Bài giảng Trường điện từ - ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định

Tập bài giảng Trường điện từ trình bày những định luật nguyên lý cơ bản của trường điện từ cùng các quy luật và tính chất lan truyền của nó trong chân không và các môi trường vật chất khác nhau. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung của bài giảng.

Lời nói đầu MỤC LỤC Chương : 1.1.Các khái niệm trường điện từ KHÁI NIỆM VÀ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 1.1.1 Định nghĩa 1.2 Các đại lượng đặc trưng 1.1.2 Mơ hình 1.2.1 Vector cường độ điện trường 1.2.3 Vector từ cảm 1.2.2 Vector điện cảm 1.2.4 Vector cường độ từ trường 1.3 Các định luật trường điện từ 1.2.5 Các đại lượng đặc trưng môi trường 1.3.1 Định luật Ohm dạng vi phân 1.3.3 Định lý Ostrogradski-Gauss điện trường 1.3.2 Định luật bảo tồn điện tích 1.4 Hệ phương trình Maxwell 10 1.4.2 Phương trình Maxwell 13 1.4.4 Phương trình Maxwell 16 1.4.1 Phương trình Maxwell 1.4.3 Phương trình Maxwell 1.5 Các điều kiện biên 11 16 20 1.5.1 Thành phần tiếp tuyến 20 1.5.3 Trường hợp đặc biệt 22 1.5.2 Thành phần pháp tuyến 1.6 Năng lượng trường điện từ - Định lí Umov Poynting 1.6.1 Năng lượng trường điện từ 1.6.2 Biểu diễn phức đại lượng trung bình 22 24 24 25 1.6.3 Định lý Umov Poynting cho trường điều hịa 26 1.8 Ngun lí tương hỗ 30 1.7 Định lý nghiệm 27 1.9 Nguyên lí đồng dạng điện động 31 2.1 Khái niệm chung 39 Chương 2: TRƯỜNG ĐIỆN TỪ TĨNH VÀ TRƯỜNG ĐIỆN TỪ DỪNG 2.1.1 Trường điện từ tĩnh 39 2.2 Trường điện tĩnh 41 2.1.2 Trường điện từ dừng 2.2.1 Thế vô hướng trường điện tĩnh 2.2.2 Phương trình Poisson-Laplace 2.2.3 Năng lượng trường tĩnh điện, điện dung 40 42 42 45 2.3 Trường từ dừng 45 3.1 Khái niệm chung 53 Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TỪ BIẾN THIÊN 3.1.1 Phương pháp giải trực tiếp 53 3.1.3 Phương pháp dùng vector Hertz 55 3.2 Biểu diễn phức phương trình trường điện từ biến thiên 62 3.2.2 Hệ phương trình cho điện động trường điện từ điều hồ 62 3.3 Sóng điện từ phẳng đơn sắc 64 3.1.2 Phương pháp điện động 3.1.4 Tìm nghiệm phương trình sóng 3.2.1 Hệ phương trình Maxwell trường điện từ điều hồ 3.2.3 Tìm nghiệm phương trình sóng trường điều hịa 54 59 62 63 3.3.1 Khái niệm 64 3.4 Sóng điện từ phẳng đơn sắc truyền điện môi lý tưởng 70 3.6 Sự phản xạ khúc xạ sóng điện từ 77 3.3.2 Nghiệm phương trình sóng sóng phẳng 3.5 Sóng điện từ phẳng đơn sắc truyền vật dẫn tốt 65 72 3.6.1 Sự phân cực sóng phẳng 77 3.7 Điều kiện gần Leontovic 85 3.6.2 Sự phản xạ, khúc xạ sóng phẳng 3.8 Sóng phẳng môi trường không đẳng hướng 3.8.1 Môi trường không đẳng hướng 3.8.2 Tensor độ từ thẩm Tensor độ điện thẩm 79 86 86 87 Chương : BỨC XẠ ĐIỆN TỪ 4.1 Khái niệm 101 4.2 Sự xạ điện từ nguyên tố anten thẳng 101 4.2.2 Công suất xạ, trở xạ 104 4.3.1 Trường điện từ vòng dây 106 4.4 Trường điện từ yếu tố diện tích mặt 110 4.2.1 Trường điện từ nguyên tố anten thẳng 4.3 Sự xạ điện từ ngun tố anten vịng 4.3.2 Cơng suất xạ, trở xạ vòng dây 101 106 110 4.5 Tính định hướng xạ điện từ 114 5.1 Ống dẫn sóng 123 Chương : ỐNG DẪN SÓNG VÀ HỘP CỘNG HƯỞNG 5.1.1 Khái niệm truyền sóng định hướng hệ định hướng 123 5.1.3 Ống dẫn sóng thiết diện chữ nhật 132 5.2 Hộp cổng hưởng 137 5.2.2 Hộp cộng hưởng thiết diện hình chữ nhật 145 5.2.4 Hộp cộng hưởng đồng trục xun tâm 152 5.1.2 Tìm nghiệm phương trình sóng hệ định hướng tổng