Bat Dang Thuc Hay

Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học thì bài toán bất đẳng thức là bài toán khó nhất trong đề thi mặc dù chỉ cần sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản trong Sách giáo khoa nhưng học sinh vẫn [r]

(1)

Nguyenthang.3301@yahoo.com Page BẤT ĐẲNG THỨC

Dạng 1: Tìm GTNN- GTLN

Cách 1: Ta dùng BĐT trị tuyệt đối |A| Khi sử dụng trị tuyệt đối ta tìm |A|= B => - B ≤|A|≤B, lúc GTNN= -B GTLN= B

Cách 2: Ta dùng phương pháp “ tìm tập giá trị hàm số ” Cách 3: Ta dùng “kĩ thuật chọn điểm rơi”

Cách 4: Ta dùng “ Đạo hàm”

Dạng 2: C/m BĐT có kèm điều kiện:

Khi gặp cm BĐT có kèm điều kiện giả thiết khơng q đơn giản ( giả thiết đơn giản như: abc=1,a+b+c=1…)

Cách 1: Sử dụng phương pháp đồng bậc cho có bậc khơng Nhân hai vế giả thiết vào hai vế bdt cần chứng minh hay ẩn, số ẩn khác có số bậc khác cho cuối ẩn có bậc Hoặc sử dụng “kĩ thuật

chọn điểm rơi” để cân bậc Rùi dễ dàng cm hơn, với cách cần ý khi

nhân điều kiện vào có đồng bậc hay không????

Cách 2: Ta sử dụng hệ gồm phương trình giả thiết( giả thiết rắc rối) phương trình bất đẳng thức quen thuộc cho hai p/trình co nét tương đồng Sau ta cộng hai p.trình thành p.trình Và suy giả thiết (Sáng tạo giả thiết) để dễ chứng minh Đối với cách khó, khó chỗ suy nghĩ phương trình để sử dụng làm hệ

(2)

Nguyenthang.3301@yahoo.com Page Một số Bất đẳng thức phụ

1 a b c, , 0

9( )( )( ) 8( )( )

2 2 2 2 2 2 6

a b b c c a a b c ab bc ca a b a c b c b a c b c a abc

       

      

Áp dụng 9

( )( )( ) 8( )

a b c

a b b c c a ab bc ca

  

    

2 a b c, , 0

( )( )

0 2 2

a a b a c a bc cyc

  





3. a b c, , 0

2

(abbcca) 3abc a(  b c)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(abbcca) a b b c c a 2ab c2bc a2a bc

2 2 2

3(ab c bc a a bc) 3abc a( b c)

(3)

Nguyenthang.3301@yahoo.com Page PHƢƠNG PHÁP TÌM TẬP GIÁ TRỊ HÀM SỐ

Như nói tới “pp tìm tập giá trị hàm số” pp mà cũ Mà lại khó sử dụng Các bạn đọc suy ngẫm nhé!!!!

1 Tìm gtnn & gtln M=

2 2 4 y x xy y x    

HD: - y=0 M=-4 (*)

- Nếu y≠0 chia tử mẫu cho y^2 ta M=

1 4 2                 y x y x y x

Đặt t= x/y bdt  M=

1 4 2     t t t ( )

Do p.trình có nghiệm t nên ta có: ∆’= 9-(M-4)(M+4)≥0

 ≤25

 -5<M<5(**)

Từ (*) (**) => gtnn -5 gtln Tìm gtnn gtln N=

2 2 y x xy x  

HD: xét x=0 x≠0, với x≠0 ta chia tử mẩu cho x^2 Cho x2y2 =1 Tìm gtnn gtln P= 2

2 2 ) ( y xy xy x     (B08)

HD : Ta thấy mẫu chưa đồng bậc có số 1, nên ta sử dụng giả thiết x2y2 =1 vào số để có bdt đồng bậc rùi làm bình thường

4 Cmr: thoả mãn x(x+y+z)=3yz ta có:

3 3 ) ( ) )( )( ( ) ( )

(4)

Nguyenthang.3301@yahoo.com Page

KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Mình xin mạng phép copy phần tác giả phần tác giả khơng phải

I BÀI TOÁN MỞ ĐẦU Bài toán Cho ,

1 a b a b

 

  

