Đang tải... (xem toàn văn)
Phần này chúng tôi xin không trình bày ở đây vì phần chứng minh các định lý và các bài tập, phương pháp làm tương tự như trong phần tiếp tuyến của elip.. Lập phương trình tiếp tuyến chu[r]
(1)Chuyên đề : Các toán tiếp tuyến
Mở đầu
Phần lớn toán tiếp tuyến đơn giản,ứng dụng thực tế phạm vi tốn học khơng thực nhiều nhiên lại có ý nghĩa quan trọng chương trình tốn học phổ thông.Hầu hết đề thi đại học qua năm có câu hỏi liên quan đến tiếp tuyến,có thể câu hỏi hàm số câu hỏi hình học.Do việc nắm vững cách xử lý toán tiếp tuyến quan trọng học sinh.Ngồi ra,các tốn tiếp tuyến “hình ảnh” cụ thể khái niệm trừu tượng học sinh cấp khái niệm đạo hàm hàm số.Dưới đây,nhóm chúng tơi cố gắng tổng kết ngắn gọn tương đối đầy đủ toán tiếp tuyến
I Tiếp tuyến khái niệm liên quan:
Cho đường cong phẳng (C) điểm cố định M (C).Ký hiệu M điểm di o chuyển (C).Đường thẳng MM gọi cát tuyến (C) o
1.Định nghĩa tiếp tuyến : Nếu cát tuyến MM có vị trí giới hạn o M T điểm M di o chuyển (C) dần tới điểm M o M T gọi tiếp tuyến (C) o M o M o gọi tiếp điểm
* Đây định nghĩa xác tiếp tuyến,ngồi chương trình hình học cấp cịn có định nghĩa khác tiếp tuyến dung riêng trường hợp (C) đường tròn: “tiếp tuyến đường tròn đường thẳng có điểm chung với đường trịn”,định nghĩa khơng xác với tốn cụ thể liên quan đến đường trịn ta sử dụng để làm toán đơn giản,dễ hiểu
2.Định nghĩa đạo hàm: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a,b) xo(a,b).Khi tồn giới hạn:
o
x xlim
o o
x x
) x ( f ) x ( f
Thì giới hạn gọi đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x ,kí hiệu f’(o x ) o 3.Ý nghĩa hình học đạo hàm:
Ta thấy cát tuyến MM có hệ số góc k = tano ( góc tạo tia Ox cát tuyến MM ) tano =
x x
) x ( f ) x ( f
o o
(2)chuyển dần đến M xo x tức vị trí giới hạn o M T Mo M có hệ số góc k o
k = tan’= o
x xlim
o o
x x
) x ( f ) x ( f
= f’(x ) o
Từ ta suy kết luận sau : Đường cong (C):y = f(x) có tiếp tuyến điểm có hồnh độ x hàm số y = f(x) khả vi o x tiếp tuyến có hệ số o góc k = f’(x ) o
II Các toán tiếp tuyến :
1 Bài toán xác định tiếp tuyến đồ thị hàm số:
Cho y = f(x) hàm số khả vi toàn tập xác định A Xác định tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị hàm số:
Bài toán:Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M nằm đồ thị hồnh độ M x o
Giải : M thuộc đồ thị nên M có tọa độ (x ,f(o x )).Tiếp tuyến M nên tiếp tuyến có o hệ số góc k = f’(x ).Vậy phương trình tiếp tuyến M : o
y - f(x ) = f’(o x )(x -o x ) o
(3)Lời giải : Ta có : y’=3x ; y’’= 6x
Do điểm uốn đồ thị hàm số điểm (0,0)
Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm uốn : y - = 0.(x - 0)
y =
Bài tập đề nghị :
1 Cho y x3 3x2 3x5 (C)
Tìm k để (C) ln có điểm mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = kx+m
Cho yax3 cxd (a0) (C)
Giả sử điểm A,B,C thẳng hàng thuộc (C) Các tiếp tuyến (C) A,B,C cắt (C) điểm tương ứng A ,1 B ,1 C CM điểm 1 A ,1 B ,1 C thằng hang 1
Cho y x3 mx2 m1 (Cm)
a Viết phương trình tiếp tuyến (Cm) điểm cố định mà (Cm) qua b Tìm quỹ tích giao điểm tiếp tuyến m thay đổi
Cho
3 x
1 x y
(C) M thuộc (C)
Gọi I giao điểm đường tiệm cận.Tiếp tuyến M cắt tiệm cận A B a Chứng minh M trung điểm A B
b Chứng minh SIAB= const
B Bài tốn lập phương trình tiếp tuyến đường cong biết hệ số góc:
Bài tốn: Cho đồ thị (C):y = f(x) số thực k.Viết phương trình tiếp tuyến (C) có hệ số góc k
Giải:
Cách 1: Tìm tiếp điểm
+Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với (C): y = f(x) điểm có hồnh độ
i
x f’(x ) = ki x =x nghiệm f’(x) = k i
+Giải phương trình f’(x) = k nghiệm x{x ,0 x ,… ,1 x ,….,i x } n +Phương trình tiếp tuyến x y = k(x -i x ) + f(i x ) i
Cách 2: Xét điều kiện nghiệm kép
Xét đường thẳng với hệ số góc k có phương trình y = kx + m tiếp xúc với (C) phương trình kx + m = f(x) có nghiệm bội
đưa phương trình bậc có nghiệm kép tìm m Từ ta có phương trình tiếp tuyến cần xác định
*Nhận xét: Cách thơng dụng hơn,có thể áp dụng với hầu hết hàm cách hạn chế khơng phải lúc đưa phương trình bậc 2.Ngồi cách khơng áp dụng chương trình tốn phổ thông
(4)Dạng trực tiếp : k = const
Tiếp tuyến tạo với trục Ox góc k = tan
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b k = a Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b k =
a
(a0)
Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = ax + b góc tan=
a k a k
Ví dụ : Cho đường cong (C):y =x -x-1.Viết phương trình tiếp tuyến với (C) cho: a tiếp tuyến có hệ số góc k=2
b tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2010 c tiếp tuyến với đường thẳng y = -x + góc 45 o
Tìm điểm (C) cho tiếp tuyến điểm có hệ số góc Lời giải :
1 a k = hệ số góc tiếp tuyến (C) M(x,y) f’(x) = 3x -1 = 2 x =
x x y , x y , x
Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn y = 2(x - 1) -1 y = 2(x + 1) -1
b Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2010 tiếp tuyến có hệ số góc k = Gọi tiếp điểm M(x,y)3x -1 =
x x Với
x ta có phương trình tiếp tuyến y = x - -1 Với
x ta có phương trình tiếp tuyến y = x +
6
