DE TAI UNG DUNG SKETCHPAD VAO DAY HOCCUC HAP DAN

C¸c phÇn mÒm tr×nh diÔn vµ c¸c phÇn mÒm to¸n häc chuyªn dông lµ c«ng cô ®¾c lùc trong viÖc truyÒn thô kiÕn thøc to¸n, h×nh thµnh c¸c kh¸i niÖm to¸n häc gióp häc sinh tiÕp thu nh÷ng kh¸i [r]

Các từ viết tắt đề tài

Hình học HH

Trung học sở THCS

Sách giáo khoa SGK

Sách tập SBT

Sách tham khảo STK

Nhà xuất NXB

Giáo dục GD

Tài liệu tham khảo

[1] Phan Đức Chính, Tôn Thân.(12/2004), Toán tập 1, NXB GD [2] Phan Đức Chính, Tôn Thân.(12/2004), Toán tập 2, NXB GD [3] Tôn Thân, Vũ Hữu Bình.(12/2004), Bài tập Toán tập 1, NXB GD [4] Tôn Thân, Vũ Hữu Bình.(12/2004), Bài tập Toán tập 2, NXB GD [5] Nguyễn Vĩnh Cận(2003), Toán hình học nâng cao THCS, NXB Đại học s phạm

[6] Vũ Hữu Bình(6/2004), Nâng cao phát triển Toán tập 1, NXB GD [7] Vũ Hữu Bình(6/2004), Nâng cao ph¸t triĨn To¸n tËp 2, NXB GD

Më ĐầU

i. Lý DO CHọN Đề TàI

Một công cụ công nghệ thơng tin mang lại hiệu cho q trình dạy học phần mềm dạy học Phần mềm dạy học chơng trình tin học đ-ợc cài đặt máy vi tính nhằm hỗ trợ q trình dạy học, nâng cao hiệu dạy học, tạo động gây hứng thú học tập Các phần mềm trình diễn phần mềm tốn học chun dụng công cụ đắc lực việc truyền thụ kiến thức tốn, hình thành khái niệm tốn học giúp học sinh tiếp thu khái niệm, tính chất trừu tợng đối tợng toán học quan hệ đối tợng Máy tính mạng Internet lu trữ lợng khổng lồ liệu thông tin, tạo nên nguồn cung cấp t liệu cho việc soạn giảng Nhờ đặc tính mơ hình hố, trực quan, việc sử dụng máy tính làm phơng tiện dạy học, truyền thụ kiến thức giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ

Học sinh tự ơn tập tự rèn luyện với nội dung kiến thức ôn tập đa dạng, phong phú, từ dễ đến khó với hiệu cao

D¹y häc víi sù hỗ trợ máy tính không dừng chỗ dạy tính toán nhanh mà dạy t thuật toán, phát triển t khả suy luận toán học học sinh, lực quan sát mô tả, lực phân tích tổng hợp, lực phán đoán khái quát

Xut phỏt từ đặc điểm hình học lớp 7, học sinh bắt đầu đợc nghiên cứu kĩ tính chất, mối quan hệ hình học Chính vậy, với giúp đỡ máy tính phần mềm dạy học, giúp giáo viên truyền thụ kiến thức cách dễ dàng, nhanh chóng, trực quan, học sinh nắm tốt hơn, trực tiêp kiểm tra kiến thức vừa học đợc

Với lý trên, mạnh dạn chộn đề tài:”Sử dụng phần mềm Geometer’s Sketchpad hỗ trợ tìm lời giải tốn hình học 7”

Do thời gian kinh nghiệm có hạn nên chắn đề tài cịn nhiều thiếu sót, chúng tơi mong nhận đợc đóng góp ý kiến bổ sung quý thầy cô bạn đọc đề tài đợc đầy đủ

ii. mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

1, Mục đích nghiên cứu

Nghiªn cøu sư dơng phần mềm Geometers Sketchpad hỗ trợ tìm lời giải toán hình học

2, Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu sử dụng phần mềm Geometers Sketchpad - Hệ thống tập hình học

iii phơng pháp nghiên cứu 1, Nghiªn cøu lý luËn

Nghiên cứu giáo trình sử dụng phần mềm tốn học, SGK hình học 7, sách tham khảo hình học Những tài liệu liên quan đến đề tài

2, LÊy ý kiÕn chuyên gia

Nội dung kết nghiên cứu

ChơngI

căn lý luận

1.1 Giới thiƯu phÇn mỊm Geometer s Sketchpad’

Geometer’s Sketchpad phần mềm để giảng dạy nghiên cứu HH Phần mềm hỗ trợ đắc lực cho việc giảng dạy HH trờng THCS THPT

Chơng trình sử dụng đơn giản với nút lệnh đợc thiết kế với menu theo nhóm riêng:

- File: chứa lệnh làm việc với file Geometers Sketchpad - Edit: chứa lệnh tơng tự phần mềm hệ điều hành Windows nh sao, chÐp, xo¸ bá,…

- Display: chứa lệnh thể hình thức hoạt động đối tợng đợc chọn

- Construct: chứa lệnh liên quan đến dựng điểm, đoạn thẳng, đờng thẳng, đờng tròn, cung tròn, góc,…

- Transform: chứa lệnh liên quan đến phép biến đổi - Measure: gồm lệnh tính tốn

- Graph: tập hợp lệnh làm việc với hệ trục toạ độ

- Hepl: chứa lệnh trợ giúp trình làm việc Cụ thể là:

1.1.1 Dựng hình HH

Trong Geometer’s Sketchpad, nguyên tắc dựng hình HH thông qua phép dựng: điểm, đoạn thẳng, đờng thẳng, đờng trịn, tia…

a, Dùng ®iĨm

+ Bớc 1: chọn công cụ dựng điểm + Bớc 2: nháy chuột đến vị trí cần dựng

b, Dựng đoạn thẳng

- Cách 1:

+ Bc 1: chọn công cụ dựng đoạn thẳng + Bớc 2: nháy chuột đến vị trí cần dựng - Cách 2:

+ Bớc 1: dựng hai điểm vị trí cần dựng theo cách dựng + Bớc 2: chọn Construct \ Segment ấn tổ hợp phím Ctrl+L

c, Dựng đờng thẳng

- C¸ch 1:

+ Bớc 1: chọn công cụ dựng đờng thẳng + Bớc 2: nháy chuột đến vị trí cần dựng - Cách 2:

+ Bíc 1: dùng hai điểm vị trí cần dựng theo cách dựng + Bíc 2: chän Construct \ Line

d, Dùng tia

- C¸ch 1:

+ Bớc 1: chọn công cụ dựng tia + Bớc 2: nháy chuột đến vị trí cần dựng - Cách 2:

+ Bớc 1: dựng hai điểm vị trí cần dựng theo cách dựng + Bớc 2: chọn Construct \ Ray

e, Dựng đờng trịn

- C¸ch 1:

y

x A

y

x C

A y

x D

C A

- Cách 2: Dựng đờng trịn có tâm điểm cho trớc, bán kính đoạn thẳng cho trc

+ Bớc 1: chọn điểm, đoạn thẳng cho tríc

+ Bớc 2: chọn Construct \ Circle By Center + Radius - Cách 3: Dựng đờng tròn biết tâm điểm đờng tròn

+ Bớc 1: chọn điểm làm tâm điểm điểm đ-ờng tròn

+ Bớc 2: chọn Construct \ Circle By Center + Point

f, Điền kí hiệu cho đối tợng dựng

+ Bớc 1: chọn công cụ văn

+ Bớc 2: di chuyển chuột có hình bàn tay tới đối tợng ( bàn tay chuyển thành màu đen ), nháy chuột trái đợc kí hiệu đối tợng

g, Dùng mét sè h×nh HH

VÝ dơ 1.1.1.1: Dùng tam gi¸c ABC biÕt AC= cm, ˆ 900



A ,

0

60 ˆ 

C

C¸ch dùng:

+ Bíc 1: Dùng gãc xAˆy = 900.

+ Bíc 2: Dùng AC= cm, CAx + Bíc 3: Dùng (A,AC) vµ (C, AC)

+ Bíc 4: D = (A, AC) (C, AC) Dùng tia CD + Bíc 5: B = CDAy Dùng AB, BC

Sư dơng Geometer’s Sketchpad dùng tam gi¸c ABC: + Bíc 1:

 Dùng tia Ay

 Chän Ay, A

 Construct \ Perpendicular Line + Bíc 2:

 Dựng đoạn thẳng có độ dài AC = cm

 Chän A, AC = cm

 Construct \ Circle By Center + Radius

 Chọn , để chọn C = (A, AC) Ax

y

x D

C A

 Chän A, AC

 Construct \ Circle By Center + Radius

 Chän C, AC

 Construct \ Circle By Center + Radius + Bíc 4:

Chọn , nháy vào D = (A, AC)(C, AC)

 Chän C, D

 Construct \ Ray + Bíc 5:

 Chän , nháy vào B = CDAy

Chọn , nháy vào A

và B

Chọn , nháy vào B

và C

+ n tt đối tợng khơng cần thiết hình cách:

 Chọn đối tợng

 Display \ Hide Objects (hc Ên Ctrl + H)

Ví dụ 1.1.1.2: Dựng tam giác ABC có cạnh 3cm

C¸ch dùng:

+ Bíc 1: Dùng AB =3cm

+ Bíc 2: Dùng (A, 3cm), (B, 3cm) + Bíc 3: Dùng C = (A, 3cm) (B, 3cm) + Bíc 4: Dùng AC, BC

Sử dụng Geometer’s Sketchpad dựng tam giác ABC: + Bớc 1:

 Chän

 Dùng AB =3cm + Bíc 2:

 Chän A, AB

 Construct \ Circle By Center + Radius

 Chän B, AB

x y

C A

y B

 Construct \ Circle By Center + Radius + Bíc 3:

 Chän .

 Dùng C + Bíc 4:

 Chän C, A

 Contruct \ Segment

 Chän C, B

 Contruct \ Segment

1.1.2 Thực phép biến đổi mặt phẳng

a, Phép đối xứng trục

+ Bớc 1: Chọn đờng thẳng d ( để làm trục)

+ Bớc 2: Transform \ Mark Mirror ( xác định trục đờng d chọn)

+ Bớc 3: Chọn hình (H) cần dựng ảnh đối xứng + Bớc 4: Transform \ Reflect: Hiển thị ảnh (H’)

Ví dụ: Vẽ ảnh tam giác ABC đối xứng qua đờng thẳng a Biết a qua C

C¸ch dùng:

+ Bíc 1: Chän a

+ Bíc 2: Transform \ Mark Mirror + Bíc 3: Chän tam gi¸c ABC + Bíc 4: Transform \ Reflect

b, PhÐp tÞnh tiÕn

+ Bớc 1: Chọn vectơ tịnh tiến

Chọn điểm đầu điểm cuối

Transform \ Mark Vector + Bớc 2: Chọn điểm cần lấy ảnh + Bíc 3: Transform \ Translate

c, PhÐp quay

C¸ch 1:

+ Bíc 1: Chän gãc quay: chän điểm lần lợt \ Transform \ Mark Angle

+ Bớc 2: Chọn tâm quay: Chọn điểm \ Transform \ Mark Center

C¸ch 2:

+ Bíc : Chän tt©m quay

+ Bớc : Chọn hình cần dựng ảnh

+ Bíc : Dùng ¶nh: Transform \ Rotate \ Chän số đo góc quay \ Rotate

Cách 3:

+ Bíc 1: Chän t©m quay

+ Bíc : Chän nót c«ng + Bíc : Chọn hình cần quay

+ Bc : Ch trỏ vào hình chọn rê chuột

d, PhÐp vÞ tù

+ Bíc : Chän hệ số vị tự

Chọn hai đoạn thẳng

 Chän Transform \ Mark Segment Raite + Bíc : Chọn hình cần lấy ảnh

+ Bớc : Transform \ Dilate

e, Ngoµi viƯc thùc phép biến hình Geometer

1.1.3 To độ phơng trình

Với Sketchpad ta dễ dàng giải số tốn có liên quan đến toạ độ phơng trình sử dụng phơng pháp toạ độ

Để giải đợc loại toán sử dụng lệnh menu

Graph:

+ Define Coordinate System: tạo hệ toạ độ + Mark Coordinate System: đánh dấu hệ toạ độ

+ Grid form…: chuyển qua lại hệ toạ độ Đềcac toạ độ cực + Show / Hide gird: cho ẩn lới ô vuông hệ toạ độ + Snap point: chuyển đối tợng bị kéo vào điểm lớ gần + Plot point…: vẽ điểm hệ toạ độ

+ New parameter: chän mét tham sè míi + New function: chän mét hµm míi

+ Plot new function: vẽ đồ thị hàm + Darivative: lấy đạo hàm hàm số

+ Tabulate: thu thập kết tính toán vào bảng + Add Table Data: bổ sung vào bảng liệu

+ Remove Table Data: thay thÕ c¸c sè liƯu b¶ng

Để giải loại tốn sử dụng lệnh menu Measure: + Length: đo độ dài đoạn đợc chọn

+ Distance: khoảng cách hai điểm đợc chọn hay điểm đờng thăng đợc chọn

+ Perimeter: chu vi đa giác đợc chọn

+ Circumfrence: chu vi cua đờng tròn đợc chọn

+ Angle: độ lớn goc xác đinh bở hai tia qua điểm + Area: diện tích đờng tròn hay đa giác đợc chọn

+ Arc Angle: đo độ lớn góc cung + Arc Length: độ dài cua mmột cung + Radius: đo bán kính cung

+ Ratio: đo tỉ lệ hai đoạn thẳng đợc chọn + Caculate: tính giá trị biểu thức

+ Coordinates: xác định toạ độ điểm hay nhiều điểm đợc chọn

+ Abscissa(x): xác định hoành độ điểm đợc chọn + Ordinate(y): xác định tung độ điểm đợc chọn

+ Coordinate Distance: xác định khoảng cách hai điểm toạ độ

+ Slope: đo hệ số góc đờng thẳng

+ Equaition: xác định phơng trình đờg thẳng hay đờng tròn đợc chọn

1.2 Các dạng dạng tập HH 7 1.2.1 Dạng chøng minh

Chứng minh dngj tốn có hai phần giả thiết kết luận Giải tốn chứng minh tìm kết luận đờng suy diễn, đờng từ giả thiết đến kết luận

Trong dạng toán chứng minh tính lơgic lời giải Vì q trình trình bày lời giải tốn chứng minh đòi hỏi ngời giải lập luận chặt chẽ, dẫn chứng xỏc thc

Dạng toán chứng minh chơng trình SGK phần HH lớp sách tham khảo gồm loại sau:

1.2.1.1 Chứng minh c¸c yÕu tè b»ng nhau

*, Chøng minh hai gãc b»ng nhau

- Cách 1: hai góc hai góc đối đỉnh

- Cách 2: hai góc ( là) góc thứ ba

- Cách 3: hai góc bù phụ với góc thứ ba

- Cách 4: hai góc so le ( đồng vị, so le ngoài) tạo nên đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song

- Cách 5: hai góc hai góc đáy tam giác cân (hoặc hình thang cân) - Cách 6: hai góc hai góc tơng ứng hai tam giác - Cách 7: hai góc hai góc nhọn có cạnh tơng ứng song song vng góc

 Bµi tËp HH 7:

Bµi 7.b([1] – tr 109), bµi 11([1] – tr 112), bµi 63.b([1] – tr 136), bµi 65b([1] – tr 137), bµi 26([2] – tr 67), bµi 29c([2] – tr 67), bµi 34c([2] – tr 71) …

Bµi 9([3] – tr 98), bµi 28([3] – tr 101), bµi 95.b([3] tr 109) Bài tập sách [5]:

1 Cho góc xOy khác góc bẹt Trên nửa mặt phẳng chứa tia Ox bờ đờng thẳng chứa tia Oy, ta dựng tia Oy’ vng góc vớ tia Oy Trên nửa mặt phẳng chứa tia Oy bờ đờng thẳng chứa tia Ox, ta kẻ tia Ox’ vng góc với tia Ox

a) Chøng tá xOˆy'yOˆx'

b) xOˆyx'Oˆy'180

c) Gọi Oz tia phân giác xOy Chứng tỏ Oz tia phân

giác góc x'Oˆy'

2 Cho

120 ˆM 

O

A VÏ c¸c tia OB, OC n»m AOˆM cho

OM OC OA

OB , 

a) Chøng tá AOˆC BOˆM b) BOˆC ?

c) Gäi Ox, Oy theo thø tù tia phân giác BOC,AOM

Có nhận xét vị trí hai tia Ox vµ Oy

d) Các kết luận 1, 2, cịn khơng tia OB, OC nằm ngoàiAOˆM

3 Cho  ABC Kẻ tia phân giác AD góc A Từ mộ điểm M thuộc đoạn thẳng DC ta kẻ đờng thẳng song song với AD Đờng thẳng cắt cạnh AC E cắt tia đối tia AB điểm F

b) AFˆE MEˆC

4 Cho  ABC Vẽ tia Ax tia đối tia AB Kẻ tia Az tia phân giác góc CAx Az// BC Chứng tỏ ABC có hai góc đáy B C nhau(ABC cân A)

