Bài soạn giới hạn hàm số

CÁC BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN Vấn đề 1 : Tìm giới hạn của hàm đa thức f(x) tại x = a • Phương pháp : )()(lim afxf ax = → Ví dụ : Tìm các giới hạn sau : a. 1)²3³(lim 1 −=+− → xxx x b. 0)²(lim 0 =− → xx x c. 3)1²(lim 2 =− −→ x x Vấn đề 2 : Tìm giới hạn của hàm phân thức hữu tỷ )( )( xQ xP tại x = a • Phương pháp : )( )( lim xQ xP ax → – Nếu 0)( ≠ aQ thì )( )( )( )( lim aQ aP xQ xP ax = → – Nếu 0)( = aQ và 0)( ≠ aP thì ∞= → )( )( lim xQ xP ax – Nếu 0)( = aQ và 0)( = aP thì )( )( lim xQ xP ax → có dạng 0 0 tính )( )( lim )()( )()( lim )( )( lim xD xC xDax xCax xQ xP axaxax →→→ = − − = Ví dụ : Tìm các giới hạn sau : 1. 3 1 5² lim 1 = + + → x x x 2. ∞= − + → 3 1² lim 3 x x x 3. 1)2(lim 3 )2)(3( lim 3 65² lim 333 =−= − −− = − +− →→→ x x xx x xx xxx 4. 4 1 3 1 lim )3)(1( 1 lim 34² 1 lim 111 −= −− = −−+ + = −−− + −→−→−→ xxx x xx x xxx 5. 2 1 1 12 lim )1)(1( )12)(1( lim 1² 13²2 lim 111 = − + = −+ ++ = − ++ −→−→−→ x x xx xx x xx xxx 6. 6 1 5 2 lim )5)(1( )2)(1( lim 54² 23² lim 111 −= + − = +− −− = −+ +− →→→ x x xx xx xx xx xxx 7. 32)4²)(2(lim 2 )4²)(2)(2( lim 2 16 lim 22 4 2 =++= − ++− = − − →→→ xx x xxx x x xxx 8. 5 7 1 1 lim 5 7 1 = − − → x x x 9. ∞= − − = − −− = − +− →→→ 2 1 lim )²2( )1)(2( lim )²2( 23² lim 222 x x x xx x xx xxx 10. 3 4² 8³ lim 2 = − − → x x x 11. ∞= − ++− = +− − →→ )²1( )1²).(1( lim 12² 1³ lim 11 x xxx xx x xx 12. 5 )22²).(2( lim 2² 42³ lim 22 −= +−+ = + +− −→−→ x xxx xx xx xx Vấn đề 3: Tìm giới hạn tại x = a , của hàm số có chứa căn bậc hai • Phương pháp : Khử dạng vô định 0 0 bằng cách nhân thêm biểu thức liên hợp Cần nhớ : • a – b = ))(( baba −+ • a – b = )².²)(( 333333 bbaaba ++− Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau : 1. )1²1( )1²1)(1²1( lim 1²1 lim 00 ++++ ++++++−+ = ++−+ →→ xxxx xxxxxx x xxx xx 0 2 0 )1²1( ² lim 0 == ++++ − = → xxxx x x 2. )2)(2)(321( )2)(321)(321( lim 2 321 lim 44 +−++ +++−+ = − −+ →→ xxx xxx x x xx 3 4 )321).(4( )2).(4.(2 lim ²)2).(321( )2²).(321( lim 44 = ++− +− = −++ +−+ = →→ xx xx xx xx xx 3. )2).(914( )314).(2²( lim 314 2 lim 22 ++−+ ++−− = −+ +− →→ xxx xxx x xx xx 8 9 )2).(2.(4 )314).(2)(1( lim 2 = ++− ++−+ = → xxx xxx x 4. 2 111 lim 0 = −− → x x x 5. 1 23² 1 lim 1 −= −+ − → x x x 6. [ ] 9 1 )²1(113 lim 3 11 lim 3 3 0 3 0 = −+−+ = −− →→ xxx x x x xx 7. 3 2 23² 1 lim 3 1 −= −+ + −→ x x x 8. 2.2 3 )1²).(1).(21( 1²).(21).(21( lim 1 21 lim 333 33 1 3 1 = ++−++ ++++−+ = − −+ →→ xxxx xxxx x x xx Vấn đề 4: Tìm giới hạn tại vô cực của hàm phân thức hữu tỷ )( )( lim xQ xP x ∞→ ( có dạng ∞ ∞ ) • Phương pháp : Chia tử và mẩu cho bậc cao nhất Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau : 1. 3 2² 15²3 lim = − +− ∞→ x xx x 2. 1 )5)(2( 1² lim = −+ − ∞→ xx x x 3. ∞= − ++− ∞→ 2² 1³ lim x xx x 4. 0 )1).(1³2( )35).(1²3( lim = +− ++ ∞→ xx xx x 5. 2 3 35²2 17²3 lim = +− +− ∞→ xx xx x 6. 3²5 ²22²3 lim 4 + +−+ ∞→ x xxx x = 5 3 7. ∞= + −+ ∞→ 72 1² lim 3 5 x xx x 8. 4 1²4 32² lim = −+ ++ +∞→ xx xx x 9. 