 , tìm GTNN 2

1

2 P

ab

a b

 



Giải

Ta có: 21 2 2 2 2

2ab ( )

a b   a  ab b  ab 

Dấu “=” xảy

1

1 Min 4

1

2 a a b

P x y

a b

b    

 

     

 

  

 Bài toán Cho ,

1 a b a b

 

  

 , tìm GTNN 2

1

2

P

ab

a b

 

 

Giải

Lời giải 1 Ta có: 21 2 2 2 42

2

1 ( )

P

ab

a b a ab b a b

     

      

Dấu “=” xảy

2 2

1 ( ) 1 0(vô nghiệm)

1

a b ab a b

a b a b

       

 

 

   

 

  Vậy không tồn

(5)

Lời giải Ta có:

2 2 2

1 1 4

6 3

1 ( )

P

ab ab ab ab

a b a ab b a b ab

      

       

Mặt khác

2 1

2

a b ab   

  Vậy 2

4

3

2

P

a b a b

  

 

   

    

   

Dấu “=” xảy

2

1

a b ab

a b a b

a b

   



    

   

Lời bình: Bài tốn tốn gần tương tự nhau, áp dụng bất đẳng thức

1

a  b ab Lời giải sai? Lời giải lại tách

1 1

2ab 6ab3ab? ? Làm nhận biết điều đó…? Đó kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Và qua chuyên đề hiểu sâu kỹ thuật “chọn điểm rơi” việc giải toán cực trị

II LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Có thể nói tằng tốn bất đằng thức nói chung tốn tìm GTNN, GTLN nói riêng trong nhửng toán quan tâm đến nhiều kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học,…và đặc biệt với xu hước đề chung Bộ GD – ĐT Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học tốn bất đẳng thức tốn khó đề thi cần sử dụng số bất đẳng thức Sách giáo khoa học sinh gặp nhiều khó khăn số sai lầm thói quen lời giải tốn mở đầu ví dụ Để giúp học sinh hiểu sâu toán cực trị đặc biệt trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, viết chuyên đề “Chọn điểm rơi giải toán bất đẳng thức”

III NỘI DUNG

1 Bổ túc kiến thức bất đẳng thức

a) Tính chất bất đẳng thức

Định nghĩa: a   b a b

 a b a c

b c  

   



(6)

 a b a c b d

c d  

     



 a b 1

a b    

b) Một số bất đẳng thức

 Bất đẳng thức Cauchy

Cho n số thực không âm a a1 2, , , (a nn 2) ta ln có

1

1 n n

n

a a a

a a a n

   

Dấu “=” xảy a1 a2  an

 Một vài hệ quan trọng:

 1 2

1

1 1

( n) với i 0, 1,

n

a a a n a i n

a a a

 

          

 



1 2

1 1 với 0, 1,

i

n n

n

a i n

a a   a  a a  a   

 Cho 2n số dương (nZ n, 2): a a1 2, , , , , , ,a b bn 1 2 bn ta có: n( 1 1)( 2 2) ( ) n 1 2 n 1 2

n n n n

a b a b a b  a a a  b b b

 Bất đẳng thức BCS

Cho 2n số dương (nZ n, 2): a a1 2, , , , , , ,a b bn 1 2 bn ta có:

(a b1 1a b2 2 a bn n)2 (a12a22  an2)(b12 b22 bn2)

Dấu “=’ xảy

1

(quy ước 0) n

i i

n a

a a

b a

b b b

      

 Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ)

Cho hai dãy số a a1 2, , , , , , với an b b1 2 bn bi   0 i 1,n ta luơn cĩ:

2

1

1 2

( )

n n

a a a a

a a

b b b b b b

  

   

   Dấu “=’ xảy

1

n n a

a a

b b b

   

2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

(7)

 01 20 0 20 0 0

1 2

( , , , ) ( , , , ) Max

( , , , ) : ( , , , )

n n

D

n n

f x x x M x x x D

f M

x x x D f x x x M

  



  

  



 01 20 0 20 0 0

1 2

( , , , ) ( , , , ) Min

( , , , ) : ( , , , )

n n

D

n n

f x x x m x x x D

f m

x x x D f x x x M

  

   

  