5 Cho đoạn thẳng AB Trên hai nửa mặt thẳng đối bờ đ-ờng thẳng AB, ta vẽ tia Ax, By cho BAˆx ABˆy Qua điểm M thuộc

đoạn thẳng AB, ta vẽ hai đờng thẳng d, d’ Đờng thẳng d cắt Ax C cắt By C’ Đờng thẳng d’ cắt Ax D cắt By D’ Chứng tỏ CMD C’MD’ hai tam giác có góc tơng ứng

6 Cho ABC cã Aˆ 2Bˆ Kẻ phân giác AD Từ D kẻ DE//AB ( AC

E ) Từ E kẻ EF//AD (FBC) từ F kẻ FK//DE (KAC) a) Tim tất góc băng góc B

b) Tìm hình vẽ tất tam giác có hai góc Cho góc nhọn xOy Trên cạnh Ox ta lấy hai ®iĨm A, B ( ®iĨm A n»m gi÷a hai ®iĨm O, B) Trên cạnh Oy ta lấy hai điểm C, D (điểm C nằm hai điểm O, D) Gäi M, N, P, Q theo thø tù lµ trung điểm đoạn thẳng AC, AD, BD, BC

a) So sánh tam giác MNQ PQN suy NMQQPN

b) So sánh đoạn thẳng MP, NQ ˆ 900 

y O

x

8 Cho hai gãc xOˆy vµ yOˆz kề Kẻ tia phân

giác Om củaxOy tia phân giác On yOz LÊy trªn Ox, Om, Oy, On, Oz

theo thø tự điểm A, B, C, D, E cho OA = OB =OC = OD = OE a) So sánh đoạn thẳng AB, BC, CD, DE

b) So sánh góc BAC DCE c) So sánh đoạn thẳng AD, BE

*, Chứng minhhai đoạn thẳng nhau

Để chứng minh hai đoạn thẳng bằn ta thờng sử dụng cách sau - Cách 1: hai đoạn thẳng đoạn thẳng thứ ba

- Cỏch 2: s dng liên hệ đờng trung bình tam giác / cạnh tơng ứng

- C¸ch 3: sử dụng liên hệ trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông

- Cách 4: rõ chúng hai cạnh bên tam giác cân

- Cách 6: rõ chúng khoảng cách từ điểm tia phân giác mmột góc tới hai cạnh góc

- Cách 7: rõ chúng hai đoạn thẳng song song chắn hai đoạn thẳng song song

- Cách 8: rõ chúng hai cạnh tơng ứng hai tam giác

Bµi tËp HH 7:

Bµi 63a([1]- tr 136), bµi 65a([1]- tr 137), bµi 70b.c([1]- tr 141), bµi 34a.b([2]- tr 71), bµi 38([2]- tr 73), bµi 80([2]- tr 92)

Bµi 44a([3]- tr 103), bµi 46a([3]- tr 103), bµi 47([3]- tr 103), bµi 64a([3]- tr 106), bµi 66([3]- tr 106), bµi 69([3]- tr 106), bµi 95a([3]- tr 109), bµi 36([4]- tr 28), bµi 37a([4]- tr 28), bµi 53([4]- tr 30), bµi 61([4]- tr 31), bµi 68([4]- tr 31)…

Bài tập sách [5]:

1 Cho góc nhọn xOy Trên Ox ta lấy hai điểm A, B víi OA < OB Trªn Oy ta lÊy hai ®iĨm C, D cho OC = OA, OD = OB

a, Chøn minh AD = BC

b, Gọi I giao điểm AD BC Chøng minh IA = IC vµ ID = IB

c, Chứng minh điểm I nằm tia phân giác góc xOy Từ

kết này, suy cách vẽ tia phân giác mọt góc nhọn

2 Cho tam giác ABC điểm MAB Gọi N trung điểm

của cạnh AC Trên tia MN láy điểm P cho NP = MN Chng minh: MC // AP vµ MC = AP

PC // AM vµ PC = AM

3 Cho góc nhọn xOy Trên cạnh Ox ta lấy hai điểm A, B ( điểm A nằm hai điểm O, B) Trên cạnh Oy ta lấy hai điểm C, D (điểm C nằm hai điểm O, D) Gäi M, N, P, Q theo thø tù lµ trung điểm đoạn thẳng AC, AD, BD, BC

a, So sánh tam giác MNQ PQN suy NMQQPN

b, So sánh đoạn th¼ng MP, NQ ˆ 900 

y O

x

4 Cho ABC vuông A, kẻ đờng cao AH Từ H ta kẻ HDAB

vµHE AC

a, Chøng minh DE=AH

5 Cho đoạn thẳng AB Trên AB lấy điểm M nửa mặt phẳng bờ đờng thẳng AB ta vẽ tam giác AMC BMD Gọi E, F, I, K theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng CM, CB, DM, DA

a, Chøng minh EF // KI b, Chøng minh EI = KF c, Chøng minh KF =

2

CD

6 Cho ABC cã gãc A nhọn Về phía tam giác, ta vẽ

tam giác ADB AEC

a, Chøng minh BE = CD

b, Tính góc BIˆC, I giao điểm BE CD

7 Cho đờng thẳng d điểm A, B, C theo thứ tự thuộc d Trên nửa mặt phẳng bờ đờng thẳng d, ta vẽ hai tam giác ABD, BEC Gọi M, N theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AE, CD

a, Chứng minh AE=DC b, Chứng minh MBN

8 Cho tam giác ABC Trên tia BC ta lấy điểm M cho CM = BC Trên tia CA lấy điểm N cho AN = AC Và tia AB lấy điểm P cho BP = AB

