Chương này nhắc lại một số kiến thức về tập lồi, tập lồi đa diện, hàm lồi, hàm phân thức afin (tỉ số của hai hàm tuyến tính afin), hàm liên hợp và giới thiệu bài toán tối ưu đa mục tiêu [r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
LÊ NGỌC BIÊN
ĐỐI NGẪU TRONG QUY HOẠCH PHÂN THỨC ĐA MỤC TIÊU
Chun ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Trần Vũ Thiệu
(2)Mục lục
MỞ ĐẦU
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Tập lồi tập đa diện lồi
1.2 Hàm lồi hàm phân thức afin
1.3 Hàm liên hợp 10
1.4 Bài toán tối ưu đa mục tiêu 11
2 ĐỐI NGẪU TRONG QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH 13 2.1 Bài tốn quy hoạch phân tuyến tính 13
2.2 Bài toán đối ngẫu 14
2.3 Định lý đối ngẫu 15
2.4 Ví dụ minh họa 19
3 QUY HOẠCH PHÂN THỨC ĐA MỤC TIÊU 21 3.1 Bài tốn gốc tốn tham số hóa 21
3.1.1 Bài toán gốc 21
3.1.2 Tham số hóa theo Dinkelbach 22
3.2 Đối ngẫu Fenchel-Lagrange tốn vơ hướng 24
3.3 Đối ngẫu Fenchel-Lagrange đa mục tiêu 27
3.4 Ví dụ 35
KẾT LUẬN 38
(3)MỞ ĐẦU
Lý thuyết đối ngẫu toán tối ưu, với hay nhiều hàm mục tiêu, chủ đề quan trọng lý thuyết tối ưu hóa Lý thuyết đối ngẫu tốn tối ưu với hàm mục tiêu hàm phân thức (tỉ số hai hàm số) phát triển mạnh mẽ vài chục năm gần Wolfe (1991), Weir - Mond (1989), Nakayama (1984), Jahn (1983) Wanka - Bot (2002)
Trường hợp tối ưu phân thức Charnes Cooper ([6], 1962) nghiên cứu cho hàm mục tiêu phân tuyến tính Dinkelbach ([7], 1967) mối liên hệ toán phân thức tốn tham số hóa Schaible ([9], 1976) đưa phép biến đổi cho phép xử lý toán phân thức
Đáng ý Wanka Bot [10] đưa đối ngẫu liên hợp dựa cách tiếp cận nhiễu Sau tác giả [4], [5] nghiên cứu quan hệ khái niệm đối ngẫu qui hoạch phân thức
Bot R I., Charesy R Wanka G ([3], 2006) xét quan hệ đối ngẫu cho lớp toán tối ưu phân thức đa mục tiêu cụ thể toán với nhiều hàm mục tiêu, mục tiêu tỉ số hàm lồi hàm lõm Trên thực tế, kiểu toán tạo lớp riêng có đặc điểm tốn nói chung khơng lồi
Kaul Lyall ([8], 1989) xây dựng toán đối ngẫu kết đối ngẫu cho toán tối ưu phân thức đa mục tiêu, với giả thiêt hàm khả vi Ohlendorf Tammer (1994) đưa đối ngẫu kiểu Fenchel cho toán tối ưu véctơ với hàm mục tiêu phân thức
Để phát triển kiến thức giải tích học, chọn đề tài luận văn: "Đối ngẫu toán tối ưu phân thức đa mục tiêu"
(4)phân thức đa mục tiêu không lồi
Luận văn viết dựa chủ yếu tài liệu tham khảo [1] - [3] [7] Nội dung luận văn gồm ba chương
• Chương “Kiến thức chuẩn bị”nhắc lại kiến thức tập lồi, tập lồi đa diện tính chất tập này; nhắc lại khái niệm hàm lồi, hàm afin tính chất đáng ý hàm afin, hàm liên hơp giới thiệu toán tối ưu đa mục tiêu số khái niệm có liên quan
• Chương "Đối ngẫu quy hoạch phân tuyến tính"trình bày tốn quy hoạch phân tuyến tính gốc đối ngẫu, kết lý thuyết đối ngẫu quy hoạch phân tuyến tính, tương tự quy hoạch tuyến tính Cuối chương nêu số ví dụ minh họa
