he thuc luong trong tam giac

ỨNG DỤNG HỆ THƯC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC GIẢI BÀI TOÁN Bài toán 1: (Tính khoảng cách giữa hai điểm mà có một điểm ta không thể đến đó được).. Tính khoảng cách từ một địa điểm trên bờ sông[r]

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

I. Các ký hiệu :

 A, B, C : góc đỉnh A, B, C

 a, b,c : độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C  ha, hb, hc : đường cao hạ từ đỉnh A, B, C

 ma,mb, mc: đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C  la, lb, lc : độ dài đường phân giác kẻ từ A, B, C  R: bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

 R: bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC  p =

2(a+b+c) : nửa chu vi tam giác ABC  S : diện tích tam giác ABC

A

B

h

a

l

a

ma

H D M

b

a c

II Các hệ thức lượng tam giác vuông :

Trong tam giác vuông ABC Gọi b, c độ dài hình chiếu cạnh vng lên cạnh huyền, ta có hệ thức:

III Các hệ thức lượng tam giác thường:

2

1 b2= a.b’ & c2 = a.c’

2 a2 =b2 + c2

3 h2 = b’.c’

4. 2

1 1

h b c 5 a.h=b.c

6. b ac a .sin C = a.cosB.sin = c.cosCB 



7. b c tgBc b tg C = acotgB= c.cotgC 



A

B

C

H

h c

b

a

1. Định lý hàm số CÔSIN:

Hệ quả: Trong tam giác ABC ta ln có:

Ví dụ:

c

a

A

B C

c b

BC AC 

- AB

   

     

2

2 2

2

BC AC AB

BC AC AB AC AB

  

   

                                         

    

Mà               AC AB   AC AB c osA

Nếu ABC vng A cosA=0 Từ (1) ta định lý Pitago BC2 AB2  AC2 Nếu ABC

Từ (1) ta định lý CÔSIN :

2 2 2 . OSA

BC AB AC  AB AC C Hay a2

= c2+ b2-2cb.cosA

(1)

Tương tự Ta có:

2 2

2 2

2 2

2 osA 2 osA 2 osA

a b c bc c

b a c ac c

c a b ab c

  

  

  

2 2 2 2 2

b a

osA= ; osB= ; osC=

2 2 2

c a a c b b c

c c c

bc ac ab

Cho ABCcó độ dài cạnh a=7, b=24, c=23 Tính góc A

Bài giải :

Theo hệ định lý Côsin, ta có:

2 2

b osA=

2

c a c

bc

  = 242 232 72

0,9565 2.24.23

 

  A16 58'

2.Định lý hàm số SIN: Trong tam giác ABC ta có:

Hệ quả: với tam giác ABC ta có:

Ví dụ1:

Cho tam giác ABC có góc A= 20 ; C=

31 cạnh b=210cm Tính

góc A, cạnh cịn lại bán kính R đương trịn ngoại tiếp tam giác

Giải:

4

2

sin sin sin

a b c

R

A  B  C 

a=2RsinA; b= 2RsinB; c=2RsinC

 O c

a B

C A

Ví dụ 2:Cho tam giác ABC có a=4, b=5, c=6 CMR: sinA-2sinB+sinC=0

Giải:

Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Từ định lý Sin ta có:

sin

2 a A

R



sin

2

b B

R



210

A

A 20

c a C

Ta có A=180- (

20+31), A=129 Mặt khác theo định lý Sin ta có:

2

sin sin sin

a b c

R

A  B  C  (1)

Từ (1) suy sin 210.sin129 477, 2( ) sin sin 20

b A

a cm

B

  

 

sin 210.sin 31 316, 2( ) sin sin 20

b C

c cm

B

  

 

\ 477, 307, 62( ) 2sin 2sin129

a

R cm

A

sin 2 c C R 

=> sinA-2sinB+sinC =

2R (a-2b+c)=

1

2R(4-10+6)=0 (đpcm) 3 Định lý đường trung tuyến

Trong tam giác ABC ta có:

Định lý diện tích tam giác:

Diện tích tam giác tính theo cơng thức sau:

6

2 2

2

2 4

a

b c a

m   

2 2

2

2 4

a c b

mb   

2 2

2

2 4

c

a b c

m   

A

B M C

ma

b

a Ví dụ: Cho tam giác Abc, cạnh a=8, mb=10, c=18 Tính độ dài trung tuyến ma

Giải: Ta có:

2 2 2

2 2( ) 2(10 13 )

4

a

b c a

m       = 118,5 => ma=10,9 (cm)

1 1

2 a b c S  ah  bh  ch

2 sin sin sin

2 2

S  ab C  bc A ac B

3 4 abc S R 

4 S pr

5 S  p p a p b p c(  )(  )(  )

A

a H

B C

ha

Ví dụ1: Cho tam giác ABC có cạnh a=13cm, b=14cm, c=15cm. a Tính diện tích tam giác ABC

b Tính bán kính đương trịn nội tiếp ngoạii tiếp tam giác ABC. Giải:

a ta có: 1(13 14 15) 21

p     (cm)

THEO CƠNG THỨC HÊRƠNG TA CĨ:

2

21(21 13)(21 14)(21 15) 84( )

S      m

b. áp dụng cơng thức S pr Ta có: 84 21

s r

p

   (cm)

từ công thức

4

abc S

R

 Ta có: 13.14.15 8, 25( )

4 336

abc

R cm

S

Ví dụ1: Cho tam giác ABC có cạnh a=13cm, b=14cm, c=15cm. a Tính diện tích tam giác ABC

b Tính bán kính đương tròn nội tiếp ngoạii tiếp tam giác ABC.

Giải:

a ta có: 1(13 14 15) 21

p     (cm)

THEO CƠNG THỨC HÊRƠNG TA CĨ:

2

21(21 13)(21 14)(21 15) 84( )

S      m

b. áp dụng công thức S pr Ta có: 84 21

s r

p

   (cm)

từ công thức

4

abc S

R

 Ta có: 13.14.15 8, 25( )

4 336

abc

R cm

S

  

Ví dụ 2: Tam giác ABC có cạnh a=2 3, cạnh b=2 va đỉnh C=30 Tính cạnh c, góc A diện tích tam giác đó.

Giải: Theo định lý cơsin ta có:

C2= a2+ b2-2a.b.cosC= 12 2.2 3.2. 4

2

  

Vậy c=2 tam giác ABC có AB=AC=2 Ta suy B=C= 30 Do đó A=120.

Ta có sin 1.2 3.2.1

2 2

S  ac B  (đvdt)

5 Định lý đường phân giác:

A B C

2 os 2 os 2 os

2 ; 2 ; 2 ;

b+c a+c a+b

a b c

bc c ac c ab c

ỨNG DỤNG HỆ THƯC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC GIẢI BÀI TOÁN Bài tốn 1: (Tính khoảng cách hai điểm mà có điểm ta khơng thể đến được)

Tính khoảng cách từ địa điểm bờ sông đến gốc cù lao ở sông.

Giải:

Để đo khoảng cách từ điểm A bờ sơng đến góc C cù lao sông, ta chọn điểm B bờ so với điểm A cho từ A B nhìn thấy C Ta đo khoảng cách AB, góc CAB, góc CBA Chẳng hạn ta đo AB=40m, ^ 450

 

CAB ,

0 ^

70

 

CBA Khi khoảng cách AC tính sau:

Áp dụng định lý sin vào tam giác ABC, ta có:

SinB AC

=SinCAB

Vì sinC= sin nên AC=

   

sin sin

AB

= 00

115 sin

70 sin

40 41,47(m)



Bài toán 2: (Đo chiều cao của một cây, tòa tháp hay tòa nhà)

Đo chiều cao tháp mà đến chân tháp.

