SKKN day toan 12

- Loại toán viết phương trình tiếp tuyến trong các tài liệu tham khảo thường được đề cập một cách sơ sài và nhỏ lẻ, nên tôi đã cố gắng tập hợp, giải quyết các bài toán phương trình tiếp [r]

Mục lục

1 Lí chọn đề tài

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận

2.1.1 Định nghĩa tiếp tuyến đường cong phẳng 2.1.2 Một số toán tiếp tuyến đồ thị hàm số.

2.2 Thực trạng vấn đề 10

2.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề 11 2.3.1 Viết phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị 11 2.3.2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết hệ số góc cho

trước

15 2.3.3 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết tiếp tuyến qua

một điểm cho trước

18

2.4 Hiệu SKKN 22

2.4.1 Khảo sát thực tế: 22

2.4.2 Kết sau thực SKKN: 22

3 Kết luận: 24

Phụ lục Đề số

26

Đề số 30

Tài liệu tham khảo 35

1 Lí chọn đề tài

phương trình tiếp tuyến; chứng minh tính chất tiếp tuyến; tìm tập hợp điểm mà từ kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số …

Bài toán viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số nội dung quan trọng thường gặp kỳ thi tốt nghiệp THPT tuyển sinh vào CĐ – ĐH năm gần đây, nhiều học sinh mơ hồ lúng túng khơng biết giải tốn Bài tốn viết phương trình tiếp tuyến có nhiều dạng khác nhau, học sinh thường mắc sai lầm toán viết phương trình tiếp tuyến qua điểm viết phương trình tiếp tuyến điểm; dạng viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết hệ số góc tiếp tuyến, chứng minh tính chất tiếp tuyến…đối với học sinh lại khó Học sinh khơng có phương pháp làm tập viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số em biết sơ qua chương trình lớp 11 lại luyện tập Hơn em phân loại tập để có cách giải hữu hiệu, q trình làm tập nhiều giải học sinh cịn bỏ sót trường hợp ví dụ chưa tìm hết tiếp điểm; đánh tráo đề bài…

Như nói, chương trình sách giáo khoa đại số giải tích lớp 11 học sinh tiếp cận hiểu biết toán viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số mức độ định; chưa hiểu sâu lí thuyết; chưa rèn luyện nhiều kĩ Chính mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm tốn viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số với mong muốn giúp học sinh hiểu sâu toán rèn kĩ nhiều hơn, vận dụng vào giải tốn thành thạo hơn, lí tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “TÌM HIỂU BÀI TỐN VỀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ”

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận:

Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (C) giả sử (C) đồ thị hàm số

y = f(x) M0 (x ; f (x ))(C) kí hiệu M(x; f(x)) điểm di chuyển ( C)

y (C) M T f(x)

f(x ) M0

O x x x

Đường thẳng M M0 cát tuyến ( C)

Khi x x0thì M(x; f(x)) di chuyển ( C) tới M0 (x ; f (x )) ngược lại

Giả sử cát tuyến M M0 có vị trí giới hạn, kí hiệu M T0 M T0 gọi tiếp tuyếncủa ( C) M0 Điểm M0được gọi tiếp điểm

Tại vị trí M (C) ta ln có

0 ( M) ( )

M

M

f x f x k

x x

 



là hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M0 (x ; f (x ))”

Hơn ta có kết sau: “Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm biết tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số

0

M (x ; f (x )) có phương trình y f x( )0 f x'( )(0 x x 0)”

Sau ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song trùng với oy *) Định lý 1:

Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f(x) điểm

M (x ; f (x )) y y 0 f x'( )(0 x x 0) y0 f x 0 *)Định lý 2:

Cho hàm số yf x( ) có đồ thị (C) đường thẳng d: y = kx + b Đường thẳng

d tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm: ( )

'( )

f x kx b

f x k

 

 

 

Khi nghiệm x hệ phương trình hồnh độ tiếp điểm 2.1.2 Một số toán tiếp tuyến đồ thị hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị

a Bài toán 1: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) điểm M x y0 0; 0( )C Viết

phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M x y0 0; 0( )C

Ví dụ 1:

Cho hàm số y = x3- 6x2+ 9x có đồ thị (C)

Hãy viết phương trình tiếp tuyến điểm A(2;2) thuộc đồ thị (C) Giải

Ta có: y’=3x2-12x +9

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm A(2;2) l à:

3( 2)

y x  hay y3x8

Ví dụ 2: Cho hàm số y =

3

2

 

x x

có đồ thị (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm đồ thị với trục 0y

Giải:

1 '

(2 3)

y

x





Giao điểm đồ thị với 0y: 0;2

 

 

 , hệ số góc  

1 '

9

y 

Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị cho

9

y  x

b Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y =f(x) điểm

có hồnh độ x = x (Hoặc : y= y )

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x4 - 2x2 có đồ thị (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ x= -2

Giải

Ta có: y’=4x3- 4x

Với: x = -2  y = y’(-2)= - 24

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm A(-2;8) là: y = -24( x + ) + hay y = -24x - 40 Ví dụ 2: Cho hàm số 3

  x x

y có đồ thị (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến

của đồ thị (C) điểm có tung độ y = Giải :

y' 3 x2 

Ta có

  

 

            

3 0

3

5

5 3

x x x x

x x

y’(0) = -3

Do phương trình tiếp tuyến y 53(x 0) hay y = -3x +5 +) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm ( 3;5).

