Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số... MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phƣơng pháp đổi biến số.[r]
(1)I Tìm nguyên hàm định nghĩa tính chất 1/ Tìm ngun hàm hàm số
1 f(x) = x2 – 3x +
x
1
ĐS F(x) = x x lnxC
2 3
2
f(x) = 2
4
3
x x
ĐS F(x) = C x x
3
3
f(x) = 21
x x
ĐS F(x) = lnx +
x
1
+ C f(x) = 2
2
) (
x x
ĐS F(x) = C x x x 1
2
3
5 f(x) =
x x
x ĐS F(x) = x x x C
5 4 3
2
5
6 f(x) =
3
2
x
x ĐS F(x) = x x C
3
2
7 f(x) =
x x 1)2
(
ĐS F(x) = x4 xlnxC
8 f(x) =
3
1
x x
ĐS F(x) = x x3 C
9 f(x) =
2 sin
2 x ĐS F(x) = x – sinx + C 10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C 11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = x sin2xC
4
12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C 13 f(x) =
x
x
2 cos sin
1
ĐS F(x) = tanx - cotx + C 14 f(x) =
x x
x
2
cos sin
2 cos
ĐS F(x) = - cotx – tanx + C 15 f(x) = sin3x ĐS F(x) = cos3xC
3
16 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) = cos5xcosxC
5
17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) = e2x ex C
2
18 f(x) = ex(2 + )
cos2 x ex
ĐS F(x) = 2ex + tanx + C 19 f(x) = 2ax + 3x ĐS F(x) = C
a
ax x
3 ln
3 ln
20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = e3x1 C
3
2/ Tìm hàm số f(x) biết
1 f’(x) = 2x + f(1) = ĐS f(x) = x2
+ x + f’(x) = – x2
f(2) = 7/3 ĐS f(x) =
3 x
x
3 f’(x) = x x f(4) = ĐS f(x) =
3 40
8x x x2
(2)4 f’(x) = x - 12 2
x f(1) = ĐS f(x) = 2
2
x
x x
f’(x) = 4x3
– 3x2 + f(-1) = ĐS f(x) = x4 – x3 + 2x + 6 f’(x) = ax + 2 , f'(1)0, f(1)4, f(1)2
x b
ĐS f(x) =
2
2
x x
II MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phƣơng pháp đổi biến số
Tính I = f[u(x)].u'(x)dx cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x)dtu'(x)dx
I = f[u(x)].u'(x)dxf(t)dt
BÀI TẬP Tìm nguyên hàm hàm số sau:
1 (5x1)dx
)
( x
dx
52xdx
1 2x
dx
5 (2x2 1)7xdx (x35)4x2dx x2 1.xdx
dx x
x
5
2
9
x dx x
3 2
3
10
)
( x
x dx
11 dx x
x
ln3 12 x.ex21dx
13 sin4 xcosxdx 14 dx x x
cos sin
15 cotgxdx 16 x tgxdx
2 cos
17 x dx
sin 18 x dx
cos 19 tgxdx 20 x dx e x
21
3 x x
e dx e
22 dx x etgx
2
cos 23 1x dx
2
24
4 x
dx
25 x2 1x2.dx 26
1 x
dx
27
2 x
dx x
28
2 x x
dx
29 cos3xsin2 xdx 30 x x1.dx 31
1 x
e dx
32 x3 x2 1.dx
2 Phƣơng pháp lấy nguyên hàm phần
Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I
u(x).v'(x)dxu(x).v(x)v(x).u'(x)dx Hay
udvuvvdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm hàm số sau:
1 x.sinxdx xcosxdx (x2 5)sinxdx 4(x2 2x3)cosxdx
5 xsin2xdx xcos2xdx xexdx
lnxdx xlnxdx 10 ln2 xdx 11
x xdx
ln
12 e xdx
13 dx
x x
2
cos 14 xtg xdx
(3)21 xlgxdx 22 2xln(1x)dx 23 dx x
x
) ln(
24 x2cos2xdx TÍCH PHÂN
I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1
1
(x x 1)dx
2
2
1
( )
e
x x dx
x x
1
2
x dx
1
1
x dx
3
(2sinx 3cosx x dx)
0
(exx dx)
(x x x dx)
7.2
1
( x1)(x x1)dx
8
2
1
(3sinx 2cosx )dx
x
0
(exx 1)dx
10 2
1
(x x x x dx)
11.2
1
( x1)(x x1)dx
12
3
x dx
( )
13
2
2
2 -1
x.dx x
14
2
e
1
7x x
dx x
15
x
5
2
dx x 2
16
2
x dx
x x x
( ) ln
17
2 3
x dx x
cos sin
18
4
tgx dx x
cos
19
1 x x x x
e e
e e dx
20
1 x x x
e dx
e e
21
2
dx 4x 8x
22
3
x x
dx
e e
ln
22
2
0
dx sinx
24
1
)
( x x dx 25
0
) 2
( x x dx 26
2
) (x dx
x 27
3
)
(x dx
28 dx
x x
2
3
1
29
3
2
dx x
x x
30 e e
x dx 1
31 16
.dx x
32 dx
x x x
e
2
1
7
33 dx
x x
1 33
1
II PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1
3
sin xcos xdx
2
3
sin xcos xdx
3
0
sin
x dx cosx
0 tgxdx
4
6
cotgxdx
0
1 4sinxcosxdx
0
1
x x dx
1
x x dx
8
1
x x dx
3
0
x dx x
10
1
3
0
x x dx
11
2
1
dx x x
12
1
1 1x dx
13
1
1
2 2dx
x x
14
1
1
dx x
15
1
2
(4)16
2 sin
x e cosxdx
17
2
sin
cosx
e xdx
18
1
x
e xdx
19
3
sin xcos xdx
20 sin
4 x e cosxdx
21
4
sin
cosx
e xdx
22 2
0 x
e xdx
23
2
3
3
sin xcos xdx
24
2
2 3
sin xcos xdx
25
2
sin
x dx cosx
26
4
tgxdx
27
4
cotgxdx
28
6
1 4sinxcosxdx
29
1
1
x x dx
30
0
x x dx
31
0
1
x x dx
32
3
0
x dx x
33
0
x x dx
34
3
1
dx x x
35
1
1 ln e
x dx x
36
1
sin(ln )
e
x dx x
37
1
1 3ln ln e
x x dx x
38 2ln
1 e x
e
dx x
39
2
1 ln ln
e e
x dx x x
40
2
1 (1 ln )
e e
dx cos x
41
11 x
dx x
42
0
x dx x
43
0
1
x x dx
44
0
1
1 dx
x x
45
0
1
1 dx
x x
46
1
x dx x
46
1
1 ln e
x dx x
47
1
sin(ln )
e
x dx x
48
1
1 3ln ln
e
x x dx x
49 2ln
1 e x
e
dx x
50
2
1 ln ln
e e
x dx x x
51
2
1 (1 ln )
e e
dx cos x
52
1
2
0
5
x x dx 53
2
4
0
sin 1 cos
x xdx
126
2
5 x x2 dx
54
4
2
0
4 x dx
55
4
2
0
4 x dx
56
1
2 1
dx x
57 e x dx
0
3
58
dx
e x 59
3
x dx (2x 1)
60
0
x dx 2x 1
61
1
0
x xdx
62
2
4x 11 dx x 5x
63
1
2x dx x 4x
64
3
2
x dx x 2x 1
65
6
6
0
(sin x cos x)dx
66
3
0
4sin x dx cosx
67
4
1 sin 2xdx cos x
68
2
cos 2xdx
69
6
1 sin2x cos2xdx sin x cosx
70
x
1 dx e 1
71 4(cos x sin x)dx
4
72 4 01 2sin2
2 cos
dx x x
73 2 02cos3
3 sin
dx x
x
74
05 2sin
cos
dx x x
75
2
3
2
dx
x x
x
76
1
1 x2 2x dx
77
2
3
0