quát 5.1.4 Ống dẫn sóng thiết diện hình trịn 5.2.1 Độ phẩm chất hộp cộng hưởng 5.2.3 Hộp cộng hưởng thiết diện hình trụ trịn Phụ lục Tài liệu tham khảo 125 135 138 150 156 167 LỜI NÓI ĐẦU Tập giảng “Trường điện từ” trình bày định luật nguyên lý trường điện từ quy luật tính chất lan truyền chân khơng môi trường vật chất khác Tập giảng chia làm năm chương với nội dung cụ thể sau: Chương 1: Trình bày tóm tắt tượng thực nghiệm điện trường, thiết lập phương trình trường điện từ gọi hệ phương trình Maxwell Từ phương trình định lý nguyên lý trường điện từ dẫn như: định lý Umov Poynting, định lý nghiệm nhất, điều kiện biên tổng quát, nguyên lý đổi lẫn, nguyên lý tương hỗ, nguyên lý đồng dạng điện động Chương 2: Trình bày đặc điểm tính chất hai trường đặc biệt trường điện từ tĩnh trường điện từ dừng Từ phân tích sâu vào hai trường : điện tĩnh, từ dừng hai trường thường gặp thực tế mang đầy đủ tính chất trường tĩnh trường dừng Chương 3: Trình bày trường điện từ biến thiên bao gồm hai nội dung : tích phân hệ phương trình Maxwell, mơ tả quy luật tính chất lan truyền mơi trường vật chất sóng điện từ phẳng sóng đại diện cho sóng điện từ mang đầy đủ tính chất sóng điện từ khác Chương 4: Trình bày trường xạ nguồn nguyên tố: lưỡng cực điện, lưỡng cực từ, diện tích mặt Huyghen Chương 5: Trình bày hệ truyền sóng định hướng Các phương pháp tìm nghiệm hệ định hướng Các dạng trường thường gặp kỹ thuật Từ tìm phân bố trường hệ định hướng sử dụng thực tiễn: ống dẫn sóng chữ nhật, trụ trịn, cáp đồng trục Sau chương có tập cần thiết để ôn tập kiểm tra Cuối sách trình bày phụ lục trình bày kiến thức cần thiết giúp xây dựng nội dung chương Tập giảng dùng cho giảng dạy môn “ Trường điện từ” cho sinh viên ngành học Công nghệ kỹ thuật điện điện tử, Cơng nghệ kỹ thuật điện cịn làm tài liệu tham khảo cho cán giảng dạy nghiên cứu lĩnh vực: kỹ thuật siêu cao tần, anten, truyền sóng vơ tuyến, điện tử viễn thơng sách Nhóm tác giả mong nhận ý kiến đóng góp xây dựng hồn thiện Nam Định, tháng 12 năm 2012 CHƯƠNG KHÁI NIỆM VÀ HỆ PHUƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ Trong chương này, tìm hiểu vấn đề trường điện từ bao gồm đại lượng điện trường từ trường, định luật nêu lên mối liên hệ đại lượng với Trong chương có nhiều khái niệm mà cần nắm vững trước chuyển sang chương Các học viên cần ý đến cách dẫn phương trình tốn học từ phát biểu Để đọc hiểu được, học viên cần trang bị kiến thức toán: hàm nhiều biến, giải tích vector với tốn tử gradient, divergence, rotation học chương trình tốn cao cấp Nếu khơng nắm vững phần tốn học khó hiểu đuợc theo kịp phần chứng minh chương Cuối chương phần tóm tắt hệ thức chương tập 1.1 Khái niệm trường điện từ trường điện từ 1.1.1 Định nghĩa Trường điện từ dạng vật chất đặc biệt, chuyển động với vận tốc ánh sáng hệ quy chiếu qn tính chân khơng Nó thể tồn vận động qua tương tác với dạng vật chất khác hạt môi trường chất mang điện 1.1.2 Mô hình Tính liên tục trường điện từ thể cấu trúc sóng Trong chân khơng trường điện từ lan truyền với vận tốc không đổi độc lập với vận tốc trường có giá trị vận tốc ánh sáng chân không c = 3.10-8 m/s Tính gián đoạn trường điện từ thể cấu trúc lượng tử Mỗi lượng tử xạ trường mang lượng tính theo cơng thức thuyết lượng tử Anstanh: Wbx = hv Trong h=6,623.10-34JS, v tần số dao động lượng tử xạ Tuy trường điện từ có hai