3 Phương pháp chọn điểm rơi

Nhận xét: Các bất đẳng thức đề thi đại học thông thường đối xứng với biến, ta dự đoán dấu xảy ta biến xảy biên

a) Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy Sử dụng hệ (1) (2)

Bài Cho , a b a b

 

  

 , tìm GTNN biểu thức 2

1 1 4

P ab

ab

a b

  



Sai lầm thường gặp:

Sai lầm 1: Ta có :

2 2 2

1 1 4 4 4

2 2 ( )

P ab ab ab

ab ab ab ab

a b a b ab a b

 

          

     

Mặt khác 4 2

2ab ab 2ab ab  Vậy P 4 2 nên MinP2(2 2)

Sai lầm 2:

2 2

1 4 1 2 1 4 2 6

4 ( ) 4

P ab ab

ab ab ab ab ab ab ab

a b a b

 

           

   

Dấu xảy

2

1

16

1

a b ab

a b a b

a b

  

 

     



  

Thay

2

a b vào ta P7

7 MinP

 

2 a b

(8)

Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách 1

2

ab  ab ab thói quen

để làm xuất a2b2 2ab (a b)2 2

1 a b

MinP ab VN

ab a b

  

     



  

Dấu “=”

bất đẳng thức không xảy  không kết luận MinP 4 2

Sai lầm 2: Học sinh có khái niệm điểm rơi, dự đốn dấu

a b nên tách số hạng MinP7

2

a b đúng, bước cuối học sinh làm sai ví dụ

(1x)  x x, dấu xảy x1Min(x1)2x1??

Lời giải đúng: Do P biểu thức đối xứng với a b, , ta dự đoán MinP đạt

a b , ta có:

2 2

1 4 1 2 1 7

2 4 ( )

4

P ab ab

ab ab ab ab

a b a b a b

 

        

      

 

 

Dấu xảy

2

2 2

1

16

1

a b ab

a b a b

a b

  

 

    



  

Bài Cho , a b a b

 

  

 , tìm GTNN biểu thức 3 2

1 1

S

a b a b ab

  



Ta có: 31 3 12 2 22 2 3 3 92 2 12 12

3

3 3 3

S

a b a b ab a b ab a b a b ab a b ab

 

         

(9)

3

9 1 1. 9 . 59

3

( )

3

ab a b a b

a b a b

 

      



     

 

 

59 MinS 

Nguyên nhân sai lầm:

3 3

59 ( )

3

1

a b a b

MinS a b vn

a b    

   

   

Lời giải

Ta dự đoán dấu xảy

a b , ta thấy a3 b3 3a b2 3ab2  (a b)3

ta muốn xuất (a b )3; ta áp dụng bất đẳng thức 31 3 12 2

2

a b  a b ab vậy:

3 2

1 1

2 ( ) ( )

a b  a b ab  ab ab ab , ta không đánh giá tiếp ta phải áp dụng bất đẳng thức cho số:

3 2 2 3

3

1 1 1 25 25 20

2 2 ( ) ( ) ( ) ( )

4 S

a b a b ab a b ab a b ab a b a b

a b

       

      

Dấu xảy a b

Bài Cho

, , 1 x y z

x y z  



   

 Tìm GTLN

1 1

2 2

P

x y z x y z x y z

  

     

Sai lầm 1: Ta có

1 1 1 1 1 1 1 10

9 9 18

P

x y z x y z x y z x y z

       

                

(10)

Nguyenthang.3301@yahoo.com Page 10 10

9 MaxP

 

Sai lầm 2:

3 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 10

3 3 3

3 3

P

x y z x y z x y z

xyz x yz xy z

     

               

     

Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm rơi

2

10 ( )

2

1 1 x y z y x z

MaxP z x y vn

x y z   

  



   



    

, tức không tồn ( , , ) : 10 x y z D P

Lời giải đúng: Từ hai lời giải với dự đoán MaxP đạt

x  y z nên tách số 2x x xra cho dấu xẩy

Cách 1: Ta có 1 1 1

2x y z x x y z 16 x x y z

 

      

      , tương tự ta có:

1 1 1 1

16 P

x y z x y z x y z

     

            

     

  , MaxP 1

4 x  y z

Cách 2: Ta có

2

1

2

2 4

x y z x x y z x x y z

x y z x yz

        

