Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)B PHAÀN NỘI DUNG
Phần I
PHÁT TRIỂN TỪ MỘT BÀI TỐN
MỘT DẠNG TỐN VỀ ƯCLN VÀ BCNN
Trong chương trình tốn số học lớp ,sau học khái niệm ƯCLN CBNN bạn gặp dạng tốn tìm hai số nguyên dương biết số yếu tố có kiện ƯCLN BCNN
Phương pháp chung để giải :
1) Dựa vào định nghĩa ƯCLN,để biểu diễn hai số phải tìm , liên hệ với yếu tố cho để tìm hai số
2) Trong số trường hợp ,có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt ƯCLN BCNN tích hai số nguyên dương a,b : ab = (a,b) [a,b] (a,b) ƯCLN [a,b] BCNN a b Việc chứng minh định nghĩa khơng khó :
Theo định nghĩa ƯCLN gọi d=(a,b) a= md ; b = dn với m,n Z+ (a,b) =
1 (*)
Từ (*) ab = mnd2 ; [a,b] = mnd (a,b) [a,b] = d.(nmd) = mnd2 = ab ab = (a,b) [a,b] (**)
Từ toán đơn giản giúp ta giải nhanh số tốn khó phức tạp
Bài toán gốc 1 : So sánh tích ƯCLN(a;b) BCNN(a;b) với tích a.b
(Bài 115 b – Sgk lớp – tập ) Giải:
Gọi d = (a;b) a = da’ , b = db’ (1) (a’;b’) = Đặt abd = m (2) ta cần chứng minh [a,b]= m
Để chứng minh điều , ta cần chứng tỏ tồn số tự nhiên x,y cho m = ax , m = by (x;y ) =
(2)m = b. da = ba’ Do : ta chọn x = b’; y = a’; ( x;y ) = 1 Vậy : abd = [ a,b ], tức : [a,b].(a,b) = a.b
Chúng ta xét số tốn minh hoạ :
Bài tốn 1.1 : Tìm hai số nguyên dương a,b biết [a,b] = 240 (a,b) = 16 Lời giải
Do vai trò a,b nhau, khơng tính tổng qt , giả sử a b
Từ (*) , (a,b) = 16 nên a= 16m ; b = 16n (m n a b ) với m,n Z+; (m,n) =
Theo định nghóa CBNN :[a,b] = nmd = mn.16 = 240 mn = 15 , 15 , n m n m 80 , 48 240 , 16 b a b a
Chú ý Ta áp dụng cơng thức (**) để giải toán : ab = (a,b) [a,b] mn.162 = 240.16 mn= 15
Bài tốn 1.2: Tìm hai số nguyên dương a,b biết ab = 216 (a,b) = Lời giải
Lập luận , giả sử a b Do (a,b) = a= 16m;b= 16n với n,m Z+
(m,n) =1;mn Vì a = 6m.6n = 36mn ab = 216 mn=6
18 ,12 36 ,6 3 ,2 6 ,1 b a b a n m n m
Bài tốn 1.3 : Tìm hai số nguyên dương a,b biết ab = 180,[a,b] = 60 Lời giải :
Từ (**) (a,b) =
60 180
,b
a ab
Tìm (a,b) =3 , toán dạng toán 1.2
(3)(5)
Chú ý : ta tìm (a,b) cách trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN BCNN : theo (*)
ta coù ab = mnd2 = 180 ; [a,b] = mnd= 60 d= (a,b) =
Bài toán 1.4 : Tìm hai số nguyên dương a,b biết 2,6
b a
(a,b) = Giải :
Theo (*) ta có (a,b) = a= 5m ; b= 5n với :( m,n) = Như : ba = mn =2,6
n m
= 135
5 13
n m
25 65
b a
Chú ý ; Phân số tương ứng với 2,6 phải chọn phân số tối giản (m,n)=1
Bài tốn1 5:
Tìm hai số a,b biết ba = 54 [a,b] = 140 Giải
Đặt (a,b) = d Vì ba = 54 mặt khác (4,5) = nên a= 4d, b = 5d Lưu ý [a,b] = 4.5.d = 20d = 140
d = a = 28; b = 35
Bài tốn 1.6 :
Tìm hai số nguyên dương a,b biết a + b = 128 (a,b) = 16 Giải:
Lập luận 1.1, giả sử a b
Ta có : a = 16m ; b = 16n Với : n,m Z+; (m,n) =1; m n Vì : a +b = 128 16 ( m+n) = 128
(4) 80 , 48 112 ; 16 ; ; b a b a n m n m (6)
Bài toán 1.7 : Tìm a,b biết a+b = 42 [a,b] = 72 Giải
Gọi d = ( a,b) a = md;b = nd Với : n,m Z+; (m,n) =1 ;(n,m) =
Khơng tính tổng quát , giả sử a b
m n a+ b = d (m+n) = 42 (1) [a,b] = mnd = 72 (2)
d ước chung 42 72
d1;2;3;6 Lần lược thay giá trị d vào (1) (2) để tính m,n ta thấy
chỉ có trường hợp d =
4 3 12 7 n m mn nm
Vậy d =
24 6. 4 18 6. 3 b a
Bài tốn 1.8: tìm hai số , biết bội chung nhỏ chúng ước chung lớn chúng có tổng 19
Giải : Gọi a b hai số phải tìm , d ƯCLN ( a,b) ÖCLN(a,b) = d
'
' ( ', ')
a da b db a b
BCNN(a,b) = ' ' ' '
( , )
a b da db
da b
UCLN a b d
Theo đề : BCNN(a,b) + ƯCLN (a,b) = 19 Nên : da’b’ + d =19 Suy d(a’b’ + 1) = 19 Do a’b’ + ước 19, a’b’ + 2
(5)d a’b’ a’ b’ a b
18 = 2.32 18 9 1 2 18 9 1 2