• Chương "Quy hoạch phân thức đa mục tiêu" trình bày cách tiếp cận tham số Dinkelbach ([7]) để đặt tương ứng toán ban đầu (gọi toán gốc) với toán tối ưu lồi, đa mục tiêu trung gian Sau vơ hướng hóa toán đa mục tiêu trung gian xây dựng tốn đối ngẫu đa mục tiêu tương ứng Trình bày kết tính đối ngẫu yếu, đối ngẫu mạnh đối ngẫu đảo cặp toán đối ngẫu Từ cho phép nhận đặc trưng đối ngẫu nghiệm hữu hiệu toán tối ưu phân thức đa mục tiêu ban đầu
Do thời gian kiến thức hạn chế nên chắn luận văn cịn có thiếu sót định, kính mong q thầy bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau
(5)Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương nhắc lại số kiến thức tập lồi, tập lồi đa diện, hàm lồi, hàm phân thức afin (tỉ số hai hàm tuyến tính afin), hàm liên hợp giới thiệu toán tối ưu đa mục tiêu khái niệm có liên quan Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [2] [3]
1.1 Tập lồi tập đa diện lồi
A.Tập lồi khái niệm quan trọng dùng rộng rãi tối ưu hoá
Định nghĩa 1.1 Tập C Rn gọi tập lồi C chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm thuộc Nói cách khác, tậpC lồi nếuλa+(1−λ)b ∈
C với a, b∈C 0≤λ ≤1
Ví dụ 1.1 Các tập sau tập lồi:
a) Tập afin, tức tập chứa trọn đường thẳng qua hai điểm thuộc b) Siêu phẳng, tức tập có dạng
H ={x∈Rn :aTx=α, a ∈Rn\ {0}, α∈R}
c) Các nửa không gian đóng
H1={x∈Rn :aTx≤α}, H2 ={x∈Rn :aTx≥α}
d) Hình cầu đóng B(a, r) ={x∈Rn :||x−a|| ≤r}(a ∈
Rn, r >0cho trước)
(6)c) Nếu C ⊂ Rm, D ⊂
Rn tích C ×D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D} tập lồi
trong Rm+n. (Có thể mở rộng cho tích nhiều tập lồi). Định nghĩa 1.2 a) Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ
1a1 +λ2a2 + +λkak với ai∈Rn, λ
i≥0, λ1+λ2+ +λk = 1, gọi tổ hợp lồi điểma1, a2, , ak
b) Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ
1a1+λ2a2 + +λkak với ∈ Rn, λi ≥ 0, gọi
một tổ hợp tuyến tính khơng âm hay tổ hợp nón điểm a1, a2, , ak Định nghĩa 1.3 Cho E tập Rn
a) Giao tất tập afin chứa E gọi bao afin E, ký hiệu aff E Đó tập afin nhỏ chứa E
b) Giao tất tập lồi chứa E gọi bao lồi E, ký hiệu conv E Đó tập lồi nhỏ chứa E
Định nghĩa 1.4 a) Thứ nguyên (hay số chiều) tập afin M, ký hiệu dim M, thứ nguyên (số chiều) không gian song song với
b) Thứ nguyên (hay số chiều) tập lồi C, ký hiệu dim C, thứ nguyên hay số chiều bao afin aff C
B Tập lồi đa diện dạng tập lồi có cấu trúc đơn giản hay gặp lý thuyết tối ưu tuyến tính
Định nghĩa 1.5 Một tập lồi mà giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng gọi tập lồi đa diện Nói cách khác, tập nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính:
ai1x1+ai2x2+ +ainxn ≤bi, i= 1,2, , m, (1.1)
nghĩa tập x nghiệm Ax≤b với A= (aij) ∈Rm×n, b = (b1, , bm)T Nhận xét 1.1 Do phương trình tuyến tính biểu diễn tương đương hai bất phương trình tuyến tính, nên tập nghiệm hệ (hữu hạn) phương trình bất phương trình tuyến tính tập lồi đa diện:
ai1x1+ai2x2+ +ainxn =bi, i= 1,2, , k, ai1x1+ai2x2+ +ainxn ≤bi, i=k+ 1, , m,
(7)lồi theo nghĩa thông thường mặt phẳng hai chiều (tam giác, hình vng, hình trịn, ) ví dụ cụ thể đa diện lồi R2.
Định nghĩa 1.6 Tập lồi đa diện K ⊆Rn gọi nón lồi đa diện
K có thêm tính chất x ∈ K ⇒ λx ∈ K với x∈ K λ ≥ 0.(Ví dụ nón
Rn+.)