Giải

8

45 70

B

A C

63 48

?

h

B A

Giả sử CD=h chiều cao tháp C chân tháp Chọn hai điểm A, B mặt đất cho ba điểm A,B,C thẳng hàng Ta đo khoảng cách AB góc CAD, góc CBD Chẳng hạn ta đo AB=24m, góc CAD= 630, góc CBD= 480 Khi chiều cao h tháp tính

như sau:

Áp dụng định lý sin vào tam giác ABD ta có:

D AB B AD sin sin 

Ta có:  D^ nên

0 0 ^ 15 48 63   

  

D

Do

  sin15 68,91( ) 48 sin 24 sin sin 0 m AB

AD  

 

 



Trong tam giác vng ACD có:

) ( 61 63 sin 91 , 68

sin m

AD CD

h    

Các ví dụ:

Ví dụ 1: Từ vị trí A người ta quan sát cao(Hình 1) Biết AH=4m, BH=20m, ^ 0.45



BAC Tính chiều cao BC của

cây. Giải

Ta có:AB2 AH2HB2 42202 416

) ( 416 m AB  416

sin  

AB AH B 0 78 11       ABC B

Hình ) ( 17 ) 78 45 180 sin( 45 sin 416 0 0 m BC h      

Ví dụ 2:Trên nốc tịa nhà có ăng-ten cao 5m(Hình 2) Từ vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất, có

thể nhìn thấy đỉnh B chân C cột ăng-ten góc 500 400 so với phương nằm ngang Tính chiều cao tịa nhà. Giải: Ta có: 0 0 0 40 50 90 10 40 50         ABD BAC

Áp dụng định lý sin cho tam giác ABC:

Hình Xét tam giác vng ACD có:

A AC

CD  sin

) ( 18 11 ) ( 11 40 sin 18 m CD h m         10 50 40 40 50 7m ? 5m 10 h D A C B ) 180 sin( sin sin

sin A^ B^

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

BÀI ĐƯỜNG THẲNG

I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Vectơ pháp tuyến, vectơ phương đường thẳng

 ua b;  vectơ phương đường thẳng  

( ) u u     

  

 

 

 nA B;  vectơ pháp tuyến đường thẳng  

( )

n n

    

  



 



Chú ý:

Nếu n, u lần lược vectơ pháp tuyến, vectơ phương đường thẳng () vectơ k.n, l.u (k 0, l 0) vectơ pháp tuyến, vectơ phương đường thẳng ()

Rõ rang đường thẳng hoàn toàn xác định biết: - hai điểm thuộc

- điểm thuộc có phương cho trước Phương trình đường thẳng

a) Phương trình tổng quát đường thẳng

u

Phương trình tổng quát đường thẳng có dạng: Ax By C  0 với A2 B2 0

  n= A B;  vec tơ pháp tuyến đường thẳng

0 0 0

( ), ( ; ) ( )

C  Ax By M x y  

b) Phương trình tham số tắc đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng có dạng:

0

( )

x x at

t R y y bt

 



 

 



Phương trình tắc đường thẳng có dạng: x x0 y y0 ,a 0;b 0

a b

 

  

( ; )

u a b vecto phương đương thẳng

0

( ; ) ( )

M x y  

 () có hệ số góc k: y k x x (  0) y0

Đây trường hợp dặc biệt phương trinh tổng quát với ( ; 1)

n k 

c) Chùm đường thẳng:

Định nghĩa: Tập hợp đường thẳng qua điểm I gọi chùm đường thẳng

Điểm I gọi tâm chum

Phương trình chùm đường thẳng có tâm I:

 (x x 0)(y y 0) 0 , (2 2 0),

 với I(x0;y0)