-1 c Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = -x + góc 45 o
tan45 =o
k 1 k k 1 k
=1k = (k1 k = 1(-1) = -1 tức tiếp tuyến vng góc với y = -x + 5)
Gọi tiếp điểm M(x,y) 3x -1 = 02 x x
Tiếp tuyến
3
y
9 y
2 Giả sử M(x,y) tiếp điểm thỏa mãn điều kiện đầu
(5)Vậy k = -1 với x = Do tiếp điểm cần tìm (0,-1)
*Chú ý: Ta thấy (0,-1) điểm uốn đồ thị hàm số cho,từ ta hồn tồn chứng minh đc toán tổng quát : ”Với đồ thị hàm bậc
y = ax + b3 x + cx + d tiếp tuyến điểm uốn tiếp tuyến có hệ số góc a>0 max a<0”
Bài tập đề nghị :
1 Cho
1 x
x y
2
(C).Tìm M nhánh phải (C) để tiếp tuyến M vuông góc với đường thẳng qua M tâm đối xứng (C)
2 Tìm điểm đường cong y = cosx + sinx cho tiếp tuyến có hệ số góc lớn
3 Cho
2 x
3 x x y
2
CMR (C) tồn vô số cặp điểm để tiếp tuyến vng góc với
C Tiếp tuyến đồ thị y = f(x) qua điểm cho trước:
Bài toán: Cho hàm số y = f(x) điểm A(a,b) cho trước.Viết phương trình tiếp tuyến qua A đồ thị hàm số y = f(x)
Giải:
Cách 1: Tìm tiếp điểm
Đường thẳng qua A(a,b) có dạng y = k(x - a) + b đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số
Hệ phương trình
k ) x ( ' f
b ) a x ( k ) x ( f
có nghiệm f(x) = f’(x)(x - a) + b có nghiệm
Giải phương trình ta nghiệm xx0,x1, ,xn
Các nghiệm hồnh độ tiếp điểm.Với x thay vào biểu thức f’(x) = k i ta hệ số góc tiếp tuyến tương ứng với tiếp điểm có hồnh độ x Lấy hệ i số góc k vừa tính thay vào biểu tức y = k(x - a) + b ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm
Cách 2: Xét điều kiện nghiệm kép
Đường thẳng qua A(a,b) có dạng y = k(x - a) + b đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số phương trình k(x - a) + b = f(x) có nghiệm bội.Từ ta giải biện luận điều kiện có nghiệm bội xác định đc k
(6)*Nhận xét: Cách thơng dụng hơn,có thể áp dụng với hầu hết hàm cách hạn chế thường áp dụng với hàm biến đổi phương trình bậc 2,hơn cách không sử dụng chương trình phổ thơng
Ví dụ : Cho hàm số y = f(x) = x3 3x2 2 (C)
a Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua A(2,2)
b Tìm đường thẳng y = -2 điểm kẻ đến (C) tiếp tuyến vng góc
Lời giải:
a Đường thẳng qua A(2,2) có dạng :
y = k(x - 2) + (1) (1) tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm :
x x ) x ( ' f k x x ) x ( k 2 (2) Ta có
(2) x x k x x x 12 x 12 x 2 3 k x
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y =
b Lấy M thuộc đường thẳng y = M có tọa độ dạng (m,2) Phương trình tiếp tuyến qua M có dạng
y = k(x-m) + (3) (3) tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm x x k x x ) m x ( k 2 (4) Ta có :
(4) x x k ) m x ) m ( x ( x 2 x x k m x ) m ( x x 2
Với x = ta có k = 0,tiếp tuyến có phương trình y = 2.Rõ rang khơng tồn tiếp tuyến vng góc với y =
Vậy muốn từ M kẻ tiếp tuyến vng góc với phương trình m x ) m ( x
2 phải có nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn : (3x12 6x1)(3x22 6x2)= -1
9x1x2[x1x2 2(x1 x2)4] = -1
(7)Ta có:
(5) m 27 ) m )( m ( 27 m x x
m = 27
1
Vậy điểm M thỏa mãn yêu cầu đề có tọa độ ( 27
1
,2)
Bài tập đề nghị :
1 Tìm trục Oy điểm kẻ tới (C) tiếp tuyến vng góc với (C) đồ thị hàm số:
x x x y
2 Cho hàm số
1 x x y
(C) Tìm quỹ tích điểm mặt phẳng tọa độ kẻ tiếp tuyến vng góc với đến (C)
3 Tìm m để qua A(1,2) kẻ tiếp tuyến AB AC đến (C) :
2 x m x y
(B,C tiếp điểm) cho ABC
4 Cho hàm số y = f(x) = x4 x2 1 (C) Tìm điểm A Oy mà từ kẻ tiếp tuyến đến (C)
5 Tìm (C) : yax3 bx2 cxd(a 0) điểm mà từ kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C)
D Tiếp tuyến chung đường cong :
Bài toán: Cho đường cong (C): y = f(x) (C’): y = g(x).Tìm tất tiếp tuyến chung (C) (C’)
Giải: Giả sử (T) tiếp tuyến chung (C) (C’),(T) tiếp xúc với (C) (C’) điểm có hồnh độ u v.Khi
(T): y = f’(u)(x – u) + f(u) (T): y = g’(v)(x – v) + g(v).Từ ta có hệ ) v ( ' vg ) v ( g ) u ( ' uf ) u ( f ) v ( ' g ) u ( ' f
Giả sử (uj,vj) với j = 1,2,…,n nghiệm hệ tiếp tuyến cần tìm là: (Tj): y = f’(uj)(x -uj) + f(uj) với j = 1,2,…,n
(8)Lời giải: Xét giải hệ
) v ( v v v u ) u ( u
1 v u
2
Ta u =
31 1
.Vậy tiếp tuyến chung y = (1 31)x
2 31 14
Nhận xét: Ta thấy với tốn này,hệ phương trình cần giải hệ phương trình ẩn bậc lớn nên khó giải chí khơng giải được.Do tốn tốn khó gặp phổ thơng
Bài tập đề nghị:
1 Tìm tiếp tuyến chung đường cong y =2x3 y =x3 Xét xem cặp đường cong sau có tiếp tuyến chung:
1 x
x y
2
x y
3 Biện luận theo m số tiếp tuyến chung đường cong yx2 x m
x mx
y
2 Bài toán tiếp xúc đường cong với đường thẳng đường cong với đường cong:
A Đường cong tiếp xúc với trục hoành :
Nhận xét 1: Đường cong (C) : y = f(x) tiếp xúc với trục hồnh điểm có hoành độ x o f(x ) = f’(o x ) = o
Chứng minh :Vì trục hồnh có hệ số góc k = nên f’(x ) = o
Mặt khác điểm nằm trục hồnh có tung độ = tức f(x ) = o f(x ) = f’(o x ) = o
Ngược lại,ta có tiếp tuyến x có dạng : o y = f’(x )(x -o x ) + f(o x ) o
Do f(x ) = f’(o x ) = nên phương trình tiếp tuyến lúc : y = o trục hồnh
(9) ) x ( ' f ) x ( f
Mối liên hệ tiếp xúc với trục hoành nghiệm kép hàm đa thức: Nhớ lại x nghiệm bội d đa thức P(x) d số nguyên dương o
) x ( g ) x x ( ) x (
P o d g(x) 0 Nếu d = x gọi nghiệm đơn o Nếu d = x gọi nghiệm kép o Nếu d = k x gọi nghiệm bội k o