mặt sóng hạt đồng thời, tùy theo khơng gian khảo sát nghiên cứu mà đặc tính hay đặc tính rõ rệt Trong phạm vi vĩ mơ tức khơng gian có kích thước lớn gấp nhiều lần đường kính ngun tử phân tử trường điện từ thể đặc tính sóng Cịn phạm vi vi mơ (trong khơng gian kích thước cỡ đường kính nguyên tử phân tử) đặc tính hạt trường điện từ lại trội Trong tài liệu nghiên cứu trường điện từ phạm vi vĩ mô 1.2 Các đại lượng đặc trưng 1.2.1 Vector cường độ điện trường Điện trường đặc trưng lực tác dụng lên điện tích đặt điện trường   (1.1) F  qE Hay:   F (1.2) E q  Vector cường độ điện trường E điểm điện trường đại lượng vector có trị số lực tác dụng lên đơn vị điện tích điểm dương đặt điểm Theo định luật Coulom lực tác dụng điện tích điểm Q q  Qq r0 F 4 r (1.3)  r0 : vector đơn vị phương Hệ điện tích điểm q , q , , q n   n  n q i r0i E   Ei   4 i 1 ri i 1 (1.4)  r0i : vector đơn vị phương Trong thực tế hệ thường dây mảnh, mặt phẳng hay khối hình học, đó: Trong :   r0 El   dl l  4 l r2   r ES  SdS 02  4 S r   r EV  V dV 02  4 V r (1.5) (1.6) (1.7) l mật độ điện tích phân bố theo chiều dài S mật độ điện tích phân bố bề mặt V mật độ điện tích phân bố miền thể tích 1.2.2 Vector điện cảm Khi đặt điện mơi vào trường điện, điện môi bị phân cực Mức độ phân cực điện môi đặc trưng vector phân cực điện P Vector phân cực điện P xác định trạng thái   phân cực điện môi điểm Vector cảm ứng điện D định nghĩa hệ thức:     D  0 E  P Với   109 (F/m) gọi số điện môi 36. Đối với mơi trường tuyến tính, đẳng hướng:   D   e E Thay (1.9) vào (1.8):   D   (1   e ) E   D   0 r E   D E (1.8) (1.9) (1.10) Với : εr = + χe gọi số điện môi tương đối môi trường với chân không (0) ε = ε0 εr(F/m) gọi số điện môi tuyệt đối môi trường 1.2.3.Vector từ cảm Từ trường đặc trưng tác dụng lực từ trường lên điện tích chuyển động hay dịng điện theo định luật Lorentz:    F  qv  B Chiều lực F xác định theo quy tắc bàn tay phải (1.11)  Từ (1.11) vector từ cảm B đặc trưng cho độ lớn lực từ trường tác động lên điện tích dương 1C chuyển động từ trường với vận tốc v = m/s theo hướng vng góc với  đường sức từ  Từ trường phần tử dòng điện Id l tạo xác định định luật thực nghiệm      dB  r 02 Id l  r0 4r  (1.12)   4.10 7  1,257.10 6 H / m - hệ số từ thẩm chân không r hệ số từ thẩm tương đối môi trường với chân không Từ trường dây dẫn có chiều dài l    r  Idl  r0 B 4 l r (1.13) 1.2.4 Vector cường độ từ trường Khi đặt từ môi vào trường từ, từ môi bị phân cực Mức độ phân cực từ môi đặc trưng vector phân cực từ M Vector phân cực từ môi xác định trạng thái phân cực từ  điểm từ môi Vector cường độ trường từ H định nghĩa hệ thức:    B  H M 0 Đối với mơi trường tuyến tính, đẳng hướng: Thay (1.13) vào (1.12):   M  m H   B  0 (1   m ) H   B  0  r H   B  H (1.14) Với: μr = + χm, gọi hệ số từ thẩm tương đối môi trường với chân không μ = μ0μr (H/m) hệ số từ thẩm tuyệt đối môi trường 1.2.5 Các đại lượng đặc trưng môi trường Các đặc trưng môi trường là:  hệ số điện môi tuyệt đối môi trường  là hệ số từ thẩm tuyệt đối môi trường  độ dẫn điện riêng mơi trường hay cịn gọi điện dẫn suất môi trường Các đại lượng dùng để phân loại môi trường đại lượng đặc trưng trường điện từ có quan hệ với thơng qua hệ số thể phương trình sau:   (1.15) D  E (1.16)   B H  Phương trình (1.15), (1.16) gọi phương trình vật chất Mơi trường có , ,  không phụ thuộc vào