 (Ax + By + C)+ (A'x + B'y + C') = 0, ( 2 2 0),  với I = (  ) ( '),

trong (): Ax + By + C = 0, ('): 'A x B y C '  ' 0 ; : ' : '

A A B B

Hai đường thẳng () (') gọi hai đường thẳng sở chùm

3 Góc hai đường thẳng

Gọi  góc hai đường thẳng    '

 Nếu () (') có phương trình tổng quát

(): Ax + By + C = 0, ('): A'x + B'y + C' = 0, A2+ B2>0, A'2+ B'2> ta có:

2 2

AA'+ BB' os =

' '

c

A B A B



 

Chú ý:( )   ( ) AABB0

4 Khoảng cách từ điểm M x y( ; )0 đến đường thẳng () :

0

Ax By C  

0

0 2 2

| |

( ; ) Ax By C

d M

A B

   



5 Vị trí tương đối hai đường thẳng

()Ax By C  0 , ()A x B y C    0 Kí hiệu: D A B ,Dx B C ,Dy C A

A B B C C A

  

     

Vị trí tương đối Định thức Hệ số

() () cắt

 D0  A B

A B

 

 ,(AB 0)

() song song với ()

 ( 0, 0)

( 0, 0)

x y

D D

D D

 



  



 A B C

A B C

  

  ,(ABC 0)

() () trùng

 0

x y

D D D   A B C

A B C

  

II/ CÁC DẠNG TỐN Dạng 1:

Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt ( ;A A), ( ;B B)

A x y B x y

Áp dụng công thức : A A

B A B A

x x y y x x y y

 



 

Ví du:

Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(0;3), B(-5;0) Giải

Phương trình đường thẳng có dạng :

3 15

5

A A

B A B A

x x y y x y

x y

x x y y

  

      

   

Vậy đường thẳng qua hai điểm A(0;3), B(-5;0) có phương trình là: 3x 5y15 0

Dạng 2: Phương trình đường thẳng qua điểm M x y( ; )0 có

phương cho trước:

+ Nếu phương cho vectơ pháp tuyến n( ; )A B đường

thẳng () có phương trình: A x x(  0)B y y(  0) 0

+ Nếu phương cho vectơ phương u( ; )a b đường

thẳng () có phương trình:

0

,( )

x x at t y y bt

 



 

 





Hoặc x x0 y y0 , ( ,a b 0)

a b

 

 

+ Nếu phương cho hệ số góc k đường thẳng () có phương trình: y k x x (  0) y0

Ví dụ:

Viết phương trình đường thẳng () qua điểm M(2; 1) a/ Có vectơ pháp tuyến là: n(1; 3).

b/ Có vectơ phương là: u(4;6) c/ Có hệ số góc k=3

Giải:

a/ Phương trình đường thẳng () qua điểm M(2; 1) nhận

(1; 3)

n  làm vectơ pháp tuyến là:

( ) 3( )

( 2) 3( 1)

M M

x x y y

x y x y

   

        

b/ Đường thẳng () qua điểm M(2; 1) nhận u(4;6) làm

vectơ phương có phương trình tổng qt la:

2

3

4 6

M M

x x y y x y

x y

   

      

c/ Phương trình đường thẳng () qua điểm M(2; 1) có hệ số góc k=3 là:

3( M) M 3( 2) 1 3 7

y  x x  y  y  x   y  x

Dạng 3:

Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M x( M;yM)

a/ Cùng phương với đường thẳng () cho trước

(d) phương với () : Ax By C  0có phương trình la:

( M) ( M)

A x x B y y 

b/ Vng góc với đường thẳng () cho trước

(d) vng góc với () : Ax By C  0có phương trình là:

( M) ( M) 0

kB x x  kA y y  , k 0 tùy chọn

Cho đường thẳng (): 2x3y 1 0 điểm M(1; 2) viết phương trình đường thẳng () qua điểm M

1/ () () 2/ ()  ()