Cho D tập lồi đa diện xác định hệ bất phương trình tuyến tính (1.1) Sau để đơn giản, ta giả thiết D không chứa đường thẳng
(tức là@ a, b∈D cho λa+ (1−λ)b ∈D với λ∈R) Hai yếu tố tạo nên tập lồi đa diện D đỉnh cạnh vơ hạn D Theo giải tích lồi, hiểu khái niệm sau
Định nghĩa 1.7 Điểm x0∈D gọi đỉnh D
rank{ai :ai, x0=bi}=n (với = (ai1, , ain)T, i= 1, , m)
Định nghĩa tương đương: x0 ∈ D đỉnh D @ x1, x2 ∈ D, x1 6= x0
hoặc x2 6=x0, @λ ∈(0,1) cho x0 =λx1+ (1−λ)x2, nói cách khác: x0
khơng thể điểm nằm đoạn thẳng nối hai điểm thuộc D
Định nghĩa 1.8 Đoạn thẳng[x1, x2], x1 6=x2, gọi cạnh hữu hạn
D x1, x2 đỉnh D
rank{ai :ai, x1=ai, x2=bi}=n−1
Định nghĩa 1.9 Tia Γ ={x0+λd :λ≥ 0} ⊆D, x0 ∈ D, d∈Rn, được
gọi cạnh vô hạn D
rank{ai:ai, x=bi,∀x∈Γ}=n−1
Để hiểu rõ tập lồi đa diện ta cần biết số khái niệm sau Định nghĩa 1.10 Véctơ d ∈ Rn, d 6= 0, gọi hướng lùi xa D
nếu∃x0 ∈D cho {x0+λd :λ ≥0} ⊆D Tập hợp hướng lùi xa D cộng với gốc tạo thành nón lồi đóng, gọi nón lùi xa D, ký hiệu rec D
Định nghĩa 1.11 Hướng lùi xa d D gọi hướng cực biên không tồn hai hướng lùi xa khác d1, d2 cho d=λ1d1+λ2d2 với λ1, λ2 >0
(8)Trong toán tối ưu, ta thường gặp tập lồi đa diện có dạng
S ={x∈Rn :Ax≤b, x≥0}với A∈Rm×n, b∈Rm,
tức S tập nghiệm không âm hệ (hữu hạn) bất phương trình tuyến tính Tập khơng chứa đường thẳng (do x ≥ 0) nên S có đỉnh Từ định nghĩa nêu cho thấy:
a) Điểmx0 ∈Slà đỉnh củaSkhi hệ véctơ{ak :ak, x0 =bk}∪{ek :
x0k = 0} có hạng n
b) Các hướng cực biên (chuẩn hóa) S nghiệm sở hệ Ay ≤ 0, eTy = 1, y ≥0, eT = (1, ,1)
c) Giả sử tia Γ ={x0+λd : λ≥ 0}, x0 đỉnh d hướng cực biên S Khi Γ cạnh vô hạn S
rank({ak :ak, x =bk,∀x∈Γ} ∪ {ek :xk = 0,∀x∈Γ}) = n−1
1.2 Hàm lồi hàm phân thức afin
Định nghĩa 1.12 a) f :C →R xác định tập lồi C ⊆Rn gọi hàm lồi C với x1, x2∈C số thực λ∈[0,1] ta có
f[λx1+ (1−λ)x2]≤λf(x1) + (1−λ)f(x2)
b) g :C →R gọi hàm lõm C f =−g hàm lồi C
Sau số ví dụ quen thuộc hàm lồi với ∅6=C ⊆Rn là tập lồi: + Hàm chuẩn Euclid ||x||=phx, xi, x∈Rn
+ Hàm định tập lồi C :
δC(x) =
0 x∈C
(9)+ Hàm tựa C: sC(x) = sup y∈C
yTx (cận xTy tập lồi C) + Hàm khoảng cách từ điểm x∈Rn tới C: d
C(x) = inf
y∈C kx−yk
• Hàm phân thức afin thường gặp tốn tối ưu Hàm có dạng
f(x) = p(x)
q(x) =
pTx+α qTx+β,
trong p, q ∈Rn, α, β ∈R dom f ={x∈Rn :qTx+β >0}
Ký hiệu S tập lồi cho q(x) =qTx+β 6= với x ∈S Nếu q(x) có dấu khác S, tức có x, y ∈S cho qTx+β > qTy+β < hàm q(x) liên tục nên tồn z ∈[x, y],tức z ∈S, cho q(z) = 0.Vì thế, khơng giảm tổng qt, ta giả thiết q(x)>0 với x∈S Trường hợp q(x)<0
với mọix∈S nhân tử số p(x) mẫu số q(x) hàm f(x) với (- 1) có
q(x)>0 với x∈S
Định lý sau nêu tính chất đơn điệu theo phương hàm phân thức afin Định lý 1.1 ([1], tr 78) f(x) = pq((xx)) hàm đơn điệu đoạn thẳng nằm trọn tập lồi S ={x:qTx+β >0}
Chứng minh Lấy hai điểm tùy ýa, b∈S tính giá trị hàm f điểm x đoạn thẳng nối a b, tức x=λa+ (1−λ)b với 0≤λ≤1 Ta thấy
f(x) = p[λa+ (1−λ)b]
q[λa+ (1−λ)b =
λp(a) + (1−λ)p(b)
λq(a) + (1−λ)q(b)