cường độ trường gọi mơi trường tuyến tính Mơi trường có , ,  số gọi môi trường đồng đẳng hướng Mơi trường có , ,  theo hướng khác có giá trị khơng đổi khác gọi môi trường không đẳng hướng Khi ,  biểu diễn tensor có dạng bảng số Chẳng hạn ferrite bị từ hố plasma bị từ hố mơi trường khơng đẳng hướng truyền sóng điện từ Mơi trường có , ,  phụ thuộc vào vị trí gọi môi trường không đồng Trong tự nhiên đa số chất có  > mơi trường tuyến tính Xecnhec có  >> mơi trường phi tuyến Mơi trường có  > gọi chất thuận từ ví dụ kim loại kiềm, Al, NO, O, N, khơng khí, ebonic, ngun tố đất Mơi trường có  < gọi chất nghịch từ ví dụ khí hiếm, ion Na+, Cl- có lớp electron giống khí hiếm, chất khác Pb, Zn, Si, Ge, S, CO2, H2O, thuỷ tinh, đa số hợp chất hữu Môi trường có  >> gọi chất sắt từ thường mơi trường phi tuyến ví dụ Fe, Ni, Co, Gd, hợp kim nguyên tố sắt từ khơng sắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al Độ từ hố chất sắt từ lớn độ từ hoá chất nghịch từ thuận từ hàng trăm triệu lần Còn vào độ dẫn điện riêng  người ta phân loại môi trường thành ba môi trường môi trường dẫn điện, môi trường bán dẫn môi trường cách điện hay điện mơi Mơi trường dẫn điện có  > 104 1/m,  =  môi trường xem dẫn điện lý tưởng Môi trường chất bán dẫn có 10-10 <  < 104 Mơi trường chất cách điện có  < 10-10,  = môi trường xem điện môi lý tưởng Khơng khí điện mơi lý tưởng có tham số  =  = 1,  = 1.3 Các định luật trường điện từ 1.3.1 Định luật Ohm dạng vi phân Cường độ dòng điện I chạy qua mặt S đặt vng góc với lượng điện tích q chuyển qua mặt S đơn vị thời gian I dq dt (1.17) Dấu trừ dòng điện I xem dương q giảm Để mô tả đầy đủ chuyển động hạt mang điện môi trường dẫn điện, người ta đưa khái niệm mật độ dòng điện     J  n ev  v  E Phương trình (1.18) dạng vi phân định luật Ohm Trong : n0 mật độ hạt mang điện có điện tích e (C)  mật độ điện tích khối  v vận tốc dịch chuyển hạt mang điện  điện dẫn suất mơi trường Dịng điện qua mặt S tính theo: (1.18)     I   dI   JdS   EdS S S S  S I=JS (1.19) E=U/L L Hình 1.1 Vật dẫn đặt điện trường Một vật dẫn dạng hình trụ dài L, hai mặt đáy tiết diện S nối với nguồn áp U hình 1.1, ta có: I   EdS  ES  (L)(EL)  LU  S U R (1.20) Đây dạng thông thường định luật Ohm (lưu ý: áp dụng công thức S = L2 L   ) S L   Vì E dS chiều, ta đặt R   (1.21) RL  điện dẫn suất có đơn vị 1/m Ví dụ: xác định điện trở hình trụ làm đồng có:  = 5,8.107 (1/m); bán kính tiết diện mm; chiều dài km Nếu dòng điện qua dây dẫn 5A xác định mật độ dòng điện; điện áp đặt lên hai đầu dây dẫn cường độ điện trường trường hợp Giải: Ta có điện trở dây dẫn: R Và mật độ dòng điện: J Suy ra: Vậy 1.3.2 Định luật bảo tồn điện tích L 103 = 27   S 5,8.107.2.106 I =0,796.106 A/m2  6 S 2.10 U = I.R = 27.5 = 135 V E = U/L = 0,135 V/m Định luật bảo tồn điện tích Faraday tìm thực nghiệm, xem tiền đề lý thuyết trường điện từ: Tổng điện tích hệ cô lập điện không thay đổi   mn có dạng biểu thức ống dẫn sóng trịn R 2) Điều kiện cộng hưởng Điều kiện cộng hưởng hộp cộng hưởng trụ tròn tìm tương tự hộp cộng hưởng chữ nhật Nghĩa là:  Từ rút được: Lp 2 p  t L t , p  1, 2,3 (5.112) Bước sóng cộng hưởng hay tần số cộng hưởng dạng dao động riêng hộp cộng hưởng trụ trịn tìm từ biểu thức sau:     2      k  p      L   0  2 2 (5.113) Ở χ tính theo (5.51) trường TM(E) (5.57) trường TE(H) Từ ta có bước sóng cộng hưởng dạng