiệm; B Có đúng nghiệm; B Có nghiệm phân biệt; D Có nghiệm phân biệt; x 1 x x C Có đúng nghiệm; D Có đúng nghiệm; Câu81 Với giá trị nào m thì phƣơng trình x 2mx 144 có nghiêm: A m<12; B 12 m ; C D m 12 hay m 12 ; m 12 hay m 12 ; Cho phƣơng trình: mx 2(m 2)x m Phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt và tham số m thỏa điều kiện: A m< , m B m 4 C m D m , m 5 Câu82 Cho phƣơng trình: (x 1)(x 4mx 4) Phƣơng trình có ba nghiệm phân biệt khi: A m R B m 3 C m D m 4 Câu83 Cho phƣơng trình: mx x m Tập hợp tất các giá trị m để phƣơng trình có hai nghiệm âm phân biệt là: 1 A ; B ; 2 1 C (0 ; 2) D 0; 2 Câu84 Phƣơng trình mx mx có nghiệm và khi: A m m B m C m m D m 4 Câu85 Cho phƣơng trình x x m Khẳng định nào sau đây là đúng: m A Phƣơng trình có nghiệm B Phƣơng trình có nghiệm m0 C Phƣơng trình có nghiệm m 2 D Phƣơng trình luôn vô nghiệm với m là: Câu86 Tập hợp nghiệm phƣơng trình x 2x 3 A ; B C 1 Câu87 D Tập hợp nghiệm phƣơng trình | x2 4x | x 4x là: Lop10.com (9) Page of 50 A (;1) C (;1] [3; ) B 1;3 D (;1) (3; ) Câu88 Phƣơng trình - x ( 3)x2 có: A nghiệm B nghiệm C nghiệm D nghiệm Câu89 Số -1 là nghiệm phƣơng trình nào ? C x2 4x 2x 5x 3x 5x D x3 A B Phƣơng trình sau có bao nhiêu nghiệm : Câu90 A 1 B D 7x A x B x x2 x3 C x2 Câu92 A 1;3 Câu93 A S = {-1} C S = Câu94 Câu95 a/ 4x x 2x 3x 4 phƣơng trình nào tƣơng đƣơng với phƣơng trình sau : Câu91 D C 3x x2 0 0 Tập nghiệm pt (x2 2x 3) x : B 1 C 1;1;3 Phương trình: D 1;3 x x x có tập nghiệm là: 3 B S = 5 3 D S = 1; 5 Hãy tìm nghiệm kép phƣơng trình : x2 - (m + 2) x + m + = nó có nghiệm kép 2 a/ -1 b/ c/ d/ 3 Khi phƣơng trình : x - 4x + m + = có nghiệm thì nghiệm còn lại : b/ c/ d/ kết khác Lop10.com (10) Page 10 of 50 II Phƣơng trình tƣơng đƣơng , phép biến đổi tƣơng đƣơng Phương trình tương đương Hai phương trình (cùng ẩn) gọi là tương đương tập nghiệm chúng (có thể là rỗng) Nếu cùng tập xác định D thì gọi là tương đương trên D Nếu hai phƣơng trình: f1(x) = g1(x) và f2(x) = g2(x) tƣơng đƣơng, ta viết : f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x) 15 Ví dụ 1: phƣơng trình 2x-5=0 và 3x =0 tƣơng đƣơng vì cùng có nghiệm x= 2 Ví dụ 2: với x>0 thì hai phƣơng trình x =1 và x=1 tƣơng đƣơng Phép biến đổi tương đương: phép biến đổi phương trình xác định trên D thành phương trình tương đương gọi là phép biến đổi tương đương trên D (ta dùng dấu "" để tƣơng đƣơng các phƣơng trình) 15 Ví dụ: 2x-5=0 3x =0 Lop10.com (11) Page 11 of 50 * Các phép biến đổi tương đương phƣơng trình: Định lí : Cho phương trình f(x) = g(x) có