cos xsin xdx
(5)78
5
0
cos xdx
79
4
2
sin 4x dx cos x
80
1
3
0
x x dx
81
2
2
0
sin2x(1 sin x) dx
82
4
1 dx cos x
83
e
1
1 ln xdx x
84
4
0
1 dx cosx
85
e
1
1 ln xdx x
86
5
0
x (1 x ) dx
87
6
2
cosx dx
6 5sin x sin x
88
3
0
tg x dx cos2x
89
4
0
cos sin
3 sin2
x x dx x
90
0 cos2 4sin2
2 sin
dx x x
x
91
5 ln
3
ln ex 2e x
dx
92 2 0(2 sin )2
2 sin
dx x x
93 3
2 sin
) ln(
x dx
tgx
94 4
8
)
(
dx x
tg 95
4
2 sin
cos sin
x dx
x x
96
0 3cos
sin sin
dx x
x x
97.2 cos
cos sin
dx x
x x
98 2
sin
cos ) cos (
xdx x
e x 99
11
dx x x
100 e dx
x x x
1
ln ln
101 4
2
2 sin
sin
dx x
x
102
2
1 x dx
103
1
1 dx x
104
1
2
1 dx x
105
1
1 dx x x
106
4
0
x dx x x 1
107
2
0
1
1 cosx sinxdx
108
2 2
2
x dx
1 x
109
2
2
1
x x dx
110
3
2
1 dx
x x 1
111
3
2
9 3x dx x
112
1
5
1
(1 xx dx)
113
2
2
3
1 1dx
x x
114
0
cos cos2
x dx x
115
1
6
1
1 x dxx
116 2
0
cos cos
x dx
x
117
0
1x2 2x dx
118
01 3x dx
119 2
1
1
dx x
x x
120
2
1 1dx
x x
121
7
3
0
x dx x
122
5
0
1
x x dx
123
ln2
x
1 dx e 2
124
7
3
1
3
x dx
x
125
2
0
1
x x dx
II PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Cơng thức tích phân phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b b
b a
a a
x d u x v x v x u x dx
@ D ng
sin ( )
ax
ax f x cosax dx
e
(6)
( ) '( )
sin sin
cos
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
e e
@ D ng 2: f x( ) ln(ax dx)
Đặt ln( )
( )
( )
dx du
u ax
x dv f x dx
v f x dx
@ D ng 3: sin
ax ax
e dx
cosax
í dụ 1: tính tích phân sau
a/
1 2 0( 1)
x
x e dx x
đặt
2
( 1)
x u x e
dx dv
x
b/
3 2( 1)
x dx x
đặt
5
( 1)
u x x dx dv
x
c/
1 2 1
1
2 2 2 2
0 0
1
(1 ) (1 ) (1 )
dx x x dx x dx
dx I I
x x x x
ính I1
1 01
dx x
ph ng pháp đ i biến số
ính I2 =
1 2 0(1 )
x dx x
ph ng pháp phần : đặt
2
(1 )
u x x
dv dx
x
Bài tập
1
3
ln
e
x dx x
1
ln
e
x xdx
1
2
ln( 1)
x x dx
1
ln
e
x xdx
5
3
ln
e
x dx x
1
ln
e
x xdx
1
2
ln( 1)
x x dx
1
ln
e
x xdx
9
2
0
(x cosx) s inxdx
10
1
1 ( ) ln
e
x xdx x
11
2
ln(x x dx)
12
3
2
4
tan
x xdx
13
2
5
lnx dx x
14
2
0
cos
x xdx
15
1
0
x
xe dx
16
2
0
cos
x
e xdx
Tính tích phân sau
1)
3
.e dx
x x 2)
cos ) (
xdx
x 3)
3 sin ) (
xdx
x 4)
2 sin
xdx
(7)5) e
xdx x
ln 6) e dx x x ln )
( 7)
ln
4x xdx 8) ) ln(
x dx
x
9) 2 )
(x ex dx 10)
0
cos
xdx
x 11) 2 cos dx x
x 12) 2 sin ) ( dx x x x 13) ln xdx x
14)
2
x cos xdx
15)
1 x
e sin xdx
16)
2 sin xdx 17) e
x ln xdx
18)
2
x sin xdx cos x
19)
0
xsin x cos xdx
20)
4
2
x(2cos x 1)dx