Giải

1/ Hai đường thẳng song song có vectơ pháp tuyến, phương trình đường thẳng () qua M phương với () là:

2(x 1) 3( y2) 0  2x3y 4 0

2/ Phương trình đường thẳng () qua M vng góc với () là: 3(x 1) 2( y2) 0  3x 2y 0

Dạng 4:

Viết phương trình đường thăng (d) qua điểm M x( M;yM) hợp với

đường thẳng () góc  cho trước () có vectơ pháp tuyển nA B; 

Phương trình đường thẳng (d) qua điểm M x( M;yM) có dạng

2

(x xM) (y yM) 0,( 0)

        (1)

Vectơ pháp tuyến (d) n   ; 

(d) hợp với () góc 

2 2

A + B os =

c

A B

 



 



 

Với họ nghiệm phương trình đẳng cấp đố với   chọn cặp (;) thay vào (1) cho ta đường thẳng cần tìm

Ví dụ:

Viết phương trình đường thẳng qua M(0;1) tạo với đường thẳng (): 2x y  1 0 góc 300

Giải:

Phương trình đường thẳng (d) qua điểm M có dạng ( 1) (1)

x y

    , với 2 2 0 Vectơ pháp tuyến (

)và() lần lược là: n  ; 



,n(2; 1) Gọi  góc giửa hai đường thẳng ()và() ta có

cos =

 2  2

2

 

 



 

=

 2

2

 

 





Hai đường thẳng () (') hợp với góc 300  cos = cos300



 2

2

 

 

 

=

 4 2  2 5.32 2  2  16 112 0 (2)

Do  0, đặtt,

ta có (2) trở thành 2t2 16 11t  0

   

 t2- 16t -11 = t

1,2= 85

 Với t = 3 ta có  8 3 

Chọn  1, có  8 3 , thay vào (1) có

8 3 x y  1

 Với t = 3 ta có  8 3 

Chọn  1, có  8 3  , thay vào (1) có

8 3  x y  1 0

 d1 : 3   x y  0 ,  d2 : 3   x y  0

Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng phương pháp chùm

Ví dụ:

Viết phương trình đường thẳng (d) qua giao điểm hai đường thẳng ():2x y  0 , ('):x 4y 1 0

1) (d) qua A = (-1; 2)

2) (d)(1) có phương trình 4x3y 20 0 (1)

3) (d)(2) có phương trình x y  3 0

Giải:

Phương trình đường thẳng (d) qua giao điểm hai đường thẳng () (') có dạng:

2x y  3 x 4y1 0, 2 2 0 (2)

1) Đường thẳng (d) qua A Tọa độ điểm A nghiệm phương trình (1) hay

   

2 4.2 8

               

Chọn 8,   3 thay vào (2) ta có

   

8 2x y   x 4y1 0 13x 20y 27 0.

   

Đó phương trình đường thẳng nối A với giao điểm () (') 2) Ta thấy tọa độ điểm A khơng nghiệm phương trình (1) nên tồn đường thẳng qua A (d)(1)

Viết lại (1)

 2  x  4 y 3  0 (3)

Vectơ pháp tuyến (d) n2 ;3  4

Vectơ pháp tuyến (1) n1 4;3



Đương thẳng (d)(1) n

  phương với 1

4

n     

   

3 2  3 4 18 19 18 19 

         

Chọn 19,  18

Thay vào (3) ta có:

(2.19 18) x(19 4.18) y 3.19 18 0   20x91y 75 0

Đây phương trình đường thẳng (d) cần tìm 4) Đường thẳng (d) (1)

 n n 1 0

 4(2) 3(3  ) 0  17 8 0

chọn  8, 17 thay vao (2) ta dược: 33x 43y17 0

ĐƯỜNG TRỊN I Phương trình tổng qt

(c): x2 + y2 – 2ax – 2by + c =0 (1)

Phương trình (1) phương trình tổng quát đường tròn

2 0

a b c

    có tâm bán kính 2 2

( , )

I a b

R a b c

  

  

  II Phương trình tắc.