Đạo hàm f theo λ :
df(x)
dλ =
1
q2(x) ×
p(a) p(b)
q(a) q(b)
= p(a)q(b)−p(b)q(a)
q2(x)
Dấu đạo hàm phụ thuộc dấu biểu thức [p(a)q(b)−p(b)q(a)] Vì thế,
λ thay đổi đoạn [0, 1] hàm f(x) tăng giảm đồng số [a, b]
Ta nhắc lại hàm khả vi f : Rn → R gọi giả lồi với
x, y ∈S ta có Of(x)T(y−x)≥ kéo theo f(y)≥ f(x), nghĩa f(y)< f(x)
thì Of(x)T(y−x)<0 Hàm f gọi giả lõm −f giả lồi
Định lý sau nêu tính chất quan trọng khác hàm phân thức afin
Định lý 1.2 ([2], tr 703) Giả sử f(x) = qpTTxx++αβ S tập lồi cho (qTx+
(10)Chứng minh Ta để ý qTx+β >0 với x∈S qTx+β <0 với x ∈ S, trái lại có a ∈S, b ∈ S cho qTa+β > qTb+β < 0, có qTz+β = với z tổ hợp lồi a b, trái với giả thiết định lý Trước hết ta chứng minh f giả lồi
Thật vậy, giả sử x, y ∈S thỏa mãn Of(x)T(y−x)≥0 Ta cần rõ f(y)≥f(x) Ta có
Of(x) = (q
Tx+β)p−(pTx+α)q
(qTx+β)2
Do Of(x)T(y−x)≥0 (qTx+β)2 >0 nên
0≤[(qTx+β)p−(pTx+α)q]T(y−x) = (pTy+α)(qTx+β)−(qTy+β)(pTx+α)
Vì thế, (pTy+α)(qTx+β)≥(qTy+β)(pTx+α) Nhưng do(qTx+β) (qTy+β)
cùng dương âm nên chia hai vế cho
(qTx+β)(qTy+β)>0
ta nhận
pTy+α qTy+β ≥
pTx+α
qTx+β, tức f(y)≥f(x)
Vì thế, f giả lồi Tương tự, chứng minh Of(x)T(y−x)≤0 kéo theo f(y)≤f(x) Vì thế, f giả lõm định lý chứng minh
1.3 Hàm liên hợp
Định nghĩa 1.13 Cho hàm tùy ý f :Rn →R∪ {±∞} Hàm liên hợp f định nghĩa hàm
f∗(p) = sup
x∈Rn
{pTx−f(x)}, p∈Rn (1.2)
Thực ra, supremum trong(1.2)chỉ cần lấy x∈domf, f(x) = +∞ ∀x /∈ dom f Hệ thức (1.2) gọi phép biến đổi Young - Fenchel Từ định nghĩa suy
f∗∗(x)≡(f∗)∗(x) = sup
p∈Rn
{pTx−f∗(p)}, x∈Rn
(11)Tài liệu tham khảo
[1] Bajalinov E B (2003), Linear - Fractional Programming: Theory, Methods, Applications and Software Kluwer Academic Publishers
[2] Bazara M.S et al (2006), Nonlinear Programming: Theory and Algorithms 3rd Edition A John Willey & Sons, Inc., Publication
[3] Bot R I., Charesy R Wanka G (2006), Duality for multiobjective fractional programming problems, Nonlinear Analysis Forum 11(2), pp 185 – 201
[4] Bot R I., Wanka G (2004), An analysis of some dual problems in mul-tiobjective optimization (I) Optimization, Volume 53, Number 3, Pages 281-300
[5] Bot R I., Wanka G (2004), An analysis of some dual problems in mul-tiobjective optimization (II) Optimization, Volume 53, Number 3, Pages 301-324
[6] Charnes A,Cooper W W.(1962), Programming with linear fractional functionals Naval Research Logistics Quarterly, Volume 9, Pages 181-186
(12)[8] Kaul R N., Lyall V (1989), A note on nonlinear fractional vector maxi-mization OPSearch, Volume 26, Number 2, Pages 108-121, 1989 Schaible S (1976), Fractional rogramming I: Duality Management Science, Volume 22B, Pages 858-867
[9] Seshan C R (1980), On duality in linear fractional programming, Proc Indian Aead Sci (Math Sci.), Vol 80, N0 1, pp 35-42
[10] Wanka G., Bot R I (2002), A new duality approach for multi objective convex optimization problems Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Volume 3, Number 1, Pages 41 - 57