Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng P, vuông góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới bằng 42.. Giải hệ phương trình..[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 145 ) I PHẦN CHUNG (7 điểm) (Cho tất các thí sinh) Câu (2đ) Cho hàm số: y = 2x3 - 3x2 + (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Tìm trên (C) điểm M cho tiếp tuyến (C) M cắt trục tung điểm có tung độ xy 18 12 x Câu (2đ) Giải hệ phương trình: xy y x Giải phương trình: + ( x - 12).3x + 11 - x = Câu (1đ) Tính thể tích khối chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a và khoảng cách cạnh bên và cạnh đáy đối diện m Câu (1đ) Tính tích phân: I [ x(2 x) ln(4 x )]dx Câu (1đ) Cho tam giác ABC, với BC = a, CA = b, AB = c a (a c) b 1 Thoả mãn hệ điều kiện: CMR: sin A sin B sin C b(b a ) c II PHẦN RIÊNG (3đ) (Thí sinh làm hai phần) Theo chương trình chuẩn: Câu 6a (2đ) Trong mặt phẳng (oxy) cho đường thẳng (d): 3x - 4y + = và đường tròn (C): x2 + y2 + 2x 6y + = Tìm điểm M (C) và N (d) cho MN có độ dài nhỏ Trong không gian (oxyz) cho hai mặt phẳng: (P1): x - 2y + 2z - = x2 y z4 (P2): 2x + y - 2z - = và đường thẳng (d): 1 2 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P1), (P2) Câu 7a (1đ) Đặt: (1 - x + x2 - x3)4 = a0 + a1x + a2x2 + + a12x12 Tính hệ số a7 Theo chương trình nâng cao Câu 6b (2đ) Trong mặt phẳng (oxy) cho đường tròn (C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = và điểm 1 7 M , Tìm trên (C) điểm N cho MN có độ dài lớn 5 5 Trong không gian (oxyz), cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 4y - 2z + = và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - = Tìm điểm M (S), N (P) cho MN có độ dài nhỏ Câu 7b (1đ) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số: 3x x f ( x) x 0, và f (0) ; điểm x0 = x Lop10.com (2) ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 145 ) I PHẦN CHUNG (7 điểm) ĐIỂM Câu (2đ) y = 2x3 - 3x2 + 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) * TXĐ: R + Giới hạn: lim y = , lim y = * Sự biến thiên: x 0,25đ x + Bảng biến thiên: y’ = 6x2 - 6x = 6x (x - 1) x 0; ( y 1) y' = x 1; ( y 0) 2) 0,25đ Lập BBT; nêu đúng các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị * Đồ thị: (tự vẽ), rõ ràng, đầy đủ, chính xác Tìm M (C) ? Giả sử M (x0; y0) (C) y0 = 2x03 - 3x02 + Tiếp tuyến ( ) (C) M: y = (6x02 - 6x0) (x - x0) + 2x03 - 3x02 + ( ) qua điểm P(0 ; 8) = -4x03 + 3x02 + 0,25đ 0,25đ 0,25đ (x0 + 1) (4x02 - 7x0 + 7) = 0,25đ x0 = -1 ; (4x0 - 7x0 + > 0, x0) 0,25đ Vậy, có điểm M (-1 ; -4) cần tìm Câu (2đ) 1) 0,25đ xy 18 12 x 12 x x Giải hệ: xy y x y y x 3 x xy 18 0,25đ x 3;2 , tương ứng y 3;3 Thử lại, thoả mãn hệ đã cho Vậy, x; y 3;3 , 3;3 2) 0,25đ x 123 Giải phương trình: x x 0,25đ 0,25đ 11 x 3 x x x (a + b + c = 0) x 3 11 x f ( x) x 11 0(*) f ' ( x) x ln 0, x (*) có nghiệm x = f (2) Vậy, tập nghiệm phương trình: S = {0 ; 2} Câu (1đ) S N A C O M B SO (ABC) Lop10.com 0,5đ 0,25đ 0,25đ (3) S.ABC chóp AO BC M O là