  , mặt khác:

4 1 1 1 1 1 1

4 16

x x y z x x y z x y z x y z

   

          

 

   , tương tự ta có:

1 .4 1 1 16

P

x y z

 

    

  Dấu “=” xảy

1

x  y z , suy ra:

1

MaxP

(11)

Nguyenthang.3301@yahoo.com Page 11 Cho

, , 1 x y z

x y z  



   

 Tìm GTLN

1 1

P

x y z x y z x y z

        

  

     

Với   , , N : Cách làm tương tự 3, ta tách

soá

,

x x x x



     Nếu , , R

    

, tốn có cịn giải khơng? Câu trả lời dành cho độc giả phần sau” Kỹ thuật chọn điểm rơi BCS”

Bài Cho , , a b c

a b c  

   

 Chứng minh rằng:

3a2b3b2c3c2a 3 33

Sai lầm thương gặp:

Ta có: 31.1( ) 1 ( ) 2

3

a b a b

a b        , tương tự ta có:

3 2 2 2 2 2 2 5

3 3

a b b c c a

a b b c c a           ,

mà 3  đề sai ? ?

2

5, vaäy =5 ( )

2

3

a b

b c

P VT MaxP vn

c a

a b c

 



   

   

 



    

, P5

Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” bất đẳng thức xảy a  b c Vậy ta áp dụng Cauchy cho ba số a2 ,3,3b ta có:

3

3 3

1 3 ( )

2 3.3( )

3

9 9

a b a b

a b  a b        , tương tự ta có:

3

3 3

6 6 3 3

3 9

a b b c c a

P          , dấu xảy a  b c

Bài Cho , , x y z xyz

 

 

 , chứng minh rằng:

2 2 3

1 1

x y z

y  z  x 

  

(12)

Nguyenthang.3301@yahoo.com Page 12

Sai lầm 1: P

2 2

3 ( )

3

1 1 (1 )(1 )(1 )

x y z xyz

y z x y z x

      , mặt khác

1

y y

z z

x x

          

, suy

ra:

(1 y)(1z)(1 x) xyz 8 Vậy

P , dấu “=” xảy x  y z

Ở sai lầm 1: Học sinh quên tính chất bất đẳng thức: a b 1 a b    

Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” xảy x  y z Vì áp dụng Cauchy cho

1 x

y 

1 y  

:

2 1 1 2

4

1

x y

y   



    



Ta có:

2

1

1 ( ) 1( ) 3( ) 3

1 4 4

1

x y

y z

y P x y z x y z x y z

z

z x

 

 

  

 

               

  

 

 

  

(13)

Nguyenthang.3301@yahoo.com Page 13 BÀI TẬP TỔNG HỢP

1/ Cho a,b,c số không âm

a b b a b a b a      ) (

2/ Cho a≥1; b≥1 C/m a b1b a1ab

3/ Cho x>y, x.y=1 C/m: 2 2    y x y x

4/ Cho a,b,c≥0 C/m: ( ) ( ) ( ) 4( ) 2 c b a b a c a c b c b

a       

5/ Cho a,b,c cạnh tam giác C/m; a abc(abc)(abc)(bca)

b a b c a c b c a c b b a c b

a   

         2

6/ Cho a>c, b>c, c>0 C/m: c(ac) c(bc)  ab

7/ Cho a,b,c,d≥0 C/m:1≤ 2

         

 d a b

d a d c c d c b b c b a a

8/ Cho a,b,c cạnh tam giác C/m: 2

   

 b a

c a c b c b a

9/ Cho a,b > C/m: 2 2 2

) ( 4 b a ab a

b    

10/ Cho a,b,c.>0

c b a c b a c b a c b

a         2  4 1

11/ Cho a,b,c cạnh tam giác C/m:

(14)

Nguyenthang.3301@yahoo.com Page 14 12/ Cho a,b,c,d > C/m:

4             a d d b d c c a c b d b b a c a

13/ Cho a,b,c > C/m:

a     

 a b

c c a b c b a

b

2

2     

 a b

c a c b c b a

14/ Cho a,b >0 a+b=1 C/m: 2 2 6

 

b a

ab C/m

15/ Cho a,b ≥0 a+b≤1 C/m: 2 2 14

 

b a ab

16/ C/m: abc

a c c b b a 4   

17/ (abc)2 3(a2b2c2)