a, Chøng minh MA AP

b, Chứng minh MNP

c, Gọi O tâm tam giác ABC Chứng minh ON MP

9 Cho hai đờng thẳng d d’ song song với Một cát tuyến cắt d d’lần lợt điểm A, C Qua trung điểm O AC ta kẻ cát tuyến cắt d d’ lần lợt điểm D, B

a, Chøng minh AD = BC vµ AB // DC

b, Gọi M trung điểm DA N trung điểm BC Chứng minh O trung điểm đoạn thẳng MN

c, Chøng minh CM // AN

10 Cho ABC vuông A, đờng cao AH Kẻ HM  ACvà tia HM lấy điểm E cho MH = EM Kẻ HN ABvà tia HN lấy điểm D cho

NH = DN Chøng minh hÖ thøc AD = AE = AH Suy DHE vu«ng

11 Cho ABC cân(AB = AC) Trên hai cạnh AB, AC phía ngồi tam giác, ta vẽ tam giác ADB, AEC

b, Kẻ tia phân giác AH tam giác cân Chứng minh ba đờng thẳng BE, CD, AH đồng quy

12 Cho ABC, kẻ phân giác AD góc A Đờng thẳng song song với AB vẽ qua D, cắt cạnh AC điểm E Đờng thẳng song song với BC kẻ qua E, cắt AB điểm F Chứng minh AE = BF

13 Cho ABC cân (AB = AC).Trung trực cạnh AC cắt tia CB điểm D nằm đoạn BC Trên tia đối tia AD lấy điểm E cho AE = BD Chứng minh AD = CE

14 Cho ABC, kỴ phân giác BD Từ A kẻ tia Ax vuông góc với BD, cắt BD E BC F Gọi M, N trung điểm cạnh AB, AC

a, Chøng minh AB = BF

b, Chứng minh ba điểm M, N, E thẳng hàng

c, Gọi J trung điểm đoạn thẳng BF Chứng minh ba đờng thẳng AJ, BE, FM đồng quy

15 Cho ABC vuông A Phân giác góc B cắt canh AC điểm D Từ D ta kẻ DE vuông góc vơi BC(EBC) Tia ED tia BA cắt

tại điểm F

a, So sánh DA DC b, Chứng minh BDFC

c, Chøng minh AE // FC

16 Từ trung điểm I,K,L cạnh AB, AC, BC ABC, ta kẻ đờng trung trực đờng trung trực ấy, phía ngồi tam giác, theo thứ tự ta lấy điểm M ,N, P cho IM =

2

AB, KN =

2

AC, vµ LP =

2

BC a, Chøng minh MK = KP

b, Chøng minh MC = NP

17 Cho tam giac ABC vuông A Kẻ đờng cao AH Từ H kẻ

AB

HI  vµ HK  AC

a, Chøng minh IK = AH

b, Gọi O giao điểm AH vµ IK Chøng minh OI = OK= OA = OH

18 Cho hai đờng thẳng p p’ song song với Một đờng thẳng q cắt p p’ lần lợt điểm A, B Một đờng thẳng q’ song song với đờng thẳng q cắt p p’ lần lợt điẻm D, C

b, Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh O trung điểm AC, đồng thời trung điểm BD

1.2.1.2 Chứng minh đờng thẳng song song, vng góc

*, Chứng minh đờng thẳng song song

Để chứng minh đờng thẳng song song, ta thờng sử dụng cách sau: - Cách 1: hai đờng thẳng tạo với đờng thẳng thứ ba góc so le

( đồng vị) nhau, hai góc trongcùng phía bù

- Cách 2: áp dụng tiên đề Ơclit (Euclide), thờng kèm với chứng minh bàng phản chứng

- Cách 3: hai đờng thẳng song song với đờng thăng thứ ba - Cách 4: hai đờng thẳng vng góc với đờng thẳng thứ ba - Cách 5: sử dụng tính chất đờng trung bình tam giác

 Bµi tËp HH 7:

Bµi 8([1]- tr 109), bµi 26([1]- tr 118), bµi 59b([2]- tr 83), bµi 60([2]- tr 83), bµi 61([2]- tr 83)…

Bµi 48([3]- tr 83), bµi 49([3]- tr 83), bµi 34([3]- tr 102), bµi 6([3]- tr 98), bµi 64c([3]- tr 106), bµi 68([3]- tr 106), bµi 73([3]- tr 107), bµi 37a([4]- tr 28), bµi 76([4]- tr 32), bµi 8([4]- tr 65)…

Bài tập sách [5]:

1 Cho ABC Phân giác góc B cắt cạnh AC điểm D Qua D

kẻ đoạn thẳng cắt cạnh AB điểm E cho EDˆB EBˆD Qua E kẻ ng

thẳng song song với BD Đờng thẳng cắt cạnh AC F Chứng minh ED // BC

2 Cho ABC điểm M AB Gọi N trung điểm cua AC Trên tia MN ta lÊy mét ®iĨm P cho NP = MN Chøng minh:

MC // AP vµ MC = AP PC // AM vµ PC = AM

3 Cho ABC ABD chung cạnh AB hai đỉnh D, C nằm hai mặt phẳng đối bờ đờng thẳng AB Gọi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm cạnh AC, CB, BD, AD Chứng minh MN // PQ

5 Cho ABC vuông A, đờng cao AH Từ H kẻ HM AC

trªn tia HM lÊy ®iĨm E cho MH = EM Kẻ HN ABvà tia HN lấy điểm D

sao cho NH = DN Chøng minh MN // DE vµ DB // EC

6 Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đờng cao AH Gọi M trung điểm BC N trung điểm AB Đờng thẳng MN cắt tia AH điểm D Kẻ HE AC HF AB Chứng minh EF // AB

