CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A.[r]
(1)CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Dấu hiệu Cách chọn
2
a x Đặt x = |a| sint; với
; 2
t
hoặc x = |a| cost; với t0;
2
x a Đặt x =
a
sint ; với t 2; \ 0
hoặc x =
a
cost; với t 0; \
2
a x Đặt x = |a|tant; với
; 2
t
hoặc x = |a|cost; với t0;
a x a x
a x a x
Đặt x = acos2t
x a b x Đặt x = a + (b – a)sin2t
2
1
a x Đặt x = atant; với t 2;
Bài 1: Tính
1
2 2
1 x
I dx
x
Giải:
Đặt x = cost,
; 2
t
dx = - sint dt
Đổi cận:
x
2
t
Khi đó:
1
2 2
1 x
I dx
x
=
0
2
1 cos t sint dt cos t
=
4
2
sin sint t dt cos t
=
2
2
sin t dt cos t
=
4
1
1 dt cos t
(2)=
tan
0
t t
=
(v? 0;
4
t
nên sint 0 sint sint) Bài 2: Tính
2 2
0
a
I x a x dx
Giải:
Đặt x = asint,
; 2
t
dx = acostdt
Đổi cận:
x a
t
2
Khi đó:
2 2
0
a
I x a x dx
=
2
2 2
0
sin sin
a t a t acostdt
=
2
4 2
0
sin
a tcos tdt
=
4 2
sin
a
tdt
=
=
4
0
1
8
a
cos t dt
=
4 1
sin
8
0
a
t t
=
4
16
a
Bài 3: Tính
1
2
0
1
I x x dx
Giải:
Đặt x = sint,
; 2
t
dx = costdt
Đổi cận:
x
t
2
Khi đó:
1
2
0
1
I x x dx
=
2
2
0
sin t sin t costdt
=
2
2
0
1 sin
4 tcos tdt
=
2
1
sin
4 tdt
=
2
0
1
1
8 cos t dt
=
1
sin t t 0
= 16
(3)Giải:
Đặt t = 1 x2 t2 = – x2 xdx = -tdt
Đổi cận:
x
t
Khi đó:
1
3
0
1
I x x dx
=
1
2
0
1
I x x xdx
=
1
1 t t tdt
=
1
2
0
t t dt
=
3 1
0
t t
=
15
Bài 5: Tính
2
5
ln
e
e
dx I
x x
Giải:
Đặt t = lnx dt =
dx x
Đổi cận:
x e e2
t
Khi đó:
2
ln
e
e
dx I
x x
=
2
dt t
=
2
1 15
4t 64
Bài 6: Tính
1
4
3
0
1
I x x dx
Giải:
Đặt t = x4 + dt = 4x3dx
4
dt x dx
Đổi cận:
x
t
Khi đó:
1
4
3
0
1
I x x dx
=
2
4
1
2
1 31
t dt 20t 20
Bài 7: Tính
2
sin
I xcoxdx
Giải:
Đặt t = sinx ; dt cosxdx
Đổi cận:
x
2
(4)Khi đó:
1
5
0
1 sin
6
I xcoxdx t dt
Bài 8: Tính
12
tan
I xdx
Giải:
Ta có:
12 12
0
sin tan
4
x
xdx dx
cos x
Đặt t = cos4x ; 4s sin 4
dt
dt in xdx xdx
Đổi cận:
x
12
t 1
2
Khi đó:
1
1
12 12
1
0
2
1
sin 1 1
tan ln 1 ln
4 4 4
2
x dt dt
I xdx dx t
cos x t t
Bài 9: Tính
2
I cos xdx
Giải:
Ta có:
2 2 2
5
0 0
1 sin
cos xdx cos xcoxdx x coxdx
Đặt t = sinx ; dt cosxdx
Đổi cận:
x
2
t
Khi đó:
2 2
2
5 2
0 0
1
2
1 sin 1
0
3 18
t t
I cos xdx x coxdx t dt t t dt t
Bài 10: Tính
4
1
I dx
cos x
Giải:
(5)Đổi cận:
x
4
t
Khi đó:
1
4
2
4
0 0
1
1
1 tan
0
3
t
I dx x dx t dt t
cos x cos x
Bài 11: Tính
3
2
s
cos x
I dx
in x
Giải:
Đặt t = sinx ; dt cosxdx
Đổi cận: x
6
2
t
2
Khi đó:
1
3 2
2
2 2
1
6 2
1
(1 s ) 1 1
1 1
s s
2
cos x in x t
I dx cosxdx dt dt t