Chúng ta biết P(x) nhận x nghiệm bội k P(o x ) = P’(o x ) = … = o )
x (
P(k1) 0 P(k)(x0) 0.Khi mối liên hệ nghiệm bội điều kiện tiếp xúc hàm đa thức thể qua mệnh đề sau
Mệnh đề :Với P(x) hàm đa thức bậc dương đường cong y = P(x) tiếp xúc với trục hoành x o x nghiệm bội lớn đa thức o
Chứng minh :Từ nhận xét ta có đường cong y = P(x) tiếp xúc với trục hoành x o P(x ) = P’(o x ) = o x nghiệm bội k (k o 2) P(x) đpcm
Hệ :Với P(x) đa thức bậc dương đường cong y = P(x) tiếp xúc với trục hồnh P(x) có nghiệm bội k (k 2)
Ví dụ : Tìm m để đường cong y =mx3 (m1)x2 (4m3)x6m (Cm) tiếp xúc với trục Ox
Lời giải :
Cách :Xét phương trình :
mx3 (m1)x2 (4m3)x6m= (x + 3)[mx -(2m-1)x + 2m] = (x + 3)g(x) =
(Cm) tiếp xúc với Ox (x + 3)g(x) = có nghiệm bội
g m m 17 ) ( g 2 m 17 m
(10) ) m ( x ) m ( mx m x ) m ( mx ) m ( x ) m ( mx 3 x 2 có nghiệm m x ) m ( mx m 10 x ) m ( m 17 x có nghiệm m m m m 10 ) m ( m m 10 m 17 m 2 m 17 m
B Đường cong tiếp xúc với đường thẳng bất kì:
Mệnh đề: Đường cong (C) : y = f(x) tiếp xúc với đường thẳng y = ax + b hệ sau có nghiệm
a ) x ( ' f b ax ) x ( f
Ví dụ: Cho (C) đồ thị hàm số y =
1 x x x2
.Viết phương trình parabol (P) qua điểm cực đại cực tiểu (C) tiếp xúc với đường thẳng 2x - y = 10
Giải: Ta dễ dàng xác định cực đại cực tiểu (C) M1(4,7) M2(2,5) (P) có phương trình dạng : y = ax2 bxc (
0
a )
(P) qua M 1 M nên ta có: 2 c b a c b a 16 ) a ( c a b
Thay kết vào phương trình ban đầu (P) ta có: (P): y =ax2 (2a2)x(8a1)
(11)) ( ) ( ) a ( ax 10 x ) a ( x ) a ( ax2
Ta thấy (2) có nghiệm x = nên để hệ có nghiệm (1) phải có nghiệm x = a + (-2a + a) – (8a + 1) = – 10a =
Vậy phương trình Parabol cần tìm : y = x -
Bài tập đề nghị:
1 Viết phương trình Parabol qua điểm cực trị đồ thị (C) : yx3 3x2 4 tiếp xúc với đường thẳng y = -2x +
2 Cho đồ thị (C) : yx4 4x3 3.Viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị điểm phân biệt
3 Tìm m để đồ thị hàm số
2 x m mx mx y
tiếp xúc với đường thẳng y = m
4 Chứng minh họ (Cm) :
m x m x ) m ( x y
(m0) tiếp xúc với đường thẳng cố định
D Đường cong tiếp xúc với đường cong :
Mệnh đề: Cho đường cong (C) : y = f(x).Điều kiện cần đủ để (C) tiếp xúc với (C’) : y = g(x) hệ sau có nghiệm :
) x ( ' g ) x ( ' f ) x ( g ) x ( f
Ví dụ: Tìm m để đường cong (C) :
1 x x x y
(C’) : yx2 m tiếp xúc với
Giải: (C) (C’) tiếp xúc hệ sau có nghiệm ) ( ) ( x ) x ( x x m x x x x 2 2
Giải điều kiện để hệ có nghiệm ta có m = -1
Mối liên hệ tiếp xúc đường cong nghiệm kép hàm đa thức: Cho đường cong (C) : y = f(x) (C’) : y = g(x).Ở phần ta xét f g hàm đa thức.Ta đặt P(x) = f(x) – g(x)
(12)
0 ) x ( ' P
0 ) x ( P
o
Áp dụng kết nói đến phần Mối liên hệ tiếp xúc với trục hoành nghiệm kép hàm đa thức P(x) = f(x) – g(x) ta có :
Mệnh đề : Cho đường cong (C) : y = f(x) (C’) : y = g(x).Ta đặt P(x) = f(x) – g(x) Khi (C) (C’) tiếp xúc với điểm có hồnh độ x o x o nghiệm bội k (k 2) P(x)
Hệ : Cho đường cong (C) : y = f(x) (C’) : y = g(x).Ta đặt P(x) = f(x) – g(x) Khi (C) (C’) tiếp xúc với P(x) có nghiệm bội k (k 2)
Bài tập đề nghị :
1 Chứng minh họ đường cong (Cm) hàm số : yx3 mx2 (2m1)xm1 tiếp xúc lẫn
2 Tìm m để đường cong yx3 6x2 12x1 y4x2 mx1 tiếp xúc với
3 Tìm m để đường cong (C) : yx4 6x3 12x2 14x2m2 m (C’) : y2x3 10x2 10x1
tiếp xúc với
III Bài tốn tiếp tuyến hình học
A Tiếp tuyến đường tròn
Định lý: Trong mặt phẳng oxy, cho đường trịn (C) có phương trình: C : xa2y b 2 R2
Phương trình tiếp tuyến (d) (C) điểm M xo yo( , ) C có dạng
d : x a x0a y b y0bR2 (1) Chứng minh:
Ta có: M x y( ,0 0) C x0a2(y0b)2 R2
Phương trình tiếp tuyến (d) điểm M x y( ,0 0) cho bởi:
0
0
( , ) :
( , )
quaM x y d
vtpt IM x a y b
( ) : (d x0a x)( x0) ( y0b y)( y0)0
0 0
2
0 0
: ( )
: ( ) ( )
d x a x a x a y b y b y b
d x a x a y b y b x a y b
(13)Chú ý:
Nếu (C) có phương trình tổng qt: 2
: 2
C x y ax by c với
2
0
a b c tiếp tuyến (d) có phương trình d :xxo yyoa x xob y( yo) c
Trong trường hợp tổng quát, đường thẳng (d) tiếp xúc (là tiếp tuyến) đường trịn (C) có tâm I, bán kính R khi:
d I d( , ( ))R
Họ tiếp tuyến đường trịn: Cho đường trịn (C) có phương trình:
C : xa2y b 2 R2
Phương trình tiếp tuyến (d) (C) điểm M(x0,y0)(C) có phương trình: d : x a x0a y b y0bR2
x a xo a y b yo b R
R R
Vì M xo yo( , ) C
2
2 2
1
o o
o o
x a y b
x a y b R
R R
Do đặt: sin
, 0, cos
o
o
x a
t R
t
y b
t R
Khi tiếp tuyến d1 (C) có dạng:
d1 : x a sinty b costR
Ta gọi tiếp tuyến d1 với tham số t họ tiếp tuyến (C) Tọa độ tiếp điểm (C) với d1 là:
0
sin cos
x a R t
y b R t
Bài tốn 1:
Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn
Cho đường tròn (C) có tâm I(a, b), bán kính R Lập phương trình tiếp tuyến (d) thỏa mãn điều kiện K
Giải: Cách 1:
Bước 1: Dựa vào điều kiện K giả sử phương trình (d) có dạng: Ax + By + C = 0, Bước 2: (d) tiếp tuyến (C) d(I, d) = R
(14)Tiếp tuyến qua điểm M cho trước a Nếu M x y( ,0 0) C tức d(M,(C)) = 0
0
( , ) :
( , )
quaM x y d
vtpt IM x a y b
( ) : (d x0a x)( x0) ( y0 b y)( y0)0 b Nếu d(M,(C))< tức M nằm (C) không tồn tiếp tuyến từ M tới (C)