3 2 1²4 32² lim −= −+ ++ −∞→ xx xx x 10. 1)234²4(lim −=−+− +∞→ xxx x 11. +∞=−+− −∞→ )234²4(lim xxx x Vấn đề 5 : Tìm giới hạn tại vô cực của hàm số có chứa căn bậc hai • Phương pháp : – Trường hợp 1 : Khử dạng vô định ∞ ∞ bằng cách chia tử và mẩu cho lũy thừa lớn nhất – Trường hợp 2 : Khử dạng vô định ∞−∞ bằng cách nhân thêm lượng biểu thức liên hợp • Cần nhớ : x → + ∞ thì x = ²x x → – ∞ thì x = – ²x Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau : 1. 2 ² 11 1 4 1 ² 1 1 lim ² 1² ² 4²1² lim 1² 4²1² lim = +− −++ = +− −++ = +− −++ ∞→∞→∞→ xx xx x xx x xxx xx xxx xxx 2. )3²( )3²)(3²( lim)3²(lim xxx xxxxxx xxx xx −+− −+−++− =++− −∞→−∞→ xxx xxx x −+− −+− = −∞→ 3² ²3² lim 2 1 )1 ² 31 1( ) 3 1( lim 3² 3 lim = ++−− −− = −+− +− = −∞→−∞→ xx x x x xxx x xx 3. xxx x xxx xxxxxx xxx xxx +− − = +− +−−− =−− +∞→+∞→+∞→ 4² 4 lim 4² )4²)(4²( lim)4²(lim = 2 )1 4 1( 4 lim −= +− − +∞→ x x x x 4. 1 1 ² lim −= + − −∞→ x xx x 5. 1 1 ² lim = + − +∞→ x xx x 6. )4²).(3(lim xxx x −++ +∞→ ( dạng ∞ .0 ) đs : 2 7. [ ] 4 7 27²4lim −=++ −∞→ xxx x HÀM SỐ LIÊN TỤC Vấn đề 1 : Xét tính liên tục của hàm số tại điểm 0 x : Phương pháp : Cần kiểm tra 3 điều kiện – Tính )( 0 xf – Tính )(lim 0 xf xx→ – So sánh )(lim 0 xf xx → = )( 0 xf Ví dụ : Xét tính liên tục của hàm số : 1.f(x) = 2 1 − + x x tại x = 1 , x = 2 Tại x = 1 : Ta có : f(1) = – 2 2 2 1 lim)(lim 11 −= − + = →→ x x xf xx )(lim 1 xf x → = f(1) Vậy f(x) liên tục tại x = 1 Tại x = 2 thì f(x) không xác định Vậy f(x) không liên tục tại x = 2 2.f(x) =      ≤+ > − −− 132 1 1 12²3 xkhix xkhi x xx Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 Tacó : f(1) = 5 4 1 )13)(1( lim 1 12²3 lim 11 = − +− = − −− ++ →→ x xx x xx xx 5)32(lim 1 =+ − → x x Không tồn tại )(lim 1 xf x → Vậy f(x) không liên tục tại x = 1 3. f(x) =      ≠ +− − = 2 23² )2(2 22 xkhi xx x xkhi Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 2 Ta có : f(2) = 2 2 )2)(1( )2(2 lim 23² )2(2 lim)(lim 222 = −− − = +− − = →→→ xx x xx x xf xxx )(lim 2 xf x → = f(2) Vậy f(x) liên tục tại x = 2 4. f(x) =      ≠ − −+− = 1 1 22²³ 14 xkhi x xxx xkhi Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 ( f(x) không liên tục tại x = 1 ) 5.f(x) =      > − ≤+ 1 3² 1 11 xkhi xx xkhix Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 ( f(x) không liên tục tại x = 1 ) 6.        ≠ − −− = = 2 2 321 21 )( xkhi x x xkhi xf Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 2 ( f(x) liên tục tại x = 2 ) 7.        ≠ − = = 0 ²sin cos1 0 4 1 )( xkhi x x xkhi xf Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 0 ( f(x) liên tục tại x = 0 ) 8.Cho các hàm số f(x ) sau , có thể gán cho f(1) giá trị để f(x) liên tục tại x =1 a. f(x) = 1 23² − +− x xx Ta có : 1 1 )2).(1( lim 1 23² lim)(lim 111 −= − −− = − +− = →→→ x xx x xx xf xxx Để f(x) liên tục tại x =1 thì gán f(1) = –1 Vậy f(x) =      −=− −≠ − +− 11 1 1 23² xkhi xkhi x xx b. f(x) = 1 1 − x Ta có : +∞= − = ++ →→ 1 1 lim)(lim 11 x xf xx −∞= − = −− →→ 1 1 lim)(lim 11 x xf xx Nên f(x) không có giới hạn tại x = 1 Vậy không thể gán giá trị cho f(1) để f(x) liên tục tại x = 1 9.