BÀI GIẢI CHI TIẾT I.[r]
(1)TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN KỲ THI HỌC KÌ II NĂM HỌC 2011 - 2012 Mơn : TỐN 12
Thời gian : 150 phút (Khơng kể thời gian phát đề) (Đề chung cho chương trình chuẩn nâng cao)
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số y=161 x3
4 - x
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số
2) Gọi d là tiếp tuyến đồ thị ( )C điểm A(6;9) thuộc ( )C ; ( )H1 hình phẳng giới hạn ( )C , d và tia Ox ; (H2) hình phẳng giới hạn ( )C tia Ox Chứng minh ( )H1 (H2) có diện tích
Câu II (3,0 điểm)
1) Tìm nguyên hàm F x( ) hàm số f x( )=cos2x- 3sinx thoả mãn ( )
F p =
2) Tính tích phân sau đây:
5
1 ( 1)
I =ò x+ x- dx ln 2
0 x x 1
dx J
e e =
+ ò
Câu III (1,0 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x- 2y+2z- 5=0 hai điểm A( 2;0;1)- , B(1; 1;3)- Xác định toạ độ điểm H sao cho AH và BH là hai đường thẳng song song vng góc với mặt phẳng ( )P II PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) : Thí sinh phép chọn trong hai phần sau
A Phần thứ :
Câu IVa (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm I(2;0; 3), (3;2; 1)- M -và mặt phẳng ( ) : 2a x+ -y 2z- 0=
1) Viết phương trình mặt cầu đường kính MI
2) Chứng minh MI và ( )a song song với Tính khoảng cách chúng
Câu Va (1,0 điểm)
Tìm phần thực, phần ảo môđun số phức i z biết
2 ii (4 )
z - i i
-= - +
B Phần thứ hai :
Câu IVb (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2a x+ -y 2z- 0= , điểm A(1;1;1) đường thẳng
3
:x- y+ z
-D = =
(2)1) Chứng minh mặt phẳng ( )a chứa điểm A và đường thẳng D 2) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng D Câu Vb (1,0 điểm)
Cho số phức z= +2 3i Tìm mơđun số phức w ziz+75i
+
(3)-BÀI GIẢI CHI TIẾT I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 điểm) Câu I:y=161 x3
4
- x (1) Tập xác định: D = ¡ Đạo hàm: 3
16
y¢= x
- Cho 3
16
y¢= Û x - = Û x = Û x= x = -
Gii hn: xlimđ- Ơ y= - Ơ ; xlimđ+Ơ y= +Ơ
Bảng biến
thiên x
- ¥ - 2 +Ơ
y + 0 0 +
y +
– -
Hàm số (1) đồng biến khoảng (- ¥ -; 2),(2;+¥ ),
nghịch biến khoảng ( 2;2)
-Đồ thị hàm số có điểm cực đại D( 2;1)- , điểm cực tiểu T(2; 1)
- Cho 0
8
y¢¢= x yÂÂ= x= ị y= im un l O(0;0)
Điểm đặc biệt:
0
1
0
16
x
y x x
x é = ê = Û - = Û ê = ± ê ë
Bảng giá trị: x - - 2
y - 1 - 1
Đồ thị hàm số đường cong nhận gốc toạ
độ làm tâm đối xứng hình vẽ bên đây:
Với x0=6 y0 =y(6)=9 y¢ =(6)
Phương trình tiếp tuyến ( )C điểm A(6;9) là:
9 6( 6) 27
y- = x- Û y= x
-Tiếp tuyến d :y=6x- 27 tiếp xúc với ( )C A(6;9) cắt Ox tại B( ;0)92 hình vẽ
Dựa vào đồ thị ta có hiệu diện tích ( )H1 (H2) là:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
9
4
9
6 1 3 3 1 3 3
1 2 3 16 0 16
6