in x in x t t t
Bài 12: Tính
2
3
0
sin
I xcos xdx
Giải:
Đặt t = sinx ; dt cosxdx
Đổi cận:
x
2
t
Khi đó:
1
2
3 3 3
0 0
1
sin sin sin
0
4 12
t t
I xcos xdx x x cosxdx t t dt t t dt
Bài 13: Tính
2
sin
sin
x
I e xdx
Giải:
Đặt t = sin2x ; dts 2in xdx
Đổi cận:
x
2
(6)Khi đó:
2
2 sin
0
1
sin
0
x t t
I e xdx e dt e e
Bài 14: Tính
2
2
sin
x
I dx
cos x
Giải:
Đặt t = + cos2x ; dt s 2in xdx s 2in xdxdt
Đổi cận:
x
2
t
Khi đó:
1
2
2
0
2 sin
ln ln 1
x dt dt
I dx t
cos x t t
Bài 15: Tính
4
tan
I xdx
Giải:
Đặt t = tanx ;
2
2
1 tan
1
dt
dt x dx t dt dx
t
Đổi cận:
x
4
t
Khi đó:
2
1 1
4
2 2
0 0 0
2
1
1
tan
0
1 2
1
1 1 1
ln ln ln
0
2 2 2
d t
t t t t
I xdx dt t dt tdt dt
t t t t
t
Bài 16: Tính
1
0
1
I dx
x
Giải:
Đặt t = x ; t2 x dx2tdt
Đổi cận:
x
t
Khi đó:
1 1
0 0
1
1
2 2 ln ln
0
1
1
t
I dx dt dt t t
t t
x
(7)Bài 17: Tính
1
3
0
1
I x x dx
Giải:
Đặt t =
31 1 3
4
x t x x dx t dt
Đổi cận:
x
t
Khi đó:
1
3
3 4
0
1
3 3
1
0
4 16 16
I x x dx t dt t
Bài 18: Tính
0
1
2
I dx
x x
Giải:
Ta có:
0
2
2 2
1
1
2 4dx 1 3 dx
x x x
Đặt x 1 tant với
2
; tan
2
t dx t dt
Đổi cận:
x -1
t
6
Khi đó:
0
2
1
1 3
2 3 0 18
I dx dt t
x x
Bài 19: Tính
1
8 01
x
I dx
x
Giải:
Ta có:
1 3
2
8 4
01 01
x x
dx dx
x x
Đặt x4 tant với
3
; tan
2
t x dx t dt
Đổi cận:
x 0
t
4
Khi đó:
1 3 4
2
8 4
0 0
1 tan 1
1 1 tan 4 16
0
x x t
I dx dx dt dt t
x x t
(8)Bài 20: Tính
1 ln
e
x
I dx
x
Giải:
Đặt
2
1 ln ln dx
t x t x tdt
x
Đổi cận:
x e
t
Khi đó:
2
2
1 1
2 2
1 ln
.2 2
3
e
x t
I dx t tdt t dt
x
Bài 21: Tính
1
0
ln 2
x
I dx
x
Giải:
Đặt ln 2
dx
t x dt
x
Đổi cận:
x 1
t ln2
Khi đó:
1 ln 2
0 ln
ln
ln ln
2 2
x t
I dx tdt tdt
x
Bài 22: Tính
2
2 01 sin
cosx
I dx
x
Giải:
Đặt sinxtant với
2
; tan
2
t cosxdx t dt
Đổi cận:
x
2
t
4
Khi đó:
2
2 4
2
0 0
1 tan
1 sin tan
cosx t
I dx dt dt
x t
Bài 23: Tính
2
3
1 sin
I dx
x
(9)Đặt
2
2
1
tan tan
2 2
x x dt
t dt dx dx
t
Ta tính:
2
1
sin
1
tdt
dx dt
t
x t t
t
Đổi cận:
x
3
2
t
3
Khi đó:
1
3
3
1
1
ln 3 ln ln
sin
3
I dx dt t
x t
Bài 24: Tính
1 ln
e
I dx
x x
Giải:
Đặt ln
dx
t x dt
x
Đổi cận:
x e
t
Khi đó:
2
1
2
ln ln 1 ln
e
dt
I dx t
x x t
Bài 25: Tính
3
5
x
I x e dx
Giải: Đặt
3 3 2
3
dt tx dt x dx x dx Đổi cận:
x
t
Khi đó:
3
1 1
5
0 0
1
1 1 1
0
3 3 3
x t t t e t
I x e dx te dt te e dt e
Bài 26: Tính
1 2
4
1
1
x
I dx
x x
(10)Ta có:
1 5
2
2 2 2
2
4
2
1 1
2
1
1 1
1
1
1 1 1
1
x dx x dx x dx
x x x
x
x x
Đặt
1
1
t x dt dx
x x
Đổi cận:
x 1
2
t