c Nếu d(M,(C)> tức M nằm ngồi (C) có tiếp tuyến từ M tới (C) Khi pt d : (A xx0)B y( y0)0
Tiếp tuyến có phương cho trước :
(d): Ax + By + C = (trong A,B số cho trước) Tiếp tuyến có hệ số góc k:
(d): y = kx + m
Tiếp tuyến tạo với đường thẳng () góc
b a
b a tan
với a,b theo thứ tự hsg (d), () (1)
| b | | a |
| b a |
cos
, với a, b theo thứ tự vtcp (d), (2) Từ (1) ta tính b xác định tiếp tuyến qua mối liên hệ d(I, d) = R
Từ (2) ta xác định vtcp xác định tiếp tuyến qua mối liên hệ d(I, d) = R
Cách 2:
Bước 1: Giả sử điểm M x y( ,0 0) tiếp điểm Khi phương trình tiếp tuyến có dạng
d :xx0yy0a x( x0) ( yy0) c (1) Hoặc
0
(x a x )( a) ( y b y )( b)R
Điểm M(C) x02y022ax02by0 c (2) Hoặc x0a2y0b2 R2
Bước 2: Sử dụng điều kiện K giả thiết ta thiết lập thêm phương trình theo
0,
x y (3) Bước 3: Giải hệ tạo (2),(3) ta tọa độ tiếp điểmM x y( ,0 0) , từ thay vào (1) ta phương trình tiếp tuyến cần xác định
Ví dụ: Cho điểm M(2, 3) Lập pttt đường tròn (C) qua M biết: a (C): x32y12 5
(15)a Ta thấy d(M,(C)) = M C
Vậy pttt (d) (C) M có dạng 3 1
2
x y
x y
b Ta thấy d M C , 0M C
không tồn tiếp tuyến kẻ từ M tới C
c Ta thấy d M C , 0M (C) tồn tiếp tuyến kẻ từ M tới (C) Đường trịn (C) có tâm T(1, 4), bán kính R =
Đường thẳng (d) qua M có phương trình:
(d): A x 4B y 60 d : AxBy4A6B0 Đường thẳng (d) tiếp tuyến (C)
2
2 2
| 4 |
, | |
0
3 4
3
A B A B
d I d R A B A B
A B
B
B AB A
B
Với B=0, ta tiếp tuyến:
d1 : (A x4)0 d1 :x 4 Với
3
A
B ta tiếp tuyến:
2 : ( 4) ( 6) 2 : 12
A
d A x y d x y
Vậy qua M kẻ tiếp tuyến d1 , d2 tới đường tròn (C)
Bài tập đề nghị :
1 Cho đường thẳng () đường tròn C có phương trình:
2
: 12
:
x y
C x y x y
Xác định phương trình tiếp tuyến (C) vng góc với ()
Cho đường trịn (C) có phương trình : C : x12y12 10
Lập pttt (C) biết tiếp tuyến tạo với : 2x y góc 45 Bài toán 2:
(16) C1 có tâm I a b1( , )1 1 , bán kính R1 C2 có tâm I a b2( ,2 2), bán kính R2 Lập phương trình tiếp tuyến chung (d) đường tròn Giải:
Bước 1: Giả sử d : AxBy C 0 với 2
0
A B tiếp tuyến chung
C1 , C2
Bước 2: Thiết lập điều kiện tiếp xúc (d) với C1 , C2 1 2 , ,
d I d R
d I d R
Bước 3: Kết luận tiếp tuyến chung (d)
Ví dụ:Cho đường trịn (C1), (C2) có phương trình: 2 2
: 1
:
C x y
C x y
Lập pttt chung đường tròn Lời giải:
Ta có:
Đường trịn C1 có tâm I1(1,1), bán kính R1 = Đường trịn C2 có tâm I2(2, 1) , bán kính R2 =
Giả sử d : AxBy C 0 với A2B2 0 (1) tiếp tuyến chung C1 , C2 Ta có (d) tiếp xúc với C1 , C2
B A C B A B A C B A R ) d , I ( d R ) d , I ( d 2 2 B A C B C B A C B A B A C B A B A C B A 2 2 2 B A B C B B C
(17)
1
2
: Ax :
3
: ( ) : 12
4
d d x
B
d x By B d x y
Vậy tồn tiếp tuyến chung d1 , d2 C1 , C2 Bài toán 3:Điểm tập hợp điểm
Giải:
Bước 1: Thiết lập tọa độ điểm M lần
Bước 2: Thiết lập tọa độ điểm M lần (liên quan đến tiếp tuyến với đường tròn) Bước 3: Kết luận
Ví dụ:
Cho đường thẳng (d) đường trịn (C) có phương trình:
2
:
: 20 50
d x y
C x y x
Tìm điểm M thuộc (d) cho từ đó: a Không thể kẻ tiếp tuyến tới (C) b Kẻ tiếp tuyến tới (C) c Kể tiếp tuyến tới (C)
d Kẻ tiếp tuyến vng góc với tới (C) Lời giải:
Chuyển phương trình (d) dạng tham số:
R t , t y
t x : d
Khi điểm M d ln có M t t( , 5), suy ra:
d M C( , )t22t5220t505t240t75 a Để M kẻ tiếp tuyến tới (C)
, 40 75
d M C t t t
Vậy tập hợp điểm M(x, y) có hồnh độ thỏa mãn 3<x<5 kẻ tiếp tuyến tới (C)
b Để qua M kẻ tiếp tuyến tới (C)
2
(3,1)
, 40 75
5 (2,5)
M t
d M C t t
t M
Vậy điểm M M1, 2 thuộc (d) kẻ tiếp tuyến tới (C) c Để qua M kẻ tiếp tuyến tới (C)
, 40 75
3
t
d M C t t
t
Vậy tập hợp điểm M x y( , )( )d có hồnh độ thỏa mãn x<3 x>5 kẻ tiếp tuyến tới (C)
(18)) 11 , 11 ( M ), 11 , 11 ( M 11 t t t 100 ) t ( ) 10 t ( 100 MI 10 2 50 sin R sin AI MI AMI AMB 2 2
Vậy điểm M M3, 4 thuộc (d) thỏa mãn điều kiện toán Bài toán 4:Chứng minh tính chất tiếp tuyến đường trịn Giải:
Bước 1: Xác định phương trình tiếp tuyến (thường sử dụng dạng phân đôi tọa độ) Bước 2: Chứng minh tính chất tiếp tuyến
Ví dụ: Cho đường thẳng (d) đường trịn (C) có phương trình:
2
:
: 4
d x y
C x y x y
Từ M ( )d kẻ tiếp tuyến MT MT1, 2 tới (C), T T1, 2 tiếp điểm CMR đường thẳngT T1 2 ln qua điểm cố định
Lời giải:
Xét đường trịn (C) có tâm I(1, 2), bán kính R=1 Ta có:
( , ) |1 1| 1
d I d R
Do qua M d ln kẻ tiếp tuyến MT MT1, 2 tới (C)
Chuyển phương trình (d) dạng tham số: R t , t y t x : d
Khi M( )d M1t t, giả sử tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến qua M tới (C)
1
( , )
T x y , ta có:
Tiếp tuyến có dạng:
x1x11 y2y121 Tiếp tuyến qua điểm M, ta có:
(19)
2 3 0, 3 0,
3
2
tx t y t t x y t y t
x y
x y
y
Vậy T T1 2 qua điểm cố định ( , )3 2
N
Bài tập đề nghị :
1 Cho điểm M(2, 4) đường trịn (C) có phương trình: C : x12y32 4
a Lập phương trình đường thẳng qua M cắt đường tròn (C) điểm A, B cho M trung điểm AB
b Lập phương trình tiếp tuyến đường trịn có hệ số góc k = Cho điểm A(3, 5) đường trịn (C) có phương trình:
C :x2y22x4y 4 a Tìm phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đến (C)
b Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với (C) M, N Hãy tính độ dài MN Cho đường trịn (C) Cm có phương trình:
2 2
( ) :
( m) : 2( 1)
C x y
C x y m x my
a CMR có đường trịn Cm1 , Cm2tiếp xúc với đường tròn (C) ứng với giá trị
1,
m m m
b Xác định phương trình đường thẳng tiếp xúc với đường tròn Cm1 , Cm2
Cho đường trịn (C) Cm có phương trình:
2
2 2
:
: ( 1)( ) 2
m
C x y ax
C m x y ax amy a
Với a số, m tham số
CMR (C) Cm cắt điểm phân biệt tiếp tuyến với (C) Cm
tại điểm chung vng góc với Cho đường trịn C v1 C2 có phương trình:
2
2 2
:
25 :
2
C x y x y
C x y
(20)Cho đường trịn (C) có tâm I(1, 2) bán kính R = Lập phương trình quỹ tích điểm M từ kẻ tiếp tuyến đến (C) tạo với góc 60
Cho đường tròn C v1 C2 có phương trình:
2 2
1
2 2
2
( ) : :
C x y R
C x y R
với R2 R1
Điểm MC2kẻ tiếp tuyến MT MT1, 2 tới C1 , T T1, 2 tiếp điểm a Viết phương trình đường thẳng T T1 2 theo tọa độ M
b CMR đường thẳng T T1 2 ln tiếp xúc với đường trịn cố định
Cho đường trịn C1 có tâm I1, bán kính R1 đường trịn C2 có tâm I2, bán kính
2
R với R2 R1và I I1 2 R2R1 Từ MC2 kẻ tiếp tuyến MT MT1, 2 tới C1 , T T1, 2 tiếp điểm giả sử tiếp tuyến cắt C2 E E1, 2
a CMR đường thẳng T T1 2luôn tiếp xúc với đường cong cố định b CMR đường thẳng E E1 2 tiếp xúc với đường cong cố định B Tiếp tuyến elip
Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) đường thẳng (d) có phương trình:
2 2
:x y 1& ( ) : Ax
E d By C
a b với
2
0
A B
Điều kiện cần đủ để (d) tiếp xúc với (E) là: 2 2
A a B b C
Chứng minh:
Xét hệ phương trình tạo (d) (E) là:
2
2
Ax
x y
a b
By C
(I)
Vì A2B2 0nên 0
A B
Không tính tổng quát , ta giả sử B0 Khi rút y từ
(2) thay vào (1) ta được:
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( Ax )
2
B b x a C a b B
B b A a x a ACx a C a b B
(3) Đường thẳng (d) tiếp xúc với (E)
hệ (I) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm kép
2
2 2 2 2 2
2 2 2
0 a AC b B a A a C a b B
C A a B b
Ta có đpcm
(21)
2 2
:x y
E
a b
Phương trình tiếp tuyến (d) (E) điểm M x y o, o E có phương trình: ( ) :d xx2o yy2o
a b
Chứng minh:
Điểm M x y o, o E suy ra:
2
2
o o
x y
a b (1)
Đường thẳng (d) qua Mo( ,x yo o)có phương trình:
( ) : (d A xxo)B y( yo)0 với A2 B2 0
d : AxByAxoBy0 0 (2)
Đường thẳng (d) tiếp xúc với (E) khi: 2 2
(Axo o)
A a B b By (3) Xét hệ phương trình tạo (1) (3) ta được:
2
2
Ax
Ax o
o o
o
o o
x A
a By
y B
b By
(I)
Khi việc viết lại (d) dạng:
: : 2o 2o
o o o o
xx yy
Ax By
d d
Ax By Ax By a b (đpcm)
Chú ý: Họ tiếp tuyến elip Cho elip (E) có phương trình:
2 2
:x y
E
a b
Phương trình tiếp tuyến (d) (E) điểm M x y o, o E có phương trình: ( ) :d xx2o yy2o
a b
Điểm M x y o, o E suy ra:
2
2
o o
x y
a b
Do đặt: sin
, 0, cos
o
o
x
t a
t y
t b
Khi tiếp tuyến d1 (E) có dạng: d1 :xsint ycost
a b
(22)sin cos o
o
x a t
y b t
Bài tốn 1: Lập phương trình tiếp tuyến elip Cho elip (E) có phương trình:
2 2
:x y
E
a b
Lập phương trình tiếp tuyến (E) Giải:
Để lập phương trình tiếp tuyến (d) elip (E) thỏa mãn điều kiện K, ta lựa chọn hai cách sau:
Cách 1:
Bước 1: Dựa điều kiện K ta giả sử đường thẳng (d) có phương trình: d : AxBy C 0
Bước 2: (d) tiếp tuyến (E)
2 2
A a B b C
Bước 3: kết luận tiếp tuyến (d) Điều kiện K thường gặp:
Tiếp tuyến qua điểm M cho trước, đó: Nếu M x y( ,o o)( )E tức d(M, (E))=1, ta có: ( ) :d xx2o yy2o
a b - phân đôi tọa độ
Nếu d M E( , ( )) 1 M (E)Không tồn tiếp tuyến kẻ từ M tới (E)
Nếu d M E( , ( )) 1 M (E)tồn hai tiếp tuyến kẻ từ M tới (E) Ta (d) qua M có phương trình:
d : (A xxo)B y( yo)0( ) : Axd ByAxoByo 0
Tiếp tuyến có phương cho trước :
Ax+By+C=0 (trong A,B số cho trước)
Tiếp tuyến có hệ số góc k, đó,
d :ykxm d :kx y m0
Tiếp tuyến tạo với đường thẳng góc , ta linh hoạt sử dụng công thức:
| b | | a |
| b a |
cos
, với a, b theo thứ tự vtcp (d),
2
tan | |
1
k k
k k
(23)Cách 2: Đi tìm tiếp điểm
Bước 1: Giả sử điểm M x y( ,o o) tiếp điểm Khi đó, phương trình tiếp tuyến có dạng:
( ) :xx2o yy2o
d
a b (1)
Điểm M( )E
2
2
o o
x y
a b (2)
Bước 2: Sử dụng điều kiện K giả thiết, ta thiết lập thêm phương trình theo ,
o o
x y
Bước 3: Giải hệ tạo (2), (3) tạo tọa độ tiếp điểm M x y( ,o o), từ thay vào (1) ta phương trình tiếp tuyến cần xác định
Ví dụ :Cho điểm M(3, -4) elip (E) có phương trình:
2
:
9
x y
E
a CMR qua M kẻ tiếp tuyến đến (E)
b Xác định phương trình tiếp tuyến lập phương trình đường thẳng qua tiếp điểm (E) với tiếp tuyến
Giải :
a Ta có: ( , ( )) 16
9
d M E M nằm (E) qua M kẻ tiếp tuyến đến (E) b Đường thẳng (d) qua M có phương trình:
d : (A x3)B y( 4)0 d : AxBy3A4B0(A2B2 0) Đường thẳng (d) tiếp tuyến (E)
2 12 24 0
B
A B A B B AB
B A
+ Với B= ta tiếp tuyến:
d1 :A x 30( ) :d1 x 3 Và tọa độ điểm M1là nghiệm hệ phương trình:
2
1
3
3,
0
x y
x
M y
x
+ Với B= 2A ta tiếp tuyến:
(24)
2
2
9
1
( , )
8 5
2
5
x
x y
M y
x y
Phương trình đường thẳng qua tiếp điểm M M1, 2là:
(M M1 2) :x3y 3
Bài tập đề nghị: Cho đường thẳng elip (E) có phương trình:
2
:
:
9
x y
x y
E
Lập phương trình tiếp tuyến (E) tạo với đường thẳng góc 45o Bài tốn 2:Lập phương trình tiếp tuyến chung
Giải:
Bước 1: Giả sử d : AxBy C 0 với A2B2 0là tiếp tuyến chung của E
C1 (là (E) (C))