'( 3) 3( 3)2   

 

y

Do phương trình tiếp tuyến : y 56(x 3) hay y6x6 35 +) Tương tự phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm( 3;5) :

5

6  

 x

y

2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết hệ số góc cho trước

Bài tốn: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) số k  Viết phương trình

tiếp tuyến đồ thị (C) có hệ số góc k

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 1 x y

x

 

 (C) có hệ số

góc

 2

2 '

1 y

x



 = =>

2

(x 2x1) 1 2 0

2 x

x x

x

 

    

 

Có toạ độ tiếp điểm (0; 1), ( 2;3) 

Hai phương trình tiếp tuyến: y3x 1 3( 2)

3

y x

y x

  

  

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến với  C :

2

x y

x

 



 biết tiếp tuyến song

song với d y: 7x Giải:

Ta có

 2  2

7

7

2x 2x



  

 

0

x x

 

  



Có hai phương trình tiếp tuyến y7x3, y 7x

Ví dụ 3: Cho hàm số y=x3 3x2 2

  có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến

của (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng : 3x 5y 0

Cách : Đường thẳng có hệ số góc

5

k  Vì tiếp tuyến d cần tìm vng góc với đường thẳng  nên hệ số góc tiếp tuyến cần tìm

3

d

k 

Hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến nghiệm phương trình

2

5

'

3

y   x  x

1

2

9 18

5 x

x x

x

  

     

 



Thay x x1, vào phương trình tiếp tuyến tổng quát, ta tiếp tuyến

là: 61

3

y x 31

3

y  x

Cách : Phương trình tiếp tuyến có dạng d :

y  x c (*)

d tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm

3

1

2

2

5 61

3

3 27

5 31

3

3 27

x x x c c

x x c

 

    

 



  



   

 

 

Thay c c1; vào phương trình (*), ta tiếp tuyến là:

5 61

3

y  x

và 31

3

y x

3 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết tiếp tuyến qua điểm cho trước

Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) điểm A a b ;  cho trước Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C)

Ví dụ 1: Cho hàm số y x3 3x2 2

   Viết phương trình tiếp tuyến kẻ đến đồ thị

từ điểm (23; 2)

Giải:

Đường thẳng d qua điểm A có phương trình 23 (*)

y k x    

 

Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) hệ sau có nghiệm

3

2

23

3 2

9

3

x x k x

x x k

                  

3 2

2

23

3 (3 )

9

3

x x x x x

x x k

                    2 3 x k x k x k

x x k

                         

Thay k vào (*), ta phương trình tiếp tuyến là:

1

5 61

: 2, :

3 27

d y d y x d y3: 9x 25

Ví dụ 2: Cho hµm sè ( )

2 3

1x4 x2 C

y   ViÕt pttt cña (C) ®i qua )

2 ; ( A Gi¶i:

Phơng trình đờng thẳng qua ) ; (

A cã d¹ng: ( )

2

d kx

y  

Đờng thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C) hệ sau:

           k x x kx x x 6 2 2 3 2 3 3 2 1 cã nghiÖm Suy             2 0

x x x x x

+) Víi x =  k 0 Pttt lµ:



y

+) Víi x  k 2 Pttt lµ:

2 2    x y

+) Víi x= - 2 k 2 Pttt lµ: y =

2 2 x

KÕt luËn: VËy cã ba tiÕp tuyÕn kỴ tõ ) ; (

Ví dụ 3: Cho hµm sè 1

 

x x

y (C) Gọi I giao điểm hai đờng tiệm cận đồ thị hàm số CMR: khơng có tiếp tuyến qua I

Gi¶i:

Ta có tiệm cận đứng x = -1

Tiệm cận ngang y = Do toạ độ giao điểm hai đờng tiệm cận là: I(-1; 1)

Phơng trình đờng thẳng qua I(-1; 1) có dạng: y = k(x+ 1) + (d)

Đờng thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C ) hệ sau có nghiệm:

2 1 1 1 1 1 )1 ( )1 ( 1 1 )1 ( 1 1 )1 ( 1 2                           x x x x x x x x x k x xk x x

(vô nghiệm) => (điều phải chứng minh) Vớ d 4: Cho hµm sè

1     x x x

y (C) Tìm điểm trục tung mà từ kẻ đợc tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Gi¶i:

ViÕt l¹i y díi d¹ng

1     x x

y (C)