tập xác định D h(x) xác định trên D thì phương trình: f ( x) g ( x) f ( x) h( x) g ( x) h( x) f ( x) g ( x) f ( x)h( x) g ( x)h( x) h(x) với x D Hệ : Nếu chuyển biểu thức từ vế phƣơng trình sang vế và đổi dấu nó thì ta đƣợc phƣơng trình tƣơng đƣơng với phƣơng trình đã cho * Chú ý: Nếu vế phương trình luôn cùng dấu thì bình phương hai vế nó, ta phương trình tương đương Ví dụ 1: Phƣơng trình hệ a) Định nghĩa: f1(x)=g1(x) gọi là phương trình hệ phương trình f(x)=g(x) tập nghiệm nó chứa tập nghiệm phương trình f(x)=g(x) Khi đó ta viết: f(x)=g(x) f1(x)=g1(x) b) Phép biến đổi cho phƣơng trình hệ : Khi bình phƣơng hai vế phƣơng trình ta đến phƣơng trình hệ * Chú ý: Phương trình hệ có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm phương trình ban đầu Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai Khi đó ta phải thử lại các nghiệm để loại bỏ các nghiệm ngoại lai x x 3x Ví dụ 1: Giải phƣơng trình (1) x x x2 Điều kiện pt(1) là x≠2 và x≠2 (1) (x+2)2+(x2)2= 3x+7 Hoặc: Với điều kiện x≠2 và x≠2 thì (1)(x+2)2+(x2)2= 3x+7 (???) Ví dụ 2: a) |x2|=x+1 (x2)2=(x+1)2 b) x =x x1= x2 Ví dụ 3: Giải phƣơng trình x x (3) Giải Điều kiện x≥ Bình phƣơng hai vế phƣơng trình (3) x24x+4 = x x25x+4=0 (3') Phƣơng trình (3') có nghiệm x=1 x=4 Thử lại vào phƣơng trình (3), ta thấy x=1 không phải là nghiệm (3) và x=4 là nghiệm Vậy pt(3) có ngiệm x=4 BÀI TẬP ÁP DỤNG 1/ Tìm điều kiện các phƣơng trình 2x x4 1 x 3 x a) b) x 4 x2 x2 3x x c) x d) x 2x 1 e) x x 1 x3 f) 2x x 1 x2 Đáp số a) x≤ 3, x≠ ± b) Không có giá trị x thỏa c) x≥1/2 và x≠0 f) x≥1 và x≠2 2/ Chứng tỏ các phƣơng trình sau vô nghiệm 3x x3 a) b) x x x x 3) Giải các phƣơng trình sau Lop10.com d) x Re) x>1 (12) Page 12 of 50 x 5 x 2 x 5 2x2 d) x 1 x 1 c) Vô nghiệm x 1 x x 1 2x 1 x3 c) x3 x3 ĐS: a) x=3 b) Vô nghiệm 4) Giải các phƣơng trình sau a) x x x a) b) d) x=2 b) x x x c) x x x d) x x x 3x x 3x 4 x4 e) f) x 1 x4 x 1 x2 3x x 3x g) h) x x 1 x 1 3x Đáp số: a) x=2 b) x=3 c) VNo d) x=2 e) VNo f) x=0 và x=2 g) x=4/3 h) x=2 2 5) Cho phƣơng trình (x+1) =0 (1) và ax (2a+1)x+a=0 (2) Tìm a để (1) tƣơng đƣơng (2) HD Giả sử (1)(2) thì x= 1 (1) là nghiệm Thế x=1 và (2) ta tìm a=1/4 Khi a=1/4 vào (2) (x+1)2=0 Vậy (1) (2) 6) Tìm m để các cặp pt sau tƣơng đƣơng mx 3m a) x+2=0 và x3 b) x29=0 và 2x2+(m5)x3(m+1)=0 c) 3x2=0 và (m+3)xm+4 d) x+2=0 và m(x2+3x+2)+ m2x+2=0 Đáp số: a) m=1 b) m=5 c) m=18 d) m=1 BÀI TẬP (Đại cƣơng phƣơng trình) 1/ Tìm điều kiện xác định phƣơng trình sau suy tập nghiệm nĩ a) x x b)3x x x c) 3 x x x3 x 3 d )x x 