18/ Cho x>0, y>0 thoả x3 y3 xy Cmr: x2  y2 1

19/ Cho a,b,c khác Cmr:

a c c b b a a c c b b a      22 22

2

20/ 1x2  7x2 1

21/ Cho x y 1 Cmr: x2  y2 2

22/ Cho x  y 2 Cmr: x4  y4 x3 y3

23/ Cho x y z 3 Cmr: x4 y4 z4  x3 y3 z3

24/ Cho x2  y2  x y Cmr: x y2

25/ Cho xy1 Cmr: x2  y2 x y

26/ Cho x2  y2 x Cmr: y(x1)1

(15)

Nguyenthang.3301@yahoo.com Page 15 28/ Cho a,b,c>0 Cmr:

2

c b a a c

ca c b

bc b a

ab   

    

29/ Cho a,b,c 0;2và abc3 Cmr: a2b2c2 5 IV_Tổng hợp câu BĐT thi ĐH,CĐ

30/

31/

3 /

33/

34/

35/

(16)

Nguyenthang.3301@yahoo.com Page 16 37/

38/

39/

40/

41/

42/

43 Cho x, y, z biến số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

3 3 3 3

3

2 2

x y z P 4(x y ) 4(x z ) 4(z x )

y z x

 

          

 

44/ Cho a, b số dương thỏa mãn ab + a + b = Chứng minh:

2 b a b a

ab a

b b

a

3   2

   

(17)

Nguyenthang.3301@yahoo.com Page 17 45/

46/

47/

48/

49/

Cmr

(18)

Nguyenthang.3301@yahoo.com Page 18 CÁC BĐT KHÓ CÓ GIẢI COPY ThS Cao Quốc Duy

1 Cho a b c, , 0 CMR

3 3 3

2. 3

2 2 2

3

a b c ab bc ca

abc a b c

     

 

Cách (SOS)

Ta sử dụng hai đẳng thức sau

3 3 3 3 1( )[( )2 ( )2 ( ) ]2 2

a b c  abc a b c a b  b c  c a

2 2 2 1[( )2 ( )2 ( ) ]2 2

a b c ab bc ca a b  b c  c a

Suy

2 2 2

( ) ( ) ( )

2. 2

2 2 2 2 2 2

ab bc ca a b b c c a

a b c a b c

        

   

3 3 3 1

2 2 2

2. 3 [( ) ( ) ( ) ]

2 2 2 2 2 2

3 6

a b c ab bc ca a b c

a b b c c a

abc a b c abc a b c

 

     

           

     

Vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1

2 2 2

[( ) ( ) ( ) ] 0

2 2 2

6

a b c

a b b c c a

abc a b c

   

       

 

 

Ta cần chứng minh

1 2 2 2

0 ( )( ) 6

2 2 2

6 a b c

a b c a b c abc

abc a b c

         

 

(19)

Nguyenthang.3301@yahoo.com Page 19 Cách (AM-GM, BCS phối hợp bđt ngược chiều )

3 3 3 ( 3 3 3)( )2

3

2. 3

2 2 2 2 2 2 2

3 3 ( )

a b c ab bc ca a b c ab bc ca

abc a b c abc a b c

         

   

Ta chứng minh

3 3 3 2

( )( ) 3 3 3 2 2 2 2 2

1 ( )( ) 3 ( ) (*)

2 2 2 2

3 ( )

a b c ab bc ca

a b c ab bc ca abc a b c

abc a b c

            

 

Thật

3 3 3 2 2 2 2

( )( ) ( )

BCS

a b c a b c  a b c

2

( ) 3 ( )

AM GM

ab bc ca abc a b c



    

2 (Bài tương tự- KC 51)

3 3 3

9. 12

2 2 2

a b c ab bc ca

abc a b c

     

 

Cách (SOS)

Ta sử dụng hai đẳng thức sau

3 3 3 3 1( )[( )2 ( )2 ( ) ]2 2

a b c  abc a b c a b  b c  c a

2 2 2 1[( )2 ( )2 ( ) ]2 2

a b c ab bc ca a b  b c  c a

(20)

3 3 3 ( )[( )2 ( )2 ( ) ]2

3

2

a b c a b c a b b c c a

abc abc

          

2 2 2

9 ( ) ( ) ( )

9. 9 .