(c):

0

(x x ) ( y y )R

Có tâm I x y( , )0 bán kính R

Ví Dụ : Lập phương trình đường thẳng qua A(1;4), B(-4;0), C(-2;-2) Giải

Phương trình tổng quát dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c =0

* (c) qua A  12 + 42 – 2a.1 – 2b.4 + c =  - 2a – 8b + c = -17 (1) * (c) qua B  8a + c = -16 (2) * (c) qua C  4a + 4b + c = (3) Khử c phương trình (1) (2) ta được: -6a+8b = Khử c phương trình (2) (3) ta được: 3a+b =2

1

, 12

2

a b c

    

(c) : x2+y2- x – y -12 =0.

III Các dạng toán liên quan tới đường. Dạng : Phương trình đường trịn:

Bước 1: Đưa dạng (c): x2 + y2 – 2ax – 2by + c =0

Bước 2: kiểm tra thỏa điều kiện: a2 b2 c 0   

Bước 3: Khi (c) thỏa phương trình tâm I a b( , ) 2 2

R a b c

  

  

  Ví Dụ: Cho (Cm): x2y2 2mx 2(m1)y2m 0

CMR: m C( m)là phương trình đường trịn

Giải

Ta có: a2 b2 c m2 (m 1)2 2m 1 2m2 2 0 m           

Vậy m C( m)ln phương trình đường thẳng

2

( , 1)

2

m

I m m

R m

 

 

 

 

Dạng 2: Vị trí tương đối điểm đường tròn.

Bước 1: Xác định phương tích M đường trịn (c) PM C/( )

Bước 2: Kết luận:

* Nếu PM C/( ) 0 M nằm đường tròn

* Nếu PM C/( )  0 M nằm đường tròn

* Nếu PM C/( )  0 M nằm ngồi đường trịn

Ví Dụ: Cho đường tròn (c): x2 y2 8x 6y 21 0      Chứng tỏ M(5, 2) nằm đường trịn.

Giải

Ta có: PM C/( ) 2 0  M nằm đường tròn

Dạng 3: Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn.

Ta tính khoảng cách h từ I tới (D) so sánh với bán kính đường tròn ta

 Nếu h R  ( ) ( )d  c   

 Nếu h R  ( )d tiếp xúc với (c)

 Nếu h R  ( )d (c) cắt điểm phân biệt A,B Ví Dụ: Cho đường tròn

 2

( ): 1 0

( ): 1 0

d x y

c x y

     

a) Chứng minh ( )C (d) điểm phân biệt A,B. Giải

Ta có :

 , 

2

d O d  R

Vậy đường thẳng (d) đường tròn (C) cắt điểm phân biệt Dạng :Vị trí tương đối đường trịn

Bước 1:Tính khoảng cách I I1 ( , )I I1 tâm đường tròn so sánh

với tổng , hiệu bán kính R R1, đường tròn ta được:

 Nếu I I1 R1R2 ( ) (C )C v1 khơng cắt nhau, ngồi

 Nếu I I1 2 R1 R2 ( ) (C )C v1 không cắt nhau, lồng

 Nếu I I1 R1R2 ( ) (C )C v1 tiếp xúc với

 Nếu I I1 R1 R2 ( ) (C )C v1 tiếp xúc với

 Nếu R1 R2 I I1 R1R2 ( ) (C )C v1 cắt điểm phân biệt

Ví Dụ: Chứng minh   2

1

Giải

 C1 có tâm I10,0 bán kính R1 2 C2 có tâm I20,0 bán kính R2 2

Ta có : I I1 2

1 1 2 2 ( ) (C )

R  R  I I   R R  C v cắt điểm phân biệt Dạng 5.Tiếp Tuyến đường tròn.