7 Cho ABC vuông A Phân giác B cắt cạnh AC điểm D Từ D ta kẻ DE BC(EBC) Tia ED tia BA cắt điểm F Chứng minh AE// FC

8 Cho hai gãc xOˆy vµ yOˆz kỊ vµ Kẻ tia phân

giác Om củaxOy tia phân giác On yOz Lấy Ox, Om, Oy, On, Oz

theo thứ tự điểm A, B, C, D, E cho OA = OB =OC = OD = OE Chøng minh AD // BC vµ EB // DC

9 Cho ABC Gọi E, F theo thứ tự trung điểm cạnh AB, AC Trên tia đối tia FB lấy điềm P cho PF = BF Trên tia đối tia EC lấy điểm Q cho QE = CE Chứng minh BQ // AC CP // AC

*, Chứng minh đờng thẳng vng góc

Để chứng minh hai đờng thẳng vng góc, ta thờng sử dụng cách sau: - Cách 1: hai đờng thẳng hai tia phân giác hai góc kề bù

- Cach 2: hai đờng thẳng song song với đờng thẳng vng góc với đờng thẳng

- Cách 3: hai đờng thẳng chứa hai cạnh tam giác vng, dùng định lí Pytago(Pythagore) kết hợp vớ việc tính tổng hai góc

- Cách 4: dùng tính chất đờng cao tam giác cân

- Cách 5: dùng tính chất đồng quy ba đờng cao tam giác

 Bµi tËp HH 7:

Bµi 69([1]- tr 141), bµi 4b([2]- tr 92), bµi 8b([2]- tr 92), bµi 59([2]- tr 83), bµi 60([2]- tr 83), bµi 61([2]- tr 83)…

Bµi 33([3]- tr 102), bµi 44b([3]- tr 103), bµi 46b([3]- tr 103), bµi 33([4]- tr 27), bµi 58([4]- tr 30), bµi 75([4]- tr 30), bµi 78([4]- tr 32), bµi 91c([4]- tr 34), bµi 2b([4]- tr 64),…

Bµi tËp s¸ch [5]: Cho ˆ 900



y O

x vµ tia Oz n»m xOˆy Trong nửa mặt

phẳng bờ chứa tia Ox, không chứa tia Oz ta vẽmOx zOyvà nửa mặt phẳng

2 Cho xOy yOz kề Kẻ tia phân giác Om xOy tia phân giác On yOz Từ P cạnh chung Oy ta kẻ PH Omvà PK On

a, Chøng minh OK OH

b, Chøng minh KPPH

3 Cho ABC có A nhọn Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa

điểm C ta vẽ tia Ax ABvà lấy tia Ax điểm E cho AE = AB Trên nửa mặt

phẳng bờ AC không chứa điểm B ta vẽ tia AyABvà lấy tia Ay ®iĨm F cho

AF = AC Chøng minhBF CE

4 Cho ABC cãAˆ 900 Cˆ



 Qua A kẻ đờng thẳng vng góc

với AB cắt BC D Từ C kẻ đờng thẳng vng góc với BC cắt BA E, ED cắt AC N Chứng minh DE AC

5 Cho ABC Trên tia BC lấy M cho CM = BC Trên tia CA lấy N cho AN = AC Trên tia AB lấy P cho BP = AB Chứng minh

AP MA

Gọi O tâm đờng tròn ngoạ tiếp tam giác ABC Chứng minh

MP

ON 

6 Cho ABC vuông A Biết AB = c, AC = b,b>c.Kẻ trung tuyến AM trung tuyến BN Tìm hệ thức b, c để AM BN

7 Cho xOynhọn Trên cạnh Ox lấy điểm A, c¹nh Oy lÊy

điểm B cho OA = OB Từ A kẻ đờng thẳng vng góc với Oy, cắt Oy C Từ B kẻ đờng thẳng vuông góc với Ox, cắt Ox D Hai đoạn thẳng AC, BD cắt I Đờng thẳng vng góc với Ox kẻ từ A cắt đờng thẳng vng góc với Oy kẻ từ B, M Chứng minh OM  AB

1.2.1.3 Chứng minh điểm thẳng hàng, đờng thẳng đồng quy

*, Chøng minh ba điểm thẳng hàng

Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta sử dụng c¸c c¸ch sau:

- C¸ch 1: chøng minh AB + BC = AC (hc AC + CB = AB BA + AC = BC)

- Cách 2: chøng minh ˆ 1800



C B

A

- Cách 3: sử dụng tiên đề Ơclit chứng minh AB, AC (hoặc AB, BC) song song với đờng thẳng

 Bµi tËp HH

Bµi 46([2]- tr 76), bµi 56([2]- tr 76), bµi 4e([2]- tr 92), bµi 40([2]- tr 73)…

Bµi 45([4]- tr 29), bµi 48([4]- tr 29), bµi 52([4]- tr 30), bµi 54([4]- tr 30),bài 2e([4]- tr 64)

Bài tập sách [5]:

1. Cho hai điểm A, B nằm hai nửa mặt phẳng đối bờ đờng thẳng xx’ Trên xx’ có điểm M Biết xMˆAxMˆB Chứng minh A, M, B thẳng hàng

2. Ba đờng thẳng xx’, yy’, zz’ cắt điểm O tia Ox, Oy, Oz theo thứ tự ta lấy điểm A, B, C tia Ox’, Oy’, Oz’ theo thứ tự ta lấy điểm A’, B’, C’ cho OA’ = OA, OB’ = OB, OC’ = OC Giả sử A, B, C ba điểm thẳng hàng Chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng

3. Cho ABC, đờng cao BE, CF cắt tai điểm H Gọi M trung điểm BC, N trung điểm đoạn thẳng EF, P trung điểm đoạn thẳng AH Chứng minh M, N, P thẳng hàng