Khi đó:
1 01
dt I
t
Đặt
2
tan tan t u dt u du Đổi cận:
x
t
4
Vậy
1 4
2
0 0
1 tan
1 tan 0
dt u
I du du u
t u
Bài 27: Tính
2
3
1
dx I
x x
Giải:
Ta có:
2 2
3 3
1 1
dx x dx
x x x x
Đặt
3 2
1
3
tdt
t x t x tdt x dx x dx
Đổi cận:
x
t
Khi đó:
2 2 3
2
3 3
1 2
2
2 1
3 1
1
3
1 1 1 1 1
ln ln ln ln ln ln ln
3 3 2 2 2 1
dx x dx dt
I dt
t t t
x x x x
t
t t
t
(11)Bài 28: Tính
2
2
3
2
x
I dx
x x
Giải:
Ta có:
2 3
2
0
3
2 1
x x
dx dx
x x x
Đặt t x dt dx
Đổi cận:
x
t
Khi đó:
3
2 3 3
2
2 2
0 1
3
2 2
1
3 3
3
3
2 1
3
9
3 3 9ln 3 9 ln ln1 9ln
1
2
t t t
t
x x
I dx dx dt dt
x x x t t
t
t t dt t t
t t
Bài 29: Tính
ln 2
3
3
x x x x
e e
I dx
e e
Giải:
Đặt t e x dt e dx x
Đổi cận:
x ln2
t
Khi đó:
ln 2 ln 2
2 2
0 1
2
1
3 3
3 3 2
2
1 27
2 2ln ln 2 ln ln ln ln 2ln ln ln ln ln
1
1 2 16
x x x
x
x x x x
e e e t
I dx e dx dt dt
e e e e t t t t
dt dt t t
t t
Bài 30: Tính
4
1
dx I
x x
Giải:
Đặt x t 2 dx2tdt
Đổi cận:
x
t
Khi đó:
4 2
2
1 1
2 1
2
1 1
1
2
2 ln ln ln ln 2ln
1 3
dx tdt dt
I dt
t t t t t t
x x
t t
(12)Bài 31: Tính
1
3
1
I x dx
Giải: Đặt
sin , 0;
x t t dx costdt
Đổi cận:
x
t
2 Khi đó:
2
1 3 3 2
2
0 0 0
2 2 2
2
0 0 0
2
0
1
1 sin
2
1 1 1 sin
1 2 2 2
4 2
0
1
8 8
cos t
I x dx t costdt cos t costdt cos tdt dt
t
cos t cos t dt dt cos tdt cos tdt cos t dt
dt co
2
0
1 sin
4
8 16 0 16 16
t s tdt
Bài 32: Tính
2
6
I cos xdx
Giải:
3
2 2
3 2
6 6
sin
sin sin sin sin
3
1 1
1
3 24 24
x
I cos xdx cos x cosxdx x cosxdx x d x x
Bài 33: Tính
4
4
0
sin sin
x I
x cos x
(13)4 4
4 4 2
2
0 0
4
2
2
sin 2sin 2 2sin 2 2sin 2
1
sin sin 2sin 1 sin 2
2
1 1
1 sin ln sin ln ln
1 2 2 2
1 sin
2
x xcos x xcos x xcos x
I dx dx dx dx
x cos x x cos x xcos x x
d x x
x
Bài 34: Tính
3
4
1 sin
cos x
I dx
x
Giải:
2
3
2 2
4 4
2 2
4 4
1 sin
1 sin
1 sin sin sin
1 2
sin s sin sin
2 4
4
x
cos x cos x
I dx cosxdx cosxdx x cosxdx
x x x
cosx cosx x dx cosxdx in xdx x x
Bài 35: Tính
2
4
sin sin
x cosx
I dx
x cosx
Giải:
2
4
sin
sin 2
ln sin ln
sin sin
4
d x cosx
x cosx
I dx x cosx
x cosx x cosx
Bài 36: Tính
2
sin
I xdx
Giải:
3
2 2
3 2
0 0
1
sin sin sin
3 0 3
cos x
I xdx x xdx cos x d cosx cosx
Bài 37: Tính
3 sin
cos x
I dx
x
(14)
2
3
0
4 sin
3
sin
sin sin sin sin
1
4sin sin sin ln sin
sin1
cos x x
cos x cos x cosx
I dx dx cosxdx d x
x x x x
x d x x x C
Bài 38: Tính
s sin
in x
I dx
x
Giải:
3
2
s 3s 4sin
3 4sin 2 2 sin
sin sin
sin
in x inx x
I dx dx x dx x cos x dx x x x c
x x
x x C