dao động riêng: 0    mn ;  mn   p       R   L  2 (5.114) 5.2.4 Hộp cộng hưởng đồng trục xuyên tâm Hộp cộng hưởng đồng trục tạo từ đoạn ống dẫn sóng đồng trục bịt kín hai đầu thành kim loại làm ống dẫn sóng Dạng dao động hộp cộng hưởng đồng trục L>R2-R1 dao động TEM1 Nó có bước sóng cộng hưởng:   TEM1   2L (5.115) Đối với dạng dao động TEMp, p=1, 2, bước sóng cộng hưởng riêng tính từ điều kiện cộng hưởng:  0p  (5.116) 2L p Khi R2-R1>L bước sóng cộng hưởng dạng dao động riêng E010 hộp cộng hưởng đồng trục lại (R2-R1) rõ ràng lớn bước sóng cộng hưởng dạng TEM1 nên trường hợp dạng dao động riêng E010 dạng dao động Trường dao động có số đặc điểm sau: Do m = nên trường khơng phụ thuộc vào góc 152 Do p = nên điện trường có thành phần dọc hướng theo trục z Từ trường có thành phần ngang dạng vòng tròn đồng tâm Do n = nên dọc theo bán kính r có chu kỳ biến thiên điện từ trường Từ đặc điểm dạng E010 ta thấy có đặc tính ngang theo phương bán kính hộp cộng hưởng Hộp cộng hưởng đồng trục trường hợp gọi hộp cộng hưởng xuyên tâm 153 Tóm tắt chương 5- Bài tập chương Tóm tắt chương Mục 5.1 có nội dung : - Giới thiệu sóng định hướng hệ định hướng - Các phương pháp tìm nghiệm hệ định hướng - Các dạng trường kỹ thuật -Tìm phân bố trường hệ định hướng sử dụng thực tiễn : ống dẫn sóng chữ nhật, trụ trịn, cáp đồng trục Mục 5.2 trình bày yếu tố : cấu tạo; loại sóng; tần số cộng hưởng; điều kiện cộng hưởng; hệ số phẩm chất mạch hộp cộng hưởng Câu hỏi ôn tập phần lý thuyết Câu 1: Nêu loại trường ống dẫn sóng thiết diện trịn Câu 2: Nêu loại trường ống dẫn sóng thiết diện hình chữ nhật Câu 3: Trình bày đặc điểm hộp cộng hưởng thiết diện hình chữ nhật Câu 4: Trình bày đặc điểm hộp cộng hưởng thiết diện tròn Câu 5: Trình bày đặc điểm hộp cộng hưởng đồng trục xuyên tâm Bài tập chương Bài 1: Tính biểu diễn lên trục số bước sóng tới hạn bước sóng dạng sóng ống dẫn sóng chữ nhật bên chứa khơng khí có kích thước tiết diện ngang b = 3,6 cm; b = cm, bước sóng hoạt động λ = 4,9 cm với điều kiện λth ≥ 4,2 cm Bài 2: Tính biểu diễn lên trục số khoảng cách Δz dọc theo ống dẫn sóng chữ nhật bên chứa khơng khí trường chỗ mà khoảng cách biên độ trường suy giảm lần Biết kích thước ống dẫn sóng chữ nhật b = 5, cm; a = 6,8 cm, bước sóng hoạt động λ = cm xét với dạng trường có λth ≥ 5,2 cm Bài 3: Tính biểu diễn lên trục số bước sóng tới hạn bước sóng ống dẫn sóng trụ trịn chứa khơng khí cho dạng sóng có λth ≥ 5,8 cm Biết bước sóng cơng tác λ = cm, bán kính ống dẫn sóng trịn R = 4,5 cm Bài 4: Tính biểu diễn lên trục số khoảng cách Δz dọc theo ống dẫn sóng trịn bên chứa khơng khí mà khoảng cách biên độ trường chỗ giảm lần Biết bước sóng hoạt động λ = 12 cm, bán kính ống dẫn sóng R = cm, ứng với trường có λth ≥ 5,8 cm Bài 5: Tính lập bảng bước sóng cộng hưởng riêng hộp cộng hưởng chữ nhật rỗng có kích thước a = 7,2 cm; b = 3,4 cm; L = 10 cm với cácdạng dao động hoạt động có dải sóng có λ ≥ 5,3 cm 154 Bài 6: Xác định số dạng dao động riêng tần số cộng hưởng tương ứng với chúng hộp cộng hưởng trụ tròn rỗng (chứa đầy khơng khí) có kích thước: bán kính R= 7,5 cm; chiều dài L = 10 cm tần số hoạt động f thay đổi từ 1500 MHz đến 300MHz Bài 7: Xác định số dạng dao động riêng chiều dài cộng hưởng tương ứng với chúng hộp cộng hưởng trụ trịn rỗng có kích thước: bán kính R = 7,5 cm; chiều dài L thay đổi từ 7,5 cm đến 