tâm tam giác ABC AM BC BC (SAM ) SO BC Trong SAM kẻ đường cao MN MN = m AO a a 3a AM AO sin 60 2 SO h SA SO AO h h a2 3a 4m h SA.MN = SO.AM 2am 3a 4m 2 0,25đ 2 am m a a ; và S(ABC) = 0,25đ 0,25đ m a a 3m V S ( ABC ).h 3a 4m 0,25đ Câu (1đ) Tính tích phân 2 I x(2 x) dx + ln(4 x )dx = I1 I 0 2 0 I1 x(2 x) dx ( x 1) dx (sử dụng đổi biến: x 1 sin t ) 0,25đ x2 dx (Từng phần) x I ln(4 x )dx x ln(4 x ) |02 2 0,25đ ln (đổi biến x tan t ) I I1 I 0,25đ 3 ln 2 0,25đ Câu (1đ) a (a c) b (1) ABC: b(b a ) c (2) (1) sin2A + sinAsinC = sin2B sinAsinC = (Đl sin) (cos2A - cos2B) sinAsinC = sin(A + B) sin (B -A) sinA = sin (B - A) ; (sin (A + B) = sin C > 0) A = B - A ; (A, B là góc tam giác) B = 2A 0,25đ Tương tự: (2) C = 2B A + B + C = , nên A = ;B= 2 4 ;C= 7 4 2 3 sin sin sin cos 1 7 7 Ta có: = 3 sin B sin C sin sin sin cos sin 7 7 Lop10.com 0,25đ 0,25đ (4) = sin sin A (đpcm) 0,25đ II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Chương trình Câu 6a (2đ) 1) Tìm M (C), N (d)? (d): 3x - 4y + = (C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = Tâm I (-1 ; 3), bán kính R = d (I ; d) = (d) (C) = Ø Giả sử tìm N0 (d) N0 là hình chiếu vuông góc I trên (d) I (1;3) N0 = (d) , với: (d ) u 3;4 0,25đ x 1 3t 1 7 : N0 ; 5 5 y 4t 0,25đ 11 Rõ ràng (C) = {M1; M2} ; M1 ; ; M2 5 19 ; 5 M0 (C) để M0N0 nhỏ M0 M1 và M0N0 = 0,25đ Kết luận: Những điểm cần tìm thoả mãn điều kiện bài toán 11 M ; ; N 5 1 7 ; 5 5 0,25đ 2) Phương trình mặt cầu (S) ? (P1): x - 2y + 2z - = (P2): 2x + y - 2z - = Giả sử I (x0 ; y0 ; z0) (d): x2 y z4 1 2 I (-2 - t ; 2t ; + 3t) là tâm mặt cầu (S) 0,25đ Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P1), (P2) d (I, (P1)) = d (I ; (P2)) t 13 1 9t 10t 16 3 t 1 0,25đ I1 = (11 ; 26 ; -35) ; I2 (-1 ; ; 1) R1 = 38 ; R2 = 0,25đ Vậy, có hai mặt cầu cần tìm: (S1): (x - 11)2 + (y - 26)2 + (z + 35)2 = 382 (S2): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 22 Câu 7a (1đ) Tính hệ số a7 ? (1 - x + x2 - x3)4 = (1 - x)4 (1 + x2)4 0,25đ 0,25đ k = 1 C4k x k C4i x 2i k 0 i 0,25đ k 2i (Gt) k ; i 1;3, 3;2 k , i 0,1,2,3,4 0,25đ a7 C41C43 C43C42 40 0,25đ Lop10.com (5) Chương trình nâng cao Câu 6b (2đ) 1) Tìm N (C)? (C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = 1 7 Tâm I (-1 ; 3), bán kính R = ; M ; 5 5 6 8 IM ; MI 5 5 0,25đ Giả sử tìm N (C) MN MI + IN = 0,25đ Dấu “=” xảy N là giao điểm tia đối IM và đường tròn (C) x 1 t (IM): y t ; IM C N1; N 11 19 N1 ; , N ; ; MN1 < MN2 5 5 0,25đ 19 Kết luận: Thoả mãn điều kiện bài toán: N ; 5 0,25đ 2) Tìm M (S) , N (P) ? (S): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = Tâm I (-1 ; ; 1), bán kính R = (P): x - 2y + 2z - = d I; P = ( P ) ( S ) Ø Giả sử tìm N0 (P) N0 là hình chiếu vuông góc I trên (P) 0,25đ d I (1;2;1) N d P , với: (d ) ( P ) ud (1;2;2) x 1 t 7 d : y 2t N ; ; 3 3 z 2t 0,25đ (d ) ( S ) {M1 ; M2} 5 1 M1 ; ; , M ; ; 3 3 3 3 M1M0 = < M2M0 = M0 (S) để M0N0 nhỏ M0 M1 0,25đ Vậy, điểm cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán 5 7 M ; ; , N ; ; 