4. Cho ABC vu«ng A Lấy cạnh AB, AC làm cạnh huyền ta dựng phía tam giác ABC tam giác vuông cân ADB, AEC M trung điểm cạnh huyền BC DM cắt AB F EM cắt AC K Chứng minh D, A, E thẳng hàng

5. Cho ABC Kẻ phân giác BD Từ A kẻ tia Ax vuông góc với BD, cắt BD E, BC F Gọi M, N trung điểm cạnh AB, AC Chứng minh M, E, N thẳng hµng

6. Cho ABC Gọi E, F theo thứ tự trung điểm cạnh AB, AC Trên tia đối tia FB ta lấy điểm P cho PF = BF Trên tia đối tia EC ta lấy điểm Q cho QE = CE Chứng minh P, A, Q thẳng hàng

…

*, Chứng minh đờng thẳng đồng quy

Để chứng minh ba đờng thẳng đồng quy ta thờng sử dụng cách sau:

- Cách 1: chứng minh đờng tẳng thứ ba qua giao điểm hai đờng thẳng

- Cách 2: sử dụng tính chất đồng quy đờng thẳng đồng quy tam giỏc

- Cách 3: đa toán chứng minh ba điểm thẳng hàng

Bµi 69([2]- tr 88), bµi 61([2]- tr 83), bµi 41([4] tr 29), Bài tập sách [5]:

1 Cho ABC Trong nửa mặt phẳng bờ đờng thẳng AC, có chứa điểm B, ta vẽ tia Ax’ // BC lấy Ax’ điểm D cho AD = CB Trong nửa mặt phẳng bờ đờng thẳng AC, không chứa điểm B, ta vẽ tia Ax // BC lấy Ax điểm E cho AE = BC Hai tia DB, EC cắt F

a, Chứng minh ba đờng thẳng à, BE, CD đồng quy điểm G b, Chứng minh ABC FDE có trọng tâm

2 Cho ABC (AB < AC < BC) Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm cạnh AB, AC, BC Trên tia PC lấy điểm D cho PD = PM Trên tia PB lấy điểm E cho PE = PN Trên tia NA lấy điểm F cho NF = PE Chứng minh ba đờng thẳng MD, NE, PF đồng quy điểm

3 Cho ABC cân A Trên hai cạnh AB, AC phía ngồi tam giác ta dựng tam giác ADB, AEC Kẻ phân giác AH ABC Chứng minh BE, CD, AH đồng quy

4 Cho ABC, đờng cao AD Kẻ DL AB tia DL lấy điểm M cho AB trung trực DM Kẻ DK AC tia DK lấy điểm N

cho AC trung trực DN MN cắt AB F, cắt AC E Chứng minh AD, BE, CF đồng quy

5 Cho ABC Kẻ phân giác BD Từ A kẻ Ax vng góc với BD, cắt BD E, cắt BC F.Gọi M, N trung điểm cạnh AB, AC Gọi J trung điểm BF Chứng minh AJ, BE, FM đồng quy

1.2.1.4 Chứng minh hình

*, Chứng minh tam giác cân

Để chứng minh tam giác cân, ta sử dụng c¸c c¸ch sau: - C¸ch 1: chøng minh nã cã hai gãc b»ng

- C¸ch 2: chøng minh tam giác có hai cạnh

- Cỏch 3: chứng minh tam giác có đờng trung tuyến đờng cao đờng phân giác

 Bµi tËp HH

Bµi 27([2]- tr 67), bµi 42([2]- tr 73), bµi 62([2]- tr 83),…

Bµi 70([3]- tr 106), bµi 72([3]- tr 107), bµi 98([3]- tr 110), bµi 104a([3]- tr 111), bµi 107([3]- tr 111), bµi 104c([3]- tr 111), bµi 32([4]- tr 27), bµi 47([4]- tr 29), bµi 69([4]- tr 32), bµi 73([4]- tr 32),…

1. Cho ABC cân A Trên AC lấy điểm D cho BD = BC Trên đờng thẳng song song với cạnh AB, kẻ qua đỉnh C, ta lấy điểm E cho CE = AD( E A nằm nửa mật phẳng bờ đờng thẳng BC) Chứng minh ABE cân

2. Cho ABC cãAˆ 900 Cˆ



 Qua A kẻ đờng thẳng vng góc

với AB cắt BC D Từ C kẻ đờng thẳng vng góc với BC cắt BA E, ED cắt AC N Chứng minh ADC, AEC hai tam giác cân

3. Cho ABC Trên tia đối tia BA lấy điểm D tia đối tia AC lấy điểm E cho CE = BD Gọi M, N, P, Q theo tứ tự trung điểm đoạn thẳng BC, DE, BE, CD Chứng minh PMQ tam giác cân

4. Cho ABC, đờng cao AD Kẻ DL AB tia DL lấy điểm

M cho AB lµ trung trùc DM Kẻ DK AC tia DK lấy điểm N

cho AC trung trực cđa DN MN c¾t AB ë F, c¾t AC ë E Chứng minh MAN tam giác cân

*, Chứng minh tam giác đều

Để chứng minh tam giác đều, ta có thê sử dụng mổt cách sau: - Cách 1: tam giác có ba cạnh

- C¸ch 2: tam gi¸c cã hai gãc b»ng 600.

- C¸ch3: tam giác cân có góc 600.