Bài 39: Tính
1
4
0
x
I dx
x x
Giải:
1 Đặt tx2 dt2xdx
Đổi cận:
x
t
Khi đó:
1
2
4
0
1
1
2
x dt
I dx
x x
t
2 Đặt
1
y t dy dt Đổi cận:
t
y
2
3
Khi đó:
3
1
2
1
0 2
2
1
2 3
2 4
dt dy
I
t y
3 Đặt
3
4
z y dz dy
Đổi cận:
y
2
3
z
(15)Khi đó:
3
3
2
2
2
1 2 1
2 3
1
3
2 3
4
4
dy dz dz
I
z z
y
4 Đặt
2
tan tan z u dz u du Đổi cận:
z
3
u
6
3
Ta được:
3
2
1
6
1 1 tan 3
1 tan
3 3
6
dz u
I du u
z u
Bài 40: Tính
1
2
0
x
I dx
x
Giải: Đặt
1
2
2
t dt
t x x dx
Đổi cận:
x
t
Khi đó:
1 3
2 2
0 1
1
3
1 1 1
2 ln ln
1
2 4
2
t
x dt
I dx dt t
t t t t
x
Bài 41: Tính
0
9
1
1
I x x dx
Giải:
6 Đặt t x dt dx
Đổi cận:
x -1
t
Khi đó:
0 1
9
2 9 11 10
1 0
12 11 10
1 2
1 1
2
0
12 11 10 12 11 10 660
I x x dx t t dt t t t dt t t t dt
t t t
Bài 42: Tính
2
01 dx I
cosx
(16)Giải:
2 2
2
0 0
2 tan 1
2
1 2 0
2
x d
dx dx x
I
x x
cosx cos cos
Bài 43: Tính
1
15
0
I x x dx
Giải:
Ta có:
1
15 8
0
x x dx x x x dx
7 Đặt
8
1 24
24
dt
t x dt x dx dx
Đổi cận:
x
t
Khi đó:
1 4 3 2 2
1
15 8 2 2
0 1
4
1 1 29
5
3 24 72 72 270
2
t t t
I x x dx x x x dx t dt t t dt
Bài 44: Tính
1
2
0
x
I dx
x x
Giải:
3
1 1
3
2
2 2
0 0
1 1
3 2 2
0 0
1
1
1 1
1
1 1
0
5
J
x x x x x x
x
I dx dx dx x x x dx
x x
x x x x x x
x
x x dx x dx x x xdx x x xdx
Đặt tx2 1 dt2xdx
Đổi cận:
x
t
Khi đó:
2 2
3
2 2 2
1 1
5
2
2
1 1 1
1
1
2 2
2 2 2 2
5 3 15 15 15
J t t dt t t dt t dt t dt t t
2 15 15
(17)Bài 45: Tính
4
2
sin
x
I dx
cos x
Giải:
Ta có:
4
2
0
sin 2sin 2
1
x xcos x
dx dx
cos x cos x
9 Đặt t 1 cos x2 dt2sinxcosxdx sin 2xdx
10
2 1 2 2 1 2 1 2 3
cos x t cos x cos x t t
Đổi cận:
x
4
t
2
Khi đó:
3
2
2
3
2
2
2
2 6
4 4 6ln 3
2
3
4 ln ln 6ln
2
t dt
I dt dt t t
t t t
Bài 46: Tính
2
4
1 sin
dx I
x
Giải:
2 2
2
2
4 4
1 2
tan
1 sin sin 2
2 4 4
4
dx dx dx dx
I x
x x cosx cos x
cos x
Bài 47: Tính
4
3
s
sin
co x
I dx
x cosx
Giải:
Ta có:
4
3
0
sin sin
s
sin sin
cosx x cosx x
co x
dx dx
x cosx x cosx
11 Đặt t cosx sinx 2 dtcosx sinx dx Đổi cận:
x
4
(18)Khi đó:
2 2
3
0
2 1 2 1 1
3
2
0
1 2 2 2 4
9 9
6 2 2 2 18 18
t
I dt dt
t t t t t
Bài 48: Tính
4
0
s
sin
co x
I dx
x cosx
Giải:
Ta có:
4
0
sin sin
s
sin sin
cosx x cosx x
co x
dx dx
x cosx x cosx
12 Đặt t cosx sinx 2 dtcosx sinx dx Đổi cận:
x
4
t 2
Khi đó:
2 2
0
2 2
1 2ln 2 2ln 2 2ln
0 2 ln ln 2 2ln
2
t
I dt dt t t
t t
Bài 49: Tính
2 3
2
sin sin
I x x dx
Giải:
13 Đặt t 1 sin2 x 2 dt2sinxcosxdxsin 2xdx
Đổi cận:
x
2
t
Khi đó:
2
2 3
2
0
2 15
sin sin
1
4 4
t
I x x dx t dt