3 3 3 3 0,25đ Câu 7b (1đ) Đạo hàm định nghĩa: lim x 0 3x x f ( x) f (0) = lim x 0 x2 x 0,25đ x (1 x) (1 x) x x2 0,25đ = lim x 0 Lop10.com (6) = lim x 0 = -1 + 3 x (1 x) 1 x x 1 x 2 lim x 0 (1 x) x 1 = - Vậy, f '( ) 2 0,25đ 0,25đ Lop10.com (7) ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 146 ) Phần chung (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số f ( x) x mx 2, có đồ thị (Cm ) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m 3 2) Tìm tập hợp các giá trị m để đồ thị (Cm ) cắt trục hoành và điểm Câu II (2 điểm) 1) Giải phương trình: tan x cot x 2sin x sin x 5 x 2) Giải phương trình: x 2 x 4; xR x sin x Câu III (1 điểm) Tính I dx cos x Câu IV (1 điểm) Một hình nón đỉnh S , có tâm đường tròn đáy là O A, B là hai điểm trên đường tròn A 600 Tính theo a đáy cho khoảng cách từ O đến đường thẳng AB a , A ASO SAB chiều cao và diện tích xung quanh hình nón Câu V (1 điểm) Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 4x y 2x y xy Phần riêng (3 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) Phần A Câu VI (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d ) có phương trình : x y và điểm M (2;1) Tìm phương trình đường thẳng cắt trục hoành A cắt đường thẳng (d ) B cho tam giác AMB vuông cân M 2) Trong không gian tọa độ Oxyz , lập phương trình mặt phẳng qua hai điểm A 0; 1; , B 1;0;3 và tiếp xúc với mặt cầu S có phương trình: ( x 1) ( y 2) ( z 1) Câu VII (1 điểm) Cho số phức z là nghiệm phương trình: z z 2 2 1 1 1 1 Rút gọn biểu thức P z z z z z z z z Phần B Câu VI (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn C có phương trình : x y 25 và điểm M (1; 1) Tìm phương trình đường thẳng qua điểm M và cắt đường tròn C điểm A, B cho MA 3MB 2) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng P có phương trình: x y Lập phương trình mặt cầu S qua ba điểm A 2;1; 1, B 0; 2; 2 , C 1;3;0 và tiếp xúc với mặt phẳng P log x log x 1 Câu VII (1 điểm) Giải bất phương trình: log x 1 log ( x 1) Hết Lop10.com (8) HƯỚNG DẪN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 146 ) Câu I.1 (1,0 đ) m 3 hàm số trở thành: f ( x) x x 2, Tập xác định D R Sự biến thiên x 1 y ' 3( x 1) x x 1 hàm số đồng biến trên ; 1 và 1; y' x 0,25 y ' 1 x hàm số nghịch biến trên 1;1 điểm CĐ 1; , điểm CT 1;0 lim y x lim y 0,25 x Điểm uốn: y '' x x , Điểm uốn U 0; Bảng biến thiên: 1 x y' + CĐ y 0,25 CT 0,25 Câu I.2 (1,0 đ) Đồ thị Phương trình cho HĐGĐ x3 mx 0, (*) x3 x không thỏa mãn nên: (*) m x x 2 2 x g '( x) 2 x Xét hàm số g ( x) x x x g '( x) x ta có bảng biến thiên: x g '( x) ll 0,25 -3 g ( x) 0,25 + 0,25 Số nghiệm (*) là số giao điểm đường thẳng y m và đồ thị hàm số y g ( x) nên để (*) có nghiệm thì m 3 Lưu ý: Có thể lập luận để đồ thị (Cm ) hàm số y f ( x) không có cực trị có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị nằm cùng phía trục hoành Câu II.1 (1,0 đ) tan x cot x 2sin x ,(1) sin x Lop10.com 0,25 (9) Điều kiện: x k 0,25 4sin x cos x 2sin 2 x (1) sin x sin x 2(1 cos x) cos