21) 2 ln(1 x)dx x
22)
2 2x
(x 1) e dx
23)
e
2
(x ln x) dx
24) cosx.ln(1 cosx)dx
25) 2
1 ln ( 1) e e x dx x
26)
2
0
xtg xdx
27) 1
2 )
(x e xdx 28) 1
2 )
ln( x dx
x
29) e dx x
x
ln
30) 2 sin ) cos ( xdx x
x 31) 2
0 ) ln( )
( x x dx 32) 3
2
)
ln(x x dx
III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
2 dx x x x b a dx b x a
x )( )
(
3
1 dx x x x dx x x x 1
2
1
5
)
( x dx
x
6
2 ) ( ) ( dx x
x
2008 2008 ) ( dx x x x
2 3 9 dx x x x x x
9
2 )
(x dx
x
10
)
( x dx
x n n
11
2 ) ( dx x x x x
12
) ( dx x x
13
2 dx
x 14
1
4
1 x dx
x
15 dx
x x
2
2
2
16
)
( x dx
x
17
2 dx x x
x 18
3 2 3 3 dx x x x x
19
1 dx x x
20
1 dx x
21
6 dx x x x x 22 dx x x
23
1 dx x x 24 4 11 5 6 x dx x x 25 1 dx
x x
26
2 dx x x
27 dx x x 2
28
1 2 dx x x x
29 x dx
x x 2
30 dx x x x 3
31 x dx
x x x 2 1
32 x dx
x x x 1 2
33
4x x dx
(8)1 x xdx 2 cos sin cos sin xdx
x x xdx
2 cos sin
4
2 3 ) cos (sin dx x
5
2 4 ) cos (sin cos dx x x
x
2 2 ) cos cos sin sin ( dx x x x
x
2 sin dx x
8
2 4 10 10 ) sin cos cos (sin dx x x x
x
0 cos
x dx
10
0 sin
1
dx x
11
2 cos sin dx x x
12
3 cos sin
x x
dx
13
2 cos cos sin sin x x x x dx
14
01 cos
cos
dx x x
15
0 cos
cos
dx x x
16
0 sin
sin
dx x x
17
cos cos dx x x
18
2
0 sin cos
1
dx x x
19
) cos ( cos x xdx
20
2 cos sin cos sin dx x x x x
21
4
3
xdx
tg 22 g xdx cot
23
3 4 xdx
tg 24
01 dx
tgx 25
4 ) cos( cos x x dx
26
2
0 4sin 5cos
6 cos sin dx x x x x
27
2
sin
1 xdx 28
4
0 2sin 3cos 13
x x
dx
29
4 cos sin dx x x
30
2
0 sin cos
2 sin cos dx x x x x
31
01 cos
3 sin dx x x
32
sin sin
x x
dx
33
4 cos sin dx x x
34
2 ) sin ( sin dx x x
35
0
sin
cosx xdx 36
3 3 sin sin sin dx xtgx x x
37
01 sin cos
x x
dx
38
0 2sin
x dx
39
2 sin cos xdx
x 40
cos sin x xdx
41
0 5sin
x dx 6 cos sin
x x
dx
43
6 sin sin( 6)
x x
dx
44
4sin cos( 4)
x x
dx
45
3 cos sin x xdx
46 tgxtg x )dx
6 (
47
3 ) cos (sin sin x x xdx
48
2 ) sin ( sin x x
49
2 sin dx
x 50
2 cos xdx x
51
2 sin dx e
x x 52 e dx
x x x 2
01 cos
sin
53
cot sin sin dx x g tgx x x
54
(9)55
2
)
cos(lnx dx 56
3
2
cos ) ln(sin
dx x x
57 x xdx
2
2
cos ) (
58
0
2
cos
sinx xdx
x
59
4
2
xdx
xtg 60
0
2
sin xdx
e x 61
2
3 sin
cos sin
xdx x
e x 62
4
) ln(
dx tgx
63
0
2
) cos (sin
x x
dx
64
0
2
) cos )( sin (
cos ) sin (
dx x x
x x
65
2
2
sin sin 7
x xdx
66
2
4
0
cos (sin cos )
x x x dx
67
2 3
0
4 sin
1 cos
x
dx x
68
2
3 cos cos
xdx
x
69
2
2 sin sin
xdx
x 70.