Cách 1:

Bước 1: Tìm phương tích

Bước 2:Dựa điều kiện ta tìm phương trình đường thẳng  d Ta giả sử phương trình đường thẳng  d có dạng : Ax By C  0

Bước 3:  d là tiếp tuyến  C  d I d( ,( ))R Bước 4:Kết luận tiếp tuyến  d

Ví dụ:

Cho điểm M( 4, 6)  đường trịn  C có phương trình  C x: y2 2x 8y 8 0

     Lập phương trình tiếp tuyến

Giải

Ta có :PM C/( )  0 M( )C

Đường trịn  C có tâm I1, 4 bán kính R5

Đưởng thẳng  d có phương trình : ( ) : (d A x4)B y( 6) 0

2

( ) :d Ax By 4A 6B 0.(A B 0)

      

Đường thẳng  d tiếp tuyến  C

2

4

( ,( )) A B A B

d I d R

A B

  

   



2

2

A B A B

   

2

4

3 4 0 B

A B

A AB 

 

    



 Với B=0, ta tiếp tuyến :  d1 : (A x4) 0   d1 :x 4

 Với

3

A

B , ta tiếp tuyến :

 2  2

4

: ( 4) ( 6) : 12

3

A

d A x  y   d x y  Vậy M kẻ tiếp tuyến tới đường tròn

Cách 2: Sử dụng phương pháp phân đôi tọa độ

Trường hợp :Biết tiếp điểm M x y( 0, 0)ta sử dụng phương pháp phân đơi tọa

độ phương trình tiếp tuyến :

0

(x a x )(  a) ( y b y )(  b)R (1) Trường hợp :Không biết tiếp điểm.

Bước 1:Giả sử M x y( , )0 tiếp điểm phương trình tiếp tuyến

0

(x a x )(  a) ( y b y )(  b)R x x 0y y 0 a x x(  0) b y y(  00 c

Bước 2: Điểm 2

0 0

( ) 2

M C x y  ax  b y c  (2)

Bước 3: Sử dụng điều kiện giả thiết ta thiết lập phương trình tiếp tuyến theo

0

( , )x y (3)

Bước 4: Giải hệ phương trình (2) ,(3) ta đượcM x y( , )0 vào (1) ta

phương trình tiếp tuyến

Ví dụ : Cho điểm M(4,0) đường trịn  C có phương trình

 C x: y2 2x 8y 8 0

     Lập phương trình tiếp tuyến

Giải : Ta có : PM C/( )  0 M( )C

Vậy: 4x0y (x 4) 4( y0) 0 

3x 4y 12

   

Dạng Tiếp tuyến chung đường tròn Bước 1: Giả sử : ( ) :d Ax By C  0 với A2 B2 0

  tiếp tuyến chung đường tròn  C1 C2

Bước 2: Thiết lập điều kiện tiếp xúc của d với  C1 và  C1

1

( ,( ))

d I d R

2

( ,( ))

d I d R

Bước 3:Kết luận chung tiếp tuyến

Ví dụ :Cho đường tròn   2 : ( 1) ( 1)

C x  y  C2: (x 2)2(y1)2 4 Lập phương trình tiếp tuyến chung đường tròn

Giải:

Đường tròn  C1 có tâm I11,1và bán kính R11

Khi ta giả sử phương trình tiếp tuyến chung đường trịn có dạng

( ) :d Ax By C  0 với A2 B2 0  

Ta có  d tiếp xúc với  C1 và C1 :

 2  2

1

2

2

2

1 ( ,( ))

( ,( )) 2 2

2

A B C

A B C A B

d I d R A B

d I d R A B C A B C A B

A B

  

   

 

      

 

 

  

 

3

2 2 2

3

( )

3 3

1

1

( ) ( 4 ) 2

3 3

C B

A B B A B

C A B

C B

C A B A B A B A B

A B C A B



   

 



 

    

 

    

 



 

 

 

 



 

 

 