x 2(1 cos 2 x) 0,25 cos 2 x cos x cos x (loai do:sin x 0) x k cos x Đối chiếu điề kiện phương trình có nghiệm là: x x Câu II.2 (1,0 đ) 1 x x 4; 0,25 k , k Z 0,25 xR Đặt t x x t 2( x x ) ta phương trình t2 t t 2t t 4 t 0,25 0,25 x x 4 2 2( x x ) 16 x 2x + Với t = Ta có x x 4 x x x 0,25 x x 4 2 2( x x ) x 2x + Với t = ta có x x x x x 1 ĐS: phương trình có nghiệm x 2, x Câu III (1,0 đ) 0,25 1 x sin x x sin x dx dx 0 2cos2 x dx cos x 2cos x x 3 x I1 dx dx 2cos x 0 cos x u x du dx Đặt dx v tan x dv cos x 1 I1 x tan x 03 tan xdx ln cos x 2 I 3 0,25 ln 2 sin x 3 3 2 dx tan xdx (1 tan x ) dx dx 0 2cos x 0 0 1 tan x x 03 2 3 0,25 I2 Lop10.com 0,25 (10) 1 I I1 I ln 2 3 Câu IV (1,0 đ) Câu V (1,0 đ) S 1 ( 0,25 ln 2) Gọi I là trung điểm AB , nên OI a Đặt OA R A 600 SAB SAB 1 OA R IA AB SA 2 sin AASO Tam giác OIA vuông I nên OA IA2 IO R2 a R a2 R O A I SA a B a Chiếu cao: SO a Diện tích xung quanh: S xq Rl a a2 Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x y 4x y 2x y x y y x y P xy y x y x 2 Thay y x được: y x 5 x y y x x y x 2 y x y x 2 3 P x 1; y Vậy Min P = 2 P Lưu ý: Có thể thay y x sau đó tìm giá trị bé hàm số g ( x) Câu AVI.1 (1,0 đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 3x 3x x(5 x) A nằm trên Ox nên A a;0 , B nằm trên đường thẳng x y nên B (b; b) , M (2;1) MA (a 2; 1), MB (b 2; b 1) 0,25 Tam giác ABM vuông cân M nên: (a 2)(b 2) (b 1) MA.MB , 2 ( a 2) ( b 2) ( b 1) MA MB b không thỏa mãn b 1 a2 ,b b 1 ,b b2 a b2 2 2 (a 2) (b 2) (b 1) b (b 2) (b 1) b a b 1 a b , b b a (b 2) (b 1) (b 2) b a Với: đường thẳng qua AB có phương trình x y b Lop10.com 0,25 0,25 (11) a đường thẳng qua AB có phương trình x y 12 b Với 0,25 Lop10.com (12) ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ147 ) Câu 1: Cho hàm số y = x có đồ thị là (C) x 2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số trên 2) Tìm trên (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn Câu 2: 1) Giải phương trình: 2 sin( x ).cos x 12 8 x y 27 18y (1) 2) Giải hệ phương trình: 2 4 x y x y (2) 3 Câu 3: 2 1) Tính tích phân I = sin x sin x dx 2) Tìm các giá trị tham số thực m cho phương trình sau có nghiệm thực: (m - 3) x + ( 2- m)x + - m = (1) Câu 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a b c 1 3 8c 8a 8b3 Câu 5: Cho hình chóp S ABC có góc ((SBC), (ACB)) =600, ABC và SBC là các tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) PHẦN RIÊNG Theo chương trình chuẩn: Câu 6a: Cho ABC có B(1;2), phân giác góc A có phương trình ( ) 2x +y –1 =0; khoảng cách từ C đến ( ) lần khoảng cách từ B đến () Tìm A, C biết C thuộc trục tung Câu 7a: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x –2y +z -2 =0 và hai đường thẳng : x 2t 3 y z x (d1) ; (d2) y t (t A ) Viết phương trình tham số đường thẳng 1 z t nằm mp(P) và cắt đường thẳng (d1) , (d2) Theo chương trình nâng cao: Câu 6b: Cho ABC có diện tích 3/2; A(2;–3), B(3;–2), trọng tâm G (d) 3x –y –8 =0 tìm bán kinh đường tròn nội tiếp ABC Câu 