15 cm, bước sóng cơng tác λ = 10 cm Bài 8: Xác định độ phẩm chất riêng hộp cộng hưởng chữ nhật rỗng cho dạng dao động riêng H101 bước sóng cộng hưởng Hộp cộng hưởng làm động có độ dẫn điện riêng =5,7 1071/m với kích thước: L = a = 23cm, b = 10cm 155 Phụ lục MỘT SỐ CƠNG THỨC TỐN HỌC I Các cơng thức giải tích vector Vector          a  ax , a y , az   ix a x  iy a y  iz az     b  bx , by , bz   ix bx  i y by  i z bz     c  cx , c y , cz   ix cx  i y c y  i z cz  a.b  a x b x  a y b y  a z b z  i   a  b  ax bx  j ay by  k    az  ix  a y bz  a z by   i y  az bx  ax bz   i z  ax by  a y bx  bz        a.b  a b cos a , b    ab  c    Phương: c  a, b   Chiều: theo qui tắc vặn nút chai     Độ lớn: c  a b sin a , b        a  b  c  b.a.c   c a.b   Toán tử nabla         , ,   x y z  Gradient  U  U  U gradU  .U  ix  iy  iz x y z Divergence a y a z   a diva  .a  x   x y z Rotary  ix    rota    a  x ax  iy  y ay  iz    a z a y    ax az    a y ax   ix       iy     iz  z z  x   z  y  x y  az 156 6.Toán tử Laplace      2   x y z     2 a 2 a 2 a  a 2  x y z 2  Một số đồng thức grad=grad+grad div V = V grad+div V    div[ a b ]= b rot a - a rot b       div rot V =0  rot grad=0 rot rot V =grad div V -2 V    rot V =[grad V ]+rot V    II Các công thức giải tích vector hệ tọa độ cong Tọa độ trụ  U  U  U gradU  .U  r 0  z0 r  z   1 a a diva  .a  arr     z r r r  z        2  r  r r  r  r  z    r0 / r  r0 / r      rota    a  x  z ax a az  2  Tọa độ cầu    U  U  U gradU  .U  r   r r  r sin        a  diva  .a  arr2   a  sin     r r r sin    2           2 r  sin       r r  r  r sin      r sin  2 157  r0 r sin     rota    a  r ar 0  r sin    ra 0  r   r sin  a III Số phức Hàm mũ e z  e x iy  e x cos y  i sin y  Hàm mũ hàm tuần hồn có chu kỳ 2i Thực vậy, ta có Suy e ki  cos 2k  i sin 2k  e z  ki  e z e ki  e z Cơng thức Euler eiy = cosy +isiny Khi số phức z = r ei = r(cos +isin) IV.Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Phương trình vi phân từ trường cấp hai phương trình bậc hàm chưa biết đạo hàm nó: Trong đó: y  a y  a y  f ( x ) (1) a1, a2 f(x) hàm biến độc lập x f(x) =  (1) gọi phương trình tuyến tính f(x)   (1) gọi phương trình tuyến tính khơng a1, a2  const  (1) gọi phương trình tuyến tính có hệ số khơng đổi 1.Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Phương trình vi phân từ trường cấp hai có dạng: y  a y  a y  a1, a2 hàm biến x (2) Định lí Nếu y1 = y1(x) y2 = y2(x) nghiệm (2) y = C1y1 + C2y2 (trong C1, C2 số tuỳ ý) nghiệm phương trình 158 Hai hàm y1(x) y2(x) độc lập tuyến tính tuyến tính y1 x   const , ngược lại phụ thuộc y x  Định lí Nếu y1(x) y2(x) nghiệm độc lập tuyến tính phương trình vi phân từ trường cấp hai (2) y = C1y1 + C2y2 (trong C1, C2 số tuỳ ý) nghiệm tổng quát phương trình Định lí Nếu biết nghiệm riêng y1(x) phương trình vi phân từ trường cấp hai (2) tìm nghiệm riêng y2(x) phương trình đó, độc lập tuyến tính với y1(x) cách đặt y2(x) = y1(x).u(x) 2.Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng Phương trình vi phân từ trường cấp hai phương trình bậc hàm chưa biết đạo hàm nó: y  a y  a y  f ( x ) (3) Trong đó: a1 a2 hàm biến độc lập x; f(x)  Định lí Nghiệm tổng qt phương trình khơng (3) nghiệm tổng quát phương trình (2) tương ứng nghiệm riêng phương trình khơng (3) Định lí Cho phương trình khơng y  a y  a y  f1 ( x )  f ( x ) Nếu y1(x) nghiệm riêng phương trình y  a y  a y  f1 ( x ) y2(x) nghiệm riêng phương trình y  a y  a y  f ( x ) y(x) = y1(x) + y2(x) nghiệm riêng phương trình (4) 3.Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số khơng đổi Phương trình vi phân từ trường cấp hai có dạng: p, q số y  py  qy  Giả sử nghiệm riêng (7) có dạng y  e kx Trong đó: k số xác định Suy 159 (4) (5) (6) (7) (8) y  ke kx , y  k e kx Thay (8) (9) vào (7) ta có Vì ekx  nên (9) e kx k  pk  q   (10) k  pk  q  (11) Nếu k thoả mãn (11) y = ekx nghiệm riêng phương trình vi phân (7) Phương trình (11) gọi phương trình đặc trưng phương trình vi phân (7) Nhận xét: Phương trình đặc trưng (7) phương trình bậc có nghiệm k1 k2 sau - k1 k2 số thực khác nhau, nghiệm riêng phương trình vi phân (7) : y1  e k x , y2  ek x (12)  const (13) Hai nghiệm riêng (12) độc lập từ trường y1  e  k k y2 x Do nghiệm tổng qt phương trình vi phân (7) y  y1  y  C1e k x  C e k x - k1 k2 số thực trùng nhau: k1 = k2 (14) Hai nghiệm riêng độc lập từ trường: y1  e k x , y  xe k x 1 Nghiệm tổng quát phương trình vi phân (7) y  C1e k x  C xe k x  C1  C x e k x 1 - k1 k2 số phức liên hợp: k1 =  + i k2 =  - i (15) Hai nghiệm riêng phương trình vi phân (7) y1  e i x  e x e ix  y2  e  Theo công thức Euler ta có   i x e e x i x e ix  cos x  i sin  x Suy e ix  cos  x  i sin  x 160 (16) (17) y1  e x e ix  e x cos  x  i sin x   y2  e e    x  i x e x cos x  i sin x  (18) Nếu y1 y nghiệm phương trình vi phân (7) hàm y y y1   e x cos  x  y2   y1  y  e x sin  x 2i   (19) nghiệm phương trình vi phân (7) độc lập từ trường y1  tg x  const y2 (20) y  C1e x cos x  C e x sin x  e x C1 cos x  C sin x  (21) Do nghiệm tổng qt phương trình vi phân (7) 161 TT Phụ lục THỨ NGUYÊN ĐƠN VỊ CÁC ĐẠI LƯỢNG CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ TRONG HỆ ĐƠN VỊ QUỐC TẾ Ký hiệu Thứ nguyên đơn vị Viết tắt Khối lượng m kiloogam kg Lực  F Niutơn N Ampe A met m Chiều dài Tên đại lượng Thời gian l t met giây m s Điện tích Q,q Culomb Thế hiệu, điện áp ,V Vol Mật độ điện tích khối V, Culomb/met3 C/ m3 Mật độ điện tích dài l Culomb/met C/ m Dịng điện Vector bán kính Mật độ điện tích mặt Mật độ dòng điện dịch Cường độ điện trường Vector điện cảm Vector phân cực điện Độ điện thẩm tuyệt đối Cường độ từ trường I  r S,  J dich  E  D  Pe  Culomb/met2 C V C/ m2 Ampe/met2 A/ m2 Culomb/met2 C/ m2 Fara/met F/m Vol/met Culomb/met2 Ampe/met V/m C/ m2 A/m Vector từ hóa  H  B  M Vebe/met2; T Ve/m2 Độ từ thẩm tuyệt đối  Vebe Henry/met Ve Vector từ cảm Từ thông Độ dẫn điện riêng Điện trở mặt trở kháng sóng Năng lượng trường Mật độ khối lượng  H/m 1/Ohm.met 1/m W Jun J RS, zC Ohm  W Jun/met3 J/m3   Woat/met2 W/m2  Pe Culomb.met C.m P,Pbx Vận tốc truyến sóng, vận tốc pha v, vph Moment lưỡng cực điện Ve/m2  Công suất trường Vector Poynting Vebe/met2; T 162 Woat met/giây W m/s TT Tên đại lượng Moment lưỡng cực từ Từ tích Ký hiệu Thứ nguyên đơn vị Viết tắt qM Vebe Ve  PM Vebe.met Ve.m Mật độ khối từ tích M Vol/met3 V/m3 Mật độ dòng từ mặt ISM Vol/met V/m Mật độ dòng từ Bước sóng Hệ số sóng  JM  k Vol/met2 met 1/met V/m2 m 1/m Tần số góc  Radian/giây Rad/s Chu kỳ dao động T Giây s Tần số f Hec Hz Hệ số suy giảm  1/met 1/m Độ thấm sâu trường  met m Hệ số pha Góc pha trường Góc đặc Thế vơ hướng điện Thế hướng từ Thế vector điện Thế vector từ Vector Hezt điện Vector Hezt từ  1/met  