2
3
64 2 3 64 0
(6 27)
3 27
x x x x
S S x x dx x dx x x dx
x x é ù é ù ê ú ê ú - =ê - - - ú ê- - + ú ë û ë û é ù ê ú =ê - - - ú+ - = ê ú ë û ò ò ò
Vậy ( )H1 (H2) có diện tích
Câu II: Ta có F x( )=òf x dx( ) =ò(cos2x- 3sinx dx) = 12sin2x+3cosx C+ Do F p( )=0 nên 12sin2p+3cosp+C = Û - +0 C = Û0 C =3 Vậy, F x( )=12sin2x+3cosx+3 nguyên hàm cần tìm
a)
1 ( 1)
I =ò x+ x- dx ( )2
2 x
= 5
1 2x 1dx 12 2x 1dx
+ò - = +ò
- Đặt t= 2x- 1Þ t2=2x- 1 tdt=dx
Suy 3
1
12 12 12
I = +ò ttdt= +ò t dt= +( )3
3
t 26 62
3
12
(4)b) ln 2 ln 2 2
0 1 1
x
x x x x
dx e dx
J
e e e e
= =
+ +
ò ò
Đặt với
2
tan
x
e = t < < suy t p e dxx = +(1 tan )2t dt Đổi cận: x=ln Þ t = p3
4
x= Þ t= p
Suy 3 3
4 4
2
2 2 2
(1 tan ) tan cos
tan tan tan cos tan sin
t dt tdt dt tdt
J
t t t t t t
p p p p
p p p p
+ +
= = = =
+
ò ò ò ò
Đặt u=sintÞ du=cos t dt
3 2 2 du J u =ò ( ) 2
3 2
1 2
3
u
-= - = - + =
Câu III: A( 2;0;1)- , B(1; 1;3)- ( ) :P x- 2y+2z- 5=0 có vtpt nrP =(1; 2;2)
-Do BH ^( )P nên
1
3 H
P H
H
x t
BH t n y t
z t ìï - = ïï ï = Û íï + = -ï - = ïïỵ uuur r
(1 ; ;3 ) (3 ; ;2 )
H t t t AH t t t
Þ + - - + Þ uuur = + - - +
Mặt khác AH€ ( )P nên AH nuuur r P = Û0 3+ -t 2( ) 2(2 )- - t + + t = Û0 t= - Vậy điểm H cần tìm là: H(0;1;1)
II PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) : Thí sinh phép chọn trong hai phần sau
A Phần thứ :
Câu IVa: I(2;0; 3), (3;2; 1)- M - ( ) : 2a x+ -y 2z- 0=
Mặt cầu đường kính MI có tâm T( ;1; 2)52 - trung điểm đoạn MI bán
kính
2 2
1
2 (2 3) (0 2) ( 1)
R = MI = - + - + - + =
nên có phương trình: 52 2
2
(x- ) +(y- 1) +(z+2) =
( )a có vtpt nra =(2;1; 2)- , cịn IMuuur=(1;2;2) n IMa =2.1 1.2 2.2+ - =0
uuur r
Suy nra IMuuur vng góc IM song song chứa ( )a
Ngoài 2.2 2( 3) 0+ - - - ¹ nên I Ï ( )a
Vậy, IM€ ( )a ( ,( )) ( ,( )) 2.2 2( 3) 12 2 2 ( 2)
d IM a =d I a = + - - - = + +
-Câu Va: 72 i (4 ) (2 )(2 )(7 )(2 )i i (4 5) 15 55 i
i i i
z - i i - + i + i i
- - +
= - + = - - = - + =
-Suy i z =i(8 )+ i = - +3 8i
Phần thực i z - 3, phần ảo i z i z. = -( 3)2+82 = 73
B Phần thứ hai :
Câu IVb: ( ) : 2a x y+ - 2z- 0= , A(1;1;1)
3
:x- y+ z
-D = =
(5)Toạ độ điểm A,B C đều thoả mãn phương trình 2x y+ - 2z- 0= ( )a A,B C đều thuộc ( )a Vậy, ( )a chứa A và D
Mặt cầu tâm A(1;1;1) tiếp xúc với đường thẳng D có bán kính
2 2
2 2
, ( 8) 12
( , )
26 ( 4)
CB AB R d A
CB
é ù + +
-ê ú
ë û
= D = = =
+ - +
uuur uuur uuur
trong CBuuur=(3; 4;1),- ABuuur=(1; 4; 1)- - suy êéëCB ABuuur uuur, ù=úû (8;4; 8) -nên có phương trình (x- 1)2+(y- 1)2+ -(z 1)2= 1372
Câu Vb: Với z= +2 3i ta có
7 (1 )(1 ) 3
5 (2 ) 2 (1 )(1 ) 2
z i i i i i i i i
i
iz i i i i i i
w= + = - + = + = + = + - = + = +
+ + + + + +
-Môđun w
2
3 10
2 2