4
cos sin
xdx x
71
2
sin
xdx
V TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
b a
dx x f x
R( , ( )) Trong R(x, f(x)) có dạng:
+) R(x,
x a
x a
) Đặt x = a cos2t, t ] ;
[
+) R(x, 2
x
a ) Đặt x = asint x = acost +) R(x, n
d cx
b ax
) Đặt t = n d cx
b ax
+) R(x, f(x)) =
b x x
ax )
(
1
Với (x2x)’ = k(ax+b) Khi đặt t = x2x , đặt t =
b ax
1
+) R(x, 2 x
a ) Đặt x = atgt, t ] ; [
+) R(x, 2
a
x ) Đặt x = x a
cos , t [0; ]\{2}
+) Rn1 n2 ni
x; x; ; x Gọi k = BCNH(n1; n2; ; ni) Đặt x = tk
Bài tập vận dụng
1
2
2
4
x x
dx
2
3
2 x x2 dx
3
2
2
1(2x 3) 4x2 12x dx
1
1
x x
dx
5
2
2008dx
x
1 x2 2008 dx
7
0
2
1 x dx
x
1
3
)
(10)9
1 2
1
dx x
x x
10
2
1
dx x x
11
0 (1 x2)3
dx
12
2
0 (1 x2)3 dx
13
2
1 x dx 14
2
2
1 x
dx x
15
0 cos2
cos
x xdx
16
2
2
cos cos
sin
dx x x
x
17
0 cos2
cos
x xdx
18
0 3cos
sin sin
dx x
x x
19
03
1 x
dx x
20
0
2
10 x dx
x
21
0 2x xdx
22
0
3
1
x x
dx x
23
2 2x 1
dx
24 x x dx
0
8 15
3
25
5
6
cos sin cos
xdx x
x 26
ln
0
x e
dx
27
1
2
1
1 x x
dx
28
ln
0
1
x x e
dx e
29
4
2
8
12x x dx 30.
e
dx x
x x
1
ln ln
31
0
3
1
dx x x x
32 x x xdx
0
2
2
33
1
3
)
(e x dx
x x 34
ln ln
2
1 ln ln
dx x x
x
35
0
2
cos cos
2 cos
dx x
tgx x
x
36
ln
0 ( x 1)3 x e
dx e
37
0 cos2
cos
x xdx
38
2
cos
cos
x xdx
39 dx
x x 7
3
3
40 a
dx a x
0
2
VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục [-a; a], đó:
a a
a
dx x f x f dx x f
0
)] ( ) ( [ )
(
VÝ dơ: +) Cho f(x) liªn tơc trªn
[-2 ;
3
] tháa m·n f(x) + f(-x) = 22cos2x,
TÝnh:
2
2
) (
dx x f
+) TÝnh
1
2
sin
dx x
x x
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục lẻ [-a, a], đó:
a a
dx x
f( ) =
VÝ dô: TÝnh:
1
2 )
ln(x x dx
2
2
) ln( cos
dx x x
x
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục chẵn [-a, a], đó:
a a
dx x
f( ) = 2 a
dx x f
(11)VÝ dô: TÝnh
1
2
1
x x
dx x
2
2
cos 4 sin
x x
dx x
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn [-a, a], đó:
a a
a
x dx f x dx b
x f
0
) (
) (
(1b>0, a)
VÝ dô: TÝnh:
3
2
1
dx x
x
2
1
5 cos sin sin
dx e
x x x
x
Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục [0;
2
], 2
0
) (cos )
(sin
dx x f x f
VÝ dô: TÝnh
0
2009 2009
2009
cos sin
sin
dx x x
x
2 sin cos
sin
dx x x
x
Bài toán 5: Cho f(x) xác định [-1; 1], đó:
0
) (sin
)
(sinx dx f x dx
xf
VÝ dô: TÝnh
01 sin dx x x
0 cos
sin
dx x x x
Bài toán 6: b a b
a
dx x f dx x b a
f( ) ( )
b b
dx x f dx x b f
0
) ( )
(
VÝ dô: TÝnh
0
2
cos
sin
dx x x x
4
) ln( sin
dx tgx x
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục R tuần hoàn víi chu k× T th×:
T T
a a
dx x f dx x f
0
) ( )
(
T nT
dx x f n dx x f
0
) ( )
(
VÝ dô: TÝnh
2008
2 cos
1 xdx
Các tập áp dụng:
1
1
2
2
1
dx x
x
4
4
cos
1
dx x
x x x x
1
2 ) )(
( e x
dx
x
4
2
2
sin
cos
dx x x x
5
1
2
) 1 ln(
cos dx
x x
x sin(sinx nx)dx
2
7
2
5
cos
sin
dx x x
) (
cot
2
2
ga
e tga
e
x x
dx x
xdx
(tana>0)
(12)1
3
1dx
x
2
2
3
4x dx
x 3.
