Đang tải... (xem toàn văn)
Chøng minh AE.AB = AF.[r]
(1)§Ị thi häc sinh giái khèi môn : Toán
(Thời gian: 150 phút)
bi
Câu I ( điểm ) Giải phơng trình:
1 x3 + 4x2 - 29x + 24 = 0
2 x14 x 11x8 x 4
CâuII (3 điểm ) Tính
P =
2000 1999 2000
1999 1999
1 2
2
2 T×m x biÕt
x = 5 13 5 13
Trong dấu chấm có nghĩa lặp lặp lại cách viết thức có chứa 13 cách vô hạn
Câu III ( điểm )
1 Chứng minh r»ng sè tù nhiªn
A = 1.2.3 2005.2006
2006 2005
1
1
1 chia hÕt cho 2007
2 Gi¶ sư x, y số thực dơng thoả mÃn : x + y = Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc:
A =
xy y x
1
3
3
3 Chứng minh bất đẳng thức:
2
2
2 2
2 2
2 3
ac b
a c bc a
c b ab c
b a abc
c b a
Câu IV ( điểm )
Cho tam giác ABC vuông tai A, đờng cao AH Đờng trịn đờng kính AH cắt cạnh AB, AC lần lợt E F
1 Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật; Chứng minh AE.AB = AF AC;
3.Đờng rhẳng qua A vuông góc với EF cắt cạnh BC I Chứng minh I trung điểm đoạn BC;
4 Chứng minh diện tích tam giác ABC gấp đơi diện tích hình chữ nhật AEHF tam giác ABC vng cân
C©u V ( ®iĨm)
Cho tam giác ABC với độ dài ba đờng cao 3, 4, Hỏi tam giác ABC tam giác ? Đáp án biu im chi tit
CâuI ( điểm )
1 x3 + 4x2 - 29x + 24 = 0
( x - 1)( x2 + 5x - 24) = 0 (
(2) ( x - 1)(x - 3)(x + 8) = (0,5 ®iĨm)
Giải phơng trình ta đợc x1= 1, x2 = 3, x3 = - nghiệm phơng trình (0,5 điểm)
2 x 14 x 11x8 x 4
2 x 52 4 x 52 4 (1 ®iĨm)
+ x 4
x vô lí (0,5 điểm)
Vy phng trỡnh ó cho vụ nghim (0,5 im)
Câu II.( 3điểm)
1 P =
2000 1999 2000
1999 1999
1 2
2
Ta cã: 20002 = ( 1999 + 1)2 = 19992 + 2.1999 + 1
+ 19992 = 20002 - 2.1999 (0,5 ®iĨm)
P =
2000 1999 2000
1999 1999
2000 2
2
P =
2000 1999 2000
1999 2000
2
= 2000 -
2000 1999
+ 2000 1999
VËy P = 2000 (0,5 ®iĨm)
2
x = 5 13 5 13
NhËn thÊy: x > (0,25 ®iĨm)
XÐt : x2 = +
13
13
(x2 - 5)2 = 13 + x (0,75 ®iĨm)
x4 - 10x2 - x + 12 = 0 (0,25 ®iĨm)
(x - 3)[( x + 3)(x + 1)(x - 1) - 1] = (0,25 điểm)
Vì x > ( x + 3)(x + 1)(x - 1) - > (0,25 ®iĨm)
x = (0,25 ®iĨm)
C©u III ( ®iĨm)
1 Ta biến đổi tổng dấu ngoặc
2006 2005
1
1
1 =
1004 1003
1 2005
1 2006
1
1 (0,
®iĨm)
=2007
1004 1003
1
2005
1 2006
1
Đặt
1004 1003
1
2005
1 2006
1
=2007.B (0,75 ®iĨm)
VËy A = 1.2.3 2006.2007.B nªn A chia hÕt cho 2007 (0,75 ®iĨm)
Ta cã: (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy( x + y ) = hay x3 + y3 + 3xy = (0, 25
®iĨm)
Thay vµo biĨu thc A ta cã: A =
xy xy y
x y
x
xy y
x 3 3
3
3
(0,25 ®iĨm)
=
xy y x y x
xy 3
3
3
4
(0,25
®iĨm)
(3)xy y x y x
xy 3
3
3
4
3 3
3
xy y x y x
xy (0, ®iĨm)
VËy A 42 (0,25 ®iĨm)
minA = 42 x =
3 2
; y =
3 2 (0, điểm)
hoặc x =
3 2
; y =
3 2 §Ỉt A= ac b a c bc a c b ab c b a abc c b a 2 2 2 2 3 = ac c a c bc a c b ab c b a ab c ac b bc a 2 2 2 2 2 2 2
2 (0,25
®iĨm) = 2 2 2 2 2 2 2 ab c b a ab ab c ac b a c ac ac b bc a c b bc bc a (0, ®iĨm)
áp dụng bất đẳng thức a2 + b2 2ab
A
2 2 2 2 2 2 2 ab c ab ab ab c ac b ac ac ac b bc a bc bc bc a
(0, 75 điểm) áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
A 2
2
(0,25
®iĨm)
Dấu đẳng thức sảy a = b = c (0,25 điểm)
Câu IV ( điểm) (HS vẽ hình cho 0,25 điểm)
1.Ta có: A = 1v (gt) (0,25 điểm) Chứng minh đợc E = F = 1v (0, điểm) Tứ giác AEHF hình chữ nhật (0,25 điểm) Chứng minh đợc hai tam giác vuông AEF ACB đồng dạng (0, 75 điểm) Suy
AB AF AC AE
hay AE.AB = AF.AC (0, ®iĨm)
3
Gọi K giao điểm AI EF (0,25 điểm) Chứng minh đợc E1 + EKA = 900 (0, điểm)
B + C = B + E1 = 900 (0, ®iĨm)
suy B = EAK suy tam giác IAB cân nên IA = IB (1) (0, điểm) Chứng minh tơng tự ta có: tam giác IAC cân nên IA = IC (2) (0,25 ®iĨm) Tõ (1) vµ (2) suy IB = IC tức I trung điểm BC (0,25 ®iĨm)
4 Theo gt th× SABC = 2SAEHF
nhng SAEHF = 2SAEF nªn SABC = 4SAEF (0,25 ®iÓm)
chứng minh đợc
2 FE BC S S AEF
ACB suy EF =
2
BC = AI (0, ®iÓm) EF = AI = AH (0,25 ®iÓm) NhËn thÊy:
§êng cao AH b»ng trung tuyÕn AI
khi tam giác ABC cân Vậy NÕu
(4)SABC = 2SAEHD th× tam giác ABC vuông cân (0, điểm) Câu V( điểm)
Giả sử = 3cm; hb = 4cm ; hc = 5cm
Suy 3a = 4b = 5c = 2SABC
12 15
15 20
5
c b
b a c
b b a
(0,25 ®iĨm)
k c k b k a
k c b a
12 ;
15 ;
20 12
15
20
(0,25 ®iÓm)
2
2 b c
a
(0,25 điểm)
VậyABC tam giác thờng có A > 900 (0,25 điểm)