Bước 2: Thiết lập điều kiện tiếp xúc (d) với (E) C1
Bước 3: Kết luận tiếp tuyến chung (d), Ví dụ :Lập phương trình tiếp tuyến chung
2
:
4
x y
E 2
:
C x y
Giải :
Đường tròn (C) có tâm O, bán kính R Giả sử tiếp tuyến chung (d) có phương trình: d : AxBy C 0 với 2
0
A B
Điều kiện để (d) tiếp xúc với (E) là: 4A29B2 C2 (1) Đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) khi:
2
2
| |
( , ( )) C 5
d O d R C A B
A B
(2) Từ (1) (2) ta được:
4A29B2 5(A2B2) A 2BC 5B Với A2 &B C5B ta tiếp tuyến: d1 : 2xy 5
Với A2 &B C 5B ta tiếp tuyến: d2 : 2x y 5 Với A 2 &B C5B ta tiếp tuyến: d3 : 2x y
Với A 2 &B C 5B ta tiếp tuyến: d4 : 2xy 5 Vậy (E) (C) có tiếp tuyến chung d1 , d2 , d3 , d4
Bài toán 3:Điểm, tập hợp điểm
(25)Bước 1: Thiết lập tọa độ điểm M lần
Bước 2: Thiết lập biểu thức tọa độ điểm M lần 2(liên quan đến tiếp tuyến (E))
Bước 3: Kết luận
Ví dụ : Cho elip (E) có phương trình:
2 2
:x y
E
a b
Tìm tập hợp điểm từ kẻ tiếp tuyến vng góc với tới (E) Lời giải:
Giả sử M x y( ,o o)từ kẻ tiếp tuyến vng góc với tới (E) Hai đường thẳng qua M vng góc với có dạng:
d1 : (A xxo)B y yo0 d1 : AxByAxoByo 0 d2 : (B xxo)A y yo0 d2 : x - B AyBxoAyo 0 Điều kiện để d1 , d2 tiếp xúc với (E) là:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
( )( ) ( )( )
o
o o
o o
o o
A a B b Ax By
A B a b A B x y
B a A b Bx Ay
x y a b
Vậy tập hợp điểm từ kẻ tiếp tuyến vng góc với tới (E) đường trịn có phương trình: x2y2 a2b2
Bài tập đề nghị: Cho elip (E) có phương trình:
2 2
:x y
E
a b với a>b
Tiếp tuyến (d) elip (E) cắt trục tọa độ A, B Xác định phương trình (d) để ABC
có diện tích nhỏ
Bài tốn 4:Chứng minh tính chất tiếp tuyến elip Giải:Ta chọn cách sau:
Cách 1:
Bước 1: Lấy điểm M x y( ,o o)( )E ta có:
2
2
o o
x y
a b (1)
Phương trình tiếp tuyến (d) (E) có phương trình: ( ) :xx2o yy2o
d
a b (2)
Bước 2: Chứng minh tính chất K dựa vào điều kiện ràng buộc (1) Cách 2:
Bước 1: Chuyển (E) dạng tham số:
( ) : a sin , 0, cos
x t
E t
y b t
(26)a sin cos o
o
x t
y b t
(2) Phương trình tiếp tuyến M có dạng:
d :xsint ycost
a b (3)
Bước 3: Chứng minh tính chất K
Định lý (pascal):Tiếp tuyến elip tạo với bán kính qua tiêu điểm ứng với tiếp điểm góc
Chứng minh:
Lấy điểm M x y( ,o o)( )E ta có:
2
2
o o
x y
a b (1)
Phương trình tiếp tuyến (d) (E) có phương trình: ( ) :d xx2o yy2o
a b (2)
+)NếuMo( ,x yo o)là đỉnh (E) hiển nhiên định lý
+)Giả sử Mo( ,x yo o)không đỉnh (E), tiếp tuyến với (E) Mocắt ox N Ta chứng minh M No đường phân giác ngồi góc đỉnh Motrong F1M0F2
Tọa độ điểm N nghiệm hệ phương trình:
2
2 ( , )
0
o o
o
xx yy
a
N o
a b
x y
Ta có F1(c, 0),F c2( , 0).Từ đó:
2
2
1
1
2
2 2
ex ex
ex ex
o o o o o
o o o o
o
a c
x cx a a a F M
NF NF
a cx a a a
NF NF F M
c x
Suy M No đường phân giác ngồi góc đỉnh Motrong F1M0F2 Ví dụ: Cho elip (E) có phương trình:
2 2
:x y
E
a b với a>b
CMR tích khoảng cách từ điểm tới tiếp tuyến (E) bình phương độ dài nửa trục nhỏ (E)
Giải:
Chuyển (E) dạng tham số:
( ) : a sin , 0, cos
x t
E t
y b t
(1) Lấy điểm M x y( ,o o)( )E ta có: M(a sin , cos )t b t
(27) d : xsint ycost ( ) :d bxsint aycost ab
a b
Khi với F1(c, 0),F c2( , 0)ta có:
1 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
1 2 2 2 2 2 2
| sin |
( , ( ))
sin os
| sin |
( , ( ))
sin os
| sin | | ( ) sin | ( sin os )
sin os sin os sin os
bc t ab
h d F d
b t a c t
bc t ab
h d F d
b t a c t
b c t a b a b t a b b t a c t
h h b
b t a c t b t a c t b t a c t
đpcm
Bài tập đề nghị:
1 Cho elip (E) có phương trình:
2
1
:
25 16
x y
E
Viết phương trình tiếp tuyến (E) biết: a Tiếp tuyến qua điểm A(-1, 1)
b Tiếp tuyến qua điểm B(1, -2) Tìm tọa độ tiếp điểm B B1, 2.Lập phương trình đường thẳng qua tiếp điểm phương trình đường trịn ngoại tiếp BB1B2
c Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng : 5x3y100 Lập phương trình tiếp tuyến chung của:
a
2
2
( ) : 1& ( ) : 9
x y
E C x y
b
2 2
( ) : 1& ( ) :
9 4
x y x y
E E
3 Cho elip (E) có phương trình:
2 2
:x y
E
a b với a>b
Từ điểm M tùy ý đường chuẩn kẻ tiếp tuyến đến (E) tiếp xúc với (E) P Q
a CMR đường thẳng (PQ) qua F
b Xác định vị trí M để độ dài đoạn PQ nhỏ
4 Cho elip (E) có phương trình:
2 2
:x y
E
a b với a>b
Gọi A A1 2là trục lớn (E) Dựng tiếp tuyến A t A t1, 2 Một tiếp tuyến qua ( )
(28)a CMR tiêu điểm F F1, 2của (E) nhìn đoạn MN góc vng b CMR tích A M A N1 2 không phụ thuộc vào T
c Xác định tiếp tuyến cho FMNcó diện tích nhỏ nhất, F hai tiêu điểm (E)
d Tìm quỹ tích giao điểm I A M2 &A N1 T chạy (E) Cho elip (E) có phương trình:
2 2
:x y
E
a b
Điểm M chạy đường thẳng (d) cố định không cắt (E) cho Từ M kẻ tiếp tuyến
1,
MT MT tới (E), T T1, 2là tiếp điểm
a Viết phương trình đường thẳng T T1 2theo tọa độ M
b CMR đường thẳng T T1 2luôn qua điểm cố định Cho đường trịn (C) elip (E) có phương trình:
2 2
:x y
E
a b
2 2
:
C x y R với 0baR
Điểm M C kẻ tiếp tuyến MT MT1, 2tới (E), T T1, 2là tiếp điểm a Viết phương trình đường thẳng T T1 2theo tọa độ M
b CMR đường thẳng T T1 2luôn tiếp xúc với (E) cố định Cho elip (E) có phương trình:
2 2
:x y
E
a b với 0<b<a