3 B=0 C=-3B

4

C B v

B

v A





   

Khi ta tiếp tuyến chung :

1

( ) :d Ax 0 (d ) :x0

2

3

( ) : (d ) : 12

4

B

d x By  B  x y 

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP 1.Định nghĩa đường Elip

Cho hai điểm cố định F1, F2 độ dài không đổi 2a lớn F1F2

Elip tập hợp điểm M mặt phẳng cho: F1M + F2M = 2a

Trong đó:

Các điểm F1 F2 gọi tiêu điểm Elip

Độ dài F1F2 = 2c gọi tiêu cự Elip

o

Elip

2 Phương trình chinh tắc Elip

Cho Elip (E) có tiêu cự F1 F2 chọn hệ trục 0xy cho

F1=(-c;0) F2=(c;0)

Ta có:

 ;    2  1

2 2     b y a x E y x M Trong đó: b2 a2 c2

 

Phương trinh (1) gọi phương trình tắc Elip VD1: Cho phương trình 4x2 9y2 1

a) phương trình có phải phương trình tắc elip khơng ? b) xác định hệ số a, b tiêu cự elip

Giải

a) phương trình chưa phải phương trình tắc elip

b) Ta có: (1)

3 1 2 2 2                 

 x y x y

Ta có: a21 và b31

2 2         b a c c b a F1 O .F

Tiêu điểm: 2

1F  c 

F

VD2: Cho phương trình:

25 16 2   y x

Phương trình có phải phương trình tắc elip khơng? Nếu phải xác định hệ số a, b tiêu cự elip

Giải

Phương trình khơng phải phương trình tắc elip a = < b =



Chú ý:

Để tìm yếu tố elip trước hết cần làm điều sau đây: + Biến đổi phương trình tắc (E)

2 2   b y a x + Xét điều kiện a > b >

3 Hình dạng Elip

+ Elip có trục đối xứng ox, oy có tâm đối xứng gốc O + Elip cắt ox hai điểm: A1(-a;0) A2(a;0)

+ Elip cắt oy hai điểm: B1(0;-b) B2(0;b)

+ Các điểm A1, A2, B1, B2 gọi đỉnh elip

+ Các đoạn A1A2, B1B2 gọi trục lớn trục bé elip 

Nhận xét:

Nếu elip có a > b hai tiêu điểm nằm trục lớn

Bài tập vận dụng

1) Xác định độ dài trục lớn, trục bé, tọa độ tiêu điểm, đỉnh elip sau

4 36

  y

x

2) Lập phương trình tắc elip trường hợp sau a Độ dài trục lớn bé lần lược

b Độ dài trục lớn tiêu cự 10

c Elip qua hai điểm          12 ; 3 ;

0 và N M

Giải

1 Ta có (1) 3, 2,

4 2 2        

y a b c a b

x + độ dài truc lớn : A1A2=2a=6

+ Độ dai truc bé : B1B2=2b=4

+ Tiêu điểm : F1 5;0,F2 5;0

+ Các đỉnh elip : A1(-3;0); A2(3;0); B1(0;-2); B2(0;2)

Vậy phương trình tắc elip là: (E) 25 2   y x

2 a

9 16 2   y x

b 25 2   y x c (E) 2

2 2   b y a x

Đi qua hai điểm   

      12 ; 3 ;

0 và N M

Ta có: 0;3    92 1 b3

b E M   25 25 16 25 144 12 ; 2 2                   a a a b a E N

Vậy phương trình tắc elip : 25 2   y x Tóm lại:

Phương trình Elip : 1  0

2 2     a b

b y a x

Gồm có thành phần sau:

+ Trục lớn nằm ox : A1A2=2a

+ Trục bé nằm trục oy : B1B2=2b

+ Tiêu điểm nằm trục lớn : F1 c;0 ,F2c;0 với c2 a2 b2

 

+ Tiêu cự : F1F2 2c