1 x 2/Giải các phƣơng trình sau a) b) x x x 1 x x 1 c) x x x 3x e) f) x 1 x 1 3x x 3x g) 3x x2 x3 x 1 i) x 1 x 1 3/ Giải các phƣơng trình sau 2x 1 x 1 x 1 c) ( x 3x 2) x a) x x 3 3 d) x x x x 3x x4 x4 x2 h) x x 1 x 1 2x x2 x2 d ) ( x x 2) x b) x Lop10.com (13) Page 13 of 50 4/ Giải các phƣơng trình sau cch bình phƣơng hai vế a) x 2x b) x x c) | x | x d ) | x | x 5/ Tìm nghiệm nguyên phƣơng trình sau cách xét điều kiện a) x - = x - x b) x = x + 2 6/Cho phƣơng trình (x+1)2 =0 (1) và ax2(2a+1)x+a=0 (2) Tìm a để (1) tƣơng đƣơng (2) 7/ Tìm m để các cặp pt sau tƣơng đƣơng a) x+2=0 và mx 3m x3 b) x29=0 và 2x2+(m5)x3(m+1)=0 c) 3x2=0 và (m+3)xm+4 8) Giải các phƣơng trình sau a) x x 5 x 3 x 3 x2 4x d) x 2 x 2 b)2 x 3x x 1 x 1 2x2 x e) 2x 2x 2x 24 x2 g) h) x x x x2 x 1 x 1 10 50 c /1 x2 x (2 x)( x 3) c) x x 3x x x x2 x 3x 2x f) 2x i) x2 x x 1 =0 j) x x 3x x x x2 §2 PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI I Phƣơng trình bậc nhất, phƣơng trình bậc hai Phƣơng trình bậc Giải và biện luận phương trình dạng ax+b = b a ≠ 0: Phương trình có nghiệm x= a a = và b ≠ 0: Phương trình vô nghiệm a = và b=0: Phương trình nghiệm đúng với x (vô số nghiệm) * Chú ý: + Trước giải và biện luận phương trình bậc ta phải đưa phương trình dạng ax+b = + biện luận a=0 thì thay giá trị m vừa tìm vào b + Khi a thì phương trình ax+b = gọi là phương trình bậc ẩn Ví dụ Giải và biện luận phƣơng trình : m(x - m ) = x + m - Giải (1) Phƣơng trình (1) (m - 1)x = m2 + m – (1a) Ta xét các trƣờng hợp sau đây : + Khi (m-1) ≠ m ≠ nên phƣơng trình (1a) có nghiệm m2 m x= = m – ;nên pt(1) có nghiệm m 1 +) Khi (m – 1) = m = phƣơng trình (1a) trở thành 0x = 0; phƣơng trình nghiệm đúng với x R; nên pt(1) đúng với x R Kết luận : m ≠ : nghiệm là x= m-2 (Tập nghiệm là S = {m - 2}) Lop10.com (14) Page 14 of 50 m = : đúng x R (Tập nghiệm là S = R) Ví dụ 2: Giải và biện luận phƣơng trình: m(x-1) = 2x+1 (2) Giải Ta có (2) mx-m = 2x+1 (m-2)x = m+1 (2a) (có dạng ax+b =0) Biện luận: m 1 + m-2 0 m thì (2a) có nghiệm x m2 + m-2= 0 m = thì (2a) trở thành 0x=3; pt này vô nghiệm, nên (2) vô nghiệm Kết luận: m 1 m thì (2) có nghiệm x m2 m=2 thì (2) vô nghiệm Ví dụ 3: Giải và biện luận phƣơng trình m2x+2 = 2m-2 (3) Giải Ta có: (3) m2x-x = 2m-2 (m2-1)x = 2(m-1) (3a) Biện luận: + Nếu m2-1 m thì (3a) có nghiệm 2(m 1) x ; nên (3) có nghiệm m 1 m 1 + Nếu m2-1=0 m= - với m=1 :(3a) có dạng 0x= 0, (3a) đúng với x R (phƣơng trình có vô số nghiệm), nên (3) có vô số nghiệm - với m=-1: (3a) có dạng 0x=-4; (3a)vô nghiệm, nên (3) vô