Chứng minh rằng tất cả các số viết theo quy luật trên đều lµ sè chÝnh ph¬ng... Trêng THCS Trêng L©m Hớng dẫn giải đề thi HSG lớp 9 huyện Tĩnh Gia..[r]
(1)Phßng GD - §T HuyÖn tÜnh gia §Ò chÝnh thøc đề ) đề thi học sinh giỏi cấp huyện n¨m häc 2012 – 2013 M«n To¸n häc líp ( Thêi gian lµm bµi 150 phót kh«ng kÓ thêi gian ph¸t Bµi ( 4,0 ®iÓm ) Cho biÓu thøc: ( √ x+ √ y ) − √ xy x √ x + y √ x P= − √ x −√ y √ xy a) Tìm điều kiện để P có nghĩa? b) Khi P cã nghÜa, chøng tá P kh«ng phô thuéc vµo x Bµi ( 4,0 ®iÓm ) + So s¸nh: vµ √7 − √6 √ − √ √7 + √ Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: 2− x −3 x −2 > x −2 x −1 Bµi ( 4,5 ®iÓm ) Cho a + b = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Q = a3 + b3 + ab BiÕt ax + by + cz = h·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc x − y ¿2 ¿ z − x ¿ 2+ ab ¿ y − z ¿ + ca ¿ bc ¿ P=¿ Bµi ( 4,0 ®iÓm ) Cho tam giác ABC, lấy C’ thuộc đoạn thẳng AB Qua A vẽ đờng thẳng song song với CC’ cắt BC A’ Qua B vẽ đờng thẳng song song với CC’ cắt AC B’ 1 Chøng minh r»ng: + + AA ' BB ' CC ' Bµi ( 3,5 ®iÓm ) Một học sinh viết dãy số sau: 49, 4489, 444889, 44448889, (Số đứng sau đợc viết 48 vào số đứng trớc) Chứng minh tất các số viết theo quy luật trên lµ sè chÝnh ph¬ng Chó ý : C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm Gi¸o viªn: Hå SÜ Hoµng Trêng THCS Trêng L©m Hớng dẫn giải đề thi HSG lớp huyện Tĩnh Gia Bµi ( 4,0 ®iÓm ) Cho biÓu thøc: (2) P= ( √ x+ √ y ) − √ xy − x √x + y √x √ xy √ x −√ y a) Tìm điều kiện để P có nghĩa? b) Khi P cã nghÜa, chøng tá P kh«ng phô thuéc vµo x a) HD: Điều kiện để P có nghĩa là: x x>0 y y>0 ⇔ x.y > x y √x−√ y ≠0 b) Víi x > 0, y > vµ x y ta cã: ( √ x − √ y ) √ xy( √ x + √ y) ⇔ P=√ x − √ y −( √ x+ √ y ) P= − √x− √ y √ xy phô thuéc vµo x Bµi ( 4,0 ®iÓm ) + So s¸nh: vµ √7 − √6 √6 − √3 √7 + √3 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: x −3 x −2 2− > x −2 x −1 HD: Ta cã = √ 6+√ vµ √7 − √6 + = ( √ 6+ √ 3) + ( √ 7− √ 3) = √ 6+√ √6 − √3 √7 + √3 + VËy = √7 − √6 √6 − √3 √7 +√3 §iÒu kiÖn: x vµ x BPT ⇔ 2− x −3 x −2 > x −2 x −1 2( x −2)−(x −3) x − > x−2 x−1 ( x −1 ) − ( x − ) >0 ( x −1 ) ( x −2 ) x −3 >0 ( x −1 ) ( x −2 ) ⇔ ⇔ O ⇔ ⇔ ⇔ kh«ng P=− √ y x −1 x −2 > x −2 x −1 + 3/2 _ _ LËp b¶ng xÐt dÊu ta cã nghiÖm cña bÊt ph¬ng tr×nh lµ: < x < 3/2 hoÆc x > Bµi ( 4,5 ®iÓm ) Cho a + b = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc Q = a3 + b3 + ab BiÕt ax + by + cz = h·y tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc x− y¿ ¿ z − x ¿ 2+ ab ¿ y − z ¿ 2+ ca ¿ bc ¿ P=¿ HD: Ta cã: Q = (a + b)(a2 – ab + b2) + ab = a2 + b2 ( v× a + b = ) + (3) mµ a2 + b2 ( a+b )2 Suy Q = 2 1/2 VËy GTNN cña Q lµ 1/2 a = b = 1/2 §Æt Q=bc ( y − z )2+ ca ( z − x )2+ ab ( x − y )2 Ta cã Q=bcy 2+ bcz +caz 2+ cax2 +abx +aby − 2( bcyz+acxz +abxy) (1) Tõ gi¶ thiÕt suy ra: a2 x 2+ b2 y +c z2 +2(bcyz+ acxz+ abxy)=0 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: Q=ax (b+ c)+ by (a+c )+cz2 ( a+b)+a x 2+ b2 y2 + c2 z = ax (a+b+ c)+ by (a+b+ c)+cz (a+ b+c ) = (a+ b+c )(ax 2+ by 2+ cz2 ) Do đó: P= Q =a+b+ c ax + by2 +cz 2 Bµi ( 3,5 ®iÓm ) Một học sinh viết dãy số sau: 49, 4489, 444889, 44448889, (Số đứng sau đợc viết 48 vào số đứng trớc) Chứng minh tất các số viết theo quy luật trên lµ sè chÝnh ph¬ng HD C¸ch (líp 8) §Æt 11 .1 = a th× 10n = 9a + n/cs1 Dãy số đã cho có số hạng tổng quát nh sau: H = 44 88 89 n/cs4 n-1/cs8 Ta còn viết đợc H = 44 .4 88 .8 + = 4a.10n+ 8a + n/cs4 n/cs8 = 4a(9a + 1) + 8a + = 36a2 + 12a + = (6a + 1)2 = (66 67)2 n-1/cs6 Lµ sè chÝnh ph¬ng ==> ®iÒu ph¶i chøng minh C¸ch 2( líp 6) Ta có 44…488…89 = 44…488 + = 44…4 10n + 11…1 + n chữ số n-1 chữ số n chữ số n chữ số n chữ số n n = 10 −1 10n + 10 −1 = = 9 2n n n 10 − 10 +8 10 − 8+9 = n 10 +1 ( n chữ số +1 2n ) Ta thấy 2.10n +1=200…01 có tổng các chữ số chia hết cho nên n-1 chữ số nó chia hết cho n 10 +4 10 +1 (4) ⇒ ( n 10 +1 ) Z hay các số có dạng 44…488…89 là số chính phương Bµi ( 4,0 ®iÓm ) Cho tam giác ABC, lấy C’ thuộc đoạn thẳng AB Qua A vẽ đờng thẳng song song với CC’ cắt BC A’ Qua B vẽ đờng thẳng song song với CC’ cắt AC B’ 1 Chøng minh r»ng: + + AA ' BB ' CC ' HD: A C’ B C A’ B’ Dễ thấy các cặp tam giác sau đồng dạng: Δ AC’C Δ ABB’; Δ BC’C Δ BAA’ vµ Δ ACA’ Δ B’CB ta suy các tỉ số đồng dạng sau: AC ' AC CC ' BC ' BC CC ' AA ' CA CA ' = = = = = = (1) (2) (3) AB AB ' BB ' AB BA ' AA ' BB ' CB ' CB 1 = ⋅k §Æt AC ' = AC =CC ' = k Suy (4) AB AB ' BB ' BB ' CC ' 1 BC = ⋅ Tõ (2) suy (*) AA ' CC ' BA ' mµ BA ' =BC+CA ' =1+CA ' =1+ CA BC BC BC CB ' CB ' AB ' − AC AB ' 1 −k AC k = = −1= −1= = L¹i cã ⇒ ⇒ CA AC AC k k AB ' k −1 BA ' k BC 1 =1+ = =1− k thay vào (*) ta đợc: = ⋅(1− k ) ⇒ BC −k −k BA ' AA ' CC ' (5) Tõ (4) vµ (5) ta cã: 1 1 + = (1 − k)+ ⋅k= AA ' BB ' CC ' CC ' CC' ⇒ Trêng L©m, ngµy 12 th¸ng 12 n¨m 2012 Gi¸o viªn Hå SÜ Hoµng §PCM (5)