Bài 50: Tính
2
2
sin
I xcosx cosx dx
(19)
2 2
2 2 2 3
0 0
sin sin 2 sin
I xcosx cosx dx xcosx cosx cos x dx cosx cos x cos x xdx
14 Đặt t cosx dt sinxdx
Đổi cận:
x
2
t
Khi đó:
0
2 3
1
1
2 17
2
0
2 12
t t t
I t t t dt t t t dt
Bài 51: Tính
2
2 2
0
sin
sin
xcosx
I dx
a cos x b x
Giải:
Ta có:
2 2
2 2 2 2 2 2
0 0
sin sin sin
sin sin sin sin
xcosx xcosx xcosx
I dx dx dx
a cos x b x a x b x b a x a
15 Đặt
2
2 2 2 2 2
2
2 sin
sin sin
sin
tdt b a xcosxdx
t b a x a t b a x a tdt
xcosxdx
b a
Đổi cận:
x
2
t |a| |b|
Khi đó:
2
2
2
1
b
a
b b a
tdt
I t
b a a b
t b a a b a
Bài 52: Tính
2
1
3
x
I dx
x
Giải: 16 Đặt
3
3
33 2 3 2 3 3 ;
3
t
t x t x t dt dx x
Đổi cận:
x
t 2 2
Khi đó:
3
3
2
2
3
2
2
2
1 1 42 37
3
3 2 5 15
t
t t
I t dt t t dt
t
(20)Bài 53: Tính
4
7
dx I
x x
Giải:
17 Đặt
2 2
2
9 ;
9
dx tdt tdt
t x t x t tdt xdx
x x t
Đổi cận:
x
t
Khi đó:
5
5
1
ln ln
4
9 6
dt t
t t
Bài 54: Tính
4
01 tan dx I
x
Giải:
18 Đặt
2
2 2
1
tan tan
1 tan
dt dt
t x dt dx x dx dx
cos x x t
Đổi cận:
x
4
t
Khi đó:
1
1
2
2
0
1 1
1 1 1
2 2
1 0 0 0
J J J
dt t dt tdt dt
I dt
t t t t
t t t
1 Tính:
1
0
1
1 ln
ln
2 2
dt
J t
t
2 Tính:
1
2
2 2
0
1 1
1 1 ln
ln
2 4
d t tdt
J t
t t
3 Tính:
1
3
0
1
2
dt
J du
t
(với t = tanu) Vậy
ln ln ln
2 8
I
Bài 55: Tính
2
3
sin
dx I
x
(21)Ta có:
2 2
2
3 3
sin sin
sin sin s
dx xdx xdx
x x co x
19 Đặt t cosx dt sinxdx
Đổi cận: x
3
2
t
2
Khi đó:
1 1
0 2 2
2
1 0 0
2
1
1 1 1 1
ln ln ln ln
1 1 2 0 2
dt dt dt dt
I dt t t
t t t t t t
1 1
ln ln
2
Bài 56: Tính
1
sin
x x
I dx
cos x
Giải:
Ta có:
1 1
2 2
0 0
sin sin
I I
x x xdx x
I dx dx
cos x cos x cos x
1 Tính
3
1
0 xdx I
cos x
Đặt
1
tan
u x
du dx
v x
dv dx
cos x
Áp dụng cơng thức tính tích phân phần ta được:
3 3
1
0 0
3 sin 3
tan tan ln
3 3
0
3
ln
3
d cosx
xdx x
I x x xdx dx cosx
cos x cosx cosx
2 Tính
3
2 2
0
sin
2 1
0
d cosx x
I dx
cos x cos x cosx
Vậy
3
ln
(22)Bài 57: Tính
1
2
0
x
I dx
x x
Giải:
Ta có:
3
1 1
3
2
2 2
0 0
1 1
3 2 2
0 0
1
1
1 1
1
1 1
0
5
x x x x x x
x
I dx dx dx x x x dx
x x
x x x x x x
x
x x dx x x x xdx x x xdx
20 Đặt tx2 1 dt2xdx
Đổi cận:
x
t
Khi đó:
2 2
3
2 2
1 1
5
2
5
2
1 1 1 1
1
2 5 2
2
1 2 2 1 2 2
1
5 5 5 3 5 15 15
I t t dt t t dt t dt t dt
t t
Bài 58: Tính
1
1
x
I dx
x
Giải:
21 Đặt t 5 4x dt4dx
Đổi cận:
x -1
t
Khi đó:
1 9
1 1
3
5
1 5 1
4
16 16
5
9
5 5 13
27
1
8 16 24 12
t
dt
x t
I dx dt dt tdt
x t t t
t t
Bài 59: Tính
9
1
I x xdx
Giải:
22 Đặt t 1 x dtdx
Đổi cận:
x
t -8
(23)
9
7
4 4 7
3
3 3 3
1
0
3 3 468
1 2
8
4 7
I x xdx t t dt t t dt t t
Bài 60: Tính
3
6sin sin 6 dx I
x x
Giải:
3 3
2
6 6
2 sin sin
3
sin sin sin sin
6 2 2
dx dx dx
I
x xcosx
x x x x cosx
3 3
2
6 6
3
6
2 tan tan
2
2
s tan tan tan tan tan tan
1
2 tan
3 tan tan
d x d x
dx
co x x x x x x x
d x
x x
3
6
3 tan
tan 3
2 2 ln tan ln tan ln ln ln ln
tan tan
6
3 2ln 2ln ln
2
d x
d x
x x
x x
Bài 61: Tính
1
0
x
dx I
e
Giải:
23 Đặt t e x dt e dx x
Đổi cận:
x
t e
Khi đó:
2
2 2 2 2
0 1 1
2
2 2
2
1
1
3 3 3
1 1 1
ln ln ln
1
2 3 6
e e e e
x
e
d t
dx dt tdt tdt
I
e t t t t t t t t
e e
d t t t
t t
Bài 62: Tính
1
2
2 11
dx I
x
(24)24 Đặt t11 5 x dt5dx
Đổi cận:
x -2
t
Khi đó:
1
2
2
6
1 1 1
1
5 30
11
dx dt
I
t t
x
Bài 63: Tính
1
sin ln
e x
I dx
x
Giải:
25 Đặt ln
dx
t x dt
x
Đổi cận:
x e
t
Khi đó:
1
1 sin ln
sin 1
0
e x
I dx tdt cost cos cos cos
x
Bài 64: Tính
5
9
I x dx
Giải:
26 Đặt
2
2 2
2
2
9
2
9 9
9
2 2
t
t x x x
t
t t t
x t x t dx dt
t t t
Đổi cận:
x
t
Khi đó:
5 2
2
2
3 3
9
9 9 81 81
9 ln
3
2 4
t t t t
I x dx dt dt t
t t t t t
Bài 65: Tính
4
2 12
1 sin
I dx
x cosx
Giải:
4
2
2
12 12
1 1 1cot
2
sin sin
4 12
I dx dx x
x cosx x
1
sin
(25)27 Đặt t x dx2td
Đổi cận:
x
t
Khi đó:
1
0
2 sin
I t tdt
Đặt sin
u t du dt
dv tdt v cosx
Áp dụng cơng thức tính tích phân phần ta được:
1
0
1 1
2 2 sin sin1
0 0
I tcost costdt tcost t cos
B PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1 Tích phân hàm số dạng P(x)sinax; P(x)cosax; P(x)eax P(x) đa thức Đặt
u P x dv
2 Tích phân hàm số dạng P(x)lnx P(x) đa thức Đặt
ln
u x
dv
Bài 1: Tính
1
x
I xe dx
Đặt
2
2
2
x x
du dx u x
v e
dv e dx
Áp dụng cơng thức tính tích phân phần:
1 1
2 2 2 2 2
0 0
1
1 1 1 1 1
2
0
2 2 4 4
x x x x x e
I xe dx xe e dx e e d x e e e e
Bài 2: Tính
3
x
I dx
cos x
Đặt
tan co
u x du dx
dx v x
dv
s x
(26)
3 3
2
0 0
3 sin 3
tan tan ln ln
3 3
0
d cosx
x x
I dx x x xdx dx cosx
cos x cosx cosx
Bài 3: Tính
1
x
I x e dx
Đặt
2 2
x x
du xdx
u x
v e dv e dx
Áp dụng cơng thức tính tích phân phần:
1 1
2
0 0
1
2
0
x x x x
I x e dx x e xe dx e xe dx
Tiếp tục tính:
1
0
x
J xe dx
Đặt x x
u x du dx
dv e dx v e
Áp dụng cơng thức tính tích phân phần:
1
0
1
1
x x x
J xe dx xe xe dx Vậy I = e -
Bài 4: Tính
1
3
3 x
I x e dx
Đặt
3
3
3
1
x x
du dx
u x
v e
dv e dx
Áp dụng công thức tính tích phân phần:
1 1
3 3 3 3
3
0 0
1 1
1 1 1
3 3
0 0
3 3 3
x x x x x x x x