Có tiêu điểm F F1, 2 Đường thẳng di động (d) qua F2cắt (E) P, Q a Đặt (Ox,F2P),02.Tính độ dài F P F Q2 , 2 theo a b, ,
b CMR
2
1
F PF Qkhơng đổi
c Tìm giá trị lớn nhỏ đoạn PQ d Đường thẳng F P2 cắt (E) SP CMR
2
F P F P
F QF S không đổi
e CMR đường thẳng SQ tiếp xúc với elip cố định Cho elip (E) có phương trình:
2 2
:x y
E
a b với a>b
Tiếp tuyến M (E) cắt đường chuẩn 2tại N CMR tiêu điểm F2nhìn MN góc vng
(29)Phần xin không trình bày phần chứng minh định lý tập, phương pháp làm tương tự phần tiếp tuyến elip
Chú ý:
Không tồn tiếp tuyến (H) tiếp xúc với hai nhánh (H)
Thật vậy: Đường thẳng (d) tiếp xúc với că nhánh (H)(d) qua tâm O (H), phương trình (d) có dạng: y = kx
Đường thẳng (d)là tiếp tuyến (H) 2
0 b
a k b k
a
Vậy ta tiếp tuyến là: d1,2:y bx a
(loại) hai tiệm cận (H) Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho Hypebol (H) đường thẳng (d) có phương trình:
2 2
: x y 1& ( ) : Ax
H d By C
a b với
2
0
A B
Điều kiện cần đủ để (d) tiếp xúc với (H) là:
A a2 2B b2 C2
Định lý 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho Hypebol (H) có phương trình:
2 2
: x y
H
a b
Phương trình tiếp tuyến (d) (H) điểm M x y( ,0 0)(H)có phương trình: ( ) :d xx2o yy2o
a b
Định lý pascal: Tiếp tuyến (H) tạo với bán kính qua tiêu điểm ứng với tiếp điểm góc
Bài tập đề nghị:
1 Cho đường thẳng () hypebol (H) có phương trình: : 2xy 8
2
:
16
x y
H
Lập phương trình tiếp tuyến (H) tạo với () góc 45o Cho điểm M(-2, 9) hypebol (H) có phương trình:
2
( 1) ( 1)
:
9 16
x y
H
Lập phương trình tiếp tuyến (H) qua điểm M Lập phương trình tiếp tuyến chung của:
a
2
:
16
x y
(30)b
2
1 :
9
x y
H
2
2 :
4
x y
H
c
2
:
9
x y
H
2
:
4
x y
E
4 Cho (H) có phương trình:
2 2
: x y
H
a b
Tìm tập hợp điểm từ kẻ tiếp tuyến vng góc với tới (H) Cho (H) có phương trình:
2 2
:x y
H
a b
Một tiếp tuyến (H) (d) tiếp xúc với (H) điểm T Gọi M, N giao điểm tiếp tuyến (d) với đường tiệm cận (H)
a CMR T trung điểm đoạn MN
b CMR diện tích OMN khơng phụ thuộc tiếp tuyến (d) Cho (H) có phương trình:
2 2
:x y
H
a b
Điểm M chạy đường thẳng (d) cố định không qua O Từ M kẻ hai tiếp tuyến
1,
MT MT tới (H), T T1, 2là tiếp điểm
a Viết phương trình đường thẳng T T1 2theo tọa độ M
b CMR đường thẳng T T1 2luôn qua điểm cố định Cho hypebol (H) đường trịn (C) có phương trình:
2 2
:x y
H
a b
2 2
:
C x y R với 0Ra
a Từ M(H)kẻ tiếp tuyến MT MT1, 2tới (C), T T1, 2là tiếp điểm CMR đường thẳng T T1 2luôn tiếp xúc với hypebol cố định
b Từ N( )C kẻ tiếp tuyến ME ME1, 2tới (H), E E1, 2là tiếp điểm CMR đường thẳng E E1 2luôn tiếp xúc với elip cố định
D Tiếp tuyến parabol
Phần chúng tơi xin khơng trình bày phần chứng minh định lý tập, phương pháp làm tương tự phần tiếp tuyến elip
Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P) đường thẳng (d) có phương trình:
: & ( ) : Ax
P y px d By C với 2
0
A B
(31)pB2 2AC
Định lý 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho parbol (P) có phương trình:
( ) :P y 2px
Phương trình tiếp tuyến (d) (P) điểm M x y( ,o o)( )P có phương trình: d :yyo p x( xo)
Định lý pascal:Tiếp tuyến parabol tạo với bán kính qua tiêu điểm ứng với tiếp điểm trục parabol góc
Bài tập đề nghị:
1 Cho đường thẳng parabol (P) có phương trình:
2
:
( ) :
x y
P y x
a Lập phương trình tiếp tuyến parabol (P) vng góc
b Gọi M tiếp điểm (P) với tiếp tuyến (d), lập phương trình đường trịn tâm M tiếp xúc với đường thẳng
2 Cho đường thẳng d1 parabol (P) có phương trình: 1
2
:
( ) :
d y x
P y x x
Đường thẳng (d) đường thẳng phương với đường thẳng d1 cho (d) cắt (P) diểm phân biệt A, B
a Lập phương trình (d) tiếp tuyến (P) A B vng góc với b Lập phương trình (d) độ dài AB = 40
3 Lập phương trình tiếp tuyến chung của: a 2
: ( 2)
C x y
: 12
P y x
b
2
:
9
x y
H
: 12
P y x
c
2
:
9
x y
E P :y2 2x
d
1 : 2
P yx x
2
(P) :yx
4 Cho parabol (P) có phương trình: P :y2 2px
Tìm tập hợp điểm từ kẻ tiếp tuyến vng góc với tới (P)
5 Lấy điểm M, N theo thứ tự thuộc parabol (P) đường thẳng (d) có phương trình: ( ) :P y264 & ( ) : 4x d x3y460
(32)b Với kết tìm câu a) chứng tỏ đường thẳng MN vng góc với tiếp tuyến M parabol
6 Cho parabol (P) CMR hai tiếp tuyến hai đầu mút dây cung qua tiêu vng góc với điểm đường chuẩn
7 Cho parabol (P) có phương trình: P :y2 2px
Và điểm M chạy đường thẳng (d) cố định, không cắt (P) cho Từ M kẻ hai tiếp tuyến MT MT1, 2 tới (P),trong T T1, 2là tiếp điểm
a Viết phương trình đường thẳng T T1 2theo tọa độ M
b CMR đường thẳng T T1 2luôn qua điểm cố định Cho parabol (P) đường trịn (C) có phương trình:
( ) :P y2 2px C : (x a )2y2 R2 với 0<p & a+R<0 Điểm M( )C kẻ tiếp tuyến MT MT1, 2tới (P), T T1, 2là tiếp điểm a Viết phương trình đường thẳng T T1 2theo tọa độ M
b CMR đường thẳng T T1 2luôn tiếp xúc với hypebol cố định Cho parabol (P) elip (E) có phương trình:
( ) :P y 2x
2
( 3)
:
4
x y
E
Điểm M( )E kẻ tiếp tuyến MT MT1, 2tới (P), T T1, 2là tiếp điểm CMR đường thẳng T T1 2luôn tiếp xúc với hypebol cố định
IV Bài tập mở rộng toán cao cấp:
Với dạng toán tiếp tuyến,chúng ta quen thuộc chương trình tốn phổ thơng.Ở phần nhóm chúng tơi xin giới thiệu phần mở rộng cho tốn tiếp tuyến chương trình tốn cao cấp,cụ thể mơn hình học xạ ảnh