Gọi B(0;b)Oy, Phơng trình đờng thẳng qua B có dạng: y = kx + b (d) Đờng thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị (C) hệ sau có nghiệm:

(I)                          kkx x x bkx x x k x bkx x x 1 1 1 1 1 2 )1( 1 1 1 1 2 2 1

3 b k

Do (I)               )2 ( )1 ( 1 1 )1 ( 2 3 1 1 k x k b x

HƯ cã nghiƯm vµ chØ (1) cã nghiÖm tháa m·n (2)

                        (*) 04 )3 ( )1 (2 3 ) 2 3 (1 0 2 3 2

2 k b k b

bk k k b k b

Yêu cầu toán thoả mÃn phơng trình (*) cã hai nghiƯm kh¸c b +

                   08 4 0)4 )3(( )1( 04 )3( )3)( 1(2 )3(

0' 2 2

2 2 b b b b bb

b 

      2 1 b b

Vậy, điểm trục tung có tung độ bé -1 khác -2 từ kẻ đợc tiếp tuyến đến đồ thị (C)

2.2 Thực trạng vấn đề:

Qua điều tra thực tiễn giảng dạy cho thấy đa phần học sinh khơng cảm thấy khó khăn việc khảo sát hàm số Tuy nhiên học sinh gặp phải khó khăn làm tập tiếp tuyến đồ thị hàm số, thường mắc phải khó khăn sau:

- Chưa có phương pháp giải cụ thể cho dạng

- Nhầm hai khái niệm tiếp tuyến qua điểm tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị hàm số

Ví dụ: Cho hàm số y x3 3x2 2

   có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến

của đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(0;3)

Giải: +) Gọi d đường thẳng qua điểm A(0;3), phương trình d có dạng

3

y kx 

+) d tiếp tuyến đồ thị hàm số hệ phương trình

3

2

3 (1)

3 (2)

x x kx

x x k

   

 

 



có nghiệm x Thay k (2) vào (1) ta

3 2

2

3 (3 )

( 1)(2 1) (*)

x x x x x

x x x

    

    

Bây phương trình (* ) học sinh khơng ý: Từ phương trình (*) ta có

2

1

2

x

x x

 

 

  



mà lại viết 21

2

x

x

x x

 



 



  



Vậy phương trình tiếp tuyến là: y3x3

Khi lời giải bị sai từ bước trung gian nên thiếu phương trình tiếp tuyến

Như lời giải

Từ phương trình (*) ta có 21

2

x x x

 

 

  



1 x x

   

  

3 15 k k

   

  

Vậy phương trình tiếp tuyến là: y3x3 15 y x

Có học sinh lại đánh tráo đầu viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A(0;3)

0

'( ) '( )

y x f x =

Vậy phương trình tiếp tuyến là: y3

Hoặc có học sinh lại bỏ sót trường hợp trình giải… 2.3 Giải vấn đề

Việc đưa dạng toán tiếp tuyến đồ thị hàm số phương pháp giải cụ thể cho dạng bài, vận dụng phương pháp giải tập toán đề hướn dẫn em làm tập phần học cần thiết Bởi em khơng cịn phải lúng túng việc lựa chọn cách giải mà có cách giải xác xác định yêu cầu “Bài toán tiếp tuyến đồ thị hàm số” dạng Chính mà hai năm gần phần dạy tập tiếp tuyến đồ thị hàm số cố gắng giúp học sinh biết cách nhận dạng tập; phương pháp giải dạng Từ em tự tin có hứng thú học tập  2.3.1 Viết phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị

a Bài tốn 1: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) điểm M x y0 0; 0( )C Viết

phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M x y0 0; 0( )C

* Phương pháp giải:

+) Theo ý nghĩa hình học đạo hàm (đã nêu trên) tiếp tuyến điểm M x y0 0; 0( )C có hệ số góc f x'( )0

+) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y =f(x) tai điểm M x y0 0; 0có

dạng: y y f x'( )(0 x x 0) hay y f x( )0 f x'( )(0 x x 0) Nhận xét:

+) Đối với tốn học sinh cần tính xác f x'( ), f x'( )0 và rút gọn xác lời giải tốn

+) Đồ thị có phương trình tiếp tuyến

Ví dụ 1: Cho hàm số (C): y = x3-6x2+9x Hãy viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(2;2) ( ) C

Ta có: y’=3.x2-12x +9

Với: x = ; y = y’(2)= -3

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm A(2;2) là: y3(x 2) 2 hay y3x8

Ví dụ 2: Cho hàm số (C): y = x+1 - 2 1



x Hãy viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) A(0;3)

Giải

Ta có: y’= 1+

2 ) (

4



x nên y’(0) = Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) A(0;3) là: y = 5(x-0) + hay y = 5x +

Ví dụ 3: Cho hàm số y = + 3x – x3 có đồ thị (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn đồ thị

Giải:

2

' 3

y   x , y''6x

y'' 0  x0

Toạ độ điểm uốn (0;2) , y'(0) 3

Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm uốn là:

3( 0)

y x  hay y 3x2

b Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y =f(x) điểm

có hồnh độ x = x (Hoặc : y= y ) * Phương pháp giải:

-Với: x =x  y =f(x ) (Bài toán đưa dạng trên)

x = x có dạng:

y=f’(x )( x-x ) + y

Nhận xét: Áp dụng tương tự với tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có tung

độ: y= y =f(x )  x =? ( toán đưa dạng tiếp tuyến một điểm )

Ví dụ 1: Cho hàm số y x 3x2 

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C)tại điểm có hồnh độ -1 Giải: Hoành độ tiếp điểm x1, nên tung độ tiếp điểm y1

2

' '( 1)

y  x  x  y  

Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (-1;1) là:

3( 1)

y x  hay y 3x

Ví dụ 2: Cho hàm số y x x

3

1

 

 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến

(C) điểm có tung độ –7 Giải:

Tung độ tiếp điểm y7 nên hoành độ tiếp điểm x2

2

4

' '(2)

(1 )

y y

x

  

 Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (2;-7)

là:y4(x 2) 7 hay y4x 15

*) Bài toán mở rộng:

Ví dụ 1: Cho hµm sè: 3 2   

 x x

y (C).Tìm điểm thuộc (C) mà qua kẻ

đợc tiếp tuyến đến (C)

Gi¶i:

Gäi ( ; 2) ( )

3 0

0 x x x C

M

Phơng trình tiếp tun (pttt) cđa (C) t¹i M0 cã d¹ng:

( ) 2

0

0   



k x x x x

Đờng thẳng (d) tiếp tuyến (C) M0 chØ hÖ sau cã nghiÖm:                k x x x x x x k x x 6 3 2 3 ) ( 2 3 2 0 Suy                 ) 3 )( ( 0 2 0 x x x x x x xx x x x x

Điểm M0 thoả mÃn yêu cầu khi:

0

1  

  

x x x x

x

Vậy, (C) tồn điểm M0( 1; 0) mà qua kẻ đợc

một tiếp tuyến với đồ thị (C)

Ví dụ 2: Cho hµm sè: 12

  

x x

y (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), trục Oy tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x =

Gi¶i:

Ta cã: 4.3

3

x  y  



'(3) 83

) (

6

' 2  



 y

x y

Pttt cña (C) điểm ) ;

( lµ:

2 ) (  x y Diện tích hình phẳng cần tính lµ:

dx x x dx x x S ) ) ( ( ) ( ) ( 3            

= ( ( 3)3 16

3



x -3 6ln 1)3

0

2x x = 16 99 ln

12  (®vdt)

 2.3.2.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết hệ số góc cho trước

Bài tốn: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) số k  Viết phương trình

* Phương pháp giải:

i) Cách 1: Phương pháp tìm tiếp điểm:

+) Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với (C) điểm có hồnh độ xi

'( )i i

f x k x x

    nghiệm phương trình f x'( )k

+) Giải phương trình f x'( )k, suy nghiệm x  x x0, , 1 xn ,n 

  

+) Phương trình tiếp tuyến xi là: y k x x (  i) f x( )i

ii) Cách 2: Phương pháp điều kiện kép

Xét đường thẳng có hệ số góc k có phương trình y kx m  (m ẩn) tiếp xúc

với đồ thị (C): yf x( ) Khi ta có phương trình kx m f x( ) có nghiệm

kép Áp dụng điều kiện để phương trình có nghiệm kép, suy m Từ suy phương trình tiếp tuyến cần tìm

Nhận xét: Vì điều kiện ( ) :C1 yf x( ) ( ) :C2 y g x ( ) tiếp xúc hệ điều

kiện ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x

 





 có nghiệm kép khơng phải điều kiện phương trình

( ) ( )

f x g x có nghiệm kép nên cách sử dụng cho dạng hàm số ( )

yf x mà phương trình tương giao kx m f x( )có thể biến đổi tương đương

về phương trình bậc ( điều kiện để có nghiệm kép  m 0 ) Chú ý: Ta có dạng biểu diễn hệ số góc k sau:

- Dạng trực tiếp: 1, 2, , 1, , 2, 3,

k     

- Tiếp tuyến tạo với chiều dương 0x góc , ; ; 45 ; 30 ;

150 0

   

 

  



đó hệ số góc ktan

- Tiếp tuyến song song với đường thẳng yax+b, hệ số góc k = a - Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng yax+b, ka k

a

  

- Tiếp tuyến tạo với đường thẳngyax+b góc 

tan

k a

ka 

 



Cho hµm sè y x3 3x2



 (C) Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết hệ

sè gãc cña tiÕp tuyÕn k = -3

Gi¶i:

Ta cã: y' 3x2 6x  

Do hÖ sè gãc cđa tiÕp tun k = - nªn: 2 1

       

 x x x x

x

Víi x1 y2 Pttt cÇn tìm là: y3(x 1) y3x1

Ví dụ 2:

Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 3   x x

y (C) Biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 9x + 2009

Gi¶i:

Ta cã y' 3x2 6x 



Do tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 9x + 2009 nên tiếp tuyến có hệ số góc k = 9

 

 x x

           3 2 x x x x

+) Víi x1 y3.Pttt cđa (C) x = - là: y9(x1) y9x6

+) Víi x 3 y 1 Pttt cđa (C) x = là: y9(x 3)1 y9x 26

Vậy, có tiếp tuyến (C) song song với đờng thẳng y = 9x + 2009 là: y = 9x + y = 9x - 26

Ví dụ 3: Cho hµm sè 3   x x

y (C) ViÕt phơng trình tiếp tuyến (C) biết

tip tuyến vng góc với đờng thẳng y x

1





Gi¶i:

Ta cã ' 3   x

y Do tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đờng

th¼ng y x

1



 nªn hƯ sè gãc cña tiÕp tuyÕn k =

Do ' 3        

k x x x

y

+) Với x =  y4 Pttt điểm có hồnh độ x = là:

14 ) (

9     

 x y x

y

+) Với x2 y0 Pttt điểm có hồnh độ x = - là:

18 ) (

9     

 x y x

Vậy, có hai tiếp tuyến củả (C) vng góc với đờng thẳng y x

1



 lµ:

y =9x - 14 vµ y = 9x + 18 *) Bài tốn mở rộng:

Ví dụ 1:

Cho hµm sè 3   

x x x

y (C) Chøng minh số tiếp tuyến (C) tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhÊt

Gi¶i:

Ta có hệ số góc tiếp tuyến điểm đồ thị (C) là: k = '

 

 x x

y 6 '

'  x

y  y''0 6x60 x1

ĐiĨm n U(-1; 14)

HƯ số góc tiếp tuyến điểm uốn là: k1 = -12

Bảng biến thiên hàm số '  

 x x

y

x   -1 

y’’ - +

y’   -12

Từ bảng biến thiên suy k 12 Dấu “ = ” xảy x = -1 (hoành độ điểm uốn) (Điều phải chứng minh)

Ví dụ 2:

Cho hµm sè: ( 1) ( )

2 C m x m m x m mx y     

 Tìm điểm x0 để với m 0, tiếp

tuyến đồ thị hàm số (C) điểm x0 song song với đờng thẳng cố định

Tìm hệ số góc đờng thẳng

Gi¶i:

Ta cã: 2

0 2 0 2 ) ( 2 ) ( ' ) ( 2 ' m x m x m mx x y m x m x m mx y         

                           ) ( ) ( ) ( 2 0 ) ( ) 2 ( ) ( 2 2 0 2 0 2 0 2 kx x kx k x m kx m x kx m k x m k m x m x m mx

Ta cã : (3) 

     0 x k

+) Víi x0 = suy k = -2 (tho¶ m·n)

+) Víi k =

       0 1 0 x x (v« nghiƯm)

Vậy, x0 = k = -2 thì tiếp tuyến (C) x0 song song với đờng

thẳng cố định

 2.3.3.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết tiếp tuyến qua điểm cho trước

Bài tốn: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) điểm A x y A; A cho trước Viết

phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C) * Phương pháp giải:

i) Cách 1: Thực theo bước

- Đường thẳng d qua điểm A x y A; Acó phương trình:

: ( A) A

d y k x x  y

- d tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm

( ) ( )

'( )

A A

f x k x x y f x k

  

 

 

( ) '( )( ) (1)

'( )

A A

f x f x x x y f x k

         k - Kết luận tiếp tuyến d

ii) Cách 2: Thực theo bước

( ; )

d: y y x x x'( )(0  0)y0

- Điểm A x y A; Ad , ta yA y x x'( )(0 A  x0) y0 (2) x0

- Kết luận tiếp tuyến d

Chú ý: Số nghiệm phân biệt phương trình (1), (2) số tiếp tuyến kẻ từA đến đồ thị (C)

Ví dụ 1:

Cho hàm số (C): y = 13 x3-x2

Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) qua điểm A(3;0) Giải

Ta có: y’= x2-2x

-Gọi đường thẳng qua A(3;0) có hệ số góc k→phương trình có dạng: y=k.(x- 3)+0

-Để đường thẳng tiếp tuyến đồ thị hàm số thì:

    

 

  

x x k

x k x x

2 ) (

1

2

có nghiệm

-Thay (2) vào (1)ta có ( )( 3)

1x3  x2  x2  x x →x=0 x=

-Với x=0 thay vào(2)→k = Phương trình tiếp tuyến: y =

-Với x= thay vào(2)→ k= Phương trình tiếp tuyến: y = 3.(x-3) = 3x – -Vậy có hai phương trình tiếp tuyến qua A(3;0) là:

y = y = 3x – Ví dụ 2:

Cho hàm số (C): y =

2

x x



 Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C)

Giải

Phân tích: tiếp tuyến (d)cần tìm thỏa mãn *(d)là tiếp tuyến ( C) *(d)cắt ox A cắt oy B *OA=OB

Cách 1: Vì (d) cắt ox A nên A(a;0)

(d) cắt oy B nên B(0;b) điều kiện: a0 b0

Để tam giác AOB cân O OA=OB a b

 a = b a = -b

*Với a = b ta có phương trình đường thẳng (d) có dạng:  1 a

y a x

 y = - x + a

Để (d) tiếp tuyến (C) hệ phương trình:

2

2

(1)

2 3

1

1 (2)

(2 3)

x

x a x

x

 

 

 

 

  

 



có nghiệm

Từ (2) ta có: x = -2 x = -1

-Với x = -2 thay vào (1) ta có: a = -2 thay vào phương trình tiếp tuyến (d) phương trình d

y = -x -

-Với x = -1 thay vào (1) ta có: a = (loại)

*Với a = -b ta có phương trình đường thẳng (d) có dạng: 1

 

a y a x

Để (d) tiếp tuyến (C) thì:

      

  

   

2

) (

1

3

2 x

a x x

x

có nghiệm

Từ (2) suy hệ vơ nghiệm

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm (d): y = -x - Cách 2:

Vì tam giác AOB cân O nên tiếp tuyến đồ thị hàm số tạo với ox góc 450 1350 và khơng qua gốc tọa độ O

-Tiếp tuyến đồ thị hàm số tạo với ox góc 450 ta có:

    

 2

0

'

) (

1

) ( 45 tan

x x

y phương trình vơ nghiệm

- Tiếp tuyến đồ thị hàm số tạo với ox góc 1350 ta có:

   

    

 (2 3)

) (

1

) ( 135

tan

0

0

'

0 x

x x

y x0 = -1 x0= -2

Với x0 = -1 y0 1.Phương trình tiếp tuyến: y= -1(x+1) +1 hay y= -x (loại

qua gốc tọa độ O)

Vớix0= -2 y00 Phương trình tiếp tuyến: y= -1(x+2) hay y= -x -

Kết luận: Phương trình tiếp tuyến cần tìm : y= -x -

NHẬN XÉT: - Với cách 1: học sinh thường thiếu điều kiện a b để A BO tam giác

-Với cách 2: đơn giản xong học sinh hay bỏ qua điều kiện tiếp tuyến đồ thị hàm số không qua gốc tọa độ O

2.4 Hiệu SKKN 2.4.1 Khảo sát thực tế:

Trước thực SKKN , năm học 2010 - 2011 khảo sát chất lượng học sinh lớp 12B1 ; 12B2 ; 12B3 thông qua kiểm tra viết gồm tốn viết phương trình tiếp tuyến (Đề số phụ lục trang 26 )

Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến điểm

Bài tốn 3: Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm cho trước Kết sau:

Khơng có học sinh đạt điểm khá, giỏi; điểm trung bình chưa đạt 40%, cịn lại yếu, Cụ thể:

Lớp TS Giỏi Khá T bình Yếu Kém

SL % SL % SL % SL % SL %

12B1 44 0 0 17 38,6 13 29,6 14 31,8

12B2 44 0 0 17 38,6 14 31,8 13 29,6

12B3 43 0 0 15 34,9 13 30,2 15 34,9

131 0 0 49 37,4 40 30,5 42 32,1

Chất lượng làm học sinh thấp, kĩ giải toán yếu

2.4.2 Kết sau thực SKKN:

Sau thực đề tài lớp 12B2; 12B5; 12B3 trường THPT Gia Phù năm 2011 khảo sát chất lượng học sinh thông qua kiểm tra viết gồm bài: (Đề số phụ lục trang 30)

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến điểm

Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc cho trước Bài tốn 3: Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm cho trước Bài toán 4: Ứng dụng

Kết sau:

Đã có học sinh đạt điểm khá, giỏi cịn Điểm yếu, giảm Cụ thể:

Lớp TS Giỏi Khá T bình Yếu Kém

SL % SL % SL % SL % SL %

12B5 44 4,5 13,6 27 61,4 20,5 0

12B2 43 4,7 11,6 27 62,8 20,9 0

12B3 44 0 15,9 29 65,9 18,2 0

Tổng 131 3,1 18 13,7 83 63,4 26 19,8 0

Một số học sinh khá, giỏi biết vận dụng vào tốn mức độ khó Trải qua thực tiễn giảng dạy nội dung giảng liên quan đến SKKN có tham góp đồng nghiệp, vận dụng SKKN vào giảng dạy thu số kết định sau:

Học sinh yếu hiểu biết vận dụng tốt phương pháp viết phương trình tiếp tuyến

Học sinh trung bình trở lên nắm vững phương pháp, biết vận dụng thành thạo linh hoạt