nghiệm Kết luận: + m≠1 và m≠ -1 thì (3) có nghiệm x m 1 + m =1 thì (3) có vô số nghiệm + m= -1 thì (3) vô nghiệm Ví dụ 4: Giải và biện luận phƣơng trình sau theo tham số m : mx m 1(*) x 1 Giải Với x -1 thì (*) mx-m-3 = x+1 (m-1)x = m+4 (**) Biện luận (**) với x -1 m4 m4 1 1 m + Nếu m thì (**) có nghiệm x m 1 m 1 + Nếu m=1: (**) 0x=4, vô nghiệm Kết luận : m4 m và m thì (*) có nghiệm x= m 1 1 m thì (*) vô nghiệm Ví dụ 5:giải và biện luận phƣơng trình theo tham số m: mx 3x m (1) Giải mx 3x m (2) Ta có (1) mx -3x - m (3) Lop10.com (15) Page 15 of 50 + giải và biện luận (2) (2) (m-3)x= m-3 m thì (2) có nghịêm x=1 m=3 thì (2)0x = =>(2) có vô số nghiệm + giải và biện luận (3) (3)(m-3)x=-m+3 m 1 m -3 thì (3) có nghiệm x= m3 m = -3 thì (3) 0x=4, vô nghiệm Kết luận: - với m và m -3 : (1) có hai nghiệm x1=1 và x2 = m 1 m3 - với m=3: (1) có vô số nghiệm - với m=-3:(1) có nghiệm x=1(vì thỏa phƣơng trình (2) ) Phƣơng trình bậc hai (nhắc lại cách giải phƣơng trình bậc hai) Giải và biện luận phương trình dạng ax2+bx+c = a= :Trở giải và biện luận phương trình bx + c = a ≠ Lập = b2 4ac (hoặc ’=b’2-ac) Nếu > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt b b x= v x= 2a 2a b Nếu = : phương trình có nghiệm kép : x = 2a Nếu < : phương trình vô nghiệm Ví dụ 1: Giải và biện luận phƣơng trình mx2-2(m+1)x+m+1 = Giải Phƣơng trình cho đã có dạng phƣơng trình đã học Biện luận: Nếu m = ( thay m = vào phƣơng trình ta đƣợc -2x+1= => x= Nếu m , tính ' = m+1, đó : + ' < m < -1 pt vô nghiệm + ' = m = -1 pt trình có nghiệm kép x1=x2 = + ' > m > -1 pt có hai nghiệm phân biệt x1,2 = m 1 m 1 m * Kết luận: Ví dụ 2: Định m để phƣơng trình mx2-2(m-2)x+m-3 = có nghiệm Định lí Viét Nếu phương trình bậc hai ax2+bx+c = (a 0) có hai nghiệm x1, x2 thì tổng (S) và tích (P) hai nghiệm đó là: b c S = x1+x2 = P = x1.x1 = a a Ngược lại, hai số u, v có S=u+v; P=u.v thì u, v là nghiệm phương trình x2-Sx+P = Ví dụ 1: tìm hai số biết S =19 , P = 84 Giải Hai số cần tìm là nghiệm phƣơng trình bậc hai x2-19x+84 = ,pt này có hai nghiệm x1 x1 hai số cần tìm là và 12 x2 12 x2 12 Lop10.com (16) Page 16 of 50 * Chú ý: điều kiện để phƣơng trình x2-Sx+p =0 có nghiệm là S2 4P Đây là điều kiện để tồn hai số có tổng là S, tích P * Ứng dụng x12 x22 ( x1 x2 ) x1 x2 S P 1 S x1 x2 P x13 x23 ( x1 x2 )3 3x1 x2 ( x1 x2 ) S 3PS x14 x24 x12 x22 x12 x22 =(S22P)22P2 Ví dụ 1: Cho phƣơng trình x24x+m1= Xác định m để phƣơng trình có hai nghiệm x12 x22 =10 Điều kiện pt có nghiệm '≥0 5m≥0 m≤5 S22P = 10 m =4 Ví dụ 2: Xác định m để phƣơng