HSG lop 10Vong 1 Tran Nhan Tong

[r]

(1)

SỞ GD & ĐT ĐĂL LĂK ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT TRẦN NHÂN TƠNG MƠN: TỐN 10 (Vịng 1) Năm học: 2011 – 2012 Thời gian: 180 phút

Câu 1(3 điểm)

Cho phương trình (m 1)x2 2(m 2)x m 1 0

      (m1) a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1,

b) Gọi A(x1a x).( a).Tìm a cho A khơng phụ thuộc vào m Khi tính giá trị A

Câu 2(4 điểm )

a)Giải phương trình 1 x  3 x 3x1 b)Tìm GTLN y 



x

 

x



x





a)Tìm m để bất phương trình 4 x2 m x

   vô nghiệm

b)Giải hệ:

2 2

3

x y y xy x

  



  

Câu 4(6 điểm)

Cho tam giác ABC có cạnh a,b,c.Gọi R,r tâm đường tròn ngoại tiếp,nội tiếp tam giác

a)CMR: 1 1

2

ab bc ca   Rr

b)Gọi G giao điểm hai đường trung tuyến AM BN.Biết tứ giác GMCN nội tiếp đường tròn,CMR: a2 b2 2c2

 

c) Giả sử tam giác ABC nhọn,CMR: ma  R RcosA (malà đường trung tuyến hạ từ A tam giác ABC )

Câu 5(3 điểm)

Cho a,b,c số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a b b c c a

ab c bc a ca b

  

  

  

(2)

ĐÁP ÁN MƠN TỐN 10(Vịng 1) Câu 1(3 điểm)

a) m 0 0m1

b) 2 2

2 ( 2)

( )

( 1)

a m

A x x a x x a a

m



      

 A không phụ thuộc m a = 0 A1 Câu 2(4 điểm)

a)1 x  3 x 3x1

ĐK:

3

x

2

3 ( 1)( 1)

3

Pt x x x x

x x

x

          

  

 

b)y 



x

 

x



x





y

x

  

Áp dụng Côsi :(3x3) (3 x3) (6 ) (6 ) (6 ) 72  x   x   x  y

13 13

5

3

min

8.5 8.5

y y

   

5

x

Câu 3(4 điểm)

a)ĐK:  2 x

Bpt: 4 x2 m x

    x 4 x2 m

Ta có x 4 x2 2 min(x 4 x2) 2

      

Bpt vô nghiệm khi: m <-2 b)ĐK:x > 0,y >

2 2

3 2(1)

3 2(2)

x y y xy x

  



  

Từ (1),(2) (x y )(3xy x y  ) 0  3x yxy x y 0 0

  

 Với x = y,(1) 3x3 x2 2 0 x 1

     

Với 3xy + x + y = 0(vơ nghiệm x > 0,y > 0) KL: x = y =

Câu 4(4 điểm)

a) 2

4

a b c p p

VT

abc R S R pr R r

 

(3)

b) Vì tứ giác GMCN nội tiếp nên BG.BN=BM.BC 2

3BN 2BC

  4BN2 3BC2

 

2a2 2c2 b2 3a2

   

2c2 a2 b2

  

c)Vì tam giác nhọn nên tâm O nằm tam giác Xét AOM ta có:AMAO + OM  ma  R OM(1)

Góc ˆ ˆ ˆ

2

A BOC  BOM

Từ (1),(2) ma  R RcosA.Dấu xảy tam giác

Câu 5(3 điểm)

*Biến đổi a bab c  ab11cb a  (1 1a)(1c b)

     

*Từ VT  (1 1a)(1c b) (1 1c)(1b a)  (1 1c)(1a b)

     

Do a,b,c dương a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương

*áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta

3 1

3

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

c b a

VT

a b c a c b

  



      =3 (đpcm)

Đẳng thức xảy

3

a b c  

SỞ GD & ĐT ĐĂL LĂK ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG OM

ˆ osA=cos(BOM)=

cos (2)

c

OB

OM R A



(4)

TRƯỜNG THPT TRẦN NHÂN TƠNG MƠN: TỐN 10 (Vịng 2) Năm học: 2011 – 2012 Thời gian: 180 phút

Câu 1(4 điểm)

a) Nếu 1,2,3 ba nghiệm phương trình x4 ax2 bx c 0

    Tính a + c

b) Tìm m để bất phương trình (m1)x2 2mx4(m1) 0, x Câu 2(4 điểm)

a)Tìm GTLN GTNN hàm sớ

2

1 x x y

x x    

  b)Giải phương trình:5 x3 1 2



x



   .

