[r]
(1)§Ị thi häc sinh giái
Năm học : 2006-2007
Môn thi : Toán Thêi gian : 120’
Bµi : Cho biÓu thøc :
P =
1
3 1
x x x x
x a) Rót gän biÓu thøc P
b) Chøng minh r»ng : P
Bài : Giải phơng tr×nh : + 2x1 = x
Bài : Chứng minh K thay đổi , đờng thẳng sau qua điểm cố định Tìm điểm cố định
y = (k-1)x +3k -
Bµi : Cho a; b ; c ; d số thực dơng có tæng b»ng Chøng minh r»ng :
1
2
2
d a
d d c
c c b
b b a
a
Bài : Cho hình vng MAKE nội tiếp tam giác ABC vuông A , cho KBC ; EAC ; MAB , cạnh hình vng tỉ lệ với bán kính đờng trịn nội tiếp tam giác ABC theo tỉ số
2 2
a) Gọi O tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh : OA = OK
AB = BK
b) TÝnh B, C cña ABC
(2)
đáp án
Bµi : (2 ®iĨm)
a) Điều kiện để P có nghĩa : x0 Đặt x = a (a0) ta có :
P =
a a
a
a 1
2 1 P = ) ( 1 ) ( 3 3 a a a a a a a a a a P =
2 a a
a
VËy P =
1
x
x x
b) Ta cã : x x1= ( x
-2
)2 +
4
>0 Do : P =
1 x x x 0 XÐt 1-P = 1-
1
x
x x
=
1 ) ( P x x x Vậy 0P1
Bài : (1 điểm) : 2+ 2x1x 2x1x-2 (*)
§K : 0 2 0 1 2 x x 2 2 1 x x
x2
(*) 2x-1 = (x-2)2 x2-6x+5 = (x-1)(x-5) =
+ x-1=0 x=1 (Kh«ng tháa m·n) +x-5 =0 x=5 (tháa m·n)
VËy nghiệm phơng trình x=5
Bài : (2 ®iĨm)
Giả sử đờng thẳng y = (k-1)x +3k - qua điểm A(m, n)với k : n = (k-1)m +3k - với k
n = km - m +3k - víi mäi k (m+3)k - (m+n+2) = víi mäi k 0 2 0 3 n m m 1 3 n m
Vậy điểm cố định : A(-3;1)
Bài : (2 điểm) : áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có :
a b a b a a b a b a a
2
T¬ng tù : b c b c b b c d c d c c d a d a d d
(3) b a
a2
c b
b2
d c
c2
a d
d2
d c b a d c b a
2
b a
a2
c b
b2
d c
c2
a d
d
2
2
Bài : (3 điểm)
a) Đặt cạnh hình vuông a Xét AMK có OH//KM
áp dụng định lý Ta - let ta có :
2 1 1
OA OK R
a AO AK a
R AK AO MK
OH AK AO
OK OA
Xét ABK có BO đờng phân giác AB BK BK
AB OK OA
2
b) Xét AHO vuông H : A1=450 AHO vuông cân AH = Ho = R
¸p dơng Pitago ta cã : OA2 = OH2+AH2=2R2 OA= 2.R
mà theo câu a) OA 2.OK OK R bán kính đờng trịn nội tiếp ABC OKBC
ABC vuông cân B = C = 450
(4)