Chất lượng giải kĩ giải toán tốt so với năm trước

3 Kết luận:

- Trong giai đoạn giáo dục nay, đổi phương pháp giảng dạy nhiệm vụ quan trọng nhằm đào tạo cho xã hội nguồn nhân lực thực thụ Bản thân mong muốn làm để nâng cao chất lượng học tập học sinh nên tơi ln cố gắng tìm tịi ứng dụng đổi vào việc giảng dạy sở kinh nghiệm qua nhiều năm đứng lớp

- Như vậy, với SKKN dù hay nhiều giúp ích cho cho cơng việc giảng dạy tơi, góp phần nhỏ giúp học sinh hiểu kĩ vận dụng tốt vào giải tốn, nâng cao chất lượng học mơn tốn trước Đối với thân tôi, giáo viên đứng lớp viết SKKN giúp ích nhiều việc tự học trau dồi chuyên môn, nghiệp vụ

- Mặc dù SKKN viết tập chung vào vấn đề nhỏ chương trình tốn lớp 12 việc áp dụng vào giảng dạy có tác dụng tốt, thời gian tới phát triển thêm SKKN áp dụng cho đối tượng học sinh khá, giỏi với toán nâng cao

- Từ q trình áp dụng SKKN tơi thấy học kinh nghiệm rút giảng dạy giáo viên phải giúp học sinh tiếp thu kiến thức cách nhẹ nhàng tự nhiên, không nên gò ép, áp đặt, phải đưa phương pháp giải loại tốn có học sinh hứng thú học tập yêu thích mơn tốn *) Những ý kiến đề xuất

Bài tốn viết phương trình tiếp tuyến có nhiều dạng mà đề cập chương trình THPT, hầu hết học sinh gặp khó khăn tiếp cận với tốn viết phương trình tiếp tuyến qua điểm, viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc cho trước

Để giúp học sinh nắm vững kiến thức phương trình tiếp tuyến đồng thời biết vận dụng cách linh hoạt kiến thức để giải nhiều tình khác tơi xin nêu số giải pháp đề nghị sau:

Đối với tổ chuyên môn chuyên môn nhà trường cho phép áp dụng SKKN với số lớp không phân công giảng dạy cách cho học sinh học phụ đạo buổi chiều

2 Tổ chun mơn thường xun đóng góp ý kiến cho SKKN tơi q trình tơi thực SKKN

nhỏ Trong trình thực SKKN, tơi nhận góp ý quý báu đồng nghiệp tổ toán trường THPT Gia Phù, mong nhận thêm đóng góp quý báu khác từ đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn

Phụ lục Đề số 1

ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT Môn đại số - Giải tích lớp 12

MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA Chủ đề mạch kiến

thức, kĩ năng

Mức độ nhận thức – Hình thức câu

hỏi Tổng điểm

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng

TL TL TL

Viết phương trình tiếp Số câu: 2

tuyến điểm

Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc cho trước

Số câu: 1

điểm 3

Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm cho trước

Số câu: 1

điểm 3

4 3 3 10

Đề bài:

Câu :(4điểm) Cho hàm số y x3 3x 1

   có đồ thị (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A(2;3)

b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ -1 Câu :(3điểm)

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số   

x y

x

1

1 biết tiếp tuyến

song song với đường thẳng y  1x 5

8

Câu 3: (3điểm) Cho hàm số f(x) = 3x – 4x3 có đồ thị (C)

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ 1

Câu Nội dung Thang

điểm

1

a) y' 3 x2 0,5

2

'(2) 3.(2)

y    0,5

Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm

(2;3) là: y9(x 2) 3

0,5

Hay y9x 15 0,5

b) Hoành độ tiếp điểm x0 1nên tung độ tiếp

điểm y0  ( 1)3 3( 1) 3  

0,5

2

'( 1) 3.( 1)

y      0,5

Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ -1 là: y0(x 0) 3

0,5

Hay y3 0,5

Ta cã ' 2 ( 1) y

x

 



2

Do tiếp tuyến song song với đờng thẳng

 

y 1x

8 nªn tiÕp tun cã hƯ sè gãc

1 k 

0,25

 2

8 (x 1)



 

0,25

2 2 15 0

x x

    0,25

5

x x

 

  



0,25

+) Víi

2

x  y  0,25

Pttt cđa (C) t¹i x = lµ: 1( 5)

8

y x  0,25

1 17

8

y x

   0,25

+) Víi

2

x  y  0,25

Pttt cđa (C) t¹i x = -3 lµ 1( 3)

8

y x  0,25

1

8

y x

   0,25

Vậy, có tiếp tuyến (C) song song với đờng

thẳng y 1x5

8 là:

1 17

8

y x

1

8

y x

0,25

f(x) = 3x – 4x3 Ta có: f x'( ) 12x2

  0,25

-Gọi đường thẳng qua A(1;3)có hệ số góc k 

phương trình có dạng: y k x (  1) 3

0,25

-Để đường thẳng tiếp tuyến đồ thị hàm số

hệ sau phải có nghiệm:

3

3 ( 1) (1)

3 12 (2)

x x k x

x k

    

 

 

 

0,5

3

3

3x 4x (3 12 )( x x 1) 3

0 x x

   

  

0,25

-Với x= thay vào (2)  k= Phương trình tiếp tuyến: y3(x 1) 3

0,25

hay y 3x 0,25

-Với

2

x thay vào (2)  k 24 Phương trình

tiếp tuyến: y 24(x 1) 3

0,25

hay y24x27 0,25

-Vậy có hai phương trình tiếp tuyến qua A(1;3) là: y 3x y24x27

0,25

Đề số 2

ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT Môn đại số - Giải tích lớp 12

MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA Chủ đề mạch kiến

thức, kĩ năng

Mức độ nhận thức – Hình thức câu

hỏi Tổng điểm

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng

TL TL TL

Viết phương trình tiếp tuyến điểm

Số câu: 2

điểm 3

Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc cho trước

Số câu: 1

điểm 2

Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm cho trước

Số câu: 1

điểm 2

điểm 3

Tổng điểm 5 3 2 10

Đề bài:

Câu 1: (3điểm) Cho hàm số y x4 2x2 3

   có đồ thị (C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A(1; 4)

b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ

Câu 2:(2điểm) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số   

x y

x

1

1 biết tiếp

tuyến song song với đường thẳng y  1x 5

8

Câu 3:(2điểm) Cho hàm số f(x) = 3x – 4x3 có đồ thị (C)

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(1; 3)

Câu 4:(3điểm) Cho hàm số 3 2   

 x x

y (C) Tìm điểm đồ thị (C) mà

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ

Câu Nội dung Thang

điểm

1

a) y' 4 x3 4x 0,5

'(1)

y  0,25

Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm (1; 4) là:

0( 1)

y x 

0,5

Hay y4 0,25

b) Hoành độ tiếp điểm x0 2nên tung độ tiếp điểm

là y0 24  2.22 5

0,5

'(2) 32 24

y    0,25

Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ là: y24(x 2) 5

0,5

Hay y24x 43 0,25

Ta cã ' 2 ( 1) y

x

 



0,25

Do tiếp tuyến song song với đờng thẳng y  1x 5

8

nªn tiÕp tun cã hƯ sè gãc k 

0,25

 2

8 (x 1)



 

2

2 2 15 0

x x

   

5 x x

 

  



0,25

+) Víi

2

x  y  0,25

Pttt (C) x = là: 1( 5)

8

y x 

1 17

8

y x

  

0,25

+) Víi

2

x  y  0,25

Pttt cña (C) x = -3 1( 3)

8

y x 

1

8

y x

  

Vậy, có tiếp tuyến (C) song song với đờng thẳng

 

y 1x

8 lµ:

1 17

8

y x

1

8

y x

0,25

f(x) = 3x – 4x3 Ta có: f x'( ) 12x2

  0,25

-Gọi đường thẳng qua A(1;3)có hệ số góc k  phương trình có dạng: y k x (  1) 3

0,25

-Để đường thẳng tiếp tuyến đồ thị hàm số hệ sau

phải có nghiệm:

3

3 ( 1) (1)

3 12 (2)

x x k x

x k

    

 

 

 

0,25

3 x x        0,25

-Với x= thay vào (2)  k= Phương trình tiếp tuyến:

3( 1)

y x 

hay y3x

0,25

-Với

2

x thay vào (2)  k 24 Phương trình tiếp

tuyến: y24(x 1) 3

hay y24x27

0,25

-Vậy có hai phương trình tiếp tuyến qua A(1;3) là:

3

y x y24x27

0,25

4

4

Gọi ( ; 2) ( )

3 0

0 x x x C

M     0,25

Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) tại M0 có dạng :

( ) 2

0

0   



k x x x x

y (d)

0,5

Đường thẳng d tiếp tuyến (C) M0 hệ sau có nghiệm

               k x x x x x x k x x 6 3 2 3 ) ( 2 3 2 0 0,5

 (x x 0)( 2 x2 3x xx 0x02  3x0)

1

0 2

x x x x         0,5 0,5 Điểm M0 thoả mãn yêu cầu đề

0

1  

  

x x x x

x

0,5

Vậy đồ thị (C) tồn điểm mà qua kẻ tiếp tuyến với đồ thị (C)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

 1 Lê Hồng Đức – Lê Hữu Trí, (2004), Phương pháp giải toán tiếp tuyến,

NXBGD

 2 Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn, (2008), Giải tích 12, NXBGD

 3 Nguyễn Bá Kim, (2004), Phương pháp dạy học mơn tốn, NXBĐHSP  4 Lê Mậu Thống – Lê Mậu Thảo, (2002), phân loại phương pháp giải tốn

giải tích 12, NXB Trẻ