Đô, Radian e Vol  M  AM  Ae  e  M 163 Steradian Ampe 1/m , rad Ste V A Vebe/met Ve/m Vol.met V.m Culomb/met Ampe.met C/m A.m Phụ lục CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG TẬP BÀI GIẢNG Ký hiệu Tên đại lượng     A , A e , A M , Ax, A, a j , am, a Vector, Vector điện, thành phần vector, số,  B , Bx, B, bm, b Vector từ cảm, , thành phần vector, số, hệ số chuỗi, kích thước vật thể C , Cj  D , D, D, d  E , E, E, ecu, e  F , F(,), f1,2, f g  (2) H , H, H (1) m  x  , H m  x  , h, hj, H0 I, Idc, IS, ISM, i0 , i      J , J dc , J e , J M , Jm(x), j k, kp L, l, l0    M , m , m0, m  Nm(x), nj, n ,n 0, vector đơn vị, hệ số chuỗi, kích thước vật thể Điện dung, số, hệ số điện động Vector điện cảm, thành phần vector, số, khoảng cách Vector cường độ điện trường, thành phần vector, số, sức điện động cảm ứng, điện tích điện tử, số tự nhiên thập phân vơ hạn khơng tuần hồn Lực, hàm đặc trưng hướng, hàm sóng, tần số Hàm nguồn phương trình sóng Vector cường độ từ trường, thành phần vector, hàm Hanken cấp m loại 1, loại 2, chiều cao, hệ số Lame hệ tọa độ, cường độ từ trường từ hóa số Planck Dịng điện dẫn, Dịng điện mặt, Dòng từ mặt, vector đơn vị, số Mật độ dịng điện, dịch, mật độ nguồn ngồi điện từ, hàm Bessel cấp m, dẫn đơn vị ảo Hệ số sóng, số chạy, hệ số sóng phức Chu vi kín, chiều dài, vector đơn vị Vector từ hóa, moment từ nguyên tử, số Hàm Nooiman cấp m, chiết suất môi trường, vector đơn vị pháp tuyến, số Số khơng, góc tọa độ, số ban đầu 164 Ký hiệu Tên đại lượng   Pe , PM , P, p Vector phân cực điện, moment lưỡng cực điện từ, Q, q, qM Điện tích, điện tích thử, từ tích cơng suất trường, số R(r), R, RS, r, r , r , R0, R Hàm số, điện trở, hệ số phản xạ, điện trở mặt riêng, S, S0, S’, S0 Mặt giới hạn, mặt cầu, vector đơn vị, diện tích    vector bán kính, vector đơn vị, tọa độ, biến số, bán kính T, t, t’ Hệ số khúc xạ, chu kỳ dao động, thời gian, biến số  V , V, v, vph Vector vận tốc hạt mang điện, thể tích vận tốc truyền sóng, vận tốc pha U X(x), x ,x  Y(y), y0 , y  Hiệu điện thế, điện áp Hàm, vector đơn vị, tọa độ, biến số Hàm, vector đơn vị, tọa độ, biến số Zn(x), Zc, ZS, Z0 , z Hàm trụ, trở kháng sóng, trở kháng sóng mặt riêng, W, We,M, w, we,M Năng lượng điện, từ trường, mật độ khối lượng điện từ    vector đơn vị, tọa độ biến số Vector Poynting dl Vi phân chiều dài, cung dt Vi phân thời gian dr, dx, dy, dz, dqj Các vi phân tọa độ dS Vi phân diện tích dV Vi phân thể tích l, S, V Các số gia chiều dài, diện tích, thể tích TE(M) Trường từ ngang, hay điện dọc t, W TE(H) Các số gia thời gian, lượng Trường điện ngang, hay dọc từ 165 Ký hiệu Tên đại lượng TEM Trường điện từ ngang , j Hệ số tiêu hao hay suy giảm, góc, hệ số tỷ lệ  Góc  Hệ số pha    e ,  M , (k+1) , r, 0, p,   , r, 0, p,   (t), ,  , M, 0   Vector Hezt điện, từ, hàm Gama Các loại độ điện thẩm, tenxơ độ điện thẩm Các loại độ từ thẩm, tenxơ độ từ thẩm Hàm, thế, góc Tần số vòng dao động, tần số cộng hưởng từ quay, hệ số Góc đặc, đơn vị điện trở Ohm Bước sóng , 0 Độ dẫn điện riêng, diện tích phản xạ tương đương e, m Độ thẩm điện, độ thẩm từ , e Độ thấm sâu trường, góc tiêu hao điện V, S, l Mật độ tích điện khối, mặt, dài , ,  Tọa độ biến số M  0 ,    d, d, d  Mật độ từ khối Vector đơn vị tiếp tuyến, số tiếp tuyến Dấu lấy tổng Dấu tích phân kín Các vi phân theo tọa độ ,  góc đặc Tần số dao động phôtôn 166