2 2 2 2 2 2 2

ab bc ca a b b c c a

a b c a b c

        

   

3 3 3

9.

2 2 2

9

2 2 2

12 [( ) ( ) ( ) ]

2 2 2

2 2( )

a b c ab bc ca

abc a b c

a b c

a b b c c a

abc a b c

   

 

 

   

 

       

   

 

Ta cần chứng minh

9

0

2 2 2

2 2( )

a b c

abc a b c

   

 

2 2 2

(a b c a)( b c ) 9abc

     

Bất đẳng thức cuối (AM-GM) 1.Cho a, b c >0 abc =1 Tìm GTNN

2 2

a b c

P

b c c a a b

  

  

2 2

2 2( ) 2( ) 2( )

( ) ( )

3 9

a b c b c a c a b

P a b c a b c

b c c a a b

  

           

  

3

2

( )

3

P a b c abc

     

2.Bài tương tự (Iran Mo 1998) Cho Cho a, b, c, d >0 thỏa abcd= C/m

3 3

a   b c d    a b c d Giải

(21)

Nguyenthang.3301@yahoo.com Page 21 3 3

8 3( )

a   b c d   a b c d  

Ta có abcd      1 a b c d 3 3

3( ) 2.4 3( ) 2( )

a b c d a b c d a b c d a b c d

                

3. Cho ba số a b c, , [0,1] Tìm GTLN TGNN

1 1

a b b c c a P

c a b

  

  

  

Tìm min: P = 0(chọn điểm rơia  b c 0) Tìm max:

1 1

3 ( 1)

1 1

P a b c

c a b

 

        

  

 

4 (ImoShortlist 1998) Cho x y z, , 0 xyz1 CMR

3 3

3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

x y z

y z  z x  x y 

     

Ta có

Dự đoán dấu đẳng thức xảy x  y z

3

1

(1 )(1 ) 8

x y z

x

y z

 

  

 

5 (ImoShortlist 1990). Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa ab bc cd  da1 C/m

3 3 1

3

a b c d

b c d  c d aa b d  a b c   Ta có

3

1

18 12

a b c d

 

  

  , …

3 3 1

3

a b c d a b c d

b c d c d a a b d a b c

  

     

       

(22)

 2

2

1 ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) 4( )( )

ab bc cd da a c b d

a b c d a c b d a c b d a c b d

      

 

               

2

a b c d

    

6 (Komal Magazine) Cho ba số dương a, b, c C/m:

2

1 1 27

( ) ( ) ( ) 2( )

a a b b b c c ca  a b c  d Ta có

3

1 1 27

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 3 ( )( )( )

a a b b b c c c a abc a b b c c a abc a b b c c a

   

        

 

3 3

27 27

( ) ( ) ( ) ( )

3 abc.3 (a b b c c)( )( a) a b c a b b c c a



      

  

7 (Iran MO 1998) Cho bốn số thực dương a, b,c ,d thỏa abcd = C/m

3 3 1 1

max ,

a b c d a b c d

a b c d

 

           

 

- Ta C/m:

3 3

a b c d    a b c d

3

1 a    a, …

3 3 8 3( )

a b c d a b c d

         (1)

Và 82.44abcd 2(a b c d   ) (2)

Từ (1) (2) suy a3b3c3d33(a b c d   ) 8 3(a b c d   ) 2( a b c d   )

- Ta C/m:

3 3 1 1 3 3 abc bcd dab acd

a b c d a b c d

a b c d abcd

  

           

3 3

a b c d abc bcd dab acd

       

(23)

3 3

3

a b c  abc; b3c3d33bcd; a3b3d33abd;

8 (France Pre MO 2005) Cho ba số dương x, y, z thỏa x2y2z23 C/m

xy yz zx z  x  y  Nháp xy yz 2y

z  x  ,

xy yz zx

x y z

z x y

      , tới ta không sử dụng già thiết

2 2

(x y z) 3(x y z )9, ngược dấu.Từ ta thấy cần thiết phải bình phương hai vế bđt cần chứng minh:

 