1
dx m x
x
2
sin
dx x
5
dx x
sin
1
3
2
2 cot
dx x g x
tg
4
4
2 sin
dx
x
2
cos
1 xdx
9
2
) 2
(x x dx 10
3
4
2x dx 11
2
3
cos cos
cos
dx x x
x
12
2
1
x 3x 2dx
13
5
3
( x x )dx
14
2
2
2
1
x 2dx
x
3 x
2 4dx
16
0
1 cos2xdx
17
0
1 sin xdx
18 x xdx
2
2
VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ : ính diện tích hình phẳng giới hạn
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đ ờng thẳng x = -2 đ ờng thẳng x =
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đ ờng thẳng x = đ ờng thẳng x =
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đ ờng thẳng x = -2 đ ờng thẳng x =
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đ ờng thẳng x = 2 Ví dụ : ính diện tích hình phẳng giới hạn
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đ ờng thẳng x = -2 đ ờng thẳng x =
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đ ờng thẳng x = đ ờng thẳng x =
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đ ờng thẳng x = -2 đ ờng thẳng x =
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung đ ờng thẳng x = 2
Bài 1: Cho (p) : y = x2+ đ-ờng thẳng (d): y = mx + Tìm m để diện tích hình
phẳng giới hạn hai đ-ờng có diện tích nhá nhÈt
Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn (c) 0x có diện tích phía 0x phía d-ới 0x
Bài 3: Xác định tham số m cho y = mx chia hình phẳng giới hạn
0
y x o
x x y
Có hai phần diện tích
Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới x2+y2 = thành hai phần.Tính diện tích
(13)Bài 5: Cho a > Tính diện tích hình phẳng giới hạn
4
4 2
1
3
a ax a y
a a ax x
y
Tìm a để
diƯn tÝch lín nhÊt
Bµi 6:Tính diện tích hình phẳng sau:
1) (H1):
2
2
x
y
4 x y
4
2) (H2) :
2
y x 4x
y x
3) (H3):
3x y
x y x
4) (H4):
2
2 y x x y
5) (H5):
y x y x
6) (H6):
2
y x
x y
7) (H7):
ln x y
2 x y x e x
8) (H8) :
2
2 y x 2x y x 4x
9) (H9):
2 3
y x x
2
y x
10) (H10):
y 2y x
x y
11)
) (
2 : ) (
: ) (
Ox
x y
d
x y C
12)
: ) (
2 : ) (
: ) (
x y d
e y
C x
13)
1
2 x y
x y
14)
0
4
2
2 y x
x y
15)
0
0
y y x
x y
16
2
1
x y
x y
17
3 , ,
2
y y x y
x y
18)
e x e x
y x y
,
0 ,
ln
19
3 ;
cos ;
sin
2
x x
x y
x y
20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp tun cđa (p) ®i qua M(5/6,6)
21)
11
4
5
2 x y
x y
x x y
22)
15
3
5
2 x y
x x y
x x y
23)
e x y
x y
x y
0
24)
5 / /
/ /
x y
x y
25)
x y
x y
2
26)
0
2 / /
y
x x y
27)
x y
x y
4
2
28)
1
5
2
2 y
x x y
x x y
29)
7 / /
2 x y
x y
(14)30) ; x x y x y 31) x x y x x y ; cos sin 32) y x x y 33) 2 x y x x y 34) ; 2 2 x x x x y x x y 35) / / y x x y 36) 2 2 y x x y x y 37) / / y x x y 38) / / x y x x y 39) 2 / / x y x x y 40) / / y x x y 41) x e y e y x Ï 42) ; 2 x x x x x y 43) / / / sin/ x y x y 44) 4 2 y x x y x y 45) 0 2 2 y y x x y 46) )
( 2