trình x2-4x+m-1= có hai nghiệm x1, x2 thỏa xệ thức x13 x23 40 Giải Phƣơng trình có nghiệm ' m Theo giả thiết x13 x23 40 S3-3PS=40 64-12(m-1)=40 m= (nhận) Ví dụ 3: Tìm m để phƣơng trình x1,x2 thỏa mãn : x 2(m 1) x m2 có hai nghiệm x1 x2 3 x2 x1 Ví dụ 4: Định m để phƣơng trình x 2(m 1) x m 3m có hai nghiệm phân biệt 2 x1 , x2 thỏa : x x Ví dụ 5: Giải các phƣơng trình sau : ba// 3x x x cb// 3x x x x LT Câu 1Giải các phƣơng trình và các hệ phƣơng trình sau: a) x x b) x2 5x x b) c) x x x x 2 x y e) 6 x y d) 3x x x Câu Cho phƣơng trình m 1 x 2(m 1)x m Tìm giá trị m để phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x cho 4(x1 x ) 7x1x Câu 3: Giải các phƣơng trình sau : a) 2x x2 x b) x2 2x x2 20 x2 x2 Lop10.com c) x 1 1 x (17) Page 17 of 50 Câu 4: Giải phƣơng trình a) x x x 10 x x b) Câu 5: Giải các phƣơng trình sau: 1) x 3x x 2) x 3x x 3) x x x x 17 Câu 6: Cho phƣơng trình: x 2mx m 3m Định m để phƣơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó Định m để phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12 x22 2 Câu 7: Giải các phƣơng trình sau: a) b) x 1 x3 3x x2 6x x 1 Câu 8: m2 x 1 mx a)Giải và biện luận phƣơng trình theo tham số m : b) Cho phƣơng trình ẩn x : m 1 x 2mx m Tìm m để phƣơng trình có nghiệm kép và tính nghiệm kép với m vừa tìm đƣợc Câu 9: Giải các phƣơng trình a) x x x 17 b) x 3x x Giải và biện luận phƣơng trình: m2 x m x 1 Câu10 Cho phƣơng trình: m 1 x m 1 x m Câu11 a) Định m để phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 b) Định m để hai nghiệm x1, x2 thỏa: x12 +x22 = 36 Câu12 x 1/ Giải các phƣơng trình sau : 2x x 1 x 1 2/ xm x2 x 1 x 1 3/ x x 1 6/ 3x 3 x 1 x 1 Giải các phƣơng trình: a) 5x x Câu14 4/ m 3x 2mx m 5/ x x2 5 x Câu13 x b) x 1 x Tìm m để phƣơng trình: x2 m 2 x m 1 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa : x12 m 3 x1 x2 1 3x1 m Câu15 Cho phƣơng trình mx2 – 2(m + 1)x + m + = Tìm các giá trị tham số m để phƣơng trình có nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm –1 Lop10.com (18) Page 18 of 50 Tìm m để phƣơng trình: x x 2m có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa Câu16 x1 x1 x2 x2 Cho phƣơng trình : x x m a) Định tham số m để phƣơng trình có nghiệm x = 3; Tính nghiệm còn lại b) Định m để phƣơng trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa: x1 x2 2x1x2 Câu17 Câu18 Giải phƣơng trình 3x x 2x a) Giải phƣơng trình sau: Câu19 a) x 11 x 3 x 1 c) 3x2 3x x2 x b) b) x x 10 x x 14 x x x 27 x 5x d) 3x x 3x Giải các phương trình sau : Câu20 2x x 3 a) x 1 x 1 x2 