Định a để f(x) liên tục tại x = x 0 a. f(x) =      = ≠ − − 2 2 2 4² xkhia xkhi x x Định a để f(x) liên tục tại x = 2 b. f(x) =      ≤+ > − −− 12 1 1 12²3 xkhiax xkhi x xx Định a để f(x) liên tục tại x =1 ( a = 2 ) c.f(x) =        ≥ + − + <≤− +−− 0 2 4 01 11 xkhi x x a xkhi x xx Định a để f(x) liên tục tại x = 0 Ta có : f(0) = a + 2 1 11 2 lim 11 lim)(lim 2) 2 4 (lim)(lim 000 00 −= ++− − = +−− = += + − += −−− ++ →→→ →→ xx x xx xf a x x axf xxx xx ⇒ f(x) liên tục tại x = 0 , khi và chỉ khi : f(0) = )(lim 0 xf x + → = − → 0 lim x ⇔ a = – 3 Vậy a = –3 thì f(x) liên tục tại x = 0 d. f(x) =        ≥ + + < − 0 1 0 2sin. 4cos1 xkhi x ax xkhi xx x Định a để f(x) liên tục tại x = 0 ( a = 2 ) e. f(x) =        = ≠ −− 0 4 1 0 42 xkhi xkhi x x Chứng minh f(x) liên tục tại x = 0 Vấn đề 2:Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) f(x) gián đoạn tại x 0 ⇔ f(x) không liên tục tại x 0 • Phương pháp : f(x) gián đoạn tại x 0 khi : – hoặc f(x) không xác định tại x 0 – hoặc không tồn tại )(lim 0 xf xx → – )(lim 0 xf xx → ≠ f( x 0 ) Ví dụ :Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) 1. f(x) = 2 12 − + x x Tại x = 2 thì f( x ) không xác định Vậy f(x) gián đoạn tại x = 2 2. f(x) =      ≠ +− − =− 2 23² )1(2 22 xkhi xx x xkhi f(x) xác định ∀ x ∈ R { 1;2 } f(x) là hàm hữu tỉ ⇒ f(x) liên tục ∀ x ∈ R { 1;2 } • Khi x ≠ 1 : Ta có f(x) = 23² )1(2 +− − xx x = 2 2 )2).(1( )1(2 − = −− − xxx x ⇒ f(x) không xác định tại x = 2 ⇒ f(x) gián đoạn tại x = 2 • Khi x =1 : Ta có f(1) = – 2 2 )2).(1( )1(2 lim 23² )1(2 lim)(lim 111 −= −− − = +− − = →→→ xx x xx x xf xxx ⇒ )(lim 1 xf x → = f(1) ⇒ f(x) liên tục tại x = 1 Vậy f(x) chỉ gián đoạn tại x = 2 Vấn đề 3 : Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên toàn trục số : • Phương pháp : Sử dụng định lí Các hàm đa thức , hàm số hữu tỷ , hàm số lượng giác thì liên tục trên tập xác dịnh của chúng Ví dụ : Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R : 1. f(x) = 3x 4 –2x ³ + x² – 3x + 2 Ta có : f(x) = 3x 4 –2x ³ + x² – 3x + 2 là hàm đa thức Vậy f(x) liên tục trên R 2. f(x) = 1 24² − +− x xx TXD : D = R { 1 } Ta có : f(x) = 1 24² − +− x xx là hàm hữu tỷ Vậy f(x) liên tục trên D = R { 1 } 3. f(x ) = 2² 12²3 + ++ x xx liên tục trên R 4. f(x) = x 1 liên tục trên R { 1 } 5.f(x) =      =− ≠ − ++− 23 2 2 6²4³ xkhi xkhi x xxx Vấn đề 4: Xét tính liên tục của hàm số f(x) cho bởi các biểu thức giải tích trên trục số : • Phương pháp : – Tìm “ điểm nối ” a giữa hai công thức – Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên hai khoảng (– ∞ ; a ) và ( a ; + ∞ ) – Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = a Ví dụ :Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R : 1. f(x) =      = ≠ − +− 2 2 2 65² xkhia xkhi x xx • x ≠ 2 thì f(x) = 2 65² − +− x xx liên tục ∀ x ≠ 2 • x = 2 , Ta có : f(2) = a 1 2 )3.