7b: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) là giao tuyến mặt phẳng: (P): 2x–2y–z +1 =0, (Q): x+2y –2z –4 =0 và mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 +4x –6y +m =0 Tìm tất các giá trị m để (S) cắt (d) điểm MN cho MN= Lop10.com (13) Đáp án ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 147 ) Phần chung: Câu 1: Cho hàm số y = x có đồ thị là (C) x 2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số trên 2) Tìm trên (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt tiệm cận (C) A, b cho AB ngắn Giải: 1) y= x (C) x 2 D= R\ {2} lim y TCN : y x lim y ; lim y TCĐ x = x 2 y’ = y x 2 1 0; x ( x 2)2 x -2 BBT -1 -1 -2 2) Gọi M(xo; x0 ) (C) x0 -3 x0 x0 x Phương trình tiếp tuyến M: () y = ( x0 2)2 ( x0 2)2 2x ( ) TCĐ = A (2; ) x0 ( ) TCN = B (2x0 –2; 2) cauchy 2 AB (2 x0 4; 2 ) AB = 4( x0 2)2 ( x0 2)2 x0 x M (3;3) AB = 2 xo M (1;1) Câu 2: 1) Giải phương trình: 2 sin( x ).cos x 12 x k (k A ) Giải: phương trình 2(cosx–sinx)(sinx– cosx)=0 k x 8 x y 27 18y (1) 2) Giải hệ phương trình: 2 4 x y x y Giải: (2) (1) y 3 8 x 27 18 (2 x ) 18 y3 y Hệ x x2 2 x x y y y y a3 b3 18 a b 3 Đặt a = 2x; b = Ta có hệ: y ab(a b) ab Hệ đã cho có nghiệm ; , ; 3 3 Lop10.com (14) Câu 3: 2 1) Tính tích phân I = sin x sin x dx Giải: I = cos x d (cos x) §Æt cos x cos u 2 I sin udu = 16 2) Tìm các giá trị tham số thực m cho phương trình sau có nghiệm thực: (m - 3) x + ( 2- m)x + - m = (1) Giải: Đk x đặt t = x ; t (1) trở thành (m–3)t+(2-m)t2 +3-m = m 2t 3t (2) t t 1 Xét hàm số f(t) = 2t 3t (t 0) t t 1 Lập bảng biến thiên (1) có nghiệm (2) có nghiệm t m 3 Câu 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a b c 1 3 8c 8a 8b3 Giải: cauchy 8c3 (2c 1)(4c 2c 1) 2c a 2a 8c 2c b c 2b ; 2c 3 a 8a 8b 2b a b c (1) Ta chứng minh: 2c a b Tương tự, Bđt(1) 4(a3b2+b3a2+c3a2) +2(a3+b3+c3 )+2(ab2+bc2+ca2)+( a+b+c) 8a2b2c2 +4(a2b2 +b2c2 +c2a2) +2 (a2 +b2 +c2 )+1 (2) Ta có: 2a3b2 +2ab2 4a2b2; … (3) 2(a3b2+b3a2+c3a2) 2.3 a5 b5c =6 (do abc =1)(4) a3+b3+c3 3abc =3 = +2 a2b2c2 (5) a3 +a 2a2; … (6) Công các vế (3), (4), (5), (6), ta (2) Dấu xảy a=b=c=1 Câu 5: Cho hình chóp S ABC có góc ((SBC), (ACB)) =600, ABC và SBC là các tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) Giải: Lop10.com (15) Gọi M là trung điểm BC và O là hình chiếu S lên AM Suy ra: SM =AM = a ; AAMS 600 và SO mp(ABC) d(S; BAC) = SO = 3a V(S.ABC) = dt ( ABC ).SO a 3 16 Mặt khác, V(S.ABC) = dt ( SAC ).d ( B; SAC ) SAC cân C có CS =CA =a; SA = a 2 dt(SAC) = a 13 16 Vậy d(B; SAC) = 3V 3a dt ( SAC ) 13 Phần riêng: Theo chương trình chuẩn: Câu 6a: Cho ABC có B(1;2), phân giác góc A có phương trình ( ) 2x +y –1 =0; khoảng cách từ C đến ( ) lần khoảng cách từ B đến () Tìm A, C biết C thuộc trục tung Giải: Gọi H, I là hình chiếu B, C lên () M là đối xứng B qua M AC và M là trung điểm AC 5 5 (BH): x –2y + =0 H 1 ; M 7 ; y BH = CI = ; C Oy C(0; y0) yo 5 5 (0; –5) A 14 ; 33 () nhận 5 C(0; 7) A 14 ; 27 ()loại Câu 7a: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x –2y +z -2 =0 và hai đường thẳng : 3 y z (d1) x ; (d2) 1 x 2t y t (t A ) Viết phương trình tham số đường thẳng z t nằm mp(P) và cắt đường thẳng (d1) , (d2) Giải: x 2t (P) (d1) = A(1;1;2); (P) (d2) = B(3;3;2) () y 2t (t A ) z Theo chương trình nâng cao: Câu 6b: Cho ABC có diện tích 3/2; A(2;–3), B(3;–2), trọng tâm G (d) 3x –y –8 =0 tìm bán kinh đường tròn nội tiếp ABC Giải: C(a; b) , (AB): x –y –5 =0 d(C; AB) = a b 8(1) a b 2(2) a b 2SABC AB ab5 3 3 Trọng tâm G a ; b (d) 3a –b =4 (3) 3 65 89 S (2), (3) C(1; –1) r p 2 (1), (3) C(–2; 10) r = S p Câu 7b: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) là giao tuyến mặt phẳng: Lop10.com (16) (P): 2x–2y–z +1 =0, (Q): x+2y –2z –4 =0 và mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 +4x –6y +m =0 Tìm tất các giá trị m để (S) cắt (d) điểm MN cho MN= Giải: (S) tâm I(-2;3;0), bán kính R= 13 m IM (m 13) Gọi H là trung điểm MN MH= IH = d(I; d) = m u; AI (d) qua A(0;1;-1), VTCP u (2;1;2) d(I; d) = u Vậy : m =3 m = –12( thỏa đk) Lop10.com (17) ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 148 ) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2x Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) hàm số Tìm các giá trị m để đường thẳng y = mx – m + cắt đồ thị ( C ) hai điểm phân biệt A,B và đoạn AB có độ dài nhỏ Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình Giải phương trình cos x cos x 1 1 sin x sin x cos x x2 x x x x2 Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân (x A ) x 3 dx x 1 x Câu IV (1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi M, N là các điểm di động trên các cạnh AB, AC cho DMN ABC Đặt AM = x, AN = y Tính thể tích tứ diện DAMN theo x và y Chứng minh rằng: x y xy Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z thoả mãn x+y+z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y 16 z P x y z II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn: Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC qua M(2; 1) Tìm toạ độ các đỉnh hình chữ nhật Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y – 5z + = và hai đường thẳng x 1 y 1 z x2 y2 z d1: , d2: 1 2 Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với (P) đồng thời cắt hai đường thẳng d1 và d2 Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm phần thực số phức z = (1 + i)n , biết n N thỏa mãn phương trình log4(n – 3) + log4(n + 9) = B Theo chương trình Nâng cao: Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0) Hai đỉnh B và C nằm trên hai đường thẳng d1: x + y + = và d2: x + 2y – = Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG x y z 1 Trong không gian toạ độ cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): x + y + z + = 1 Gọi M là giao điểm d và (P) Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới 42 Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình log y x log y 2 x y 25 ( x, y A ) -Hết - Lop10.com (18) ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN (ĐỀ 148 ) Câu I Nội dung Điểm