I x e dx x e e dx x e e d e x e e
e
Bài 5: Tính
2
sin
I x xdx
Ta có:
2 2
2
0 0
1
sin
2
cos x
I x xdx x dx xdx xcos xdx
28
2
2
0
2
2 0
x xdx
(27)29 Tính
2
0
2
xcos xdx
Đặt
1
2 sin
2
du dx u x
dv cos xdx v x
Áp dụng cơng thức tính tích phân phần:
2
0
1
2 sin 2 sin 2
2 0 0
cos x
xcos xdx x x xdx
Vậy
2
2
4 sin
16
I x xdx
Bài 6: Tính
2 sin
sin
x
I e xdx
Giải:
Ta có:
2
sin sin
0
sin 2 sin
x x
I e xdx e xcosxdx
Đặt tsinx dt cosxdx
Đổi cận:
x
2
t
Khi đó:
1
sin
0
2 xsin t
I e xcosxdx te dt
Đặt t t
u t du dt
dv e dt v e
Áp dụng cơng thức tính tích phân phần:
1
0
1 1
1
0 0
t t t t t
te dt te e dt te e
Vậy I =
Bài 7: Tính 1
4 ln
e
I x xdx
Đặt
ln
4
2
dx
u x du
x
dv x dx
v x x
(28)Áp dụng cơng thức tính tích phân phần:
1
4 ln ln 2
1
e e e e
I x xdx x x x x dx e e x x e
Bài 8: Tính
1
2
ln
I x x dx
Đặt tx2 1 dt2xdx
Đổi cận:
x
t
Khi đó:
1
2
0
1
ln ln
2
I x x dx tdt
Đặt
ln dx
u t du
t dv dt
v t
Áp dụng cơng thức tính tích phân phần:
2
1
2
ln ln 2ln
1
tdt t t dt
Vậy
1
2
1
ln ln
2
I x x dx
Bài 9: Tính
2
6
ln sin
I cosx x dx
Đặt
ln sin
sin
os sin
cosx
u x du dx
x
dv c dx v x
Áp dụng công thức tính tích phân phần:
2
6
1
2 2
ln sin sin ln sin in ln sin sin ln
2
6 6
I cosx x dx x x cosxdx x x x
Bài 10: Tính
3
sin
xdx I
x
Đặt
cot sin
u x du dx
dx v x
dv
x
(29)
3
2
4
9
1
3
cot cot ln sin ln
sin 3 36 2
4
xdx
I x x xdx x
x
Bài 11: Tính
2
0
cos
x
I e xdx
Đặt
os sin
x x
u c x du xdx
dv e dx v e
Áp dụng cơng thức tính tích phân phần
1
2
0
cos sin
0
x x x
I
I e xdx e cosx e xdx
Tính
2
0
sin
x
I e xdx
Đặt
sin
x x
u x du cosxdx
dv e dx v e
Áp dụng cơng thức tính tích phân phần
2
1
0
sin sin s sin
0
x x x x
I e xdx e x e co xdx e x I
Suy ra:
2
0
1
cos sin
2
0
x x x e
I e xdx e cosx e x
Bài 12: Tính
2
0
1 sin osx
x
x
I e dx
c
Ta có:
2
2 2 2
2
0 0 0
1 sin sin sin
1 osx osx osx cos osx
2
x x
x x x
I I
x e dx x e dx x
I e dx e dx e dx
x
c c c c
Tính:
2
2
1 cos
2
x
e dx I
x
(30)Đặt
2 tan
2
x
x
u e
du e dx dx
x dv
v x cos
Áp dụng cơng thức tính tích phân phần
2 2
2
2
0 0
1
tan tan tan
2 cos 0 2
2
x
x x x
e dx x x x
I e e dx e e dx
x
Tính:
2 2
2
2
0 0
2sin co
sin 2 2
tan
1 osx 2
2
x x x
x x
s
x x
I e dx e dx e dx
x
c cos
Vậy I e2
C TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH GIÁN TIẾP
Bài 1: Tính
2
0
sin sin
x
I dx
x cosx
Giải:
Đặt x t dx dt
Đổi cận:
x
2
t
2
0 Khi đó:
0 2
0
2
sin
2 s s
s sint s sin
sin
2
t
co t co x
I dt dt dx