1 Định nghĩa
Định nghĩa :Trong không gian xạ ảnh P (nn 1) cho siêu mặt bậc (G) có phương trình
n j , i
j i ijx x
a =
điểm M(y0 : :yn) N(z0 : :zn) đc gọi liên hợp với (G)
n j , i
j i ijy z
(33)Nếu M điểm P khơng điểm kì dị S tập điểm liên hợp với n M siêu phẳng có phương trình :
(ytA)x0 Hay
n
M n
M
x x
F x x
F
=
Ta gọi đối cực M gọi M cực
Nếu M(G) M điểm quy (G) đối cực M gọi tiếp diện (G) M ;mỗi đường thẳng qua M gọi tiếp tuyến (G) M
Ví dụ: Trong P cho đường bậc không suy biến (G) ;4 tiếp tuyến phân biệt a,b,c,d (G) A,B,C,D tương ứng.Đặt {P}ab ; {Q}bc ; {L}dc ; {M}ad ;
c a } N
{ ; {K}bd a Xét {E}PLQM {F}PLNK
{H}QMNK
CMR điểm điểm E,F,H cực đường thẳng nối điểm lại b CMR : AC,BD,PL,QM đồng quy
Lời giải :
a Xét hình đỉnh tồn phần PQLM ta có [HEMQ] = -1
1 LQ , LM , LE , LH
1 PQ , PM , PE , PH
(34)Vì PE =LE = FE nên PH LH liên hợp với FE (G).Vậy PH LH qua cực FE,nói cách khác PHLH{H} H cực FE
CMTT ta có F cực EH ; E cực HF b Ta có N cực AC
K cực BD ACBD cực NK E cực HF
EACBD
AC,BD,PL,MQ đồng quy E
Bài tập đề nghị :
1 Trong P thực cho đường bậc (G) có phương trình x0x1x1x2 x0x2 0
đối với mục tiêu S0,S1,S2;E.Viết phương trình tiếp tuyến (G) qua điểm S0,S1,S2,E
2 Trong P cho đường bậc (G) điểm phân biệt A,B (G).Giả sử A,B có 2 tiếp tuyến a,b (G).Chứng minh đường thẳng AB có cực Cab
3 Trong P cho đường bậc không suy biến (G) điểm độc lập (A,B,C) (A’,B’,C’).Chứng minh A,B,C,D có đối cực B’C’,C’A’,A’B’ điểm A’,B’,C’ có đối cực BA,CA,AB
4 Trong P cho đường bậc không suy biến (G) điểm độc lập A,B,C mà điểm cực đường thẳng nối điểm lại.1 đường thẳng m cắt BC,CA,AB P,Q,R.Gọi P’,Q’,R’ điểm nằm BC,CA,AB liên hợp với P,Q,R (G).Chứng minh AP’,BQ’,CR’ đồng quy
5 Trong P cho đường bậc không suy biến (G) (S),1 tiếp tuyến biến thiên m (S).Gọi D cực m (G).Tìm quỹ tích D
2 Những định lý cổ điển đường bậc xạ ảnh
A Định lý Steiner :
Định lý: Trong P cho điểm phân biệt A,B ánh xạ xạ ảnh f:ch A ch B (f(AB) AB)
Giả sử m đường thẳng thay đổi ch A Khi quỹ tích mf(m) đường bậc không suy biến (G) qua A,B nhận đường thẳng f(AB), f1(BA) làm tiếp tuyến B,A
(35)f(AB) = BM ánh xạ xạ ảnh không phối cảnh mà f(AB); f1(BA) tiếp tuyến (G) B,A
Hệ quả:
a Có đường bậc không suy biến tiếp xúc với cạnh hình đỉnh cho trước
b Cho hình đỉnh điểm thuộc vào cạnh khơng thuộc cạnh cịn lại có đường bậc khơng suy biến tiếp xúc với cạnh hình bốn đỉnh cho nhận điểm cho làm tiếp điểm
c Cho hình đỉnh điểm thuộc vào cạnh khơng đỉnh có đường bậc khơng suy biến nội tiếp hình đỉnh cho nhận điểm cho tiếp điểm
d Cho tiếp tuyến phân biệt a,b,c,d đường bậc không suy biến (G) tiếp tuyến (G) tỉ số kép ma,mb,mc,md số.(Hằng số gọi tỉ số kép tiếp tuyến a,b,c,d kí hiệu [abcd])
B Định lý Pascal(P)-Brianchon(B): a Về hình đỉnh:
(36)(B): Điều kiện cần đủ để có đường bậc không suy biến (G) tiếp xúc với cạnh hình đỉnh ABCDEF đường AD,BE,CF đồng quy
(37)(P): Cho hình đỉnh ABCDE đường thẳng a qua A không qua B,C,D,E Điều kiện cần đủ để có đường bậc không suy biến (G) qua đỉnh hình đỉnh cho nhận a làm tiếp tuyến điểm ABDE,BCAE,aCD thẳng hang
(38)c Về hình đỉnh:
(P): Cho hình đỉnh ABCD đường thẳng a,b,c,d qua A,B,C,D cho đường qua đỉnh mà không qua đỉnh khác.Điều kiện cần đủ để có đường bậc khơng suy biến (G) qua đỉnh A,B,C,D nhận a,b,c,d làm tiếp tuyến điểm ABCD,ADBC,ac,bd thẳng hang
(39)
d Về hình đỉnh:
(40)(B): Cho hình đỉnh ABC điểm A’,B’,C’ nằm BC,CA,AB cho khơng có điểm trùng với đỉnh.Điều kiện cần đủ để có đường bậc khơng suy biến (G) tiếp xúc với cạnh ABC nhận A’,B’,C’ làm tiếp điểm đường thẳng AA’,BB’,CC’ đồng quy
C Định lý Fregier:
Định lý: Cho đường bậc không suy biến (G);điểm A cố định thuộc (G) điểm M,N biến thiên (S).Điều kiện cần đủ để có biến đổi xạ ảnh đối hợp
g:ch A ch A AMAN
là đường thẳng MN qua điểm cố định F
D Định lý Desargues thứ 2:
Định lý: Trong P cho hình đỉnh ABCD đường thẳng d khơng qua A,B,C,D.1 đường bậc (G) biến thiên qua A,B,C,D cắt d điểm M,N.Khi ánh xạ
f :hg d hg d MN
(41)Hệ quả: Cho hình đỉnh ABC điểm A’,B’,C’ thuộc cạnh BC,CA,AB mà đỉnh.Điều kiện cần đủ để đường thẳng AA’,BB’,CC’ đồng quy có đường thẳng d cắt cặp đường thẳng (AA’,BC),(BB’,AC),(CC’,AB) thành cặp điểm tương ứng biến đổi xạ ảnh đối hợp hg d
(42)1 Trong P cho đường bậc khơng suy biến (G) (S).Giả sử có đơn hình ABC mà đỉnh nằm (G) cịn cạnh tiếp xúc với (S) đơn hình có đỉnh (G) có cạnh tiếp xúc với (S)
2 Trong P cho đơn hình ABC A’B’C’.Chứng minh đường thẳng AA’,BB’,CC’ đồng quy điểm {M}= ABA’C’,{N}= ABB’C’,{K}= CAC’B’ ,{P}= CAA’B’,{Q}= BCB’A’,{R}= BCC’A’ nằm đường bậc khơng suy biến (G)
3 Trong P cho đường bậc không suy biến (G),2 điểm phân biệt A,B (G),1 điểm C đường thẳng AB C(G),1 đường thẳng thay đổi qua C cắt (G) N,N’.Gọi (d) tiếp tuyến (G) A.Đặt {M}= BN(d),{M’}= BN’(d).2 tiếp tuyến xuất phát từ M,M’(mà d) cắt Q.Tìm quỹ tích Q
4 Trong P cho đường bậc không suy biến (G),4 diểm A,B,C,D (G).Gọi P giao 2 tiếp tuyến A D.Gọi Q giao tiếp tuyến B C.Đặt {M}= ACDP,