HS tu lam 2,0 II 2.0 Giải phương trình cos x cos x 1 1 sin x sin x cos x 1.0 ĐK: sin x cos x 0.25 Khi đó PT 1 sin x cos x 1 1 sin x sin x cos x 1 sin x 1 cos x sin x sin x.cos x 0.25 1 sin x 1 cos x 1 sin x sin x 1 cos x 1 (thoả mãn điều kiện) x k 2 x m2 k , m Z 0.25 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x Giải phương trình: 0.25 k 2 và x m2 x2 x x x x2 k , m Z (x A ) 3 x x PT 2 7 x x x x x 0.25 3 x x x x 2( x 2) 0.25 3 x x x2 x 2 x 2 x x 1x 16 0.25 x 1 0.25 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = - III Tính tích phân Đặt u = x 3 dx x 1 x 1.0 x u x u x 2udu dx ; đổi cận: x u Ta có: 2 x 3 2u 8u dx 0 x x 1 u 3u 2du 1 (2u 6)du 61 u 1du 1.0 0.25 0.25 u 6u ln u 1 0.25 3 ln 0.25 IV 1.0 Lop10.com (19) D Dựng DH MN H Do DMN ABC DH ABC mà D ABC là tứ diện nên H là tâm tam giác ABC C B N H 0.25 M A 3 Trong tam giác vuông DHA: DH DA AH Diện tích tam giác AMN là S AMN 2 0.25 AM AN sin 600 xy xy Thể tích tứ diện D AMN là V S AMN DH 12 Ta có: S AMN S AMH S AMH 0.25 1 xy.sin 600 x AH sin 300 y AH sin 300 2 x y xy V 0.25 1.0 x y Trước hết ta có: x y (biến đổi tương đương) x y x y x y 4P Đặt x + y + z = a Khi đó a 64 z 3 a z a 64 z 3 0.25 1 t 64t 3 0.25 z (với t = , t ) a Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t 0;1 Có f '(t ) 64t 1 t , f '(t ) t 0;1 0.25 Lập bảng biến thiên Minf t t0;1 64 16 GTNN P là đạt x = y = 4z > 81 81 0.25 VI.a 2.0 1.0 Do B là giao AB và BD nên toạ độ B là nghiệm hệ: 21 x x y 1 21 13 B ; 5 x y 14 y 13 Lại có: Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên góc AC và AB góc AB và BD, kí hiệu nAB (1; 2); nBD (1; 7); nAC (a; b) (với a2+ b2 > 0) là VTPT các đường thẳng AB, BD, AC Khi đó ta có: cos nAB , nBD cos nAC , nAB a b 2 2 a 2b a b a 8ab b a b Lop10.com 0.25 0.25 (20) - Với a = - b Chọn a = b = - Khi đó Phương trình AC: x – y – = 0, x y 1 x A = AB AC nên toạ độ điểm A là nghiệm hệ: A(3; 2) x y 1 y Gọi I là tâm hình chữ nhật thì I = AC BD nên toạ độ I là nghiệm hệ: x x y 1 I7;5 2 2 x y 14 y 14 12 Do I là trung điểm AC và BD nên toạ độ C 4;3 ; D ; 5 - Với b = - 7a (loại vì AC không cắt BD) 0.25 0.25 1.0 x 1 2t x m Phương trình tham số d1 và d2 là: d1 : y 3t ; d : y 2 5m z t z 2m Giả sửd cắt d1 M(-1 + 2t ; + 3t ; + t) và cắt d2 N(2 + m ; - + 5m ; - 2m) MN (3 + m - 2t ; - + 5m - 3t ; - - 2m - t) 3 m 2t 2k Do d (P) có VTPT nP (2; 1; 5) nên k : MN k n p 3 5m 3t k có nghiệm 2 2m t 5k 0.25 0.25 0.25 m Giải hệ tìm t VII.a x 2t Khi đó điểm M(1; 4; 3) Phương trình d: y t thoả mãn bài toán z 5t 0.25 Tìm phần thực số phức z = (1 + i)n , biết n N thỏa mãn phương trình 1.0 log4(n – 3) + log4(n + 9) = n N Điều kiện: n 0.25 Phương trình log4(n – 3) + log4(n + 9) = log4(n – 3)(n + 9) = n (n – 3)(n + 9) = 43 n2 + 6n – 91 = n 13 (thoả mãn) (không thoả mãn) 0.25 Vậy n = Khi đó z = (1 + i)n = (1 + i)7 = 1 i 1 i 1 i .(2i )3 (1 i ).(8i ) 8i 0.25 Vậy phần thực số phức z là 0.25 VI.b 2.0 1.0 Giả sử B ( xB ; yB ) d1 xB yB 5; C ( xC ; yC ) d xC 2 yC Lop10.com 0.25 (21)