Bài tËp HH

Bµi 47([2]- tr 127),bµi 52([2]- tr 128),bài 27([3]- tr 107), Bài tập sách [5]:

1. Cho ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D Trên tia đối tia BC lấy điểm E Trên tia đối tia CA lấy điểm F Biết AD = BE = CF Chứng minh DEF

2. Cho đờng thẳng d, ba điểm A, B, C theo thứ tự thuộc d Trên nửa mặt phẳng bờ đờng thẳng d, ta vẽ hai tam giác ABD, AEC Gọi M, N theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AE, CD Chứng minh tam giác MBN

…

*, Chøng minh tam giác vuông

Để chứng minh tam giác vuông, ta sử dụng c¸ch sau:

- C¸ch 2: chøng minh tam giác có góc vuông

- Cách 3: chøng minh tam gi¸c cã trung tun b»ng nưa cạnh huyền

Bài tập HH

Bµi 71([1]- tr 141), bµi 72([1]- tr 142),…

Bµi 92([3]- tr 109), bµi 39([4]- tr 28), bµi 77([4]- tr 32), Bài tập sách [5]:

1. Cho ABC vuông A Lấy cạnh AB,AC làm cạnh huyền, ta dựng tam giác vuông cân ADB, AEC M trung điểm BC, DM cắt AB F, AM cắt AC K Chứng minh DME tam giác vuông

2. Cho đoạn thảng AB Từ A, B nửa mặt phẳng bờ AB, ta kẻ tia Ax, By vuông góc với AB Gọi O trung điểm AB C điểm nầm nửa mặt phẳng bê AB chøa c¸c tia Ax, By cho CO = OA Đờng vuông góc với OC kẻ qua C cắt Ax P cắt By Q Chứng minh POQ, ACB hai tam giác vuông

*, Chứng minh đờng thẳng đặc biệt

Để chứng minh đờng trung tuyến( phân giác đờng cao), ta có thể:

- Cách 1: sử dụng tính chất đồng quy đờng tam giác - Cách 2: sử dụng tính chất đờng đặc biệt Ví dụ: điểm nằm đờng thẳng cách hai cạnh góc đờng thẳng đờng phân giác; điểm nằm đờng thẳng cách hai đầu mút đoạn thẳng đờng trung trực

 Bµi tËp HH7

Bµi 43c([1]- tr 125), bµi 65b([1]- tr 137),bµi 34c([2]- tr 71), bµi 36([2]- tr 72),…

Bµi 29([3]- tr 101), bµi 40([3]- tr 102),bµi 93([3]- tr 109), bµi 94([3]-tr 109), bµi 96([3]- 94([3]-tr 110), bµi 97([3]- 94([3]-tr 110),bµi 100([3]- 94([3]-tr 110), bµi 103([3]- tr 110), bµi 108([3]- tr 111), bµi 44([4]- tr 29),bµi 91b([4]- tr 34), bµi 6a([4]- tr 65),…

Bµi tËp s¸ch [5]

1 Trên đờng thẳng xx’ có điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ xx’, ta kẻ hai tia Oy, Oz cho

150 ˆ

' ˆyxOz

O

x Trên nửa mặt phẳng

i ca na mt phẳng chứa tia Oz, bờ xx’, ta kẻ tia Oz’ cho ' ˆ ' 300



z O

2 Cho ABC, đờng cao AD Kẻ DL AB tia DL lấy điểm

M cho AB lµ trung trùc cđa DM Kẻ DK AC tia DK lấy điểm N

cho AC lµ trung trùc cđa DN MN c¾t AB ë F, c¾t AC ë E Chøng minh: a, AD phân giác góc FDE

b, AD, BE, CF đồng quy điểm H c, H trực tâm tam giác ABC

1.2.2 Dạng tìm quỹ tích

Mt hỡnh F c gọi quỹ tích điểm M thoả mãn tính chất

 nã chøa vµ chØ chøa điểm có tính chất

lp em đợc làm quen loại toán quỹ tích dới dạng tốn quỹ tích nh ng thng, phng

Các bớc giải toán quỹ tích:

Bớc 1: Phân tích

 Bíc 2: Chøng minh

 Bíc 3: Biện luận

Một số toán quỹ tích chơng trình HH7:

Bài 43([2]- tr 73), 50([2]- tr 77), 2([2]- tr 93),

1.2.3 Dạng dựng hình

Dng mt hỡnh H l dựng số dụng cụ để vẽ đợc hình H; dãy thứ tự, hữu hạn phép dựng hình để tạo hình H Một hình H đợc coi dựng đợc, ta rõ đợc dãy thứ tự, hữu hạn phép dựng hình để tao thoả mãn yêu cầu đề

Các bớc giải toán dựng hình:

- Bớc 1: phân tích Đây bớc quan trọng nhất, chìa khố để giải tốn Mục đích phân tích thiết lập mối quan hệ yếu tố phải tìm yếu tố cho để từ suy cách dựng

- Bớc 2: cách dựng Đây bớc Chỉ thứ tự phép dựng cần thực để có hình phải tìm Để tránh rờm rà ngời ta khơng quy tốn dựng hình phép dựng hình mà quy tốn dựng hình

- Bớc 3: chứng minh Đây bớc cần thiết Xác nhận hình dựng thực thoả mãn yêu cầu đề Trong bớc ta xem nh phép dựng bớc thực đợc

nói cách khác thiết lập điều kiện giải đợc xác định số nghiệm tốn Ta biện luận theo phép dựng giải đáp vấn đề sau:

 Trong trờng hợp phơng pháp dựng hình chọn khơng thể thực đợc

 Tìm phơng pháp dựng hình khác để dựng hình phải tìm với liệu cho đặc biệt mà phơng pháp ban đầu thực đợc

 Với cách dựng lựa chọn, tốn có nghiệm hình? Thơng thờng quy ớc số nghiệm hình nh sau:

 Nếu tốn địi hỏi điều kiện kích thớc hình lời giải đợc tính nghiệm hình

 Nếu tốn có u cầu vị trí hình cần dựng hình kích thớc nhng có vị trí khác đợc coi nghiệm khác

Bµi tËp HH

Bµi 31([2]- tr 70), bµi 35([2]- tr 71), bµi 37([2]- tr 72), bµi 51([2]- tr 77), bµi 1([2]- tr 95),

1.2.4 Dạng cực trị

1.3 KÕt luËn