2x x 1 b) d) x 3x Cho phƣơng trình: (m+2)x2 – 2(m–1)x + m– = (m là tham số ) = x2 + 5x + c) Câu21 Tìm tất các giá trị m để phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa: x21 x22 Câu22 Tìm tham số m để phương trình x2 4x m có hai nghiệm dương phân biệt Câu23 Giải các phương trình sau: 1) x 2x 2) x 5 x 1 x2 9 85 3) 2x x 4) (4 x 1) x2 2x2 2x 5) 15 x 16 x 6) x 8) x x x 11) x 14) x x x 17) x 3x x2 x x x Câu24 x2 15) x 7) 9) x x x 12) 3x 3 x 1 x 1 18) 2x x x x x x x 2x x 2x x2 x 10) x x 1 x 2x x x 16) x 13) 5x x x 3x x 3x 2x 1 Tìm tất các giá trị tham số m để phương trình nghiệm phân biệt Lop10.com x(x 3m) m có hai x 1 (19) Page 19 of 50 Câu25 Câu25 Câu26 Giải và biện luận phƣơng trình sau theo giá trị tham số m: m 3x m 1 Giải các phƣơng trình sau: a) x 3x 2x b) 3x x 2x Cho phƣơng trình x m x m Tìm m để phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x thỏa x1 x 2x1.x Câu27 x1,x2 Câu28 P Tìm m để phƣơng trình thỏa mãn : Câu29 x1 x2 3 x2 x1 Cho pt : x 12 10 x1 x2 x 2(m 1) x m2 có hai nghiệm x 21 m x 2m Tìm m để pt có nghiệm pb x1 , x2 cho x 2 đạt GTLN Cho pt x 3m x2 3m Tìm m để pt có nghiệm pb nhỏ Cho phƣơng trình: x2 2(m 1) x m2 3m Tìm m để phƣơng trình có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa hệ thức x x 3x x 12 Câu30 Câu31 Cho phƣơng trình mx m x m Tìm m để phƣơng trình có hai nghiệm thỏa x1 1 x2 1 5 * Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai Giả sử phƣơng trình bậc hai có hai nghiệm x1,x2 thì: x1< < x2 P < (hai nghiệm trái dấu) P x1 x2 < ( hai cùng âm) S P < x1 x2 (hai cùng dƣơng) S Ví duï: cho phöông trình x2+5x+3m-1 = (1) a) Định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Định m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt Giaûi a) pt(1) coù hai ngheäm traùi daáu c P < 3m m < a P 3m b) để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt 25 12 m S m 29 m 12 m 29 12 vaäy 29 m thì pt(1) coù hai nghieäm aâm phaân bieät 12 Lop10.com (20) Page 20 of 50 II Phƣơng trình quy phƣơng trình bậc nhất, bậc hai Phương trình trùng phương Phƣơng trình dạng ax4 + bx2 + c =0 Cách giải: + đặt t=x2, đk: t≥ + Giải phƣơng trình: at2 + bt + c=0 + kết hợp điều kiện x Ví dụ: Giải phƣơng trình x48x29 = Đặt y = x2 , y Khi đó: y -1 (loại) (*) y2-8y-9 = y với y = x2 = x = Ví dụ 2: Cho phương trình x4+(1-2m)x2+m2-1 = Định m để : a) Phöông trình voâ nghieäm b) Phương trình có đúng nghiệm c) Phương trình có đúng nghiệm phân biệt d) Phương trình có đúng nghiệm phân biệt e) Phương trình có đúng nghiệm phân biệt Lop10.com (21)