(2( lim 2 65² lim)(lim 222 −= − −− = − +− = →→→ x xx x xx xf xxx – Nếu a = –1 thì f(2) = )(lim 2 xf x → nên f(x) liên tục tại x = 2 – Nếu a ≠ 1 thì f(2) ≠ )(lim 2 xf x → nên f(x ) không liên tục tại x = 2 Vậy a = – 1 thì f(x) liên tục trên R a ≠ 1 thì f(x) liên tục trên ( – ∞ ; 2 ) và ( 2 ; + ∞ ) 2. f(x) =      ≥+ < − +− 32 3 3 127² xkhibx xkhi x xx • Với x < 3 thì f(x) = 3 127² − +− x xx là hàm phân thức hữu tỷ ⇒ f(x) liên tục trên khoảng ( – ∞ ; 3 ) • Với x > 3 thì f(x) = 2x + b là hàm đa thức ⇒ f(x) liên tục trên khoảng ( 3 ; + ∞ ) • Tại x = 3 , ta có f(3) = 6 + b 1 3 )4).(3( lim 3 127² lim 6)2(lim 33 3 −= − −− = − +− +=+ −− + →→ → x xx x xx bbx xx x – Nếu 6 + b = –1 ⇔ b = – 7 thì + → 3 lim x = − → 3 lim x = f(3) nên f(x) liên tục tại x = 3 – Nếu 6 + b ≠ –1 ⇔ b ≠ – 7 thì + → 3 lim x ≠ − → 3 lim x nên f(x) không liên tục tại x = 3 Vậy b = – 7 thì f(x) liên tục trên R b ≠ – 7 thì f(x) liên tục trên khoảng ( – ∞ ; 3 ) và ( 3 ; + ∞ ) 3.f(x) =        > − −+ ≤+ 2 2 223 2 4 1 3 xkhi x x xkhiax a = 0 thì f(x) liên tục trên R a ≠ 0 thì f(x) liên tục trên khoảng ( – ∞ ; 2 ) và ( 2 ; + ∞ ) Vấn đề 5: Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm x 0 ∈( a ; b ) • Phương pháp : – Chứng minh f(x) liên tục trên [ a ; b ] – Chứng minh f(a).f(b) < 0 Ví dụ : 1.Chứng minh phương trình : x³ – 3x +1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt Giải Đặt f(x) = x³ – 3x + 1 thì f(x) liên tục trên R Ta có : 0-3f(2).f(1) 1 f(1) 3 f(2) <=⇒    −= = thì ∃ x 1 ∈( 1 ; 2 ) : f( x 1 ) = 0 0-3f(1).f(-1) 3 f(-1) 1- f(1) <=⇒    = = thì ∃ x 2 ∈( – 1 ; 1 ) : f( x 2 ) = 0 0-3)f(-1).f(-2 1- f(-2) 3 f(-1) <=⇒    = = thì ∃ x 3 ∈( –1 ;– 2 ) : f( x 3 ) 0 Vậy phương trình : x³ – 3x +1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt 2. Chứng minh phương trình : 2x 4 + 4x² + x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc ( -1 ; 1 ) Giải Đặt f(x) = 2x 4 + 4x² + x – 3 thì f(x) liên tục trên R Ta có : 0-12f(1).f(0) 3 f(0) 4 f(1) <=⇒    −= = thì ∃ ít nhất x 1 ∈( 0 ; 1 ) : f( x 1 ) = 0 0-6f(0).f(-1) 2 f(-1) 3- f(0) <=⇒    = = thì ∃ ít nhất x 2 ∈( 0 ;– 1 ) : f( x 2 ) = 0 Vậy phương trình : 2x 4 + 4x² + x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc ( -1 ; 1 ) 3.Chứng minh phương trình : x 17 = x 11 + 1 có nghiệm Giải Đặt f(x) = x 17 – x 11 – 1 thì f(x) liên tục trên R Ta có : 0f(0).f(2) 0 f(2) 1- f(0) <⇒    > = thì ∃ ít nhất x 1 ∈( 0 ; 1 ) : f( x 1 ) = 0 Vậy phương trình : x 17 – x 11 – 1 = 0 có nghiệm 4.Chứng minh phương trình : x 5 –3x = 1 có ít nhất một nghiệm thuộc ( 1 ; 2 ) ( f(1).f(2)< 0 ) 5.Chứng minh phương trình : m( x – 1)³.( x + 2 ) + 2x + 3 = 0 luôn có nghiệm ( f(1).f( – 2) < 0 ) . CÁC BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN Vấn đề 1 : Tìm giới hạn của hàm đa thức f(x) tại x = a • Phương pháp : )()(lim afxf ax = → Ví dụ : Tìm các giới hạn sau :. : Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên toàn trục số : • Phương pháp : Sử dụng định lí Các hàm đa thức , hàm số hữu tỷ , hàm số lượng giác thì liên tục