2 a x a x y 47) y x x y sin ) ( 48) / / x x y 49) / / x y x 32) sin ) ( x x y y x 33) 4 2 x y x y 34) ; ; y x x y x x 35) x y x y y x ; 0 36) 16 2 y x x y 37) x y x y x y 27 27 2 38) x y x y ) ( 39) 10 , 10 / log / x x y x y 40) 2 x ay y ax
(a>0) 41) x x x y x y
sin2 42) 2 ) ( 27 x y x y
43) x2/25+y2/9 = hai tiếp tuyến qua A(0;15/4)
44) Cho (p): y = x2 điểm A(2;5) đ-ờng thẳng (d) qua A có hệ số góc k Xác định k để diện tích hình phẳng giới hạn (p) (d) nhỏ
(15)TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY
Cơng thức:
V f x dx b
a
2
) (
V f y dy b
a
2
) (
Bài 1: Cho miền D giới hạn hai đ ờng : x2
+ x - = ; x + y - = ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn đ ờng : y x;y x;y 0
ính thể tích khối trịn xoay đ ợc tạo nên D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn hai đ ờng : y (x 2) y =
ính thể tích khối trịn xoay đ ợc tạo nên D quay quanh: a) rục Ox
b) rục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn hai đ ờng : y 4 x y x2; 22
ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 5: Cho miền D giới hạn đ ờng : 21 ;
1
x
y y
x
ính thể tích khối trịn xoay đ ợc tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 6: Cho miền D giới hạn đ ờng y = 2x2
y = 2x +
ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 7: Cho miền D giới hạn đ ờng y = y2
= 4x y = x
ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 8: Cho miền D giới hạn đ ờng y = 2
1
x e
x ; y = ; x= ; x = ính thể tích khối tròn xoay đ ợc tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 9: Cho miền D giới hạn đ ờng y = xlnx ; y = ; x = ; x = e ính thể tích khối trịn xoay đ ợc tạo nên D quay quanh trục Ox Bài10: Cho miền D giới hạn đ ờng y = x ln(1x3) ; y = ; x = ính thể tích khối trịn xoay đ ợc tạo nên D quay quanh trục Ox
1)
4 )
(
y x y
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y 2)
4
4
,
2 y
x y x y
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
a y 0 b
) ( :
)
(C y f x
b a
x
b x
x y
O
b
a
x y
0
x
O
) ( : )
(C x f y
b y
(16)3)
1 , ,
1
x x y
x y
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
4)
0
2
y
x x y
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
5)
e x x y
x x y
;
0 ln
quay quanh trôc a) 0x;
6)
1
10
) (
y x y
x x y
quay quanh trôc a) 0x; ( H) n»m ngoµi y = x2
7)
x y
x
y
quay quanh trơc a) 0x;
8) MiỊn h×nh trßn (x – 4)2 + y2 = quay quanh trơc a) 0x; b) 0y 9) MiỊn (E):
4
2
y x
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
10)
1
; ,
0
x x
y xe
y Ï
quay quanh trôc 0x;
11)
x x
y
x x
y
;
sin
cos4
quay quanh trôc 0x;
12)
x y
x y
3 10
2
quay quanh trôc 0x;
13) Hình tròn tâm I(2;0) bán kính R = quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
14)
2 ; 4
x x x
y quay quanh trôc 0x;
15)
0 ;
2
y x y
x y