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

3

xy yz zx x y y z z x x y y z z x

x y z

z  x  y   z  x  y      z  x  y 

Ta có

2 2

2

2 2

x y y z y

z x

  ;

2 2 2

2

y z z x z

x y

  ;

2 2 2

2 2

x y z x x

z y

 

9 (ImoShortlist 1996) Cho số dương x, y, x thỏa xyz = C/m

5 5 5

xy yz zx

x xy y y yz z z zx x

  

     

Ta C/m bất đẳng thức phụ:x5y5x y2 2(xy)

( C/m Bđt phụ: Áp dụng BĐT ( ) 1( )( )

n m n m n n m m

a  b   a b a b , ta có

5 4 2 2 2

( )( ) ( ) ( ) (2 ) ( ) ( )

2 4

x y  x y xy  x y xy  xy xy x y xy )

5 5 5 2 2 2

( ) ( ) ( )

xy yz zx xy yz zx

x xy y y yz z z zx x x y x y xy y z y z yz z x z x zx

     

           

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

xyz xyz xyz

xy x y yz y z zx z x xy x y xyz yz y z xyz zx z x xyz

     

(24)

z x y

x y z x y z x y z

  

     

10. Cho a b c, , 0 Chứng minh:

4 4 4 4 4 4

1 1 1

abcd a b c abcd b c d abcd c d a abcd d a b abcd 

Xét bổ đề sau : x y z, , x4  y4  z4  xyz x y z(   ) C/m bổ đề:

Ta có x4y z2 22x yz2 ,

Suy x4 y4 z4 (x y2 y z2 2z x2 2) 2( x yz y zx z yx2   ) Ta lại có x y2  y z2 2z x2  x4  y4 z4

Cách trình bày điêu luyện:

             

4 4 4 2 2 2 2

2(x y z ) x y z (x y y z z x ) 2(x yz y zx z yx) 2xyz x y z( )

Với a b c d, , ,  0, ta có :

4 4

1 1

( ) ( )

1 1

( ) ( )

1 1

( ) ( )

1 1

( ) ( )

abc a b c abcd abc a b c d a b c abcd

bcd b c d abcd bcd a b c d b c d abcd

cda c d a abcd cda a b c d c d a abcd

dab d a b abcd dab a b c d

d a b abcd

 

     

  

 

     

  

 

     

  

 

     

  

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

( ) ( )

VT

abc a b c d bcd a b c d cda a b c d dab a b c d

d a b c

a b c d abc bcd cda dab a b c d abcd abcd bcda cdab

   

           

   

          

(25)

Nguyenthang.3301@yahoo.com Page 25 Cộng vế theo vế ta điều phải chứng minh

Hoặc

  

     

4 4 4

1 1

( ) ( )

abc a b c abcd abc a b c d

a b c abcd a b c abcd

  

        

1

( ) ( )

d d

abc a b c abcd abcd a b c d a b c d

11 (Việt Nam MO ) Cho n số thực dương thỏa

1

1 1

1a 1a  1an 

C/m a a1 2 an(n1)n

12 (APMO 1998) Cho x, y, z số dương C/m

3

2( )

1 x y z x y z

y z x xyz

             

 

Ta có

3

2( ) 2( )

1 x y z x y z x y z x y z x y z

y z x xyz y z x z x y xyz

                     

       

     

3

2( )

x y z x y z x y z

y z x z x y xyz

     

       

   

Ta có

2 2

3 x y z x x y y y z z z x x x y y y z z z x

y z x y y z z z x x x y xy y z yz z x zx x y

     

                        

             

           

3 3

3x 3y 3z

xyz xyz xyz

  

13 (Canada MO 2002) Cho ba số dương x ,y, z C/m

3 3

x y z

x y z yz  zx  zx   

(26)

3

3 x

y z x yz   

14 (Macedonia MO 2000). Cho ba số dương a, b, c C/m a2b2c2 2(ab ac )

Ta có

2

2 2 ( )

2 2( )

2

b c b c

a b c a    a   ab ac

15. Cho ba số dương a, b, c thỏa a + b + c = CMR

2 2

3

1 1

a b c

b c a

  

  

Ta có

2

2 2 2

1

a ab ab ab

a a a

b

b b

     

  ab bc ca  3

Định dạng
Số trang	26
Dung lượng	1,03 MB