co t co x x
t cos t
Vậy
2
0
sin
2
2
sin 0
x cosx
I I I dx dx x I
x cosx
Bài 2: Tính
3
3
0
sin sin
x
I dx
x cos x
(31)Đặt x t dx dt
Đổi cận:
x
2
t
2
0 Khi đó:
3
0 3
3 3
3 0 0
2
sin
s s
2
s sin s sin
sin s
2
t
co t co x
I dt dt dx
co t t co x x
t co t
Vậy
3
2
3
0
sin
2
sin 0
x cos x
I I I dx dx x I
x cos x
Bài 3: Tính tích phân:
1
0
x x x
e
I dx
e e
1
0
x x x
e
I dx
e e
Ta có:
1
0
1
I J dx
1
1
0
1
ln ln ln ln
0
x x x x
x x
x x x x
d e e
e e e
I J dx e e e e
e e e e e
Từ suy ra:
2
1
1 ln
2
e I
e
1
1 ln
2
e J
e
Bài 4: Tính
2
0
1 sinx ln
1+cosx
I dx
Giải:
Đặt x t dx dt
Đổi cận:
x
2
t
2
0 Khi đó:
0 2
0
2
1 sin
1 s t s x
2
ln ln ln
1+sint 1+sinx 1+cos
2
t
co co
I dt dt dx
t
(32)Vậy
2 2
0 0
1 s 1 s
2 ln ln ln ln1 0
1 s inx s x s inx s x
cosx inx cosx inx
I I I dx dx dx dx I
co co
Bài 5: Tính
6
6
0
sin sin
x
I dx
x cos x
Giải:
Đặt x t dx dt
Đổi cận:
x
2
t
2
0 Khi đó:
6
0 6
6 6
6 0 0
2
sin
s s
2
s sin s sin
sin s
2
t
co t co x
I dt dt dx
co t t co x x
t co t
Vậy
6
2
6
0
sin
2
sin
0
x cos x
I I I dx dx x I
x cos x
Bài 6: Tính
2
0
sin sin
I x nx dx
Giải:
Đặt t t dtdx
Đổi cận:
x 2
t
Khi đó:
sin sin sin sin
I t n t dt t n nt dt
sin sint nt cos n dt sin sint nt in ns dt
sin sin
I t nt cos n dt
(do sinn 0) Đặt y t dydt
(33)Khi đó:
sin sin sin sin sin sin
I y ny cos n dy y ny cos n dy y ny cos n dy
sin sint nt cos n dy I
0
I I I
Bài 7: Tính
2
3
4sin sin
x
I dx
x cosx
Giải:
Đặt x t dx dt
Đổi cận:
x
2
t
2
0 Khi đó:
0 2
3 3
0
2
4sin
4 s s
2
s sin s sin
sin s
2
t
co t co x
I dt dt dx
co t t co x x
t co t
2 2
3
2
0 0
4sin s 4
2
sin sin sin 2
4
x co x
I I I dx dx dx dx
x cosx x cosx x cosx cos x
2 tan 2
4 0
x I
D THAM KHẢO ĐỀ THI ĐẠI HỌC 2010 1 Khối B – 2010.
Tính tích phân I =
ln (2 ln )
e
x dx
x x
Giải
2
1
ln ln
e
x
I dx
x x
; u lnx du 1dx
x
(34)
1
2
0
1
2
2
u
I du du
u
u u
1
0
2 ln
2
u
u
2
ln ln
3
ln
2
2 Khối D – 2010.
Tính tích phân
1
3
2 ln
e
I x x dx
x
Giải.
1
1 1
3
2 ln ln ln
e e e
I I
I x xdx x xdx x dx
x x
1
ln
e
I x xdx; Đặt u lnx du dx
x
;
2
2
x dv xdx v
2 2
1
1
1
1 1
ln
2 2 2
e e e
x e x e
I x xdx
Tính I2 : Đặt t = lnx dt dx x
x = 1; t = 0; x = e ; t =
1
1
2
0
1
2
t I tdt
Vậy
2 2
2
e
I
3 Khối A – 2010 Tính tích phân :
1 x x
x
x e 2x e
I dx
1 2e
Giải.
1 1
2
0 0
(1 )
1 2
x x x
x x
x e e e
I dx x dx dx
e e
;
1
1
2
0
1 ;
3
x
I x dx
1
01
x x
e
I dx
e
=
1
0
1 (1 )
2
x x
d e
e
=
1
0
1
ln(1 )
x
e
= 1ln
2
e
Vậy I = 1ln
3
e