Câu 3(4 điểm)

a)Tìm m để phương trình x3 3x2 2x 2m 1 0

     có nghiệm x x x1, ,2

sao cho x1x3 2x2

b)Giải hệ phương trình:

2 2

3 2 2

x xy

x xy y x

    

 

  

Câu 4(6 điểm)

Cho tam giác ABC có cạnh a,b,c,S diện tích tam giác ABC a) CMR:

2 2

cot cot cot

4

a b c

gA gB gC

S

 

  

b) Tính diện tích S nếu: b.sinC( b.cosC + c.cosB ) = 20 c) Tìm điểm M cho MA2 MB2 MC2

  đạt giá trị nhỏ Câu 5(2 điểm)

Cho a, b, c ba số thực dơng thỏa mÃn abc =

CMR: 2 2 2 2 2 2

2 3

a  b  b  c  c  a  

………HẾT…………

(5)

Câu 1(4 điểm)

a) Vì 1,2,3 nghiệm nên ta có:

1 25

4 16 60 61

9 81 36

a b c a

a b c b a c

a b c c

                            

b)Bpt có nghiệm với x / 2

3

0

m m m m m                   

Câu 1(4 điểm) a) TXD: D=R Ta có

2

1

x x x x

y

x x x x

    

 

    ( Vì:

2

2x x 0, x)     

2

(y 2)x (1 y x y)        (*)

1

3

y x 

   

2 y

  ,PT (*) có nghiệm 0 3 14 7 0 28 28

3

y y  y 

         

KL:min 28, ax 28

3

y   m y 

b)ĐK: x1.





















3 2

5 x  1 x 2  x1 x  x1 2 x  x1 2 x1

2 2

1

x x

x x x x

 

   

   

Đặt 2 ,

1 x t t x x   

  Phương trình trở thành

2

2 1

2 t t t t            Với t=2: Phương trình đã cho vơ nghiệm

 Với t12: Phương trình đã cho có nghiệm 37

2

x  

Câu 1(4 điểm)

a)Ta có

3

2

b

x x x x m

a



       

Với

2

(6)

3 3 2 4 0 ( 1)( 2 4) 0

1

x x x x x x

x x x               

Vì (1 5) (1 5)

2

  

 nên

2

m (nhận )

b) Nhận xét x0

Hệ x3 2xy2 y x( xy) x x2 y2 xy 1

        

Từ ta có

2 2

1

x y xy

x xy           Đặt y=kx,ta

2 2

1

(1 )

1

(1 )

2

k

x k k

k x k              1, 1 1, , 3

1

,

2 3

2 , 3 x y k x y x y

k x y

x y                   

Câu 1(4 điểm) a) Ta có

2 2 2

osA cot

sinA sin

c b c a b c a

gA

bc A S

   

  

Tương tự

2 2 2

cot ,cot

4

a c b a b c

gB gC dpcm

S S

   

  

b)Ta có b.sinC( b.cosC + c.cosB ) = 20

2

4 sin sin (sin cos osBsinC)=20

2 sin sin sin 10 10

R B C B C c

R B C A S

 

   

c) Gọi G trọng tâm tam giác ABC,ta có

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

min

( ) ( ) ( )

3 ( )

( ) M G

MA MB MC MG GA MG GB MG GC

MG MG GA GB GC GA GB GC GA GB GC

MA MB MC GA GB GC

                                                                                                                

(7)

Giải:

Ta cã a2+b2  2ab, b2+  2b 

2 2 2

1 1

2 2

a  b  a b b    ab b 

T¬ng tù

2 2

1

,

2

3 2

1

2

3 2

1

b



c





bc c

 

c



a





ca a

 



 



1

2

1

2

1

2

ab

b

P

ab b

bc c

ca a

ab b

b

ab

ab b











 



1

2

P

